ガウスの法則

ガウスの法則

1^st. 2016/05/09 L^st. 2021/10/25

1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000

電磁気学の偉人マップ

ヘルツ 1857-1894 (37)

マクスウェル 1831-1879 (48)

アンペール 1775-1836 (61) ビオ 1774-1862 (88)

クーロン 1736-1806 (70) キャベンディッシュ 1731-1810 (79)

ファラデー 1791-1867 (76) フレミング 1849-1945 (96)

フランクリン 1706-1790 (84)

ミリカン 1868-1953 (85)

エルステッド 1777-1851 (74) ガウス 1777-1855 (78)

ギルバート 1544-1603 (59)

ローレンツ 1853-1928 (75)

ヘンリー 1797-1878 (81)

サバール 1791-1841 (50) オーム 1789-1854 (65)

レンツ 1804-1865 (61) テスラ 1856-1943 (87)

キルヒホッフ 1824-1887 (63)

ボルタ 1745-1827 (82)

デュ・フェ 1698-1739 (41) 平賀源内 1728-1780 (52)

C S

E dl B ds

t

    

  

 

 



C S

H dl J D ds

t

  

     

 

 

  



SB ds 0

 ^{ }



SD ds Q 

 ^{ }



1.60217733 10 19[C]

e  ^

2.99792458 10 [m/s]8

c 

E IR C Q

V L I

 F I Bl  E v B  

2 0

1 ˆ

e 4

F Qqr

 r

  R l

S

 I dQ

 dt

0 2

ˆ 4

Idl r

dB r





 

 

( )

Fmq v B

ローレンツ力 素電荷

光速

クーロンの法則 ビオ-サバールの法則

アンペア-マクスウェルの法則

ファラデーの法則

ガウスの法則

フレミング左手則 フレミング右手則

オームの法則

ミクロの 観察/観測

マクロの 観察/観測

宗教・外交・貿易制限 （いわゆる鎖国）

1639 1854

どんな偉人も 先達の努力・

知恵・発見を 利用させても らっている

※知恵はバトンリレーのように繋がって行く・・・

トムソン 1856-1940 (84)

④ 保存場の性質

（q=+1 Cを閉じた曲 線上で移動させたと きの仕事は常にゼロ、

即ち電気版のエネル ギー保存法則）

CE dl 0

 ^{ }



① クーロンの法則

2 0

1 ˆ

4

E Q r

 r



2 0

1 ˆ

4

  Qq

F r

r

C ：閉曲線

③ 電位と電位差

（q=+1 Cを無限遠か ら移動させたときの 仕事、即ちクーロン の法則のエネルギー 版）

1C q

無限遠 電界に逆らって 無限遠からrへ移動

0

1 0

4 V Q

  



② 電界（q=+1 Cあた りのクーロンの法則）

閉曲線上で電界に 逆らって荷物を移動

ここまでの必須事項

Q

E r

Q q1C

3

ベクトルEの循環

異種には引力

E

Q q F r

Q F q

同種には斥力

E (1) r

(3) (2)

(4)

W rqE dl

  ^{ }

V rE dl

  ^{ } 0

1 4

Q

 r

 ^ds 

 E

4

点電荷Qを含む任意形状の閉じた面S（ガウス面と呼ぶ）を考える。そしてガウス面上 の位置rの微小面積dsにおいて、ベクトルEと微小面積ベクトルds（大きさdsで面に垂 直な外向き方向を有するベクトル）の内積を求める。物理学ではこれを流束と呼ぶ。

ガウス閉面上の流束

微小面積の法線nと 電界Eとのなす角度

大きさdsで面Sの外向き法線 方向を向いたベクトル

SE ds

  ^ ^

S: 表面積Sの閉じた面

（風船状のガウス閉面）

S上の微小 面積 ds

rˆ

E

Q r

拡大

2 0

4 ˆ

E Q r

 r

 

ds dsn  ˆ

E



r

Q

ds dsn ˆ cos

ds ds  ds

rˆ

nˆ

ds

cos ds ds 

E

ˆ cos

ˆ cos _n

E ds E dsn Eds Eds E ds E dsn E ds E ds





      



    



  

  

