1. 自由場の正準量子化

 

場 の 量 子 論 へ の 第 一 歩

∼ 共 変 的 な 摂 動 計 算 法 の 入 門 講 義 ∼

 

       1. ^{自由場の正準量子化}

 

       2. ^{Ｓ行列と摂動展開}

 

       3. ^{反応確率と散乱断面積}

 

       4. 不変散乱振幅１：基本的枠組み

 

       5. 不変散乱振幅２：ファインマン則

 

       6. ^{散乱断面積の計算}

 

       7. ^{輻射補正と繰り込み}

 

       8. 量子電磁力学の繰り込み

中央大学・理工学部  2011 ^年 7 ^月 29 ^・ 30 ^日

徳島大学・総合科学部 日 置 善 郎

記 法

• 相対論記法

計量テンソル：  g ^μν = g _μν = (+1, −1, −1, −1) 反変ベクトル：  x ^μ = (x ⁰ , x ) = (t, x, y, z) 共変ベクトル：  x _μ = g _μν x ^ν = (x ⁰ , −x )

内積：  px = p ^μ x _μ = p _μ x ^μ = g _μν p ^μ x ^ν = g ^μν p _μ x _ν = p ⁰ x ⁰ − px

微分記号：  ∂ _μ ≡ ∂/∂x ^μ = (∂/∂x ⁰ , ∂/∂x ¹ , ∂/∂x ² , ∂/∂x ³ ) = (∂/∂t, ∇)        ∂ ^μ ≡ ∂/∂x _μ = g ^μν ∂ _ν = (∂/∂t, −∇)

       □ ≡ ∂ ^μ ∂ _μ = ∂ ² /∂t ² − Δ

• 運動量の３次元積分要素

場の演算子の平面波展開（運動量展開）に現われる３次元積分要素 d ³ p ˜ ≡ d ³ p/[(2π) ³ 2p ⁰ ]

• デルタ関数

δ(p) = 1 2π

_+∞

−∞ dx e ^±ipx , δ ⁴ (p) = δ(p ⁰ )δ(p ¹ )δ(p ² )δ(p ³ )

• 階段関数

θ(x) = 1 ( x > 0 の時 ), = 1/2 ( x = 0 の時 ), = 0 ( x < 0 の時) これを微分するとデルタ関数になる： δ(x) = dθ(x)/dx

• 単位行列・零行列

次元に関わらず単位行列は I, 零行列は O で表すが，誤解の恐れのない場合には単に 1,

0 と記すこともある．例えば，1 + γ ₅ においては１は４行４列の単位行列であることは明

らかだろう．

• 単位について

ここでは他の多くのテキストと同じくディラック定数 ¯ h および光速 c を基準にとる自 然単位系を用いる：

¯

h = c = 1

これは，単位の中に J·s を含む量を扱う場合にはその部分は h ¯ = 1.05457266 × 10 ⁻³⁴ J·s を基準として，また，m/s を含む量ならその部分は c = 2.99792458 × 10 ⁸ m/s を基準と して「その何倍」という表し方をするということを意味する．例えば，光速それ自体は c の１倍ということで上記のように次元なしの数 c = 1 になる．もう少し一般的な例とし

て v [m/s] という或る物体の速さを考えると

v [m/s] = v [m/s]

c [m/s] c [m/s]

と変形でき，右辺で v [m/s]/c [m/s] は「光速の何倍」という無次元の数値になるが，こ れが自然単位系でのその物体の速さである．また，特殊相対論には有名な E = mc ² とい う関係式があり，この右辺の単位は kg·m ² /s ² だが，自然単位系ではこのうち m ² /s ² の部 分，つまり c ² を１としてしまうため，エネルギーと質量が同じ次元を持つようになる．

同様に，長さと時間は共にエネルギーの逆数の次元となる．

この単位系で与えられた量を通常の数値に直すには，元々の次元になるように ¯ h と c を 組み合わせて掛けたり割ったりすればよい．つまり，通常の単位系で a¯ h ^m c ⁿ という量は自 然単位系では単に a となっているから，この a の本来の単位（次元）から m, n を決めて，

a に h ¯ ^m c ⁿ を掛けてやるのである．散乱断面積の場合なら，GeV 単位で与えられた量を用 いて計算すれば GeV ⁻² という単位になるが，これに (¯ hc) ² (= 0.38937966 GeV ² mbarn : 1 barn = 10 ⁻²⁸ m ² ) を掛ければ通常の単位系の数値（面積の次元）に戻る：

[ mbarn 単位の断面積 ]= 0.38937966 × [ GeV ⁻² 単位の断面積 ]

例えば，2 GeV ⁻² という断面積は 0.77875932 mbarn である．

1. ^{自由場の正準量子化}

1-1. 正準量子化の概要 実スカラー場

L (x) ≡ L (φ(x), ∂ _μ φ(x)) = 1

2 ∂ _μ φ(x)∂ ^μ φ(x) − 1

2 m ² φ ² (x) (1.1)

（ラグランジアン密度）を例にとる．ラグランジアン L は L (x) を空間積分して L =

d ³ x L (x) (1.2)

正準量子化の手続き： まず φ(x) に正準共役な一般化運動量 π(x) を導入 π(x) = δ

δ φ(x) ˙ L = ∂

∂ φ(x) ˙ L (x) = ˙ φ(x) (1.3) ( ˙ φ(x) ≡ ∂φ(x)/∂t )

