九州大学学術情報リポジトリ

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Kyushu University Institutional Repository

BKP方程式のソリトン解の分類

田中, 悠太

早稲田大学基幹理工学研究科

丸野, 健一

早稲田大学理工学術院

児玉, 裕治

オハイオ州立大学

https://doi.org/10.15017/2924849

出版情報：応用力学研究所研究集会報告. 2019AO-S2, pp.31-36, 2020-03. 九州大学応用力学研究所 バージョン：

権利関係：

応用力学研究所研究集会報告No.2019AO-S2

「非線形波動研究の多様性」（研究代表者 永井 敦）

Reports of RIAM Symposium No.2019AO-S2 Diversity in the research of nonlinear waves

Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu University, Kasuga, Fukuoka, Japan, October 31 - November 2, 2019

Research Institute for Applied Mechanics Kyushu University

March, 2020 Article No. 06 (pp. 31 - 36)

BKP 方程式のソリトン解の分類

田中 悠太（ Tanaka Yuta ^{），丸野 健一（} Maruno Ken-ichi ^），児

玉 裕治（ Kodama Yuji ^）

BKP 方程式のソリトン解の分類

早稲田大学基幹理工学研究科 ◯田中悠太（Yuta TANAKA）

早稲田大学理工学術院 丸野健一（Ken-ichi MARUNO） オハイオ州立大学 児玉裕治（Yuji KODAMA）

イントロダクション

KP方程式は代表的なソリトン方程式であり，KP^{方程式のソリトン解は}Wronskian^表示やGramian 表示を持つ．KP^方程式のWronskian表示のソリトン解に対してCauchy-Binet^{の公式を適用して}τ ^関 数を指数関数の和の形に展開すると係数として係数行列の最大次の小行列式が現れるため，KP^方程式 のソリトン相互作用を分類するという問題は全ての最大次小行列式が非負な行列を分類するという問題 に帰着する．この問題に対してChakravarty-Kodamaは完全置換や L -diagramなどの組み合わせ論的道 具を用いてKP方程式のソリトン相互作用の分類に成功した[1–4]．

それに対してDKP(coupled KP)^方程式やBKP^方程式はPfaffian^{表示の解を持つ．}DKP^方程式は Wronski^型Pfaffian^解やGram^型Pfaffian^{解を持ち，特に}Wronski^型Pfaffian ^{表示のソリトン解に対} してはCauchy-Binet^の公式のPfaffian^{類似である}Ishikawa-Wakayama^のPfaffian^{の和公式が適用で} き，ソリトン相互作用の解析がある程度なされている[5, 6]^．一方でBKP^{方程式については}Wronski^型

Pfaffian解が知られておらず，Gram型Pfaffian表示のソリトン解に対して解析しやすい表示が得られて

いないためソリトン相互作用の解析は全くなされていない．

本稿ではBKP方程式のGram型Pfaffian表示のソリトン解に対してIshikawa-WakayamaのPfaffian の和公式が適用できる表示を与え，その表示を用いたソリトン相互作用の解析について考察する．

BKP 方程式のソリトン解の Gram 型 Pfaffian 表示

BKP^階層 [7–9]^の方程式

[D⁶₁−5D³₁D₃−5D²₃+ 9D₁D₅]τ ·τ = 0

[D⁸₁+ 7D⁵₁D3−35D²₁D₃²−21D³₁D5−42D3D5+ 90D1D7]τ·τ = 0 ...

(1)

はGram型Pfaffian解

τ = Pf(1,2, . . . ,2N), (2)

Pf(i, j) =ci,j+

∫ _t1

D1fi·fjdt1 (ci,j =−cj,i), (3)

∂f_i

∂tn

= ∂ⁿf_i

∂tⁿ₁ (n= 1,3,5, . . .) (4)

を持つ [10, 11]．ここでD_iは広田のD-演算子 D_i^mD_jⁿg·f :=

∑m µ=0

∑n ν=0

(−1)^µ+ν (

m µ

) ( n ν

)

∂^{(m−µ)+(n−ν)}g

∂t^m_i ^−µ∂tⁿ_j^−ν

∂^µ+νf

∂t^µ_i∂t^ν_j (5)