流束とは・・・面Sを垂直に貫くベクトル成分を面積分した量

dsを見込む 錘状の立体 投影面積

ガウス面S の一部

半径rの球面

単位法線 ベクトル

ds > ds’でも、dsとds’を通過する 流束は等しい。

流束とは？

SE ds

  ^ ^ ・・・ベクトルEの流束

(1) (2) 面積dsのE方向への投影面積

ベクトルEのds方向成分 θ：微小面積dsの法線nと電界Eと のなす角度

拡大

 

流束の代表的な例

【例題】 (1) 面積S[m²]の手のひらに対する太陽の流束を計算せよ。

ただし、手のひらの法線nと太陽光Pとのなす角度をθとする。

(2) 真夏と真冬における日本国土の流束の比率を求めよ。

夏の仰角θ = 90-(33-23.4) = 80.4° 冬の仰角θ = 90-(33+23.4) = 33.6°

夏と冬では流束が異なり、冬は夏の0.4倍程度

cos _n

SP ds SP ds

  ^S _ds^nˆ_dsnˆ

Sun

赤道

23.4°

23.4°

33°N 0°N

水平線

（南）

仰角 N

S

23.4°

33°N

0°N

水平線

（南）

仰角

N

S 太陽

日本

日本

赤道

23.4°

ˆ cos

SP d s SPdsn SPds 

  ^ ^ ^ 

【解答例 (1)】

【解答例 (2)】





P tˆ

 Pn

Pt

伊藤，図でわかる電磁気学，p.23, 講談社サイエンティフィク

平面角と立体角

7

L

L

L

L L

   r^

S

S

2

S S r

 

  

O O

S

x y

z x

y 1

r

1 r 任意の線分

単位円

半径rの円 r倍

任意の面

半径rの球 単位球

r²倍

L’: Lを半径ｒの円に投影した線分 L”: Lを半径1の円に投影した線分

S’: Sを半径rの球に投影した面積 S”: Sを半径1の球に投影した面積

平面角 [rad] 立体角 [Sr]

①【平面角度θ[rad] の定義】：任意の線分L [m]を単位円に射影したときの弧の長さL”

・・・半径r [m]の円に射影された弧の長さはL’= rL”= rθ

②【立体角Ω [Sr]の定義】：任意の面S[m²]を単位球に射影したときの球面上の面積S”

・・・半径r [m]の球に射影された面積はS’= r²S”= r²Ω

（即ち、半径r [m]の球面上の面積S’の立体角はΩ = S’/r²となるから、dΩ = dS’/r²）

 _

ステラジアンと読む

真空中のガウスの法則

8

S 0

E ds Q

  ^ ^ 

S: 表面積Sの閉じた面（風 船状のガウス閉面）が電荷 Qを内部に含むとき

rˆ Q

S: 表面積Sの閉じた面（風 船状のガウス閉面）が電荷 Qを内部に含まないとき

rˆ Q

SE ds 0

  ^ ^ 

流束Φは面を内から外に出るだけ 流束Φは面を内から外に出るだけ でなく、同量が外から内にも入る

① ②

2 2

cos ds ds

d r r



  

2 2

0 0

4 4

Q Q ds

E d s ds

r r

 

 

  

 

河本，身近に学ぶ電磁気学，p.8, 共立出版

4 0

E d s Q d

   

 

所で、点電荷Qからガウス面上の微小 面積dsを見込む立体角は定義より

①ガウス面S上のEとdsの内積（微小流 束）は

2 0

4 ˆ

E Q r

 r



であるから、式(3)は

0 0

4

S S

Q Q

E ds d

 

   

 ^{ } 

 

4

ガウスの法則（Sが電荷を含む場合）

E



r

ds dsn ˆ cos

ds ds 

投影面積ds ガウス面S の一部

半径rの球面 cos

E d s E ds Eds  ここで、ガウス面上の電界は

であるから、

式(5)を電荷Qを包むガウス閉面全体で 総和すると、立体角の総和になるので、

となる。即ち、流束は立体角に比例する。

(1) (2)

(5) (3)

(4)

