電気と磁気

電磁気.ex13-1.1

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電気と磁気

年度 前期) 試験問題

以下で，表記

は空間に固定した右手系の直交直線座標系

に対するベクトル

の

成 分がそれぞれ

，A

，A

であることを意味します．また，真空の誘電率を

，真空の透磁率を

とします。なお, 図 の長さや角度は正確ではありません．単位は【2】以外は省略してあります．

【1】図

に示すように，

座標系の点

に電気量

の点電 荷を，点

に電気量

の点電荷を，点

に電 気量

の点電荷をそれぞれ置く。このとき，以下の問に答えなさい。

(1)

点

にある点電荷の受ける力の

成分をそれぞれ求めなさい。

(2)

この

つの点電荷が原点

の位置に作る電場の

成 分をそれぞれ求めなさい。

A B

C O

2l q 2l

3q l

x

y z

5q

−

図

【2】導線に一定の電流

が流れている。

(1)1

秒間にこの導線の断面を横切る電気量

を求めなさい。

(2)電流が導線中の自由電子の運動によって生じているとする。この導線の断面を1

秒間に横切る自由電子の個数を求

めなさい。ただし，電気素量

を

とする。

【3】図

に示すように，z 軸に平行な

本の直線導線が

の位置に置かれて いる。導線には

軸の正の向きに定常電流

が流れている。この電流の作る磁束密度 について次の問に答えなさい。

(1)x= 0, y=`

の位置に置かれている導線に，単位長さ当たりにはたらく力の大きさを 求めなさい。また，その力の向きは

軸の正の向きか，負の向きのどちらであるかを 答えなさい。

(2)x

軸上の点

での磁束密度

の

成分をそれぞれ求めなさい。

I l

x y

z

I l

図

【4】図

に示すように，抵抗

，電気容量

のコンデンサー，自己インダクタ ンス

のコイルが直列につながれた回路が振幅

，角周波数

の交流電源

につながれている。

と

の電位差が

となる。) 回路が交流電源につながれてから十分時間が経過しているとする。ま た，電流は図の点

から点

に流れる場合を正とする。

(1)

時刻

での抵抗の両端の電位差

を求めなさい。ただし，図の 点

と

の電位をそれぞれ

，V

とする。

R

C L

( ) V t

C

D A

B

図

交流電源の角周波数

を変化させる。回路を流れる電流の振幅が最大になる場合の

を求めなさい。

【5】(1) 電気容量

のコンデンサーと自己インダクタンス

のコイルが図

の様につ ながれている。図の点

と

の電位差が

となるように，

振幅

，角周波数

の交流電源をつなぐ。回路の複素インピーダンスを 求めなさい。また，回路に流れる電流

を求めなさい。だだし，図の点

か ら

に電流が流れる場合に電流の値を正とする。

(2)

複素インピーダンスが

と

の素子が図

の様につながれて いる。図の点

間に角周波数

の交流電源をつなぐ場合の，回路の合成イ ンピーダンス

を求めなさい。

C

B A

L

図

B ^Z1 A

Z2

Z3

図

電磁気.ex13-1.2

電磁気学(2012年度 前期)試験略解

【1】各点の位置ベクトルは

~

rA= (2`,2`,0), ~rB= (0,0, `), ~rC= (2`,0,0) (ex13-1.2.1) となる。

(1)点Cにある点電荷の受ける力F~は

F~ = q·3q 4πε0

(~rC−~rA)

|~rC−~rA|³ +q·(−5q) 4πε0

(~rC−~rB)

|~rC−~rB|³ = q² 4πε0`²

„

0,−3 4,0

«

−

„ 2

√5,0,− 1

√5

«ff

= q²

4πε0`²

„

− 2

√5,−3 4, 1

√5

«

(ex13-1.2.2)

