インバータ駆動かご形誘導電動機のトルク解析

インバータ駆動かご形誘導電動機のトルク解析

山 田 英 二 * ・ 中 村 修 一 * *

A n a l y s i s  o f   T o r q u e  f o r  S q u i r r e l ‑ C a g e  l n d u c t i o n  M o t o r  F e d  b y  l n v e r t e r  

by 

E i j i   YAMADA 

(Department o f  E

e c t r o n i c s )  

S h u i c h i  NAKAMURA 

( D e p a r t m e n t  o f  E l e c t r i c a l  E n g i n e e r i n g )  

R e c e n t l y   a t h y r i s t o r   i n v e r t e r   i s   used  f o r   i n d u c t i o n   motor  d r i v e   b e c a u s e   o f   i t s   c o n t r o l l a b i l i t y   and  economy.  However  i t s   advent  c a u s e s  a few p r o b l e m s :   r i p p l e s  o f   t o r q u e ，  a n g u l a r   v e l o c i t y   and  mechanical  r e s o n a n c e   due  t o   harmonics  o f   i n v e r t e r   o u t p u t .   Then t o r q u e s  a r e  a n a l y z e d  by means o f   t h e  s p a c e  v e c t o r  t h a t  i s   produced by  d‑q  component  o f   s q u i r r e l ‑ c a g e   i n d u c t i o n   motor  f e d   by  c u r r e n t   o r   v o l t a g e ‑ t y p e   I n v e r t e r .   B e s i d e s ，  P W M  p a t t e r n s   t h a t   have been u s e d  o r  c o n s i d e r e d  a r e  c l a s s i f i e d   on  t h e  b a s i s  o f  t h e  s p a c e  v e c t o r  and t h o s e  c h a r a c t e r i s t i c s  a r e   i n d i c a t e d .  

1 .  

近年，誘導電動機駆動用電源として，経済的に安価 で，制御が容易である乙とから，各種のサイリスタイ ンパータが用いられているが，その一方では，インバ ータ出力に発生する高調波により，誘導電動機のトノレ ク脈動，回転むら等の問題が生じている.とのため，

インバータ駆動時の誘導電動機トノレクを評価し，その 脈動低減を検討する必要がある.乙れに関してはすで にいくつかの報告がなされているが1)

2 )

インバータの型を限定してトルク式を求めているため，

他のタイプのインバータへ拡張して適用することが困 難であったり，あるいは状態推移法lとより定量的にト ノレク波形とその特性を算出しているため，定性的な検 討が行えないなどの欠点があるように思われる.

そこで本文では，従来，正弦波駆動時のひとつの解 析法

3 )

1 0

1

*電子工学科 料 電 気 工 学 科

d‑q

PWM

4 ) 5

PWM

PWM

なお，解析に際して以下のことを仮定する.

(1)  漏れインダクタンス分は零である.

(2)  固定子巻線と回転子巻線は互いに密結合してい る

(3)  電圧，電流，回路インピーダンスは三相平衡し ている

また，文中で使用する諸量を以下のように定義する

R ，   l R 2 ;