(6) となる。

Q rˆ

dsを見込む 錘状の立体

ノート https://www.kusamalab.org/lecture/em1/B1_et2_1.pdf

ガウス面Sの一部

ガウスの法則（Sが電荷を含まない場合）

E2

 r

Q

d s cos ds ds 

ds

ˆ r

  / 2

d s E1

cos ds ds 

投影面積

ガウス面S

半径r₁の球面

半径r₂の球面 上側

下側 E 拡大

ˆ r r

S上の微小面積 ds

S: 表面積Sの閉じた面

（ガウス面）

②次に、ガウス面が点電荷Qを含まない任意形状の閉じた面Sの場合 を考える。点電荷Qが 微小面積dsを切り取る錐状の立体に着目するが、今度はガウス面の上側（電界が出てゆく 面）と下側（電界が 入ってゆく面）の微小面積をセットにして考える。dsは閉じた面Sに対して常 に外向きに取る約束があるので、下面ではEとdsのなす角度がθ>π/2となり、点電荷Qを中 心とした球面 r₁への射影面積がds’= ds cosθ < 0となる。

 

0

4 0

E d s E d s Q d d

        

   

上側 下側

電荷Qを含まないガウス面S全体で総和してもゼロとなることは明らか。

Q

S 0

E ds Q

 





^{ }

真空中のガウスの法則のまとめ

閉面内に含まれ る真電荷（分極 電荷除く）

閉面S上の 電界ベクトル 積分面Sが

閉じている ことを示す 記号

真空の誘電率 8.854x10^-12 表面積 内積記号

積分面を構成する 外向き微小面積ベ クトル

11

[V/m] × [m²] = [C] ÷ [F/m]

【ベクトル形】

0 S cos

E



ds Q







真空中のガウスの法則のまとめ

閉面内に含ま れる真電荷 閉面Sに垂直

な電界成分 積分面Sが

閉じている ことを示す 記号

真空の誘電率 8.854x10^-12 閉面Sと電界ベク

トルのなす角度 表面積

積分面を構成する 外向き微小面積

12

[V/m] × [m²] = [C] ÷ [F/m]

【スカラー形】

重ね合わせの原理

【ベクトル形】

S 0

E ds Q

  

 ^{ }



0

1

S i

i

E ds Q

   

 ^{ }



共通の積分面Sの場合 個別の積分面S_iの場合

E1

Q1

S Q2

Q3 E¹

Q1

S1

Q2

Q3 i 0

i S i

i

E ds Q



 

 

 

 

  ^{ }

P ^{3つの球の交点} S2

S3

Q

E ds

ds E

0

 0 Q

E ds



 ds

E

 0 ds

球対称のガウス閉面 任意形状のガウス閉面

ガウス閉面の形

ガウス閉面の形は閉じた風船型であれば任意形状でよいが、手計算をするには点 電荷を中心とした真球を考えるのが便利である。

表面積 S=? E 表面積 S=4πr²

2 0

1 4 E Q

 r



( 1, 2,3, , )

s ii n

  

s1

 s2

 s3

 



sn



_







15

S: 表面積Sの閉じた面

（風船状のガウス閉面） S上の微小面積 のイメージ

球形のガウス閉面と微小面積の例

( ) E r r

Q

z

x y

手計算で解けるガウス閉面の取り方

c ab

a bc z

x y

z

x y

z

x y

d

l r

a b

a b

r L

L





 

 

直方体 円筒 球

平板電極 円筒電極 球電極

16

z

x y

z

x y

4 2

S r

2 2 2

S  ab al bl S2rL2(2 )r

ds ds

ds

ガウスの法則の問題①

【例題】 半径a [m]の球の表面に電荷Q [C]が一様に分布しているときの電位を求め よ。（教科書 例題2.6）

【解答】半径aの球を包む半径r（r>a）のガ ウス閉面を考えると、ガウスの法則より

S 0

E ds Q

 

 ^{ }



0

ˆ ˆ

S

Er dsr Q

 





S 0

Eds Q







S 0

E ds Q







2 0

4 Q

E r



電界は常にr方向へ放射状に広がるので、

左辺のベクトルの内積を計算すると

Eは積分面S上で常に球対称で一定の 大きさであるから、積分には寄与しない。

面積分は半径rの球の表面積なので、

これをEについて 求めると

2

4 0

E Q

 r



球表面の電位は、無限遠を基準にして

2 0

4 ˆ

a a Q

V E dr r drr

 r

 