となる。従ってF~のx，y，z成分をそれぞれFx，Fy，Fz とすると

Fx=− q² 2π√

5ε0`², Fy=− 3q²

16πε0`², Fz = q² 4π√

5ε0`² (ex13-1.2.3) となる。

(2)点Oの位置での電場E~ は

E~ = 3q 4πε0

(−~rA)

| −~rA|³ − 5q 4πε0

(−~rB)

| −~rB|³ + q 4πε0

(−~rC)

| −~rC|³ = q 4πε0`²



− 3 8√

2(1,1,0) + (0,0,5) +

„

−1 4,0,0

«ff

= q

4πε0`²

„

−3 + 2√ 2 8√

2 ,− 3 8√

2,5

«

(ex13-1.2.4)

となる。従ってE~のx，y，z成分をそれぞれEx，Ey，Ez とすると

Ex=−q` 3 + 2√

2´ 32π√

2ε0`<sup>2</sup> =−q` 3√

2 + 4´

64πε0`² , Ey=− 3q 32√

2πε0`² =− 3√ 2q

64πε0`² , Ez= 5q

4πε0`² (ex13-1.2.5) となる。

【2】(1)電流とは1秒間に導線の断面を横切る電荷なので，Q= 9.6×10⁻³Cとなる。

(2)電子1個の持つ電荷が1.6×10⁻¹⁹Cなので，1秒間に導線の断面を横切る電子の個数N は N= 9.6×10⁻³

1.6×10⁻¹⁹ = 6×10¹⁶個 (ex13-1.2.6)

となる。

【3】(1)プリント電磁.22，(22.5)と(22.6)より，距離2`離れた並行電流間には単位長さ当たりに大きさ µ0I²

4π` ^{の力がはたらく。}

また，電流の向きが同じなので，電流間には引力がはたらく。従って，x = 0, y = `の位置に置かれている導線には y軸の負の向き に力がはたらく。

(2)プリント電磁.21, (21.7)より，磁束密度B(x, y, z) ((x , y)~ 6= (0,±`))は B(x, y, z) =~ µ0I

2π

“− y+`

x²+ (y+`)² , x

x²+ (y+`)² ,0” +µ0I

2π

“− y−`

x²+ (y−`)², x

x²+ (y−`)²,0”

(ex13-1.2.7)

となる。y= 0を代入して

B(x,~ 0,0) =

„ 0, µ0I

π x x²+`²,0

«

(ex13-1.2.8) となる。

電磁気.ex13-1.3

【4】プリント電磁.29-30を参照。

(1) (30.8)より電流は

I(t) = V0

q R²+`

ωL−_ωC¹ ´2 cos(ωt−θ) (ex13-1.3.1)

となる。ただしθは

cosθ= R

q R²+`

ωL−_ωC¹ ´2, sinθ= ωL−_ωC¹ q

R²+`

ωL−_ωC¹ ´2 (ex13-1.3.2) を満たす角度(位相)である。抵抗の両端の電位差はオームの法則より

VB−VC=RI(t) = RV0

q R²+`

ωL−_ωC¹ ´2 cos(ωt−θ) (ex13-1.3.3)

となる。

(2) (30.10)を参照。(ex13-1.3.1)より電流の振幅が最大となるのは，ωが

ωL− 1

ωC = 0 (ex13-1.3.4)

を満たす

ω= 1

√LC (ex13-1.3.5)

となる場合。

【5】プリント電磁.問.12-14を参照。

(1)合成される複素インピーダンスをZ とすると 1 Z = 1

iωL−ωC

i ^より Z=i ωL

1−ω²LC. (ex13-1.3.6)

複素インピーダンスの定義より

I(t) =V0Re

»1 Ze^iωt

–

=V0Re

»e^iωt i

–1−ω²LC ωL =V0

`1−ω²LC´

ωL sin(ωt) (ex13-1.3.7)

となる。

(2)直列と並列の合成インピーダンスの公式，(p14.1)と(p14.2)，より

Z=Z1+ 1

1 Z₂ +_Z¹

3

=Z1+ Z2Z3

Z2+Z3

(ex13-1.3.8)

となる。(p15.10)も参照。