信号処理の実例
情報ネットワーク社会 実世界
２１世紀社会の構造
？
物理化学法則 （従う） 法律・規則 （守る） 物理・化学モデル 計算・情報モデル情報ネットワーク社会 実世界 ＩＤ付与 認証 対象認識 実世界対象 人 自動車 犬 猫 不動産 情報世界対象 数値 文字 図形 グラフ 木構造 関係・相互作用 計算・処理 変化のモデル化 シミュレーション 予測
情報ネットワーク社会 実世界 光景 実世界対象 人 自動車 犬 猫 不動産 情報世界対象 数値 文字 図形 グラフ 木構造 写真 カメラ撮影 （ボケ、ブレ） デ ィ ジ タ ル 化 デ ィ ジ タ ル 化 逆フィルタ
実世界での変換のモデル化
)
(
*
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
h
t
f
t
g
t
h
t
g
t
f
を表わす関数
：歪み（変換）の特性
換後の）対象
：実世界の歪んだ（変
のない）対象
：実世界の真の（歪み
化する。
畳み込みとしてモデル
変換）過程を
実世界における歪み（
逆フィルタ
畳み込みを使った劣化信号の復元
変換器・通信路 （線形で時不変な変換） 入力 出力 ≠入力 との畳み込み による歪み 画像の場合… 逆フィルタ 理想的な画像 劣化画像 ピンボケ = 2次元ガウス関数逆フィルタ
畳み込みを使った劣化信号の復元
変換器・通信路 （線形で時不変な変換） 入力 出力 ≠入力 との畳み込み による歪み フーリエ変換 逆フーリエ変換 逆フィルタ との積 による復元 とすれば 一般に，この逆フィルタはうまく働かない！との畳み込み による歪み
画像劣化のモデル
＋ 雑音 関数 h ：点広がり関数（PSF） ⇒ 画像劣化の性質を表す． 位置不変な 画像劣化の モデル とすると， この項の影響は？ フーリエ変換 復元画像： 変換器・通信路 （線形で時不変な変換） 入力 出力 ≠入力点広がり関数の例
原画像 フーリエ 変換 劣化(ボケ）画像 逆フーリエ 変換 0 0 B：横方向のブレ u v A：ピンボケ 0 0 u v 劣化（ブレ）画像逆フィルタの問題点と改良
0 0 A：ピンボケ B：横方向のブレ u v 0 0 u v ◆単純な逆フィルタ の場合， が小さな範囲では， 雑音成分が非常に大きくなる． 例えば，Aの場合， が大きな範囲のみを利用． 閾値ウィーナ・フィルタ
◆単純な逆フィルタ： ◆低周波成分のみの逆フィルタ： ⇒ ノイズ項を無視している ⇒ SN比が比較的大きいと考えられる 低周波領域のみを利用する． ⇒ 原画像と復元画像の 平均2乗誤差を最小とするような 変換を求める． 雑音に弱い！ 雑音に関する（統計的）性質を 積極的に利用 ◆ウィーナ・フィルタ（Wiener filter） * は複素共役を表す． PN, PS はそれぞれ，雑音と 原信号のパワースペクトル．ウィーナ・フィルタの導出
劣化： 復元： ･･･① ･･･② ② ① 平方完成 M について整理 平均 を最小とする を求める． ※以下では，(u, v)を 省略して表記する． ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( v u M v u H v u N v u F と 決定的関数： と 確率場 ： は独立 と ( , ) ) , (u v N u v Fウィーナ・フィルタの導出
誤差の最小値 ウィーナ・フィルタ（Wiener filter） ※ 雑音成分がない（PN = 0）とすると，このフィルタは に一致し，平均二乗誤差の最小値は 0 となる． ※ 確率場を用いた厳密な説明は， 「ディジタル画像処理（監訳：長尾眞，近代科学社，1978）」の第7章を参照すること． で平均2乗誤差 は最小となる． ※ 通常，正確に求めることができないので，適当な定数 で近似する．結果の比較
ピ ン ボ ケ 劣化画像 単純な逆フィルタ 低周波成分のみの 逆フィルタ ウィーナ・フィルタ 横 方 向 の ブ レ課題９
課題１７
１．真黒な紙に針で穴を開け、紙の後ろに電球を置く。 カメラでフォーカスを色々変えながら、前から紙の画像を撮影する と、ピンボケによる点広がり関数を画像データとして求めることが できる。 ２．紙にフォーカスを合わせた状態で、カメラのシャッタースピード を遅くし、紙を縦や横に動かして画像を撮影すると、ブレによる点 広がり関数を画像データとして求めることができる。 ３．２枚の色の異なった紙を前後に離して置き、フォーカスを変え ながら画像を撮影をするとどうなるかを考えてみよう。 ４．撮影した風景写真１枚を分析して、撮影時に生じた劣化を求め るには、どうすればよいか考えてみよう。★最近米国で発売されたlight field cameraでは、撮影後に 画像のフォーカスを自由に変えることができる。