次に φ(x)，π(x) に量子化条件を課す：

[ π(x), φ(x ) ] = −iδ ³ (x − x ) (1.4) および

[ π(x), π(x ) ] = [ φ(x), φ(x ) ] = 0 (1.5) 但し，x = (t, x) 及び x = (t, x )， つまり 同時刻 交換関係

Lagrange の方程式

∂

∂φ(x) L(x) − ∂ _α ∂

∂(∂ _α φ(x)) L(x) = 0 (1.6) より φ(x) の満たす運動方程式は

(□ + m ² )φ(x) = 0 (1.7)

つまりクライン–ゴルドン方程式となる．

• φ(x) の運動量展開 φ(x) は

φ(x) =

d ³ k ˜ [ a( k )e ^−ikx + a ^† ( k )e ^ikx ] (1.8) と展開される（運動量展開または平面波展開）．但し，これが (1.7) の解である条件は

k ⁰ =

k ² + m ² = ⇒ k ² = k ^μ k _μ = m ² 量子化により φ(x) は演算子となっているから，係数 a(k) も

[ a( k ), a ^† ( k ) ] = (2π) ³ 2k ⁰ δ ³ ( k − k )

[ a( k ), a( k ) ] = [ a ^† ( k ), a ^† ( k ) ] = 0 (1.9) を満たす演算子（a(k)：消滅演算子，a ^† (k)：生成演算子）

• 真空状態 |0 の導入

任意の k に対して a(k)|0 = 0  かつ  0|0 = 1

これより，運動量 k 1 ， k 2 ， · · · ， k n の自由粒子が存在する状態（状態ベクトル）は

|k 1 k 2 · · · k n = a ^† ( k 1 )a ^† ( k 2 ) · · · a ^† ( k n ) | 0 (1.10)

で構成される．また，a，a ^† の交換関係より

k |k = (2π) ³ 2k ⁰ δ ³ (k − k ) (1.11) 上記の状態ベクトルの全体 { |k 1 k 2 · · · } は，完全系を構成する．

= ⇒   { |k 1 k 2 · · · } は，基底として一つのヒルベルト空間を張る．

この空間と基底は，それぞれ フォック空間 および フォック基底 と呼ばれる．

任意の物理的状態 | Ψ は

|Ψ =

n

n i

d ³ k ˜ i ψ(k 1 , · · · , k n )|k 1 · · · k n (1.12) と展開できる．但し，

ψ (k 1 , · · · , k n ) = k 1 · · · k n |Ψ (1.13)

1-2. 実スカラー場

中性スカラー粒子（標準理論のヒッグス粒子など）を記述する．

• 自由場のラグランジアンと運動方程式（クライン-ゴルドン方程式）

L = 1

2 ∂ _μ φ(x)∂ ^μ φ(x) − 1

2 m ² φ ² (x) (1.14)

(□ + m ² )φ(x) = 0 (1.15)

• φ(x) の運動量展開（フーリエ展開）

φ(x) =

d ³ p[ ˜ a(p)e ^−ipx + a ^† (p)e ^ipx ] (1.16)  但し，p ⁰ =

p ² + m ²  （= ⇒ p ² = m ² ）．

• 生成・消滅演算子の交換関係

[ a( p ), a ^† ( p ) ] = (2π) ³ 2p ⁰ δ ³ ( p − p ) (1.17)

• 伝播関数

Δ _F (q) ≡ i

d ⁴ x e ^iqx 0 | T φ(x)φ(0) | 0 = 1

m ² − q ² − iε (1.18)

1-3. 複素スカラー場

荷電スカラー粒子を記述する．

• 自由場のラグランジアンと運動方程式（クライン-ゴルドン方程式）

L = ∂ _μ φ ^† (x)∂ ^μ φ(x) − m ² φ ^† (x)φ(x) (1.19)

(□ + m ² )φ(x) = 0 (1.20)

• φ(x) の運動量展開（フーリエ展開）

φ(x) =

d ³ p[ ˜ a(p)e ^−ipx + b ^† (p)e ^ipx ] (1.21)

 但し，p ⁰ =

p ² + m ²  （= ⇒ p ² = m ² ）．

 ここで，a ^{( † )} ( p ), b ^{( † )} ( p ) は，それぞれ粒子，反粒子についての生成・消滅演算子．

• 生成・消滅演算子の交換関係

[ a( p ), a ^† ( p ) ] = [ b( p ), b ^† ( p ) ] = (2π) ³ 2p ⁰ δ ³ ( p − p ) (1.22)

• 伝播関数

Δ _F (q) ≡ i

d ⁴ x e ^iqx 0|T φ(x)φ ^† (0) |0 = 1

m ² − q ² − iε (1.23) 1-4. ディラック場

スピン 1/2 のフェルミ粒子（レプトン，クォーク）を記述する．

• 自由場のラグランジアンと運動方程式（ディラック方程式）

L = i ψ(x)γ ¯ _μ ∂ ^μ ψ(x) − m ψ(x)ψ ¯ (x) (1.24)

(iγ _μ ∂ ^μ − m)ψ (x) = 0 (1.25)

• ψ (x) の運動量展開（フーリエ展開）

ψ(x) =

d ³ p ˜

s=±1

[ c( p , s)u( p , s)e ^−ipx + d ^† ( p , s)v( p , s)e ^ipx ] (1.26)  但し，p ⁰ =

p ² + m ²  （= ⇒ p ² = m ² ）．

  c ^{( † )} ( p , s), d ^{( † )} ( p , s) は，それぞれ粒子，反粒子についての生成・消滅演算子．

  s はスピン自由度を表す．

• 生成・消滅演算子の反交換関係

{ c( p , s), c ^† ( p , s ) } = { d( p , s), d ^† ( p , s ) } = (2π) ³ 2p ⁰ δ _ss δ ³ ( p − p ) (1.27)

