3. 二変数関数と偏微分 3.1 二変数関数担当：市原

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解析学２

No.6 2006.12. 6

3. 二変数関数と偏微分 3.1 二変数関数

担当：市原

二変数関数

¶ ³

実数2個の組に対して,ただ1つの実数が決まる対応関係を二変数関数といい,例えば,変数x, y, zを用いて, z=f(x, y)などで書き表す.

µ ´

二変数関数のグラフ

¶ ³

二変数関数について, それを表す式z =f(x, y)を満たすような実数の組(x, y, z)が表す点の集合を,その関数のグラフという.

二変数関数のグラフは, (一般には)空間内の曲面になる. 与えられた2変数関数のグラフの概形を描くことは容易ではないが,たとえば,コンピュータを利用すると,次のように表すことができる.

(1)f(x, y) =xy(x²−y²)

x²+y² (2)g(x, y) = (x²+x³+y²)e⁻^x²⁻^y²

z = g (x , y ) z = f(x , y )

µ ´

¶ 等高線 ³

xy平面上で,座標(x, y)で表される地点の標高zが,関係式 z= 4−x²−y²で定まるとする.

たとえば, z= 0となる地点(x, y)では関係式x²+y²= 4 が満たされている. つまり,z= 0での等高線は「平面z= 0 上のx²+y²= 4で表わされる曲線」になる.

同様に計算してみると, いくつかのzの値については右のようになる.

z の値関係式

4 x²+y²= 0 3 x²+y²= 1 2 x²+y²= 2 1 x²+y²= 3 0 x²+y²= 4 この表から, (x, y)平面上で等高線は左下の図のようになることがわかる.

x

y

従って,右上の図が, 2変数関数z= 4−x²−y²のグラフの概形を表わしていることもわかる.

µ ´

例題7 地点(x, y)での高さzが,z=xyで定まる地形図の等高線を描きなさい.

7

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