リヤプノフの方法によるある常微分方程式の解の安定性について
教科・領域教育専攻 自然系コース(数学) 岡本 芙由子
1常微分方程式の基本定理
この章では?一般的な連立方程式系についてう初 期値問題の解の一意性?解の延長可能性について 示す.
2解の安定性
この章では ，ffi.nの領域 D で定義された常微分 方 程 式 J 、 J 、
//I(x)¥
/ X l¥
f ( x ) = I 1 ， x = I : I
¥! n ( X ) J ¥ x n J
に対し，自励系
dJ~ d t = f ( x ) "
(1)の解の安定性?不安定性について述べる.
今 x=αを
( 1 )
の平衡点，即ちf (
α)= 0
と するとき， αの安定性，不安定性を次のように定 義する.定義
2 . 1
任 意 の
ε>0
に対して，8 ( ε ) > 0
が存在しうI l c ‑ α 1 1
く8 ( ε )
ならば7すべてのt
とO
に対してI l x ( t ， と ) 一 α 1 1
くε
が成り立っときう (1)の平衡点 αは安定である という.安定でない解は不安定であるという.
ここで ，
x ( t
，と)は初期値引0 )
= と を 満 た す (1)の解を示す.3線形化による安定性と不安定性
この章では，特異点における
f ( x )
の線形化行列 の固有値に着目することにより，その特異点の 安定性，不安定性を調べる方法について述べる.4極限集合と不変集合
この章では後程?平衡点の安定性を議論する際に 使われる概念である解の極限集合と方程式の不
指導教官 成川 公昭
変集合について述べる.これらは，次のように定 義される.
定義4.2
D上で定義された方程式 (1)に対して M を Dの部分集合とする. Mの任意の点とを初期値 とする (1)の解
x ( t
，と)がすべての tに対して存 在し?かっ M に属するとき ，M は方程式 (1)の 不変集合であるという.5 リヤプノフの方法
この章では?リヤプノフの方法により常微分方程 式 (1)の平衡点の安定性ぅ不安定性について考え る.その為に V(x)を連続な偏導関数を持つ実数 値関数，及び
方 程 式 (1)に対して V(x)を
δV
よ 『
δVV(x)
= 石
(x)的 ) = L 5 2 ; ( z ) 的 )
で定義する.
定義5.1
方 程 式 (1)に対しう原点は安定でありうかつ内 の任意の点を初期値とするどの解も t→ ∞ の とき零に近づくならば?原点は Dにおいて大域 的に漸近安定であるといわれる.
漸近安定性に関し次の定理が成り立つ.
定 理5.2
方程式
( 1 )
に対して ，V ( X )
をリヤプノフ関数と する.ある実数lに対し ，Dl= =
{xε
DIV(x)く り
としたとき Dl子五日であり，かっ
( i )
V(x)どo
on Dl( i i )
V(x)三o
on Dlとする.又 ，R = {x
ε
DzlV(x) =O }
とし ，Mp o
nべU
円ペU
をRに含まれる最大の不変集合とする.このと き
D z
の中から出る解はうt→ ∞ の と き M に近 づく.定理 5.2を利用することにより，次の 2つの 定理を示すことが出来る.以後係数はすべてリ プシッツを満たすとする.
定理5.3
2階常微分方程式
会 +f(Z)Z+g(z)=O ロ )
において，
f ( x )
，g ( x )
は次の条件を満たすとする.F ( x )
=f o x J ( s ) d s ， G ( x )
=f o x g ( s ) d s
とおいたとき?
( i )
ある定数m>O
が存在し7F ( x )
三o
on( 0
，m)
，F ( x )
三o
on(‑m
，O ) ( i i )
区間(‑m
ヲm)
において，F ( x ) = 0
となる点は有限個であり?これらの点を
‑ mくα1く・・・くαkく m とする.
即ち U~=l{αj} = { x ε (‑m ， m ) I F ( x ) = O } ( i i i ) x ヂ
0に対し，x g ( x ) >
0このとき
( 2 )
と同値な連立方程式22=U‑F(z)?
d t 2=‑g(z)
に対し， D z = { 川 仰 ) + j u 2
くl }
l
= m i n { G ( ‑m) ， G(m)}
とするとう領域
D z
から出る解はすべて原点に近 づく.即ち?原点はD z
において大域的に漸近安 定である.定理5.4
会 +J(~:) 会 +α2+bz=0
を考える.ここで αとbは正の定数とし?関数
f
については?次の仮定を満たすとする.
ω 点列{以}之1が存在し， f ( ω U 仇 昨
k
任意の U
εR¥U% こ 之 1 { 匂
Yk}い
lにこ対し，f ( y ) > ~
α川 I y l
→∞のときうf ρ 勺 U ( h f げ 州
このとき (3め)と同値な方程式
(3)
dx d v
一 二
d t
U~， 一三d t
=z， ‑
一d t = ‑ f ( ν
)z一 切‑bxに対しう原点は大域的漸近安定である.
不安定性については次の定理が成り立つ.
定理5.5
平衡点 Xoに対してう以下の性質を満たす領域 E，El とリヤプノフ関数 V(x)が存在するなら ばぅ Xoは不安定である.
( i ) E
はXoを含む有界開領域( i i )
E1は開領域，ElC E かつ XoεδE1( i i i ) δ
E1 n E上で V(x)= 0
( i v )
E1上で V(x)>
0かつ V(x)>
0この不安定性定理を使うことにより次の 2つ の定理が成り立つ.
定理
5 . 7
( 2 )
と同値な方程式dx ν‑F(z)22=‑g(z)(4) d t
~ ~ \~/ ' d t
に対し，
F ( x )
，g ( x )
は次の条件を満たすとする.ある定数
R>O
が存在し?( i ) x g ( x )
くo
for0
く IxlくR ( i i ) F ( x )
く2 g ( x )
for 0く Ixlく R 又 はF ( x ) > 2 g ( x )
for 0く い ￨ く Rこのとき
( 4 )
の平衡点である零解は不安定である.定理5.9
( 2 )
と同値な方程式( 4 )
においてF ( x )
，g ( x )
は次の条件を満たしているとする.ある定数
R>O
が存在し?( i ) 0
く ZくR
においてx g ( x )
くOかっF ( x )
くO 又は?( i i )
‑RくZくOにおいてx g ( x )
くOかっF ( x ) >
0このとき7零解は不安定である.
円i
q ο
n ぺ
U
