大学初年次における数学教材の提案(その 21)
~部分分数分解~
貴田 研司
*1A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol. 21
~ Partial Fraction Decomposition ~
by
Kenshi KIDA
*1( received on Nov. 30, 2018 & accepted on Jan. 10, 2019 )
あらまし
解 析学 にお いて ,計 算に 重宝 する 方法 の一 つと して 部分 分数 分解 があ る .こ の論 文で は有 理関 数が 部分 分数 に 分解されることを,代数学の基本定理に基づいて詳細に証明することを目標とする.
Abstract
As a useful method of calculations in analysis, we give partial fraction decompositions. The purpose of this paper is to present a full proof based on the fundamental theorem of algebra.
キーワード:代数学の基本定理,分数式,部分分数分解
Keywords: Fundamental Theorem of Algebra, Fractional Expression,Partial Fraction Decomposition
1. は じ め に 有 理 関 数 の 不 定 積 分 や 逆 ラ プ ラ ス 変 換 の 計 算 な ど に , 部 分 分 数 分 解 と 呼 ば れ る も の が 用 い ら れ る . 例 え ば ���� 1���� 1�� � 1 �� � ������� �� � 1 � � � � 1 �� � ��� � 2� � 1 ��� � と 部 分 分 数 分 解 さ れ る こ と を 利 用 す れ ば � ����� � ��� 1������� 1�� � 1 �� �� �� � � � � � � �1 �� � ��1 � � 2� � 1 ��� � � �� � � � 1 � � � � 1 �� � ��� � �� 2� � � � ��1 � � � �� � � � 1 � � � � 1 �� � ��� � ���� ��� ��� � � 1 ��� 2� � �� � ���|� � �| � 1 � � � � ������� �� � 1 2 tan�� � 2 � � と , 不 定 積 分 が 求 め ら れ る . ま た , 同 様 に し て ���� ���� 1���� 1�� � 1 �� � ������� �� � � ���� 1 � � � � 1 �� � ��� � 2� � 1 ��� � � *1 高 輪 教 養 教 育 セ ン タ ー 准 教 授
い て 正 則 な 関 数 の こ と を , 整 関 数 と い う . ま た , 領 域� 内 の す べ て の 点� に お い て| ���� | � � (� は あ る 正 の 定 数)の と き , 関 数���� は� で 有 界 で あ る と い う . 以 下 に お い て ,� は 虚 数 単 位 と す る . こ れ に 関 し て は , 次 の 結 果 が よ く 知 ら れ て い る . 定 理 2.1( Liouville の 定 理 ) 有 界 な 整 関 数 は ,定 数 に 限 る . さ ら に , つ ぎ の こ と も 肝 要 で あ る . 定 理 2.2(最 大 値 ・ 最 小 値 の 定 理 ) ���� �� は ,有 界 閉 集 合� で 連 続 な 実 数 値 関 数 と す る .こ の と き���� ��が 最 大 値 を と る 点 と 最 小 値 を と る 点 が 必 ず� 内 に 存 在 す る . こ こ で ,���� � ���� �� � ���� ��� �� � � � ��� �� � � �� が 有 界 閉 集 合� で 連 続 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は ,���� ��� ���� �� が 共 に 有 界 閉 集 合� で 連 続 で あ る こ と で あ る か ら , 定 理 2.2 よ り ,���� ��� ���� �� は� で 最 大 値 と 最 小 値 を と る こ と が わ か る . し た が っ て ,���� が 有 界 閉 集 合� で 連 続 で あ る な ら ば | ���� | � ������ ����� ����� ���� も � に お い て 最 大 値 と 最 小 値 を と る こ と に 留 意 し て お く . 定 理 2.3( 代 数 学 の 基 本 定 理 , Gauss の 定 理 ) 複 素 数 係 数 の� 次 代 数 方 程 式 ���� � ����� ��������� � � � ��� � ��� � � �� � �� � � � ���� � �� � �� �� � �� � � �� は , 少 な く と も 一 つ の 複 素 数 の 解 を も つ . (証 明 ) も し ,���� が 一 つ も 零 点 を も た な い と す る と , 有 理 関 数� ����⁄ は 全 平 面 に お い て 正 則 , す な わ ち , 整 関 数 で あ る . さ ら に ���� � ���� �� ����� � � � � ���� � と 変 形 す れ ば |����| � |��| �� �� ����� � � � � ���� � � ���� 1 s � ���� � 1 �s � ������ � �� 2� � � � � �1 �� � � � ���� 1 s � ���� � 1 �s � ������ � 2 ∙ s s�� 2� � 1 2 ∙ 2 s�� 2� � こ こ で , ���� 1 � � � � � ���� ���� 1 �� � ��� � � ����� ���� � ��� �� � � ��s��� ���� � ��� �� � � s���� ( た だ し ,�� � は 定 数 と す る . ) で あ る こ と を 利 用 す る と � ����� ������ 2��s2� � 1 2 s��2� と , 逆 ラ プ ラ ス 変 換 の 計 算 も で き る . 