• 伝播関数

S _F (q) ≡ i

d ⁴ x e ^iqx 0|T ψ(x) ¯ ψ(0) |0

= 1

m − q / − iε

≡ m + q /

m ² − q ² − iε (1.28)

• スピノル u( p , s), v( p , s) の性質

(p / − m)u( p , s) = 0, u( ¯ p , s)(p / − m) = 0

(p / + m)v(p, s) = 0, ¯ v(p, s)(p / + m) = 0 (1.29)

¯

u( p , s)u( p , s ) = +2mδ _ss , v( ¯ p , s)v( p , s ) = − 2mδ _ss

u(p, s)v ¯ (p, s ) = 0, v(p, s)u(p, s ¯ ) = 0 (1.30)

• 射影演算子（有質量の場合）

u( p , s)¯ u( p , s) = 1 + γ ₅ s /

2 (p / + m), v( p , s)¯ v( p , s) = 1 + γ ₅ s /

2 (p / − m) (1.31)  但し，s ^μ はスピン ベクトルで，s _μ p ^μ = 0 を満たす．粒子の静止系では

s ^μ = (0, s ), ss = 1 (1.32)

 任意の系での形は，これをローレンツ変換して得られる．運動量 p 方向の偏極なら s ^μ = h |p|

m , p ⁰

m n (n ≡ p/|p|) (1.33)  ここで，h = ±1 がヘリシティを表す．スピン和をとると

s=±1

u( p , s)¯ u( p , s) = p / + m,

s=±1

v ( p , s)¯ v( p , s) = p / − m (1.34)

• 射影演算子（無質量の場合）

u( p , s)¯ u( p , s) = 1 + hγ ₅

2 p / , v ( p , s)¯ v( p , s) = 1 − hγ ₅

2 p / (1.35)

 但し，現実に存在するニュートリノ（u）は左巻き（left-handed：h = −1），

 反ニュートリノ（v ）は右巻き（right-handed：h = +1）．

• ゴルドン分解

¯

u( p ₁ , s ₁ )γ ^μ u( p ₂ , s ₂ ) = 1

2m u( ¯ p ₁ , s ₁ )[ (p ₁ + p ₂ ) ^μ + iσ ^μν (p ₁ − p ₂ ) _ν ]u( p ₂ , s ₂ ) (1.36) u(p ¯ ₁ , s ₁ )γ ^μ γ ₅ u(p ₂ , s ₂ ) = 1

2m u(p ¯ ₁ , s ₁ )[ (p ₁ − p ₂ ) ^μ + iσ ^μν (p ₁ + p ₂ ) _ν ]γ ₅ u(p ₂ , s ₂ ) (1.37)

1-5. 無質量実ベクトル場

電気的に中性なスピン１の粒子を記述する．具体的には光子とグルオンだが，グルオン は更にカラーという自由度も持つ．この場は４元ベクトルなので，四つの独立な４元ベ クトル ε ^μ ( p , λ = 0 ∼ 3) で展開される．この四つのベクトルが粒子の偏極を表す．但し，

質量が０ということから来る制限（ゲージ不変性）により，実際の物理的な自由度は２と なり，これが二通りの横偏極に対応する．また，実スカラー場と同じく粒子＝反粒子であ る． 「ゲージ不変性」という自由度は，この系の量子論的取り扱いを少々複雑なものにす る．量子化に際しては，まずこの自由度を固定する操作（ゲージ固定）が必要で，そのた めの項がラグランジアンに導入される．

• 自由場のラグランジアン（＋ゲージ固定項）と運動方程式 L = − 1

4 F _μν F ^μν − 1

2α ∂ _μ A ^μ (x)∂ _ν A ^ν (x) (1.38) (g _μν □ − ∂ _μ ∂ _ν )A ^ν (x) + 1

α ∂ _μ ∂ _ν A ^ν (x) = 0 (1.39)

（ F ^μν ≡ ∂ ^μ A ^ν (x) − ∂ ^ν A ^μ (x) ）

以後，ファインマン（Feynman）ゲージ（α = 1）を採用．この場合の運動方程式は

□ A ^μ (x) = 0 (1.40)

• A ^μ (x) の運動量展開（フーリエ展開）

A ^μ (x) =

d ³ p ˜ ³

λ=0

[ a( p , λ)ε ^μ ( p , λ)e ^−ipx + a ^† ( p , λ)ε ^μ∗ ( p , λ)e ^ipx ] (1.41) 但し，p ⁰ = |p|  （= ⇒ p ² = 0）．

  ε ^μ (p, λ) は偏極ベクトル．p の向きに z 軸をとれば

ε ^μ (p, 0) = (1, 0, 0, 0), ε ^μ (p, 1) = (0, 1, 0, 0),

ε ^μ ( p , 2) = (0, 0, 1, 0), ε ^μ ( p , 3) = (0, 0, 0, 1) (1.42)  これらは次の条件を満たす：

ε ^∗ _μ (p, λ)ε ^μ (p, λ ) = g ^λλ (1.43)

• 生成・消滅演算子の交換関係

[ a(p, λ), a ^† (p , λ ) ] = −(2π) ³ 2p ⁰ g ^λλ δ ³ (p − p ) (1.44)  また，任意の物理的状態 | Ψ に対して

[ a( p , 0) − a( p , 3) ] | Ψ = 0  （補助条件） (1.45)