1

である．分散関係式(4)^{を満たすものとして} f_i =

∑M j=1

b_i,je^θj (M ≥2N), (6)

θ_j =

∑∞ l=1

κ^2l_j⁻¹t_2l−1 (κ²₁ >· · ·> κ²_M) (7) を選ぶとソリトン解が得られる．この時，Cauchy-Binet^{の公式を用いると}Pfaffian^{の各成分は}

Pf(i, j) =ci,j+

∫ _t1

D1fi·fjdt1

=ci,j−

∫ _t1

fi ∂t1fi

fj ∂t1fj

dt1

=c_i,j−

∫ _t1

(

b_i,1 · · · b_i,M bj,1 · · · bj,M

)





e^θ1 κ1e^θ1 ... ... e^θM κ_Me^θM





 dt₁

=c_i,j+ ∑

1≤m<n≤M

b_i,m b_i,n b_j,m b_j,n

κ_m−κ_n κ_m+κ_ne^θm+θn

=ci,j+ ∑

1≤m<n≤M

( bi,mbj,n

κ_m−κ_n κm+κn

e^θm+θn+bi,nbj,m

κ_n−κ_m κn+κm

e^θn+θm )

=ci,j+ ∑

1≤µ,ν≤M

bi,µbj,ν

κµ−κν

κµ+κν

e^θµ+θν

=ci,j+B^{i}E(B^{j})^⊤

=c_i,j+B^{i}E(B^⊤)_{j}

= (C+BEB^⊤)^{_{ⁱ_j^}_}

(8)

と変形できるのでτ^関数は

τ = Pf(1,2, . . . ,2N)

= Pf[C+BEB^⊤] (9)

と表される．ただし各行列は

C= (ci,j)_1≤i,j≤2N (ci,j =−cj,i), (10)

B = (bi,j)1≤i≤2N 1≤j≤M

, (11)

E=

(κi−κj

κ_i+κ_je^θi+θj )

1≤i,j≤M

(12) であり，行列A^から第i1, . . . , im行，第j1, . . . , jn列を抜き出した行列をA^{_{ⁱ_j^1,...,im}

1,...,jn} と表す．ここで反対

称行列Cは適当な正則行列Rを用いて

RCR^⊤=















0 1

−1 0

O

. ..

O

0 1

O

O O















=:J^(L,N) (rankC= rankJ^(L,N)= 2L,0≤L≤N) (13)

とできるので適当なゲージ変換の後にRB^をB^{と置き直せば}

τ = Pf[J^(L,N)+BEB^⊤] (14)

としても一般性を失わないことに注意し，以下この形の解について解析する．

Gram 型 Pfaffian 表示のソリトン解の展開

BKP方程式のソリトン解(14)は

τ = Pf[J^(L,N)+BEB^⊤]

= Pf [(

I_2N I_2N

) ( J^(L,N) O_2N O2N BEB^⊤

) ( I_2N I2N

)] (15)

と変形されるので，Ishikawa-Wakayama^のPfaffianの和公式によって指数関数の和の形に展開できる．

公式 1 (Ishikawa-Wakayama^のPfaffian^の和公式[12]). 2n×m^行列A^（m≥2n^）とm^{次反対称行} 列B^に対して

Pf[ABA^⊤] = ∑

1≤i1<···<i2n≤m

Pf[B_{^{_i^i1,...,i2n}

1,...,i2n}] det[A_{i1,...,i2n}] が成り立つ．

実際に展開すると τ = Pf

[(

I_2N I_2N

) ( J^(L,N) O2N

O2N BEB^⊤ ) (

I2N

I2N

)]

= ∑

1≤i1<···<i_2N≤4N

(

I_2N I_2N )

{i1,...,i2N}

Pf



 (

J^(L,N) O_2N O2N BEB^⊤

)_{i1,...,i2N}

{i1,...,i2N}





=

∑L l=0

∑

1≤i1<···<i_l≤L

Pf









(J^(L,N))_{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il}

{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il} O_{2l×(2N−2l)} O_{(2N−2l)×2l} (