部 分 分 数 分 解 と は 定 理 有 理 関 数 ���� ���� ���� � � ��� �� に お い て ���� � �� � ���⋯ �� � ��� ���� �� � ���⋯ ���� �� � ��� �� � ⋯ � � � � � � � ⋯ � � � � � � � ��� �� � � � ⋯ � ��� �� � �� と な っ て い る な ら ば ���� ���� � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � ⋯ ⋯ � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � � ���� �� � � � ⋯ �� � �� ��� �� �� � ���� � �� � � ⋯ ⋯ � � ���� �� � � � ⋯ �� � �� ��� ��� �� � ��� � �� � � ��� ��� ⋯ � ��� ⋯ � ��� ��� ⋯ ��� ��� ��� ⋯ ��� ��� ⋯ � ��� ��� ⋯ ��� ��� � � と 表 さ れ る . と い う も の で あ る . こ の よ う に 重 宝 さ れ る 概 念 で あ る が , 主 張 の 正 確 な 記 述 及 び そ の 証 明 に つ い て は 割 愛 さ れ る 場 合 が 多 い よ う に 思 わ れ る . こ の 論 文 で は , 代 数 学 の 基 本 定 理 の 複 素 関 数 論 を 用 い た 証 明 か ら 始 め て , 上 記 定 理 の 詳 細 な 証 明 に つ い て 述 べ る こ と を 目 的 と す る1 ) 2)3 )4 )5 )6 )7 )8 )9 )1 0 )11 )1 2). 2. 代 数 学 の 基 本 定 理
い て 正 則 な 関 数 の こ と を , 整 関 数 と い う . ま た , 領 域� 内 の す べ て の 点� に お い て| ���� | � � (� は あ る 正 の 定 数)の と き , 関 数���� は� で 有 界 で あ る と い う . 以 下 に お い て ,� は 虚 数 単 位 と す る . こ れ に 関 し て は , 次 の 結 果 が よ く 知 ら れ て い る . 定 理 2.1( Liouville の 定 理 ) 有 界 な 整 関 数 は ,定 数 に 限 る . さ ら に , つ ぎ の こ と も 肝 要 で あ る . 定 理 2.2(最 大 値 ・ 最 小 値 の 定 理 ) ���� �� は ,有 界 閉 集 合� で 連 続 な 実 数 値 関 数 と す る .こ の と き���� ��が 最 大 値 を と る 点 と 最 小 値 を と る 点 が 必 ず� 内 に 存 在 す る . こ こ で ,���� � ���� �� � ���� ��� �� � � � ��� �� � � �� が 有 界 閉 集 合� で 連 続 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は ,���� ��� ���� �� が 共 に 有 界 閉 集 合� で 連 続 で あ る こ と で あ る か ら , 定 理 2.2 よ り ,���� ��� ���� �� は� で 最 大 値 と 最 小 値 を と る こ と が わ か る . し た が っ て ,���� が 有 界 閉 集 合� で 連 続 で あ る な ら ば | ���� | � ������ ����� ����� ���� も � に お い て 最 大 値 と 最 小 値 を と る こ と に 留 意 し て お く . 定 理 2.3( 代 数 学 の 基 本 定 理 , Gauss の 定 理 ) 複 素 数 係 数 の� 次 代 数 方 程 式 ���� � ����� ��������� � � � ��� � ��� � � �� � �� � � � ���� � �� � �� �� � �� � � �� は , 少 な く と も 一 つ の 複 素 数 の 解 を も つ . (証 明 ) も し ,���� が 一 つ も 零 点 を も た な い と す る と , 有 理 関 数� ����⁄ は 全 平 面 に お い て 正 則 , す な わ ち , 整 関 数 で あ る . さ ら に ���� � ���� �� ����� � � � � ���� � と 変 形 す れ ば |����| � |��| �� �� ����� � � � � ���� �
���� � ����� ��������� ⋯ ⋯ � ��� � ��� � ��� � �� � ⋯ � ���� � ��� �� �� � � � � � �� は ,� 個 の 1 次 因 数 の 積 と し て ���� � ���� � ����� � ��� ⋯ ⋯ �� � ��� と 表 さ れ る . た だ し ,�� � �� � ⋯ ⋯ � �� は,� 次 方 程 式���� � � の� 個 の 解 で あ る . 次 に , 実 数 を 係 数 と す る� 次 の 代 数 方 程 式 ���� � ����� ��������� ⋯ ⋯ � ��� � �� � � ��� � �� � ⋯ � ���� � ��� �� �� � � � � � �� の 解 の 性 質 に つ い て 述 べ る . 定 理 2.6 実 数 係 数 の 代 数 方 程 式 が ,� � � � �� ��� � � � � � � �� と い う 虚 数 解 を も つ な ら ば , そ の 共 役 複 素 数 �� � � � �� も 解 で あ る . さ ら に ,� が� 重 解 で あ る な ら ば ,�� も� 重 解 で あ る . (証 明 ) ま ず ,� 次 の 代 数 方 程 式 を���� � � と す る . 