• 伝播関数 D ^μν _F (q) ≡ i

d ⁴ x e ^iqx 0 | T A ^μ (x)A ^ν (0) | 0

= 1

q ² + iε

g ^μν − (1 − α) q ^μ q ^ν q ² + iε

→ g ^μν

q ² + iε （ファインマンゲージ） (1.46)

• 物理的成分（横偏極）

横偏極ベクトル ε ^μ ( p , λ = 1, 2) は ^1.1

p _μ ε ^μ (p, λ) = 0, ε ^∗ _μ (p, λ)ε ^μ (p, λ ) = −δ λλ (1.47)

2 λ=1

ε ^μ∗ ( p , λ)ε ^ν ( p , λ) = − g ^μν + p ^μ n ^ν + p ^ν n ^μ

pn − p ^μ p ^ν

(pn) ² (1.48)

 を満たす. ^1.2 但し，n ^μ = ε ^μ ( p , 0) = (1, 0, 0, 0)．

  ε ^μ ( p , i) = (0, ε ( p , i)) (i = 1 ∼ 3) と表すと ε ( p , 1), ε ( p , 2), ε ( p , 3) は右手系を構成．

 そこで， p → −p の場合にもこの関係が保たれるよう

ε ( −p , 1) = −ε ( p , 1), ε ( −p , 2) = ε ( p , 2) (1.49)  と決める（ε(p, 3) は p の向きだから，明らかに ε(−p, 3) = −ε(p, 3)）．

• ヘリシティ h = ±1 の偏極ベクトル ε ^μ ( p , h = ± 1) = √ 1

2 [ ε ^μ ( p , 1) ± iε ^μ ( p , 2) ] (1.50)

1.1

注意： スピノル場の場合には「偏極」はスピンの向きを意味するが，ベクトル場では

A( x )

の向きで ある．以下に与えるように，横偏極ベクトル（pに垂直）の組み合わせでヘリシティが

±1

，つまりスピン が

p

に（反）平行状態が構成されるが，スピノル場ではこれは縦偏極と呼ばれるので混同しないよう注意 が必要．

1.2

実際に物理的過程において

ε ^μ∗ ε ^ν

を考える時には，p

^μ

が保存カレント

j _μ

に結合して０となってし まうことも多く，その場合（

1.48

）は

ε ^μ∗ ε ^ν = −g ^μν

と簡単になる．

 これに対応する生成・消滅演算子は a( p , h = ± 1) = 1

√ 2 [ a( p , 1) ∓ ia( p , 2) ] (1.51)

 （1.49）のように ε ( −p , i) (i = 1, 2) を決めたので ε ( −p , ± 1) = −ε ( p , ∓ 1)．従って ε _μ (−p, h) = ε ^μ (p, −h) (h = ±1) (1.52) 但し，p の逆転に対して ε(p, 2) の方が符号を変えると決めてもよい．その場合は ε ^μ (−p, h) = ε ^μ (p, −h)．

1-6. 有質量実ベクトル場

数学的な構造は質量０の実ベクトル場に似ているが，質量を持つことにより物理的な自 由度が１増え，その結果，縦偏極も物理的な成分となる．中性弱相互作用を媒介するＺボ ソンがこの場で記述される．また，この場においても粒子・反粒子の区別はない．始めか ら質量項を持つラグランジアンで考えるなら系のゲージ不変性はなくなり，従って，ゲー ジ固定項は不要のはずだが，実際には「ゲージ不変な理論＋対称性の自発的破れ」という 方法以外に，質量を持つベクトル場の繰り込み可能な理論は作れないことが知られてお り，ここでもゲージ固定項が導入される．

• 自由場のラグランジアン（＋ゲージ固定項）と運動方程式 L = − 1

4 F _μν F ^μν + 1

2 m ² A _μ (x)A ^μ (x) − 1

2α ∂ ^μ A _μ (x)∂ ^ν A _ν (x) (1.53) (g ^μν □ − ∂ ^μ ∂ ^ν )A _ν (x) + m ² A ^μ (x) + 1

α ∂ ^μ ∂ ^ν A _ν (x) = 0 (1.54)  以後，ファインマン ゲージ（α = 1）の場合を考える．この場合の運動方程式は

(□ + m ² )A ^μ (x) = 0 (1.55)

• A ^μ (x) の運動量展開（フーリエ展開）

A ^μ (x) =

d ³ p ˜ ³

λ=0

[ a( p , λ)ε ^μ ( p , λ)e ^−ipx + a ^† ( p , λ)ε ^μ∗ ( p , λ)e ^ipx ] (1.56)

 但し，p ⁰ =

p ² + m ²  （= ⇒ p ² = m ² ）．

  ε ^μ ( p , λ) は偏極ベクトル．粒子の静止系（p ^μ = (m, 0, 0, 0)）では ε ^μ (p, 0) = (1, 0, 0, 0) (= p ^μ /m), ε ^μ (p, 1) = (0, 1, 0, 0),

ε ^μ ( p , 2) = (0, 0, 1, 0), ε ^μ ( p , 3) = (0, 0, 0, 1) (1.57)  任意の系での形はローレンツ変換で得られる．但し，ε ^μ (p, 0) = p ^μ /m の関係は不変．

• 生成・消滅演算子の交換関係

[ a( p , λ), a ^† ( p , λ ) ] = − (2π) ³ 2p ⁰ g ^λλ δ ³ ( p − p ) (1.58)

• 伝播関数

D _F ^μν (q) ≡ i

d ⁴ x e ^iqx 0 | T A ^μ (x)A ^ν (0) | 0

= 1

q ² − m ² + iε

g ^μν − (1 − α) q ^μ q ^ν q ² − αm ² + iε

→ g ^μν

q ² − m ² + iε （ファインマンゲージ） (1.59)