  ^ ^  ^

1 2

0 0

1

4 4

a a

Q Q

dr r

 r 



  

     

2

0 0

1 1

4 4

Q a Q

r dr a

 ^ 

   

ガウス

a 閉面

z

x y

r

4 2

S  r

＋

＋＋＋＋＋

＋ ＋

E

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7) この場合はrが無限遠の球面上に－Q [C] の電荷があると考えればよい。

ガウスの法則の問題②

【例題】 面積S [m²]、間隔d [m]の平行平板導体がある。平板Aに+Q [C]、平板Bに

−Q [C]を与えたとき、平板内外の電界と平板間の電位差を求めよ。（教科書、p.29）

【解答】 平板Aを包む直方体のガウス閉 面を考えるとガウスの法則より

S 0

E ds Q

 

 ^{ }



0

ˆ ˆ

( ) ( )

S

E z ds z Q

   



S 0

Eds Q





S 0

E ds Q





0

ES Q



電界は常に-z方向へ垂直に加わるので、

左辺のベクトルの内積を計算すると

Eは積分面S（側面に電界はないので、面 Sは電極の面積になる。）上で常に一定の 大きさであるから、積分には寄与しない。

これをEについて 求めると

0

E Q

 S



AB間の電位は、B点を基準にして

A

B 0

0

ˆ ˆ

( )

d z

V E dr Q z dzz

 S

  ^ ^   

 ₀

0 0 0 0

d 1d

Q Q Qd

S dz S S

  

   

d

a b

－－－

－ －－

－－－

－－－

E z

x y

A

B

＋

＋ ＋

＋＋＋

＋＋

＋＋＋ ＋

＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋

－ －－ －－－－ 打ち消し

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7) ガウス

S ab 閉面

ガウスの法則の問題③

¹⁹

【例題】 半径 a [m]の無限に長い円筒表面に電荷が一様に分布している。線電荷密 度をλ[C/m]とするとき、任意の点の電界を求めよ。（教科書、p.25）

【解答】 半径aの円筒を包む半径r（r>a）の ガウス閉面を考えると、ガウスの法則より

S 0

E ds Q

 

 ^{ }



0

ˆ ˆ

S

Er dsr Q

 



0

2 Q

E rL



電界は常にr方向へ放射状に広がるので、

左辺のベクトルの内積を計算すると

これをEについて 求めると

0 0

2 2

E L

r L r

 

   

 

電位は、無限遠を基準にして

0

2 ˆ

r r

V E dr r drr

r



 

 

  ^ ^  ^

 

0 0

1 ln

2 2

r

dr r r

r

 

 



   

0 0

(ln ln ) ln

2 r 2

r

 

 

    

a z

x y

L r

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

EErˆ

Eは積分面S（上下面に電界はないので、

面Sは側面積2πrLになる。）上で常に一 定の大きさなので、積分に寄与しない。

S 0

Eds Q





S 0

E ds Q



 この場合は、電位差（例えば∞→c）のみ

が意味を有する。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7) ガウス 閉面

ガウスの法則の問題④

²⁰

【例題】 厚みの無視できる無限平面に電荷が一様に分布している。面電荷密度を σ[C/m²] とするとき、任意の点の電界を求めよ。（教科書、p.24）

【解答】 一部分の面積Sを包むようにガウ ス閉面を考えると、ガウスの法則より

S 0

E ds Q

 

 ^{ }



0

ˆ ˆ ( ˆ) ( ˆ)

S S

Ez dsz E z ds z Q

      

 

0

2 Q

E S^

電界は±z方向のみへ垂直に伸びるので、

左辺のベクトルの内積を計算すると

これをEに ついて求めると

0 0 0

2 2 2

Q S

E S S

 

  

  

Eは積分面S（側面に電界はないので、積 分面は上下面積2Sになる。）上で常に一 定の大きさなので、積分に寄与しない。

S S 0

Eds Eds Q

  

 

0

2 S

E ds Q





z

x ＋ _＋ ^＋ y

＋＋＋

＋＋

＋＋＋ ＋

E

即ち、

0

0

ˆ ( 0)

2 ˆ

( ) ( 0) 2

z z

E

z z









 

 

  