BEB^⊤)[2N]\{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il} [2N]\{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il}









=

∑L l=0

∑

1≤i1<···<il≤L

Pf [(

BEB^⊤

)[2N]\{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il} [2N]\{2i1−1,2i1,...,2i_l−1,2i_l}

]

=

∑L l=0

∑

1≤i1<···<il≤L

Pf [

B^{[2N]\{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il}}E (

B^{[2N]\{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il}} )_⊤]

=

∑L l=0

∑

1≤i1<···<il≤L 1≤j1<···<j2N−2l≤M

B_{^[2N]_j ^{\{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il}}

1,...,j2N−2l} κj1,...,j2N−2le^{θj1+···+θj2N−2l},

(16)

κ_j1,...,jn := ∏

1≤µ<ν≤n

κ_jµ−κ_jν

κ_jµ+κ_jν >0 (κ²₁>· · ·> κ²_M) (17) となり，係数行列B^によってτ 関数の正値性が決定される．ただしここで[2N] ={1,2, . . . ,2N}^とし

3

た．特にL=N^の時，式(16)^はさらに τ =

∑N l=0

∑

1≤i1<···<il≤N 1≤j1<···<j2N−2l≤M

B^[2N_{j ^{]\{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il}}

1,...,j2N−2l} κ_{j1,...,j2N−2l}e^{θj1+···+θj2N−2l}

=

∑N l=0

∑

1≤j1<···<j_2l≤M



 ∑

1≤i1<···<i_l≤N

B_{j^{{2i1−1,2i1,...,2il−1,2il}}

1,...,j2l}



κj1,...,j2le^{θj1+···+θj2l}

=

∑N l=0

∑

1≤j1<···<j2l≤M

Pf [(

B^⊤J^(N,N)B

)_{j1,...,j2l} {j1,...,j2l}

]

κ_j1,...,j2le^{θj1+···+θj2l},

(18)

Pf[A^ϕ_ϕ] := 1 (19)

と変形できるので，τ 関数を展開した時の指数関数の係数としてB^⊤J^(N,N)B の全ての偶数次主小行列 のPfaffianが現れる．次にL < Nの場合も適当なゲージ変換によってL=N の場合に帰着させること を考える．具体例としてL= 0，N = 1，M = 4，|B_{1,4}|,|B_{3,4}| ̸= 0の時，

τ = Pf[J^(0,1)+BEB^⊤]

=|B_{1,2}|κ1,2e^θ1+θ2 +|B_{1,3}|κ1,3e^θ1+θ3 +|B_{1,4}|κ1,4e^θ1+θ4 +|B_{2,3}|κ_2,3e^θ2+θ3 +|B_{2,4}|κ_2,4e^θ2+θ4 +|B_{3,4}|κ_3,4e^θ3+θ4

≎1 +a_1,3κ_1,3e^θ1+θ3+a_1,4κ_1,4e^θ1+θ4 +a_2,3κ_2,3e^θ2+θ3 +a_2,4κ_2,4e^θ2+θ4 + (−a1,3a2,4+a1,4a2,3)κ1,2,3,4e^{θ1+θ2+θ3+θ4} (κ3 → −κ3, κ4→ −κ4),

(20)

a1,3 =|B_{3,4}|⁻¹|B_{1,4}|κ⁻_1,3¹κ⁻_1,4¹κ⁻_3,4¹, a_1,4 =|B_{3,4}|⁻¹|B_{1,3}|κ⁻_1,3¹κ⁻_1,4¹κ⁻_3,4¹, a_2,3 =|B_{3,4}|⁻¹|B_{2,4}|κ⁻¹_2,3κ⁻¹_2,4κ⁻¹_3,4, a2,4 =|B_{3,4}|⁻¹|B_{2,3}|κ⁻_2,3¹κ⁻_2,4¹κ⁻_3,4¹

(21)

となる．ただし≎^{はゲージ変換}

f ≎g ⇔ f =e^{α1t1+α3t3+···}g (22) を意味し，式(20)の2行目から3行目では|B_{3,4}|κ_3,4e^θ3+θ4 で括り出すゲージ変換を行った後に−κ₃，

