個別 1 掃き出し法を用いて，次の正則行列の逆行列を求めよ．

2012(H24) 年度 線形代数学 II 期末試験 (２組, ８組 個別問題)

途中の計算などは空白の部分に，最終結果は枠内の（答）の欄（省略）に記入すること．

個別 1 掃き出し法を用いて，次の正則行列の逆行列を求めよ．

（10点）

A =



 

 

−2 −1 −2

1 1 2

1 2 3



 

 

個別 2 次の行列 A について，以下の問いに答えよ．

A = (~a

1

~a

2

~a

3

~a

4

) =



 

 

1 2 3 4 1 1 2 4 3 3 1 4



 

  . ただし A = (~a

1

~a

2

~a

3

~a

4

) は行列 A の列ベクトル表示である．

(1)  行列 A の階数 (rank) を求めよ．

（10点）

(2) 列ベクトルの組 {~a

₁

, ~a

₂

, ~a

₃

, ~a

₄

} により生成される部分空間 V =< ~a

₁

, ~a

₂

, ~a

₃

, ~a

₄

> の次元 dim V を求めよ．

（5点）

(3) 列ベクトルの組 {~a

₁

, ~a

₂

, ~a

₃

, ~a

₄

} は 1 次独立か，それとも 1 次従属か．

（5点）

個別 3 A は 3 次の（実）対称行列で，3 つの相異なる固有値 1, 2, −1 を持ち，以下の ~b

1

, ~b

2

, ~b

3

はそれ ぞれ固有値 1, 2, −1 に対する A の固有ベクトル（の一つずつ）であるとする（すなわち ~b

1

, ~b

2

, ~b

3

6= ~ 0 で A~b

1

= ~b

1

, A~b

2

= 2~b

2

, A~b

3

= − ~b

3

）:

~b

1

=



 

 

1 1 1



 

  , ~b

2

=



 

 

1 1

−2



 

  , ~b

3

=



 

 

1

−1 0



 

  .

このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 固有値 1 に対する ノルム 1 の固有ベクトルを求めよ（一つ求めればよい）．

（5点）

(2) 直交行列 P によって対称行列 A を対角化して

^t

P AP =



 

 

−1 0 0 0 1 0 0 0 2



 

  となるようにしたい（ただ

し

^t

P は P の転置行列）．このような直交行列 P を一つ求めよ．

（5点）