30 インバータ駆動かご形誘導電動機のトルク解析 11，12；固定子及び回転子のインダクタンス分

L1，五2；d−q変換後の固定子及び回転子のインダ   クタンス分

．M；d−q変換後の相互インダクタンス

ρ ；誘導電動機の極対数

ω・ ；電源角速度 ω・ ；機械角速度

S； すべり

ゐ＝L、／ハ4＝ψL2

β1 ＝ R1／L1，

c ＝ β1＋β2，

      れ

81（の＝Σ

    名需1    2ηz

．Rエ＝ Σ

ρ、＿警（＿1）・一1醒

        π

P＝♂／4 T；2π／吻

β＝β2＝R2／L2 σ一β、（β2一かω・）／c

（一1）乞一1麗（ 一τ盛）0≦τ1，τ2㎜≦T

（一1）乞一1θβ・乞θ一加・・盛

       2η乙一1

8皿（ ）＝z6（ ） 十（θゴ3 −1）Σ（一1）乞一1π（ 一τの

       乞＝1

0＜τ1，τ2窩＿1≦T

     π    2η乙一1

．R五＝1＋＠3−1）Σ（一1）乞一1θβ・惚一ゴP・・％

         乞＝1      π    2隅一1

9皿＝1＋（θゴ3−1）Σ（一1）蛋一1θστ乞          ブ＝1

2．．

 望  詩  署  男

 8

 宅

∂）

空間ベクトルによるトルク解析

a

        R書

       ●         21

     ■       9

        ■  C

と，次の電圧方程式が得られる6）．

り己s

のαs

O 0

R1十LIP

 O

㎜

一ρωrM

 0   ㎜

R1十LIP  O ρ妨M

㎜

0

㎜

R2＋五2Pρω。L2 一ρω。L2R2＋L2P

ゴds

ゴαs

ゼdγ

fαγ

（1）

 ここで，ρωγ＝（1−8）ωs

上の4，g成分より，以下に示すような空間ベクトル を構成する．        0

（2）式の関係式を用いて（1）式を整理すると次式が得られ

る．

評 ^R1÷LIP

ハ4（P一ゴρω。）

鯉

R2＋L2（P一ノρω。）

〔；；：

（3）

㈲式について電圧型の場合にはりp，が，あるいは電流

ることによりかご形誘導電動機の駆動特性が得られる．

STATOR

R2

ρ

RO

FOR

L，

勾＝の

M！2

jM

M！瘡

1流

@    Re

c） 一M

M

M！3

一JM

嵐

L2 ノ

b）

Fig．1 Equivalent circuits of squirrel−cage     induction motor

    a） under three phase theory     b） under two axis theory

 第1図に示すようなかご形誘導電動機において，固

Fig．2 1nverter output waveforms and their     space vector

 第2図には，一般的なインバータ出力波形の一一分

に示すように電源周期の1／6で，π／3ずつステップ状

とし，さらに電源周期の1／6で，π／3ずつステップ変 化する関数をψで置くと，〃2p、は次式で表わせる．

 〃2ps（の＝1レZ診ゴρ      （4）

 ゆえに，第2図のいずれの波形を用いても誘導電動

機の駆動特性は変わらな炉．これまでのことから駆動

特性を検討する際に，インバータ出力波形そのものを

用いるよりも，むしろその波形によって作られる空間

ベクトルを用いる方が適切であることがわかる．

 以下には，第2図に示された空間ベクトルによって 得られる駆動特性を求めている．

（a）電流型インバータ

 （4）式は電流型インバータでは，嘱＝琵⑳として適用 できる．ここで1は定数，pはπ／3ずつステップ状 に増加する関数である．いまpが一定である区間

（0，T）において③式をラプラス変換すると，砺（∫）

は

  玩（・）一β＋（誌餅）｛た（・一加）÷…

     一ゐら・（・一）一砺（・一）｝   （5）

となり，さらに逆変換すると

砺（の一β睾｛七一β・一・・幽・｝

        η＝一DQ

そのフーリエ係数は働，㈹式となる．

    一ゐ12

    ．  β（1一θゴ窓）（θ一β7θ一ゴ欝7−1）・

・〔伽

6π（ω7）＝

T（β＋加，）（1一θブ蚕θ一β7ザゴP・・7）

ゐβ12（1一θ」§）（θ一β7θ一一ゴP・・7−1）

〕（12

     ＋｛蛎、（0一）＋ゴP，（0一）｝θ一μθブP・・   （6）

となる，定常時では，初期値を砺α），吻（の，Up・（の

の周期性により，以下のようにできる．

雛三膨1｝ ㎝

（7）式の関係を⑥式に代入すると初期値が求まる．

         娩勉一ブ§

  砂（0一）＝

        1一θ一ゴ1ザβ7θブP・・7

      ・〔β一幅｛三一β …騨｝

