例24.13 φ(t) =t,ψ(t) =a3
2 t2 (a >0)の場合 φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =t−a3t(1 + (a3t)2)
a3 =−a6t3 ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =a3
2 t2+1 + (a3t)2 a3 = 3a3
2 t2+ 1 a3 より,
x=−a6t3 y= 3a23t2+a13
が放物線y=a3
2x2の縮閉線のパラメータ表示である. t=−x13
a2 だから,縮閉線はxの関数 y =3x23
2a + 1
a3 のグラフである.
放物線y = a3
2 x2 と曲線y= 3x23 2a + 1
a3 との交点のx座標を求める. a3
2x2= 3x23 2a + 1
a3 とおき, 両辺に2a3 をか けて, 右辺を左辺に移項すればa6x2−3a2x23 −2 = 0 が得られる. この左辺は
a2x23 −2
a2x23 + 1 2
に等しいが, x は実数だから, a2x23 + 1>0 となるため, 求める交点のx座標はx=±2√
2
a3 である. −2√ 2
a3 ≦x≦ 2√ 2 a3 ならば a3
2 x2≦ 3x23 2a + 1
a3 だから,放物線y= a3
2 x2 と曲線y= 3x23 2a + 1
a3 で囲まれた部分の面積は次で与えられる. Z 2√2
a3
−2a√32
3x23 2a + 1
a3 −a3 2 x2
! dx=
"
9x53 10a + x
a3 −a3 6x3
#2√2
a3
−2a√32
=88√ 2 15a6 例24.14 φ(t) =acost,ψ(t) =bsint (a > b >0)の場合
φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =acost−cost(a2sin2t+b2cos2t)
a = a2−b2
a cos3t ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =bsint−sint(a2sin2t+b2cos2t)
b =−a2−b2 b sin3t より,
x= a2−ab2cos3t y=−a2−bb2sin3t
が楕円 x2 a2+y2
b2 = 1の縮閉線のパラメータ表示である. この曲線は,方程式 ax
a2−b2 23
+ by
a2−b2 23
= 1で表される閉曲線で,x軸とy軸に関して対称である. 例24.15 φ(t) = a(et+e−t)
2 =acosht,ψ(t) = b(et−e−t)
2 =bsinht(a, b >0)の場合 φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =acosht+cosht((a2+b2) cosh2t−a2)
a =a2+b2
a cosh3t ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =bsinht−sinht((a2+b2) sinh2t+b2)
b =−a2+b2
b sinh3t より,
x= a2+ba 2cosh3t y=−a2+bb 2sinh3t
が双曲線 x2 a2 − y2
b2 = 1 のx座標が正である部分の縮閉線のパラメータ表示である. cosh2t−sinh2t= 1を用いて,上のパラメータ表示からtを消去して得られる方程式
ax a2+b2
23
− by
a2+b2 23
= 1 は双曲線 x2
a2 − y2
b2 = 1 全体の縮閉線の方程式である. a > b ならば 双曲線 x2 a2 −y2
b2 = 1 とその縮閉線は 4点 ±a2
q (a2+2b2)3
(a2+b2)(a2−b2)3,±b2
q (2a2+b2)3 (a2+b2)(a2−b2)3
(複号任意)で交わり,a≦b ならば,これらの曲線は交わらない. 例24.16 φ(t) =at−bsint,ψ(t) =a−bcost の場合
φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =at−bsint+sint(a2+b2−2abcost)
b−acost =at+asint(a−bcost) b−acost ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =a−bcost−(a−bcost)(a2+b2−2abcost)
b(b−acost) =−a(a−bcost)2 b(b−acost) より,
x=at+asinb−t(aa−cosbcost t) y=−a(ab(b−−bacoscost)t)2
が与えられたトコロイドの縮閉線のパラメータ表示である. とくに b=a ならば
x=a(t+ sint) y=−a(1−cost)
がサイクロイド
x=a(t−sint) y=a(1−cost)
の縮閉線のパラメータ表示である. この曲線はもとのサイク ロイドをx軸方向にπ,y軸方向に−2だけ平行移動して得られる曲線に一致する.