今 こ れ を �� � ���� � ��� � �� � �� � ������ � �� � ���� � ��� � �� � ������ � �� � ��� � �� � ���� �� で 割 っ た 商 を���� ,余 り を�� � � ��� � � �� と す れ ば ���� � �� � ���� � ������� � �� � � と な る . こ こ で� が 解 な ら ば ,���� � � だ か ら , �� � � � � な の で ��� � ��� � � � � す な わ ち ��� � �� � ��� � � 実 部 と 虚 部 を 比 較 し て , �� � � � � � �� � � が 得 ら れ る が ,� � � よ り� � � � � � � と な る の で ���� は �� � ���� � ��� で 割 り 切 れ る こ と に な る . し た が っ て ,α� も 解 で あ る . 次 に ,� が���� � � の� 重 解 , α �が� 重解とするとき,� � � と す れ ば���� は ��� � ���� � ����� � ��� � ���� ���� で 割 り 切 れ る こ と に な る .そ の 商 を���� と す る と , ���� � ��� � ���� � ��������� � ��� � ���� �������� で あ る か ら , ���� � � � ����� � � と な っ て い る . し た が っ て , 実 数 係 数 の 代 数 方 程 式���� � � が� を 解 に も ち , �� を 解 に も た な い こ と に な り 矛 盾 を 生 じ る . �� の 共 役 複 素 数 は� な の で , � � � と し て も 同 じ よ う に 矛 盾 を 生 じ る . � |��| �� �� �� ����� � � � � ���� �� こ こ で , 三 角 不 等 式 |� � �| ≧ |�| � |�| ��� � � � � を 用 い る と ≧ |��| �|� �| � �� ����� � � � � ���� �� � |��| �|� �| � � ����� � � � � ���� �� こ こ で , 三 角 不 等 式 |� � �| ≦ |�| � |�|,す な わ ち � |� � �| ≧ ��|�| � |�|� ��� � � � � を 用 い る と � |��| �|� �| � � ����� � � � � � ���� �� � |��| �|� �| � |� |�| � � ����| |�| |���| � で あ る か ら ,|�| → ∞ に 対 し て ,|����| → ∞ と な る こ と が わ か る . よ っ て ,|� ����⁄ | は0 に 収 束 す る こ と が わ か る の で , 任 意 の 正 の 定 数� に 対 し て , 十 分 大 き な 正 数� を と る こ と に よ り , 半 径� の 円 の 外 側|�| � � で は|� ����⁄ | � � と す る こ と が で き る . 次 に 円 の 内 側 な る 閉 領 域|�| ≦ � に つ い て は ど う か と 考 え る と ,こ こ で も� ����⁄ が 正 則 で あ る か ら 連 続 関 数 な の で ,|� ����⁄ | は 最 大 値 と 最 小 値 を と る . ゆ え に ,円 |�|� � の 内 外 を 通 じ て の 全 領 域 に お い て ,| � ����⁄ | ≦ � (� は あ る 正 の 定 数)が 成 り 立 つ こ と , す な わ ち ���� が 有 界 で あ る こ と が 示 さ れ た . し た が っ て , Liouville の 定 理 に よ っ て , � ���� ⁄ は 一 つ の 定 数 で あ る こ と が わ か っ た . こ れ は ,���� が 1 次 以 上 の 多 項 式 で あ る こ と に 反 す る の で ,���� は 少 な く と も 一 つ の 零 点 を も た な け れ ば な ら な い . よ っ て ,���� � 0 は , 少 な く と も 一 つ の 複 素 数 の 解 を も つ . (証 明 終 ) 定 理 2.3 よ り 次 の 定 理 2.4,定 理 2.5 が 得 ら れ る . 定 理 2.4 複 素 数 係 数 の� 次 代 数 方 程 式 は ,ち ょ う ど� 個 の 解 を も つ . ( た だ し ,� 重 解 は� 個 の 解 と し て 数 え る .) 定 理 2.5 複 素 数 係 数 の� 次の整式
���� � ����� ��������� ⋯ ⋯ � ��� � ��� � ��� � �� � ⋯ � ���� � �� � �� �� � � � � � �� は ,� 個 の 1 次 因 数 の 積 と し て ���� � ���� � ����� � ��� ⋯ ⋯ �� � ��� と 表 さ れ る . た だ し ,�� � �� � ⋯ ⋯ � �� は,� 次 方 程 式���� � � の� 個 の 解 で あ る . 次 に , 実 数 を 係 数 と す る� 次 の 代 数 方 程 式 ���� � ����� ��������� ⋯ ⋯ � ��� � ��� � ��� � �� � ⋯ � ���� � ��� �� �� � � � � � �� の 解 の 性 質 に つ い て 述 べ る . 定 理 2.6 実 数 係 数 の 代 数 方 程 式 が ,� � � � �� ��� � � � � � � �� と い う 虚 数 解 を も つ な ら ば , そ の 共 役 複 素 数 �� � � � �� も 解 で あ る . さ ら に ,� が� 重 解 で あ る な ら ば ,�� も� 重 解 で あ る . (証 明 ) ま ず ,� 次 の 代 数 方 程 式 を���� � � と す る . 今 こ れ を �� � ���� � ��� � �� � �� � ������ � �� � ���� � ��� � �� � ������ � �� � ��� � �� � ���� �� で 割 っ た 商 を���� ,余 り を�� � � ��� � � �� と す れ ば ���� � �� � ���� � ������� � �� � � と な る . こ こ で� が 解 な ら ば ,���� � � だ か ら , �� � � � � な の で ��� � ��� � � � � す な わ ち ��� � �� � ��� � � 実 部 と 虚 部 を 比 較 し て , �� � � � � � �� � � が 得 ら れ る が ,� � � よ り� � � � � � � と な る の で ���� は �� � ���� � ��� で 割 り 切 れ る こ と に な る . し た が っ て ,α� も 解 で あ る . 