• 物理的成分（スピン＝１成分）

物理的過程でループを考えない計算では，

∂ _μ A ^μ (x) = 0 (1.60)

 という条件（ローレンツ条件）を A ^μ (x) に課すことで，物理的成分（スピン＝１成分）

 を取り出すことが出来る．以下はその物理成分について：

p _μ ε ^μ (p, λ) = 0, ε ^∗ _μ (p, λ)ε ^μ (p, λ ) = −δ λλ (1.61)

3 λ=1

ε ^μ∗ (p, λ)ε ^ν (p, λ) = −g ^μν + p ^μ p ^ν

m ² (1.62)

• 横偏極（h = ±1），縦偏極（h = 0）ベクトル

ε ^μ (p, h = ±1) = 1

√ 2 [ ε ^μ (p, 1) ± iε ^μ (p, 2) ] (1.63)

    ε ^μ (p, h = 0) = ε ^μ (p, 3) = |p|

m , p ⁰

m n p ^μ

m + O m

p ⁰ (1.64)

( n ≡ p / |p| )  それに対応する生成・消滅演算子は

a(p, h = ±1) = 1

√ 2 [ a(p, 1) ∓ ia(p, 2) ] (1.65)

a(p, h = 0) = a(p, 3) (1.66)

  p → −p に対する偏極ベクトルの性質を（1.49）と同じようにとると

ε _μ (−p, h) = ε ^μ (p, −h) (h = ±1, 0) (1.67) 1-7. 有質量複素ベクトル場

電荷・質量を持つスピン１の粒子（荷電弱相互作用を媒介するＷボソンなど）を記述．

この場合もやはりゲージ固定項が必要．

• 自由場のラグランジアン（＋ゲージ固定項）と運動方程式 L = − 1

2 F _μν ^† F ^μν + m ² A ^† _μ (x)A ^μ (x) − 1

α ∂ ^μ A ^† _μ (x)∂ ^ν A _ν (x) (1.68) (g ^μν □ − ∂ ^μ ∂ ^ν )A _ν (x) + m ² A ^μ (x) + 1

α ∂ ^μ ∂ ^ν A _ν (x) = 0 (1.69)  ファインマン ゲージ（α = 1）では

(□ + m ² )A ^μ (x) = 0 (1.70)

• A ^μ (x) の運動量展開（フーリエ展開）

A ^μ (x) =

d ³ p ˜ ³

λ=0

[ a(p, λ)ε ^μ (p, λ)e ^−ipx + b ^† (p, λ)ε ^μ∗ (p, λ)e ^ipx ] (1.71)

 但し，p ⁰ =

p ² + m ²  （= ⇒ p ² = m ² ）．

  a ^{( † )} ( p , λ), b ^{( † )} ( p , λ) はそれぞれ粒子，反粒子についての生成・消滅演算子．

  ε ^μ ( p , λ) は偏極ベクトル で，粒子の静止系（p ^μ = (m, 0, 0, 0)）では ε ^μ (p, 0) = (1, 0, 0, 0) (= p ^μ /m), ε ^μ (p, 1) = (0, 1, 0, 0),

ε ^μ ( p , 2) = (0, 0, 1, 0), ε ^μ ( p , 3) = (0, 0, 0, 1) (1.72)  任意の系での形はローレンツ変換で得られる．但し，ε ^μ (p, 0) = p ^μ /m の関係は不変．

• 生成・消滅演算子の交換関係

[ a(p, λ), a ^† (p , λ ) ] = [ b(p, λ), b ^† (p , λ ) ] = −(2π) ³ 2p ⁰ g ^λλ δ ³ (p − p ) (1.73)

• 伝播関数

D _F ^μν (q) ≡ i

d ⁴ x e ^iqx 0 | T A ^μ (x)A ^{ν †} (0) | 0

= 1

q ² − m ² + iε

g ^μν − (1 − α) q ^μ q ^ν q ² − αm ² + iε

→ g ^μν

q ² − m ² + iε （ファインマンゲージ） (1.74)  ここでも以下は ∂ _μ A ^μ (x) = 0 を満たす物理成分について：

p _μ ε ^μ ( p , λ) = 0, ε ^∗ _μ ( p , λ)ε ^μ ( p , λ ) = − δ _λλ (1.75)

3 λ=1

ε ^μ∗ ( p , λ)ε ^ν ( p , λ) = − g ^μν + p ^μ p ^ν

m ² (1.76)

• 横偏極（h = ± 1），縦偏極（h = 0）ベクトル

ε ^μ (p, h = ±1) = √ 1

2 [ ε ^μ (p, 1) ± iε ^μ (p, 2) ] (1.77)     ε ^μ ( p , h = 0) = ε ^μ ( p , 3) = |p|

m , p ⁰

m n p ^μ

m + O m

p ⁰ (1.78)

( n ≡ p/|p| )

ε _μ (−p, h) = ε ^μ (p, −h) (h = ±1, 0) (1.79)

  h = ± 1, 0 に対応する生成・消滅演算子は a( p , h = ± 1) = 1

√ 2 [ a( p , 1) ∓ ia( p , 2) ] (1.80)

a( p , h = 0) = a( p , 3) (1.81)

b(p, h = ±1) = 1

√ 2 [ b(p, 1) ∓ ib(p, 2) ] (1.82)

b( p , h = 0) = b( p , 3) (1.83)