例24.17 φ(t) = (a+b) cost−bcos a+b
b t
,ψ(t) = (a+b) sint−bsin a+b
b t
の場合
φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) = a a+ 2b
(a+b) cost+bcos a+b
b t
ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) = a a+ 2b
(a+b) sint+bsin a+b
b t
より,
x=a+2ba (a+b) cost+bcos a+bb t
y= a+2ba (a+b) sint+bsin a+bb t が半径aの円に半径bの円を外接させながら転がして得られる外サ イクロイドの縮閉線のパラメータ表示である.
a a+ 2b
cos πba
−sin πba sin πba
cos πba
(a+b) cost−bcos a+bb t (a+b) sint−bsin a+bb t
= a
a+2b (a+b) cos t+πba
−bcos a+bb t+πba
a
a+2b (a+b) sin t+πba
−bsin a+bb t+πba
= a
a+2b (a+b) cos t+πba
−bcos a+bb t+πba
−π
a
a+2b (a+b) sin t+πba
−bsin a+bb t+πba
−π
= a
a+2b (a+b) cos t+πba
+bcos a+bb t+πba
a
a+2b (a+b) sin t+πba
+bsin a+bb t+πba だから,上記の縮閉線はもとの曲線を,原点を中心として πb
a だけ回転させ,さらに原点を中心に a
a+ 2b 倍に縮小した ものである.
例24.18 φ(t) = (a−b) cost+bcos a−b
b t
,ψ(t) = (a−b) sint−bsin a−b
b t
の場合;
φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) = a a−2b
(a−b) cost−bcos a−b
b t
ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) = a a−2b
(a−b) sint+bsin a−b
b t
より,
x=a−a2b (a−b) cost−bcos a−bbt
y= a−a2b (a−b) sint+bsin a−bbt が半径aの円に半径bの円を内接させながら転がして得られる内サ イクロイドの縮閉線のパラメータ表示である.
a a−2b
cos πba
−sin πba sin πba
cos πba
(a−b) cost+bcos a−bbt (a−b) sint−bsin a−bbt
= a
a−2b (a−b) cos t+πba
+bcos a−bbt−πba
a
a−2b (a−b) sin t+πba
−bsin a−bbt−πba
= a
a−2b (a−b) cos t+πba
+bcos a−bb t+πba
−π
a
a−2b (a−b) sin t+πba
−bsin a−bb t+πba
−π
= a
a−2b (a−b) cos t+πba
−bcos a−bb t+πba
a
a−2b (a−b) sin t+πba
+bsin a−bb t+πba だから,上記の縮閉線はもとの曲線を,原点を中心として πb
a だけ回転させ,さらに原点を中心に a
a−2b 倍に拡大した ものである.
例24.19 φ(t) = cost(acost+b),ψ(t) = sint(acost+b) (a >0)の場合 φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)= a(a2+b2+ 3abcost−abcos3t) 2a2+b2+ 3abcost ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)= a2bsin3t 2a2+b2+ 3abcost より,
x= a(a2+b2a2+3ab2+b2+3abcost−cosabtcos3t)
y= 2a2+ba22b+3abcossin3t t
がリマソンr =acost+b の縮閉線のパラメータ表示である. とくにb =a
ならば
x= a3(1 + cost)(2−cost) y=a3sint(1−cost)
がカージオイドr=a(1 + cost)の縮閉線のパラメータ表示である. この曲線
はもとのカージオイドを, 原点を中心に3分の1に縮小して,さらに点
a 3
0
!
を中心に180度回転したものである. 例24.20 φ(t) =a√
cos 2tcost,ψ(t) =a√
cos 2tsint の場合 φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) = 2acos3t 3√
cos 2t ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =−2asin3t 3√
cos 2t より,
x= 2acos3t
3√ cos 2t
y=−32a√sincos 2t3t (−π4 < t < π4)がレムニスケート (x2+y2)2=a2(x2−y2)のx座標が正の部分の縮閉線の パラメータ表示である.