次 に ,� が���� � � の� 重 解 , α �が� 重解とするとき,� � � と す れ ば���� は ��� � ���� � ����� � ��� � ���� ���� で 割 り 切 れ る こ と に な る .そ の 商 を���� と す る と , ���� � ��� � ���� � ��������� � ��� � ���� �������� で あ る か ら , ���� � � � ����� � � と な っ て い る . し た が っ て , 実 数 係 数 の 代 数 方 程 式���� � � が� を 解 に も ち , �� を 解 に も た な い こ と に な り 矛 盾 を 生 じ る . �� の 共 役 複 素 数 は� な の で , � � � と し て も 同 じ よ う に 矛 盾 を 生 じ る .
と 表 さ れ る . (証 明 ) ����� と����� が 互 い に 素 な の で , あ る 整 式����� , ����� が 存 在 し て ���������� � ���������� � � と な る . し た が っ て ���� ���� � ��������������� � ����������� ���������� � ��������� ����� � ��������� ����� ⋯�∗� と 書 く こ と が で き る . さ ら に ��������� � ���������� � �����, � ��� �� � ��� ��� ��������� � ���������� � �����, � ��� ��� ��� ��� と な る よ う な 整 式����� , ����� , ����� , ����� が あ る . よ っ て �∗� � ����������� � ����� ���� � ���������� � ����� ����� � ����� � ����� ����� � ����� � ����� ����� と な る . あ と は ,����� � ����� � � を 示 せ ば よ い . ���� ���� � ����� � ����� ����� � ����� � ����� ����� の 両 辺 に ���� � ���������� を か け る と ���� � ��������� � ���������� � ��������� � ���������� ���� � ���������� � ������ � ���������� � ���������� と な る . と こ ろ が ,���� , ���������� , ���������� の 次 数 は い ず れ も���� の 次 数 よ り も 小 さ い か ら ����� � ����� � � で な け れ ば な ら な い . (証 明 終 ) さ ら に こ の 論 法 を 繰 り 返 し 用 い る こ と に よ り , 以 下 の 結 果 が 得 ら れ る . 定 理 3.2 有 理 関 数 ���� ���� � ��� � � ��� �� に お い て , 分 母 が ど の 2つ も 互 い に 素 な 因 数����� , ����� , ⋯ , ����� の 積 と し て ���� � ���������� ⋯ ����� ���� �� � � , � � �,�, ⋯ , �� と 分 解 さ れ る と き , あ る 適 当 な 整 式����� , ����� , ⋯ , ����� が 存 在 し て し た が っ て ,� � � が 得 ら れ る . (証 明 終 ) 定 理 2.7 実 数 係 数 の� 次の整式 ���� � ����� ��������� ⋯ ⋯ � ��� � �� ��� , �� , ⋯ , ���� , �� � �, �� � � , � ≧ 1� を , 実 数 係 数 の 範 囲 で 因 数 分 解 す れ ば 一 次 因 数 と 二 次 因 数 の 積 ���� � ���� � ����� � ��� ⋯ �� � ������ � ����� ���� ⋯ ��� � ����� ���� �� � �� � �� と な る . こ こ で ,���� � � の 実 数 解 を�� , �� , ⋯ , �� ,虚 数 解 を��� ��� , ⋯ , ��� ��� と し た . た だ し , �� , ⋯ , �� , �� , ⋯ , �� , �� , ⋯ , �� � � と す る . 3. 部 分 分 数 分 解 変 数� の 関 数 が 2 つ の 整 式���� , ���� の 商 ���� ���� ����� � �� で あ る と き , こ の 関 数 を� の 有 理 関 数 ま た は 分 数 式 関 数 と い う . こ れ に つ い て ���� � �������� � ����, ���� � � ��� �� と な る よ う な 整 式���� , ���� が あ る の で ���� ���� � �������� � ���� ���� � ���� � ���� ���� , ���� � � ��� �� と 表 す こ と が で き る . よ っ て , 有 理 関 数 で は 分 子 の 次 数 が 分 母 の 次 数 よ り 低 い も の に つ い て 考 え れ ば よ い . 定 理 3.1 有 理 関 数 ���� ���� ���� � � ��� �� に お い て , 分 母 が 互 い に 素 な 因 数����� , ����� の 積 と し て ���� � ���������� ���� ��≧ 1, ��� ��≧ 1� と 分 解 さ れ る と き , あ る 適 当 な 整 式����� , ����� が 存 在 し て ���� ���� � ����� ����� � ����� ����� , � ��� ��� ��� �� , ��� ��� ��� ���
と 表 さ れ る . (証 明 ) ����� と����� が 互 い に 素 な の で , あ る 整 式����� , ����� が 存 在 し て ���������� � ���������� � � と な る . し た が っ て ���� ���� � ��������������� � ����������� ���������� � ��������� ����� � ��������� ����� ⋯�∗� と 書 く こ と が で き る . さ ら に ��������� � ���������� � �����, � ��� ��� ��� ��� ��������� � ���������� � �����, � ��� ��� ��� ��� と な る よ う な 整 式����� , ����� , ����� , ����� が あ る . よ っ て �∗� � ����������� � ����� ���� � ���������� � ����� ����� � ����� � ����� ����� � ����� � ����� ����� と な る . あ と は ,����� � ����� � � を 示 せ ば よ い . ���� ���� � ����� � ����� ����� � ����� � ����� ����� の 両 辺 に ���� � ���������� を か け る と ���� � ��������� � ���������� � ��������� � ���������� ���� � ���������� � ������ � ���������� � ���������� と な る . と こ ろ が ,���� , ���������� , ���������� の 次 数 は い ず れ も���� の 次 数 よ り も 小 さ い か ら ����� � ����� � � で な け れ ば な ら な い . (証 明 終 ) さ ら に こ の 論 法 を 繰 り 返 し 用 い る こ と に よ り , 以 下 の 結 果 が 得 ら れ る . 定 理 3.2 有 理 関 数 ���� ���� � ��� � � ��� �� に お い て , 分 母 が ど の 2つ も 互 い に 素 な 因 数����� , ����� , ⋯ , ����� の 積 と し て ���� � ���������� ⋯ ����� ���� �� � � , � � �,�, ⋯ , �� と 分 解 さ れ る と き , あ る 適 当 な 整 式����� , ����� , ⋯ , ����� が 存 在 し て
� ������� ��������� � ������� ��������� � ����� ������� ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ � ������ ����� � � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � � ��������� � � ������� ���� � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � � � ���� ����� ������ ����� � � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � � ��������� � � ���� ���� � ������ ����� � � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � � ����� � � ���� ����� ������ ����� � � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � な の で , 両 辺 に ���� � ������� を か け る と ���� � ������������� ��������������� ��������������� ⋯ � ����� と な る . と こ ろ が���� � �������������� � �������������� � ⋯ � ����� の 次 数 は す べ て���� � ������� の 次 数 よ り も 小 さ い の で����� � � で な け れ ば な ら な い . し た が っ て ���� ���� � ����� ���� � ����� ����� � ⋯ � ����� ����� が 得 ら れ る . (証 明 終 ) (定 理 3.3 の 証 明 の 補 足 ) 有 理 関 数 ���� �� � 1 �� � ��� ⋯ ⋯ ① に つ い て 考 え る . ����� �� � 1� � �� � �� を 実 行 す る こ と に よ り ① � ���� �� � 1 �� � ��� � ��� � ���� � �� � 17 �� � ��� � �� � � �� � ���� 17 �� � ���⋯ ⋯ ② と な る こ と が わ か る . さ ら に ,��� � �� � �� � �� を 実 行 す る こ と に よ り ���� ���� � ����� ����� � ����� ����� � ⋯ � ����� ����� , ���� �� � ��� ��, � � �,�, ⋯ , �� と 表 さ れ る . 定 理 3.3 有 理 関 数 ���� ���� ���� � � ��� �� に お い て , 分 母 が 整 式���� の� 乗 と し て ���� � ������� ���� � � �� と 分 解 さ れ る と き , あ る 適 当 な 整 式����� , ����� , ⋯ , ����� を と る こ と に よ っ て ���� ���� � ����� ���� � ����� ����� � ⋯ � ����� ����� ( た だ し , ��� ��� ��� � , ��� ��� ��� � , ⋯ , ��� �� � ��� � ) と 表 す こ と が で き る . (証 明 ) *以 下 の 議 論 が 成 り 立 つ こ と つ い て は , p.9 の (定 理 3.3 の 証 明 の 補 足 ) が 理 解 の 助 け に な る . こ れ か ら 述 べ る よ う な� 回 の 割 り 算 を 行 う こ と に よ り , 整 式����� , ����� , ⋯ , ����� が 得 ら れ る こ と を 示 す . ���� � ��������� � �����, ������ � ����� ����� � ����������� � �������, � ��� ����� ��� �� ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ����� � ��������� � �����, � ��� ��� ��� �� ����� � ��������� � �����, ���� ��� ��� �� す る と ���� ���� � ��������� � ����� ������� � ������ ����� ��� � ������ ����� � � ����������� � � ������������ ��� � ������ ����� �
� ������� ��������� � ������� ��������� � ����� ������� ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ � ������ ����� � � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � � ��������� � � ������� ���� � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � � � ���� ����� ������ ����� � � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � � ��������� � � ���� ���� � ������ ����� � � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � � ����� � � ���� ����� ������ ����� � � ������ ����� � � ⋯ � ������ ������� ��� � ������ ����� � な の で , 両 辺 に ���� � ������� を か け る と ���� � ������������� ��������������� ��������������� ⋯ � ����� と な る . と こ ろ が���� � �������������� � �������������� � ⋯ � ����� の 次 数 は す べ て���� � ������� の 次 数 よ り も 小 さ い の で����� � � で な け れ ば な ら な い . し た が っ て ���� ���� � ����� ���� � ����� ����� � ⋯ � ����� ����� が 得 ら れ る . (証 明 終 ) (定 理 3.3 の 証 明 の 補 足 ) 有 理 関 数 ���� �� � 1 �� � ��� ⋯ ⋯ ① に つ い て 考 え る . ����� �� � 1� � �� � �� を 実 行 す る こ と に よ り ① � ���� �� � 1 �� � ��� � ��� � ���� � �� � 17 �� � ��� � �� � � �� � ���� 17 �� � ���⋯ ⋯ ② と な る こ と が わ か る . さ ら に ,��� � �� � �� � �� を 実 行 す る こ と に よ り
の 形 に 表 さ れ る こ と が わ か る . 一 方 , 部 分 分 数 分 解 表 示 の 一 意 性 に つ い て 考 え る . 今 , 2通 り に 分 解 さ れ て �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � ⋯ ⋯ � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � � � � � ��� �� � ����� � � ⋯ � �� � ����� � � ⋯ ⋯ � � � � � ��� �� � ����� � � ⋯ � �� � ����� � と な っ た と 仮 定 す る . 両 辺 に�� � ��� を か け る と ���� � ������ �� � ������ ⋯ � ��� ⋯ ⋯ � �� �� � �� � � � � � ⋯ � ���� � ��� �� � ��� � ����� � ������ ����� � ������ ⋯ � ���� ⋯ ⋯ � �� � �� � ��� � � � � ⋯ � ����� � ��� �� � ��� と な る . 両 辺 に� � � を 代 入 す る と ,��� ��� が得られる. 次 に , 両 辺 か ら �� ������ を 引 い た 式 �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� � ��������� � ⋯ ⋯ � � � � � �� �� � ���� � � ⋯ � �� � ���� � � � � � � ��� �� � ����� � � ⋯ � �� � ���������� � ⋯ ⋯ � � � � � ��� �� � ����� � � ⋯ � �� � ����� � に つ い て も 同 様 に , 両 辺 に�� � ����� を か け た も の に� � � を 代 入 す る と ,���� � ����� が得られる. 以 下 , こ の 操 作 を 繰 り 返 し 続 け て い く と �� � ���� ���� � ����� � ⋯ � ��� ���� ⋯ ⋯ � ��� ���� ����� ����� � ⋯ � ��� ��� が 得 ら れ る . し た が っ て , 部 分 分 数 分 解 の 表 示 が 一 意 的 で あ る こ と が 示 さ れ た . (証 明 終 ) 定 理 3.5 実 数 係 数 の 有 理 関 数 ���� ���� � ��� � � ��� �� に お い て , ���� � �� � ���⋯ �� � ��� ���� �� � ���⋯ ���� �� � ��� �� � ⋯ � � � � � � � ⋯ � � � ⋯ � � � � � ��� �� � � � ��� �� � �� と な っ て い る な ら ば ���� ���� � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � ⋯ ⋯ � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� ② � 2�� � 2� � 12 �� � 2�� � 17 �� � 2�� � 2 � � 2 � 12 �� � 2��� 17 �� � 2�� が 得 ら れ る . 