2. ^{Ｓ行列と摂動展開}

2-1. 量子系の時間発展

正準量子化（同時刻交換関係の設定）

[ π(x), φ(x ) ] = −iδ ³ (x − x )

により，この時刻 t ₀ (= x ⁰ = x ⁰ ) での場の演算子 φ( x , t ₀ ) が確定          ⇓

生成演算子 a ^† ( p ) を用いて，この時刻における状態も

|p ₁ = a ^† ( p ₁ ) | 0 , |p ₁ p ₂ = a ^† ( p ₁ )a ^† ( p ₂ ) | 0 , · · · と決まる．

これ以降，演算子と状態はどのように時間発展していくのか？

一般には，両者とも φ( x , t ₀ ) → φ( x , t)，  | Ψ (t ₀ ) → | Ψ (t) と変化するはず．

量子系の時間発展を支配するのはハミルトニアン演算子 H =

d ³ x H(x) = d ³ x [ π(x) ˙ φ(x) − L(x) ] (2.1)

• シュレディンガー描像

この描像では 状態のみが時間発展 i ∂

∂t | Ψ(t) S = H | Ψ(t) S (2.2)

これを（形式的に）解けば

| Ψ (t) S = e ^{−iH(t−t 0 )} | Ψ (t ₀ ) (2.3) 例えば，行列要素 Ψ(t ₀ ) | φ( x , t ₀ ) | Ψ (t ₀ ) の時間発展は

Ψ (t ₀ ) | φ( x , t ₀ ) | Ψ (t ₀ ) → S Ψ(t) | φ( x , t ₀ ) | Ψ (t) S

= Ψ (t ₀ )|e ^{iH(t−t 0 )} φ(x, t 0 )e ^{−iH(t−t 0 )} |Ψ(t 0 ) (2.4)

• ハイゼンベルグ描像

この描像では 演算子のみが時間発展

但し，観測可能な物理量に直結する行列要素は，描像の選び方に左右されてはならない：

S Ψ(t) | φ( x , t ₀ ) | Ψ(t) S = Ψ(t ₀ ) | φ _H ( x , t) | Ψ (t ₀ ) (2.5) これより

φ _H (x, t) = e ^{iH(t−t 0 )} φ(x, t 0 )e ^{−iH(t−t 0 )} (2.6)    = ⇒ ハイゼンベルク方程式

i ∂

∂t φ _H (x) = [ φ _H (x), H ] (2.7)

• 相互作用描像（朝永–ディラック描像）

ハミルトニアンを自由部分 H ₀ と相互作用部分 H _I に分割 H = H ₀ + H _I

この描像では，演算子が H ₀ に従って時間発展する：

i ∂

∂t φ _T (x) = [ φ _T (x), H ₀ ] (2.8) 行列要素が描像に依らないという要求により

|Ψ (t) S = e ^{−iH 0 t} |Ψ (t) T (2.9) すると状態の時間発展は

i ∂

∂t | Ψ(t) T = H _I (t) | Ψ (t) T (2.10) 但し，H _I (t) はこの描像での相互作用ハミルトニアンで

H _I (t) = e ^{iH 0 t} H _I e ^{−iH 0 t} =

d ³ x e ^{iH 0 t} H _I (π(x), φ(x))e ^{−iH 0 t}

=

d ³ x H I (e ^{iH 0 t} π( x )e ^{−iH 0 t} , e ^{iH 0 t} φ( x )e ^{−iH 0 t} )

=

d ³ x H I (π(x), φ(x)) (2.11)

2-2. 状態の時間発展：摂動展開

以下では相互作用描像で話を進める．

i ∂

∂t | Ψ (t) T = H _I (t) | Ψ (t) T = ⇒ ∂

∂t | Ψ (t) T = − iH _I (t) | Ψ (t) T

の両辺を時刻 t ₀ から t まで積分

|Ψ (t) = |Ψ (t ₀ ) + (−i) ^t

t 0

dt H _I (t )|Ψ (t ) (2.12) H _I が微小定数を含む場合にはこれは逐次近似法で解ける．

第０次近似： H _I = 0 と置くと

| Ψ(t) = | Ψ (t ₀ )

となる．これを (2.12) の右辺の |Ψ (t) に代入

| Ψ (t) = 1 + ( − i)

_t

t 0

dt ₁ H _I (t ₁ ) | Ψ (t ₀ )

これをまた (2.12) の右辺の | Ψ(t) に代入

| Ψ(t) = 1 + ( − i)

_t

t 0

dt ₁ H _I (t ₁ ) + ( − i) ²

_t

t 0

dt ₁

_{t 1}

t 0

dt ₂ H _I (t ₁ )H _I (t ₂ ) | Ψ (t ₀ )

これを繰り返し

|Ψ (t) = 1 + (−i) ^t

t 0

dt ₁ H _I (t ₁ ) + (−i) ^{2 t}

t 0

dt ₁

_{t 1}

t 0

dt ₂ H _I (t ₁ )H _I (t ₂ ) + · · · ·

+(−i) ^{n t}

t 0

dt ₁

_{t 1}

t 0

dt ₂ · · · ^{t n−1}

t 0

dt _n H _I (t ₁ )H _I (t ₂ ) · · · H _I (t _n )

+ · · · · |Ψ (t ₀ ) (2.13) 第 n 次の積分項： 各積分の上端・下端より積分変数の大小関係は常に

t > t ₁ > t ₂ > · · · > t _n−1 > t _n > t ₀

被積分関数に θ(t ₁ − t ₂ )θ(t ₂ − t ₃ )θ(t ₃ − t ₄ ) · · · θ(t _n−1 − t _n ) を掛ける        ⇓

