或る種の関数方程式について（第：3報）
中 田
道 孝
本報では／（X十y）＝＝ f（．X）十／（夕）十Xyなる関数方程式 の解を求めて見よう。
f（ lx） 一一 f（x） 一一 1f（x）十 Ox2
∫（2x）一f（x＋x）一f（x）＋／（x）＋x2−2／（x）＋lx2 ノ「（3x）謂f（2x十x）＝＝f（2x）十ノてx）十2x2＝3〆『（x）十3x2 そうして一般に任意、の自然数nに対して
f（nx）一・nf（・）・牲一階な・・とは数理帰納法で
証明される。
／（0）一／（0十〇）一∫（0）＋∫（0）十〇2より／（0）＝＝＝ O
即ちf（ox）一・／ω＋0烽P）x2
又O一・f（0）一f｛x十（一x）｝一／（x）十f（一x）一x2より f（一X）一一f（x）十x2
さて一般にf（一nx）＝＝ 一f（ηκ）十n2x2＝一nf（x）
一蹴一1）x・ ＋n2x2
一一nf（・）・＝n（ヂー1）x2が云
えるから，
m（m−1）x2 任意の整数魏に対して，fてmx）一m／（X）＋
2 となる。
・綱＋恢U一1）♂イ（鱗）イ（考め 一・f（号の＋n（㌻1）等ノ
一一・nf（m 7． X）＋M2（缶ユ）xz
・・て・∫（饗）・＝＝m／ω・｛選一1）一竺劉ノ
＝mf（x）＋2Z！Y（：：x212−M−n）x2
m ，n 誓傷一1）
． ．f（i Fx）一＝i f（x）＋一LL UE一一L ．2
これより任意の有理tw rに対して
f（r・）一・・rf（・）＋「（7評瑚な・．
iAl連続関数である解を求めることfi
αが無理数のとき，αに収束する有理数列振｝をとれ
ば，f・・。X）一砿・）・． ｨ一1）厩から，・（纏連，
続性を仮定すれば
／（・槻聡撫か胤｛r・・f（x）・幣一1）x2｝
一＝af（x）＋AI（Ell一！tLct−1）x2
よって任意の実数aに対して
f（ a（a−1ax） 一＝ af（x） ＋ 2）x2
−i．N， r．一 ．．v． ruN， a（a−1）
×12 プ（a）＝ノ（ax⊥）一・axノ〈〇十
2
＝． 一zL2 ＋｛f（i）一g｝．
プ（・）一告イ・おけば／ω一端。・とな・．
X2 よってf（め＝2
÷Cxが求める解となる。
国連続関数でない解を求めること。
例によって有理基底Eをとる。（この方法については，
津山工専紀要Vo1．1， No．3「或る種の関数方程式につい て」参照）。
E∋yαに対してf（α）＝一 Pを全く勝手に選ぶ。
但しEの少なく共，二つの元α。，α。 に対して
撃≒卓・な・様に…・．
そうして，任意の実数X・＝r、α、＋r、α，＋……＋r・。an VC対 して，
・（・・、茎1砕与・・都定義す・。
このとき他のy＝・S1α、＋S、α、＋……＋Snα・nに対して，
／（・）、亀・・（β寄）イで
f（x＋・）煮（・什・の（β・一穿・・（彗ツ）2
一｛暫・（ at2×3t− 2）・誓｝
・｛ttt、S・（β・一与・・妾｝切
＝・f（x）十f（ツ）十xンで解となる。
この様にして求めたf（X）が連続と仮定すれば，絵』によ
・，綱一争。・とな・，鋸争。偽，鮭写・
Ccro
一73一
津山高専紀要（第2巻 第1号）
よって
る。
角与醒写
ao aol 一一bとなり．仮定に反す
よってf（X）は絶対に連続にはならない。
参 考 文 献 中田道孝「或る種の関数方程式について」
津山工専紀要Vol．1， N（）t 3．
（昭和43年10月1日提出）
一74一