例 題 1 定 理 3.3に お い て ,���� � �� � ��� (� は 定 数 )の 場 合 は ���� �� � ��� � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� ��� � �� � ⋯ � ��は 定 数� と な る 例 題 2 定 理 3.3に お い て ,���� � ���� �� � ��� (� � � は 定 数 )の 場 合 は ���� ���� �� � ��� � ��� � �� ��� �� � � � ��� � �� ���� �� � ��� � ⋯ � ��� � �� ���� �� � ��� (�� � ��� �� � ��� ⋯ � ��� �� は 定 数 ) と な る . 定 理 3.4 複 素 数 係 数 の 有 理 関 数 ���� ���� ���� � � ��� �� に お い て ,���� � �� � ���⋯ �� � ��� と な っ て い る な ら ば ���� ���� � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � ⋯ ⋯ � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� ���� ��� ⋯ � ��� ��� ��� ⋯ � ��は 定 数 � の 形 に 一 意 的 に 表 さ れ る . (証 明 ) 定 理 3.2よ り ���� ���� � ���� �� � ��� � ⋯ ⋯ � ���� �� � ��� ���� � � � � ⋯ � ��� � � �� と 表 さ れ る . さ ら に , 定 理 3.3よ り ���� ���� � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � ⋯ ⋯ � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ���
の 形 に 表 さ れ る こ と が わ か る . 一 方 , 部 分 分 数 分 解 表 示 の 一 意 性 に つ い て 考 え る . 今 , 2通 り に 分 解 さ れ て �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � ⋯ ⋯ � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � � � � � ��� �� � ����� � � ⋯ � �� � ����� � � ⋯ ⋯ � � � � � ��� �� � ����� � � ⋯ � �� � ����� � と な っ た と 仮 定 す る . 両 辺 に�� � ��� を か け る と ���� � ������ �� � ������ ⋯ � ��� ⋯ ⋯ � �� �� � �� � � � � � ⋯ � ���� � ��� �� � ��� � ����� � ������ ����� � ������ ⋯ � ���� ⋯ ⋯ � �� � �� � ��� � � � � ⋯ � ����� � ��� �� � ��� と な る . 両 辺 に� � � を 代 入 す る と ,�� � ��� が得られる. 次 に , 両 辺 か ら �� ������ を 引 い た 式 �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� � ��������� � ⋯ ⋯ � � � � � �� �� � ���� � � ⋯ � �� � ���� � � � � � � ��� �� � ����� � � ⋯ � �� � ���������� � ⋯ ⋯ � � � � � ��� �� � ����� � � ⋯ � �� � ����� � に つ い て も 同 様 に , 両 辺 に�� � ����� を か け た も の に� � � を 代 入 す る と ,����� ����� が得られる. 以 下 , こ の 操 作 を 繰 り 返 し 続 け て い く と �� � ���� ���� � ����� � ⋯ � ��� ���� ⋯ ⋯ � �� � ���� ����� ����� � ⋯ � �� � ��� が 得 ら れ る . し た が っ て , 部 分 分 数 分 解 の 表 示 が 一 意 的 で あ る こ と が 示 さ れ た . (証 明 終 ) 定 理 3.5 実 数 係 数 の 有 理 関 数 ���� ���� � ��� � � ��� �� に お い て , ���� � �� � ���⋯ �� � ��� ���� �� � ���⋯ ���� �� � ��� �� � ⋯ � � � � � � � ⋯ � � � ⋯ � � � � � ��� �� � � � ��� �� � �� と な っ て い る な ら ば ���� ���� � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ��� � ⋯ ⋯ � �� � � � � �� �� � ��� � ⋯ � �� �� � ���
大学初年次における数学教材の提案(その 22)
~アダマールの不等式~
貴田 研司
*1A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol. 22
~ Hadamard Inequality ~
by
Kenshi KIDA
*1( received on Nov. 30, 2018 & accepted on Jan. 10, 2019 )
あらまし
行 列式 の絶 対値 の上 限に 関し て, アダ マー ルの 不等 式と 呼ば れる もの があ る .こ の論 文で はア ダマ ール の不 等 式を,正値エルミート行列を用いて詳細に証明することを目標とする.