例24.21 φ(t) = 3at
1 +t3,ψ(t) = 3at2
1 +t3 の場合 φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =3at3(3t(5−2t3+ 2t6) + (t3−2)3) 2(1 +t3)4
ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =3a(3t2(2−2t3+ 5t6)−(2t3−1)3) 2(1 +t3)4
より,
x= 3at3(3t(5−2(1+t2t3+2t3)64)+(t3−2)3) y=3a(3t2(2−2t2(1+t3+5t36))4−(2t3−1)3)
(t6=−1)が正葉線 x3−axy+y3= 0 の縮閉線のパラメータ表示である.
例24.22 φ(t) =t,ψ(t) =eat+e−at
2a の場合
φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =t−e2at−e−2at 4a ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) = eat+e−at a より,
x=t−e2at−4ae−2at y=eat+ea−at
が懸垂線 y=eax+e−ax
2a の縮閉線のパラメータ表示である. 例24.23 φ(t) =alog1 +t
1−t− 2at
1 +t2, ψ(t) = a(1−t2) 1 +t2 の場合 φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =alog1 +t 1−t ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =a(1−t2) 1 +t2 より,
x=alog1+t1−t y= a(1+t1−t22)
(|t|<1) すなわち懸垂線y =a
2 exa +e−xa
がトラクトリックスx=aloga±p a2−y2
y ∓
pa2−y2 (複号同順)の縮閉線のパラメータ表示である.
例24.24 φ(t) =asin2t,ψ(t) =asin3t
cost の場合;
φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2) φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)=−a
6tan2t(6 + tan2t) ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)= 4a 3 tant
より,
x=−a6tan2t(6 + tan2t) y=4a3 tant
がシッソイドy2=− x3
x−a の縮閉線のパラメータ表示である. 例24.25 φ(t) =t,ψ(t) = a3
t2+a (a >0)の場合 φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =4t3(t2+a2+a)(t4−(a2−2a)t2+a4−a3+a2) (t2+a)3(3t2−a)
ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =−t8+ 4at6+ 6a2t4−(2a6−4a3)t2+ 2a7+a4 2a3(t2+a)(3t2−a)
より,
x= 4t3(t2+a2+a)(t(t24+a)−(a32(3t−2a)t2−a)2+a4−a3+a2)
y=−t8+4at6+6a2a23t(t4−2+a)(3t(2a6−4a2−3a))t2+2a7+a4
がウィッチ(x2+a)y=a3の縮閉線のパラメータ表示である. 例24.26 φ(t) =a+bcost,ψ(t) =atant+bsintの場合
φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)=−a(a2+ 5abcos3t+ 3b2cos4t−3abcos5t−2b2cos6t) bcos3t(3acos2t+bcos3t−2a)
ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)=− asin3t(3a+ 2bcost) cost(3acos2t+bcos3t−2a)
より,
x=−a(a2+5abcosbcos33t+3bt(3a2coscos24t+bt−3abcoscos3t−52a)t−2b2cos6t)
y=−cost(3aasincos3t(3a+2b2t+bcoscos3tt)−2a)
がNicomedesのコンコイドb2x2 = (x−a)2(x2+y2)の 縮閉線のパラメータ表示である.
例24.27 φ(t) =eatcost,ψ(t) =eatsint (a >0) の場合
φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =−aeatsint ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =aeatcost
だから,
x=−aeatsint y=aeatcost
が対数螺線r=eatの縮閉線のパラメータ表示である. c=loga
a ,α= π
2 −loga
a とおけ
ば,eac=a,α+c= π
2 だから
cosα −sinα sinα cosα
ea(t+c)cos(t+c) ea(t+c)sin(t+c)
=
eaceatcos(t+α+c) eaceatsin(t+α+c)
=
−aeatsint aeatcost
が成り立つ. 従って,この曲線はもとの対数螺旋を原点の回りに π
2 −loga
a だけ回転させた曲線である. 例24.28 φ(t) =atαcost,ψ(t) =atαsintの場合
φ(t)− ψ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =aαtα−1(tcost−(t2+α2) sint) t2+α2+α
ψ(t) + φ′(t)(φ′(t)2+ψ′(t)2)
φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t) =aαtα−1((t2+α2) cost+tsint) t2+α2+α