−κ₄をあらためてκ₃，κ₄と置き直す操作を行った．ここで

B˜=









1 ^a_a^2,3

1,3 0 0

0 0 a_1,3 a_1,4

0 1 0 0

0 0 0 ^a1,3a2,4_a^−a1,4a2,3

1,3







↔B˜^⊤J^(2,2)B˜ =







0 0 a_1,3 a_1,4 0 0 a_2,3 a_2,4

−a_1,3 −a_2,3 0 0

−a1,4 −a2,4 0 0





 (23)

なる新たな係数行列B˜をとると先程の議論から τ = Pf[J^(0,1)+BEB^⊤]

≎1 +a1,3κ1,3e^θ1+θ3 +a1,4κ1,4e^θ1+θ4 +a2,3κ2,3e^θ2+θ3+a2,4κ2,4e^θ2+θ4 + (−a1,3a2,4+a1,4a2,3)κ1,2,3,4e^{θ1+θ2+θ3+θ4}

= Pf[J^(2,2)+ ˜BEB˜^⊤]

(24)

と表示できることがわかる．ここでは具体例を用いて説明したが，一般のJ^(L,N)，B行列についても同 様にして新たな係数行列B˜を与えることが可能である．これらのことをまとめると

• BKP方程式のGram型Pfaffian表示のソリトン解はτ = Pf[J^(L,N)+BEB^⊤]と表示できる．

• L =N の時，τ 関数を展開した時の指数関数の係数としてB^⊤J^(N,N)Bの全ての偶数次主小行列

のPfaffian^{が現れる．}

• L < Nの時，あるN˜ ×M行列B˜が存在してτ ≎Pf[J^{( ˜N ,N˜)}+ ˜BEB˜^⊤]とゲージ変換できる．

となり，M ^{次反対称行列}B^のN×M^行列B^を用いたB =B^⊤J^(N,N)Bという分解がゲージ変換分の 自由度を除いて一意であることに注意すると次の結論が得られる．

主結果 1. BKP^方程式のGram^型Pfaffian表示のソリトン解のソリトン相互作用を分類するとい

う問題は，全ての偶数次主小行列のPfaffianが非負である反対称行列を分類するという問題に対応 する．

例 1 (BKP^{ソリトンの例}). u = 2(logτ)xx（t1 = x, t3 = y, t5 = t）のソリトン相互作用は次のように なる．

図1: τ = Pf[J^(1,1)+BEB^⊤], B= (

1 0 0 1

) , κ1= 2, κ2 = 1

図2: τ = Pf[J^(1,1)+BEB^⊤], B= (

1 0 0 0 1 1

) , κ₁ = 2, κ₂ =−1.5, κ₃ = 1

(a) t=−3 (b)t= 3

図3: τ = Pf[J^(1,1)+BEB^⊤], B= (

1 0 −1 0 1 1

)

, κ₁ = 2, κ₂=−1.5, κ₃ = 1

5

(a) t=−2 (b)t= 2

図4: τ = Pf[J^(1,1)+BEB^⊤], B= (

1 1 1 0 0 0 0 1

)

, κ1 = 2.5, κ2 =−2, κ3 = 1.5, κ4 =−1

まとめと今後の課題

BKP^方程式のGram^型Pfaffian表示のソリトン解についてIshikawa-Wakayama^のPfaffian^の和公 式が適用できる表示を与え，τ 関数を展開した時の各指数関数の係数が反対称行列の偶数次主小行列の

Pfaffianで与えられることを示した．特にBKP方程式のソリトン相互作用を分類するという問題が，全

ての偶数次主小行列が非負な反対称行列を分類するという問題に対応することがわかった．全ての偶数 次主小行列が非負な反対称行列の分類に適した完全置換や L -diagramに類する組み合わせ論的対応物を 見つけること，及び三輪変換によって得られる離散BKP方程式のソリトン相互作用の解析が今後の課 題である．

参考文献

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[7] E. Date, M. Kashiwara, T. Miwa, 1981, Proc. Japan Acad. 57A, 387.

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