      ＋・一・§げ・騨〕  （8）

（8）式を再び⑥式に代入すると      た1診ゴψ

妙（の＝β一加，

    ・〔加一β（1。一・一ゴ§）。一・，・，・，・        1一θ一フ3θ『β7θブPωγ7▼〕（9）

となる．トルクτθは次式で求まる．

・，一2躍諏（ら，（の・勝（の）    （1① ここでら，α）・勝α）はψが一定な期間で決定されて「

いるが，それはρには依存していない．このことは，

トルク波形が周期丁の周期関数であることを意味す

る．

 ところで，トルク脈動の一般的な評価基準が確立さ れていない現状では， トルクスペクトラムを調べる ことによって評価する方が適切と思われる．トルク

は直流分と角周波数ω7の高調波分とからなる．いま ら、①・燐（のを次式のフーリエ級数に展開すると

      T（β＋加・）｛β＋ブ（ρω・＋ηω7）｝ ㈲

      ・（1一θ壕θ一β7θ一ゴP・・7）

トルクのフーリエ係数は次式より求まる．

6・一 早i・・一・♂）     αの 一撃｛砺（ωの一・秀（一ω・）｝ α5）

（b）電圧型インバータ

 （4）式は電圧型インバータでは，⑳ps＝三三として適

〔型

L1ハ4

ML2

〔

ら8（0一）

ら。（0一）

忽：：：：〕

（16）

となり，これをち，（3），砺（∫）について整理すると次 式のようになる．

ち、（3）

玩（∫）

 1

『4

十

R2＋L2（∫一ノρω，）一∫IM 一（∫一ノρω，）ルf R1＋∫五1

LIM ML2

ゴP8（0一）

娠（0一）

｝

｛ 7知、（∫）

 0

（1の

    ∠＝（五、Z 、一．M2）∫2＋｛R、L2＋R2L、

     一かω・（LIL2−M2）｝∫＋R、（R2一かω。五2）

固定子巻線と回転子巻線が密結合している場合を考え ると，LIL2−1142＝0となるから，㈲式は次式のよう

になる．

ち、（∫）

砺（∫）

一叢鷺；㌦の〕

・〔

  碗プρ／（弧）＋｛たら、（0一）＋吻（0一）｝

    砲P・（0一）＋肋（0一）｝／た

α81

32

㈹式を逆変換すると

 ゴP8（の

    ＿■

    一。

         7

 勉（ ）

インバータ駆動かご形誘導電動機のトルク解析

〔一π・蝋β・一加）隔・一）

〔「盲・糾（β・＋加・）脚・一）

悔（・一）｝〕学一孟1留（勧㊥）（・一り

煽（・一）｝〕・一L孟・・伽（・一・一り

     一捌ll）（β2一ノφω・・）＠§一，吻

⑳式を㈲式に代入すると，嘱（の，ら・（のは

痂（の Pグ．1｛・＋㈲轟・｝学

    ＝砺θゴρ

砺（の  ｛一・＋㈲（ll圭濫）

となる．初；期値の決定には，（7拭が適用できる．

  蛎、（0一）＋ゴP，（0一）

      7．     θ一・7−1

qg

⑳

  」・譜侮（・一・一り

       （21）

  ×鐸論｝・一撃（・一〆）

となる．上式のfp・α），勧①をα①式に代入して，ト ルクは求まる．ところで，回転子側磁束鎖底数吻α）

は

 留〆の・＝五2勉ω＋翅Pε（ ）

       ズ

    一ゐ（碗ゴρβ2一ノρω・）㈲｛叢誌一・｝（22

として求まるので，トルクは次式でも求まる．

・，一2ρゐ伽（ゴ。、（の・ρ労，（の）     ㈱

電流型の場合と同様に，躯（の・ψp，（のを⑪式に示す フーリエ級数に展開すると，その係数は

・・一

噤i    72

・（2＋爵沼）（1一・一・β・β・7ノ・）＋（・＋爵）T

4（・÷留）（・一・吻

一÷（2＋彩）（・一・一・）〕 _伽）

碗（ωr）一丁（角＋濁）c齪㈲

・〔2β1β、／ぎ準ブ。ω。（2＋舞）（・一・一・・）

一二ω。（・＋爵）（・一・一）

一（2＋卸σ十ノηω7）・判   ⑳

      θゴ§一1

ここで∠1＝

      θブ§一θ一・7

トルクのフーリエ係数は働，㈲式により求まる．

5．PWMの分類

 固定子側の空間ベクトル晦、は，（4）式において！風p ともに実時間関数と見れば，（4）式に一般性を持たせる ことができ，PWM時にも取り扱うことができる．

トルクの周期性から，これまでψが一定であった期

間における物、の動作パターンを調べることにより，

PWMの分類が行える．現在検討されているPWM

を交互にスイッチングする関数であるから，以下の3

 i）Mのみが変化する場合

 ii）ψのみが変化する場合

∂』皿コエ皿一π皿丁皿「

わロ［［丁一』エ〕＝皿L一顧

eLr−［＝㎜＝「一』皿コ

Fig．3An example of PWM（i）waveform

M

0 τ 論証？；篭   鰯㌦イ篠τ

Fig．4Switching pattern of M for general

i） この場合の一例として，第3図にインバータ出力