(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

(7) ガウス 閉面 ガウス閉面のうち、上下面の大きさはS であるから

この場合はz軸正負無限遠面に－σ/2 [C/m²]の電荷があると考えればよい。

S

ガウスの法則の問題⑤

【例題】 内導体の半径がa [m]、外導体の内半径がb [m]、外半径がc [m]の同心導 体球がある。内導体に電荷Q [C]を与えたとき、導体球の電位を求めよ。（教科書、p.27）

【解答】 半径r [m]の球面をガウス閉面に とると、ガウスの法則より

④ r > cのとき

(1)

(3)

(4)

(5)

2 2 (7)

4 0

E Q

 r

 

③ b < r < c のとき

3 0

S 0 E ds Q Q



   

 ^{ }

 ^{E3 0}

(2)

② a < r < b のとき

2 0

S

E ds Q

 

 ^{ }



① r < a のとき

1 0

0

S E ds

 

 ^{ }

 ^E10

(6)

(8)

4 2

4 0

E Q

 r

 

4 0

S

E ds Q

 

 ^{ }



これで各領域の電界が求まった。

次に電位を求める。

V aE dr

  ^ ^

ˆ ˆ

aEr drr

  

aEdr

 

4 3 2

c b a

c b

E dr E dr E dr

   

2 2

0 0

4 4

c a

b

Q Q

dr dr

r r

 

  

0 0

1 1

4 4

c a

b

Q Q

r r

 ^{ }_  ^{ }

       

0

1 1 1 4 [V]

Q

c a b

 ^{ }

    

ガウス閉面 4 2

S  r

＋

＋＋

＋

＋＋

＋ b

c z

x y

E ^＋a r

＋

＋

＋

＋

＋ ＋

＋

－ － ＋

－

－

－

－

－

－

±誘導電荷

ガウスの法則の適用手順（まとめ）

1. 積分路内部に電荷を含むように積分面Sを決める。積分 面の方向は閉面の外向き方向を正とする。この際、電荷 が作る電気力線を頭でイメージし、力線に沿った形に積 分面を取る。例えば、電極形状が円筒形なら円筒状、球 形なら球状、平面形なら直方体状の閉空間を考えるのが 最も簡単。

2. ベクトル積分方程式をスカラー積分方程式にして難易度 を１ランク下げる。さらに、電場が積分面上で一定である

（ように積分面を１．で決定している）ことを利用して、未知 数を積分の外に出す。これで積分を単なる積に置き換え て難易度をさらに１ランク下げる。

3. 方程式を解いて電界Eを求める。

ミラーボールを 構成する鏡1枚 の面積

ベクトルの面積分

S

A ds 

 ^{ }

S

A ds 

 ^{ }

ミラーボール

表面積 面Sが閉 じている ことを示 す記号

面Sが閉じ ていない

（開いてい る）ことを 示す記号

全表面積S

=∑ds 微小面積ds

微小面積dsに垂直 で外向きを示す

※ 図では赤道上 は大きく見えるが、

実際は無限小の 大きさ

表面積

微小面積 内積記号 面S上のベクトル量

全表面積S

=∑ds

パズルを構成 するピース1枚 の面積

微小面積ds

※ 内側は表面で はなく裏面として 考えるので、表面 積Sに含まない 微小面積dsに垂直

で外向きを示す

※ 計算結果は、ベクトルFの単位[○]と面積[m²]との積になる 微小面積

面S上のベクトル量 内積記号

風船と熱気球の違いでもよい

流束という物理量

23

ベクトルの面積分

²⁴

 t^ˆ n^ˆ ^ˆ n

SA ds  S A tA n dsn SA ds

 ^{ }  

: tangential t

接線の（接線成分）

法線の（法線成分）

ˆ ds dsn

積分面Sに対して常に法線方向を向いた微小面積ベクトル

ˆ ˆ

t n

A A t A n

積分面S上のある点におけるベクトル（物理量）

At

ds

ˆ ˆ

t n

A A tˆ A n ds dsn

 S

nˆ A n

tˆ A t

積分面Sに対するベクトルAの接線成分

: normal n

An 積分面Sに対するベクトルAの法線成分（垂直成分）

tˆ 積分面Sに対して接線方向を向いた単位ベクトル

nˆ 積分面Sに対して法線方向を向いた単位ベクトル