すべての積分の上限を t にそろえることが出来る：

(−i) ^{n t}

t 0

dt ₁

_t

t 0

dt ₂ · · · ^t

t 0

dt _n H _I (t ₁ )H _I (t ₂ ) · · · H _I (t _n )

×θ(t ₁ − t ₂ )θ(t ₂ − t ₃ ) · · · θ(t _n−1 − t _n )

定積分の場合：積分変数にはどんな文字を使ってもよい        ⇓

t ₁ , t ₂ , · · ·, t _n を t _p(1) , t _p(2) , · · ·, t _p(n) で置き換える．

（t _p(1) , t _p(2) , · · · , t _p(n) は t ₁ , t ₂ , · · · , t _n を適当に並べ変えたもの）．

すべての積分の上端・下端は同じ t, t ₀ になっている．

       ⇓

各積分の順序は自由に交換出来，常に左から t ₁ 積分，t ₂ 積分，· · · としておける：

(−i) ^{n t}

t 0

dt _p(1)

_t

t 0

dt _p(2) · · · ^t

t 0

dt _p(n) H _I (t _p(1) )H _I (t _p(2) ) · · · H _I (t _p(n) )

×θ(t _p(1) − t _p(2) )θ(t _p(2) − t _p(3) ) · · · θ(t _p(n−1) − t _p(n) )

= ( − i) ⁿ

_t

t 0

dt ₁

_t

t 0

dt ₂ · · · ^t

t 0

dt _n H _I (t _p(1) )H _I (t _p(2) ) · · · H _I (t _p(n) )

×θ(t _p(1) − t _p(2) )θ(t _p(2) − t _p(3) ) · · · θ(t _p(n−1) − t _p(n) ) この並べ変え（順序交換）P は全部で n! 通り．

それらをすべて足し合わせ全体を n! で割ったものは，元の積分の値に等しい．

足し合わされた被積分関数の全体

P

H _I (t _p(1) )H _I (t _p(2) ) · · · H _I (t _p(n) )

× θ(t _p(1) − t _p(2) )θ(t _p(2) − t _p(3) ) · · · θ(t _p(n−1) − t _p(n) )

は時間順序積 T[H _I (t ₁ )H _I (t ₂ ) · · · H _I (t _n )] そのもの

従って (2.13) は

| Ψ(t) = 1 + ( − i)

_t

t 0

dt ₁ H _I (t ₁ ) + ( − i) ² 2

_t

t 0

dt ₁

_t

t 0

dt ₂ T[ H _I (t ₁ )H _I (t ₂ ) ] + · · · ·

+ (−i) ⁿ n!

_t

t 0

dt ₁

_t

t 0

dt ₂ · · · ^t

t 0

dt _n T[ H _I (t ₁ )H _I (t ₂ ) · · · H _I (t _n ) ]

+ · · · · | Ψ (t ₀ ) (2.14) 2-3. Ｓ行列演算子

t = t _i = −∞ の初期状態が t = t _f = + ∞ でどんな状態に遷移するかを考える場合    = ⇒   (2.14) 式で t ₀ = −∞ , t = + ∞ と置く．

Ｓ行列（演算子）の導入：

| Ψ (+ ∞ ) = S | Ψ( −∞ ) (2.15)

従って，Ｓ行列の摂動展開表現は

S = 1 + S ⁽¹⁾ + S ⁽²⁾ + · · · + S ⁽ⁿ⁾ + · · ·

= 1 + (−i) ^+∞

−∞ dt ₁ H _I (t ₁ ) + (−i) ² 2

_+∞

−∞ dt ₁

_+∞

−∞ dt ₂ T[ H _I (t ₁ )H _I (t ₂ ) ] + · · · ·

+ ( − i) ⁿ n!

_+∞

−∞ dt ₁

_+∞

−∞ dt ₂ · · · ^+∞

−∞ dt _n T[ H _I (t ₁ )H _I (t ₂ ) · · · H _I (t _n ) ]

+ · · · · (2.16)

或いは，ハミルトニアン密度を用いて S = 1 + (−i) d ⁴ x ₁ H I (x ₁ ) + (−i) ²

2

d ⁴ x ₁

d ⁴ x ₂ T[ H I (x ₁ )H I (x ₂ ) ] + · · · ·

+ ( − i) ⁿ n!

d ⁴ x ₁

d ⁴ x ₂ · · · d ⁴ x _n T[ H I (x ₁ ) H I (x ₂ ) · · · H I (x _n ) ]

+ · · · ·  （４次元積分の積分領域は全時空） (2.17)

相互作用が微分結合を含まない場合

L (φ, ∂ _μ φ) = L 0 (φ, ∂ _μ φ) + L I (φ), π = ∂ L

∂ φ ˙ = ∂ L 0

∂ φ ˙ より

H = π φ ˙ − L = ∂L ₀

∂ φ ˙

φ ˙ − L 0 − L I = H 0 − L I

となるから

H I (x) = −L I (x) (2.18)

従って，Ｓ行列は S = 1 + i

d ⁴ x ₁ L I (x ₁ ) + i ² 2

d ⁴ x ₁ d ⁴ x ₂ T[ L I (x ₁ )L I (x ₂ ) ] + · · ·

≡ T exp[ i

d ⁴ x L _I (x) ] (2.19)

もし L I が微分結合を含むなら

π = ∂ L 0

∂ φ ˙ + ∂ L I

∂ φ ˙ となり，結果として

H = H 0 + ∂ L _I

∂ φ ˙

φ ˙ − L I    = ⇒    H I = ∂ L _I

∂ φ ˙

φ ˙ − L I = −L I

となってしまう．  →  上式のようにＳを L _I (x) で表せない？

しかし，相互作用が繰り込み可能なら，Ｔ積を Ｔ ^∗ 積のことと理解すれば S = T exp[ i

d ⁴ x L I (x) ] がやはり成立する. ^2.1

2.1 H _I = −L _I + [

差額

]

とすると，この「差額」とＴ積 を Ｔ

^∗

積と読み替える時に現れる「差額」とが 打ち消し合ってしまうのである．詳しくは例えば「

Quantum Field Theory

」（

C. Itzykson, J-B. Zuber,

McGraw-Hill Inc.