第4図に示すように0，．Mの間をスイッチする関数と

     2祝

  M＝妬Σ（一1）詞πα一τの      侶の      哲＝1

㈱式を用いて前節と同様に（0，T）期間で伽α），

勉α）が求まり，さらに㈹式，あるいは圏式よりトル

（a）電流型インバータ

 ∫P、（オ）＝為θブψ・81（の

∫ （ ）一β鵠〔加8・（の  （2の

     β｛1一8・（T）ザゴ葺｝θ一β θゴ獅右R・〕

       2肌一1

ら8（の＝Iexp｛ノ〜ρo十ゴπ／3・ Σ （一1）乞一1z4α一τの｝

＝泥ゴ甲。・S豆（の

宙二1

       1一θ一ゴ3θ一β7θブρωγ7

（b）電圧型インバータ

網一口  llρエ1右￡拳（T）｝・イ

    β2一ノρω。

      σ

   ＋雛＋加ρ1詰￡拳（T）

       28）

      〔｛9・＋㈲一

       ｛ε・ω一ρ・ザ相

   （）（再加）   ｝・冠

  」学｛8・（ ）一ρ・・一眼 卿一た（巧θゴρ

   ・｛9エθゴ琶一8、（T  θゴ窓一θ一・7）・一畠（ ）｝

a皿［コ皿U㎞エコロ皿

c皿h皿一コ皿rヂ皿工＝

Fig．5An example of PWM（ii）waveform

    、一ザ、萎，毒筆R・〕

（b） 電圧型インバータ

砺（の一絵〔｛9・＋㈲弩葦1≒1｝・覗

   一βlr弊｛8五（の一9皿θ一σε｝〕

砂（の一號〔｛一ρ・

    （雛＋加）舞『舞｝・一・

砺（の一β細細〔加8・（ ）

   β（1一θ一ゴ奮）θ一β θゴ岬

＋頁β，一加。

 ∫ρω。

一  σ

｛3・（∫）一ρ・・一疋｝〕

卿）一躍餅）㈲｛罪1斗一

   一3・（の｝

（3①

蝿

倒10 Fig．6

一一

勿 姦 有 轟鯵

      脇．2福ヅτ

PWM（ii）waveform

（ii） この場合の一例として，第5図にインバータ出 力波形を示す．（ii）の場合の空間ベクトル物、のψ は，第6図に示すように期間（0，T）でρo，ρo＋π／3

       2㎜一1

 ￠＝ρ。＋π／3・Σ（一1）乞一1麗（ 一τ乞）    ⑳        乞；1

（a）電流型インバータ

61）

（iii） この場合は最も広く使用されており，その波形

の一例としてキャリアに三角波を，信号に正弦波を用

は㈱式四式を満足する空間ベクトル晦，を用いて，

これまでと同様にして解くことができる。たとえば上 にあげたように，キャリアに振幅E。の三角波，信号

力波形の一三分初α）は振幅比をα＝Es／E。とおく

と，次式で表わされることが知られている7）．

煎）／M一・一＋愚（4ηπ） ／

       舩

     ・報誓）佃一一・｝〕一一1

上式においてω，，ω。は信号およびキャリアの角周波 数である．圃式のラプラス変換をM（∫）とし，さら に三相間が対称であるとすると，それによって作られ る空間ベクトル〃躯（ののラプラス変換砺s（∫）は          1十θ一sT8

 輪・（∫）＝M（∫）1＿θ一・7・／3θブ2・／3     （認）

       T、；電源周期

 （i），（ii）の一連の式と⑨，⑳式との比較で明らかな

ように，⑨，⑳式の一部の定数を上で定義したスイッ

チング関数81α），8皿α）や，定数RI， R∬および

34 インバータ駆動かご形誘導電動機のトルク解析

であることがわかる．

4．あとがき

 現在，インバータ駆動時における誘導電動機のトル ク等の解析にはさまざまな手法が適用されているが，

今回は誘導電動機の入出力波形から得られる空間ベク トルを用いて解析を行った．この方法は以下に示す利

 （1｝電流・電圧型を問わず，インバータで駆動され   る誘導電動機の駆動特性を解析するのに広く適用

 （2）トルク式およびそのスペクトラムは多少複雑な   形ではあるが，収束計算を行なう場合に比べて演

 （3）トルクは誘導電動機の入力ベクトルによって規   定されているので駆動特性を検討する際に，この

  入カベクトルはインバータ出力波形分類上の適切

 今後は与えられた式に基づいて，トルク脈動低減の ための入力ベクトルのパターン，あるいはインバータ 出力波形を検討する予定である．

        参 考 文 献

1）金，富田：電論誌VOL．97−B， NO．12（昭和52

2）松井，他：電論誌VOL．99−B， NO．2（昭和54

 年）

3） Swarn S． Kalsi：IEEE Trans． on PAS VOL．

 92NO．4（1973年）

4）片岡，小玉：電力応用研究会資料（昭和54年）

5） 岡田，伊藤，野中：九大工学集報VOL．45 NO．

 4（昭和47年）

6）電気学会：電気工学ハンドブック（昭和53年）

7）宮入：電論誌VOL ．95−B， NO．2（昭和50年）