Abstract
With respect to supremum of absolute values of determinants, we give the Hadamard inequality. The purpose of this paper is to present a full proof by means of positive-definite Hermitian matrices .
キーワード:正値エルミート行列,行列式,アダマールの不等式
Keywords: Positive-Definite Hermitian Matrix , Determinant ,Hadamard Inequality
1. は じ め に 線 形 代 数 で 学 ぶ 行 列 式 に つ い て は 様 々 な こ と が 知 ら れ て い る . 行 列 式 の 絶 対 値 の 上 限 に つ い て の , ア ダ マ ー ル の 不 等 式 と 呼 ば れ る 次 の 定 理 が あ る . 定 理 (ア ダ マ ー ル の 不 等 式 ) � 次 行 列 � � ��� � ��� ⋯ ⋯ � �� � (た だ し ,�� を
�
の 第� 列 と す る ) に 対 し て abs|�| ≦ ‖��‖‖��‖ ⋯ ⋯ ‖��‖ が 成 り 立 つ . こ れ に つ い て い く つ か の 証 明 方 法 が 知 ら れ て い る が ,エ ル ミ ー ト 形 式 を 用 い た 証 明 を 与 え る こ と と す る1 ) 2)3 ) 4)5 ). 今 ,複 素 数 を 成 分 と す る� 次行列� の 転 置 共 役 行 列 を�∗ と 表 す こ と に す る .�∗� � を 満 た す も の を エ ル ミ ー ト 行 列 と い い ,�∗� � �� を 満 た す も の を ユ ニ タ リ ー 行 列 と い う . こ れ ら に つ い て 以 下 の 3 つ の 定 理 が 成 り 立 つ こ と が 知 ら れ て い る . *1 高 輪 教 養 教 育 セ ン タ ー 准 教 授Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus, Associate Professor � � ���� �� � � � � �� � �� ��� �� �� � ���� � �� � � � � � � ���� �� � � � � �� � �� ��� ��� �� � ��� � �� � � ��� ��� � � ��� � � ��� ��� � ��� ��� ��� � ��� ��� � � ��� ��� � ��� ��� � � の 形 に 表 さ れ る . (証 明 ) 定 理 3.2よ り ���� ���� � ���� �� � ��� � � � � ���� �� � ��� � ���� ���� �� � ��� � � � � ���� ���� �� � ��� ���� � � � � � � ��� � � �� ��� � � ��� � � ��� � � ��� と 表 さ れ る . さ ら に 定 理 3.3よ り ���� ���� � �� � � � � �� �� � ��� � � � �� �� � ��� � � � � �� � � � � �� �� � ��� � � � �� �� � ��� � � ���� �� � � � � �� � �� ��� �� �� � ���� � �� � � � � � � ���� �� � � � � �� � �� ��� ��� �� � ��� � �� � � ��� ��� � � ��� � � ��� ��� � ��� ��� ��� � ��� ��� � � ��� ��� � ��� ��� � � の 形 に 表 さ れ る こ と が わ か る . (証 明 終 ) 参 考 文 献 1) 瀧 澤 精 二 「 最 新 代 数 学 と 幾 何 学 」 廣 川 書 店 , 1964 2) 洪 姙 植 「 応 用 複 素 関 数 」 共 立 出 版 , 1972
3) Lars V. Ahlfors「 complex analysis third edition」 McGraw-Hill International Company, 1979 4) 竹 内 端 三 「 函 数 論 < 新 版 > 」 裳 華 房 , 1966 5) 能 代 清 「 初 等 函 数 論 」 培 風 館 , 1954 6) 栗 田 稔 「 新 訂 版 基 礎 教 養 代 数 と 幾 何 」 学 術 図 書 , 1976 7) 淡 中 忠 郎 「 代 数 学 」 朝 倉 書 店 , 1960 8) 三 村 征 雄 「 微 分 積 分 I」 岩 波 全 書 , 1970 9) 松 尾 吉 知 , 川 端 逸 典 , 宮 原 靖 共 著 「 微 分 積 分 学 」 昭 晃 堂 , 1974 10) 立 花 俊 一 , 勝 野 恵 子 , 高 野 優 , 田 川 正 賢 , 成 田 清 正 著 「 エ ク サ サ イ ズ 複 素 関 数 」 共 立 出 版 , 1999 11) 立 花 俊 一 , 成 田 清 正 著 「 エ ク サ サ イ ズ 偏 微 分 ・ 重 積 分 」 共 立 出 版 , 1993 12) 楠 田 信 , 平 居 孝 之 , 福 田 亮 治 著 「 使 え る 数 学 フ ー リ エ ・ ラ プ ラ ス 変 換 」 共 立 出 版 , 1997