）の

6-1-4

節参照．

3. ^{反応確率と散乱断面積}

3-1. 断面積の定義

ある反応（粒子１・２の衝突）の散乱断面積（または衝突断面積）とは：

単位体積・単位時間当りの反応回数を，両粒子の個数密度と | 相対速度 | で割った量 両粒子の個数密度を ρ ₁ , ρ ₂ , 相対速度の大きさを v _rel とし，衝突が，体積 V の空間内で 時間 T の間に N 回起こった場合の断面積 σ は

σ = N/(V T ρ ₁ ρ ₂ v _rel ) (3.1)

• 微分断面積

終状態として特別な状態，例えば入射粒子がビーム方向に対して角度 θ と θ + dθ の間 に散乱される状態，のみに着目する場合：

反応の回数も微小になるはずなので，N , σ をそれぞれ dN , dσ と書き改め

dσ = dN/(V T ρ ₁ ρ ₂ v _rel ) (3.2)

として，この dσ 或いは dσ/dθ を（この方向への）微分断面積と呼ぶ．

「質量 m _1,2 ，運動量 p _1,2 の粒子」

が衝突して

「質量 M _i ，運動量が q _i と q _i + d ³ q _i の間にある粒子（ i = 1 ∼ n ）」

が生まれる反応の断面積を，Ｓ行列および測定されるエネルギー・運動量で表現する．

• 相対速度の大きさ v _rel

v _rel = |v 1 − v 2 | = |p ₁ /p ⁰ ₁ − p ₂ /p ⁰ ₂ | =

(p ₁ p ₂ ) ² − m ² ₁ m ² ₂ /(p ⁰ ₁ p ⁰ ₂ ) (3.3)

• 粒子ビームの個数密度 ρ p|p =

d ³ x ψ _pp ^∗ ( x )ψ _pp ( x ) =

d ³ x | ψ _pp ( x ) | ²

だから，p|p ＝全空間内に存在する粒子の総数

= ⇒ 状態 |p の粒子密度 ρ は p|p を V

全空間

(= d ³ x ) で割って得られる：

ρ = p|p /V

全空間

この講義での規格化 p|p = (2π) ³ 2p ⁰ δ ³ ( p − p ) より p|p = (2π) ³ 2p ⁰ δ ³ (0) = 2p ⁰

d ³ x e ^{ippx x x} | _pp=0 = 2p ⁰

d ³ x = 2p ⁰ V

全空間

従って，

ρ = 2p ⁰   (3.4)

• 終状態の表現

フォック基底の完全性条件

n

_n

i

d ³ p ˜ _i |p ₁ · · · p _n p ₁ · · · p _n | = 1 (3.5) 但し，n = 0 の場合には 左辺 = |00| と約束．また，状態の中に m 個の同種粒子が ある場合には，積分で同じ状態を重複して数えないよう対応する項を m! で割る．

この完全性条件により，任意の状態 |Ψ は

|Ψ =

n

n i

d ³ p ˜ _i |p ₁ · · · p _n p ₁ · · · p _n |Ψ (3.6)

と展開され，そのノルムも

Ψ | Ψ =

n

_n

i

d ³ p ˜ _i |p ₁ · · · p _n | Ψ | ² (3.7)

と表される．

• １粒子状態 |p の場合は，p|p = 「粒子の総数」

• 一般の状態では，Ψ|Ψ ＝「|Ψ が記述する状態の総数」

（3.7）式は，全ての状態の中で，各粒子の運動量がそれぞれ p _i と p _i + d ³ p _i の間に

入っている n 粒子状態の数が

n i

d ³ p ˜ _i |p ₁ · · · p _n | Ψ | ²

であることを意味する．

我々が知りたい量： 始状態 |α ≡ |p ₁ p ₂ が（反応を経て）S|α になったときに，

そこに含まれる状態 |β ≡ |q ₁ · · · q _n の個数．

⇓      

上式の | Ψ に S | α を， p ₁ · · · p _n | に β | を代入すればよい：

= ⇒ 断面積の定義 (3.2) における反応回数 dN は dN =

n i=1

d ³ q ˜ _i | β | S | α | ² (3.8)

• 不変散乱振幅

どんな反応の前後でも全エネルギー・運動量 P は保存される

⇓      

β | S | α には δ ⁴ (P _β − P _α ) という因子が含まれている．それを抜き出して

β | S | α = i(2π) ⁴ δ ⁴ (P _β − P _α ) M βα (3.9)

と表す．この M βα を不変散乱振幅と呼ぶ．

3-2. 散乱断面積の一般公式

• 一般の反応

この β | S | α で記述される遷移の舞台は全時空で，その体積は [V T ]

全時空

=

d ³ x dt =

d ⁴ x 従って，

|β|S|α| ² = |(2π) ⁴ δ ⁴ (P _β − P _α )M _βα | ²