これまでの復習とこれからの課題
アナログ信号 ・フーリエ変換とラプラス変換 ・デルタ関数の導入によるフーリエ変換の拡張 ・２次元フーリエ変換（２次元周波数） ・畳み込み演算、相関関数 ・CTの原理（１次元フーリエ変換と２次元フーリエ変換の関係） ・逆フィルター 標本化 ・デルタ関数の周期系列 ・標本化定理（折り返し歪み・エイリアシング） ・補間関数 ・２次元標本化定理信号の標本化
n T(
t
)
(
t
nT
)
標本化パルス系列 標本化された信号x
s(
t
)
x
(
t
)
T(
t
)
n st
x
t
t
nT
x
(
)
(
)
(
)
)
,
(
]
[
)
,
(
)}
(
{
)
(
)
(
は整数
は整数
n
n
n
x
n
n
nT
x
t
t
x
s
t 連続関数 数列T
数学の世界 実世界 対象 実世界対象 人 自動車 犬 猫 不動産 情報の世界 情報世界対象 数値 文字 図形 グラフ 木構造 計測 信号
)
(t
x
デ ィ ジ タ ル 化 ディジタル信号]
[n
x
標本化信号)
(t
x
s 標 本 化 量 子 化数学の世界 実世界 対象 実世界対象 人 自動車 犬 猫 不動産 情報の世界 情報世界対象 数値 文字 図形 グラフ 木構造 計測 信号
)
(t
x
デ ィ ジ タ ル 化 ディジタル信号]
[n
x
標本化信号 ) (t xs 標 本 化 量 子 化 （ 符 号 化 ） 離散時間信号 ) (t xc標本化された信号のフーリエ変換
標本化された信号 xs (t) x(t)T (t))
(
*
)
(
2
1
)
(
T sX
X
n s n s s s sn
X
T
du
u
X
n
u
X
X
s)
(
1
)
(
]
)
(
[
2
1
)]
(
*
)
(
[
2
1
)
(
標本化パルス系列のフーリエ変換 ) ( ) ( ] [ 1 ) ( ) ( s s s n s s t jn n t j T T n e T dt e t
F
n t jn T s e T t ( ) 1 フーリエ級数展開 T s 2標本化定理
０ １ M M M X() 0 帯域制限信号 標本化間隔Tで標本化
n s sX
n
T
X
(
)
1
(
)
s 2 T ０ M s M s M s T 1 の場合
M s
2
０ M s s T 1 M s の場合
M s
2
)
(
)
(
)
(
2
MP
TX
X
s
逆フーリエ変換)
2
/
(
)
(
t
Sa
P
の畳み込み
と
F
[
(
)]
)
(
)
(
1
2
MTP
t
x
t
x
s
なので、
の時
)
(
2
)
(
)
(
)
(
f
t
F
F
t
f
)
(
)]
(
[
F
1TP
2T
MSa
Mt
M
n M n M M n M s M M M M M M s M s nT t Sa nT x d nT t Sa x d t Sa nT x t Sa t x t x t t t Sa t Sa T TP T M )) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( )} ( ) ( { ) ( * ) ( ) ( sin ) ( ) ( )] ( [ F 2 2 2 1 なので、 としたとき、 いる！ 異なったものになって がいつのまにか定義と としており、 では 教科書３２ページ式 ) ( sin * ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( (2.67) t x t t nT t nT x t Sa t x t h t x t x s M M n M s s
標本化定理
０ １ M M M X() 0 帯域制限信号)
:
(
n
整数
nT
n
M
n M n M M nT t Sa nT x nT t nT t nT x t x )) ( ( ) ( ) ( )] ( sin[ ) ( ) (
のとき、
M s
2
標本化された信号のフーリエ変換
標本化パルス系列
n T(
t
)
(
t
nT
)
t フーリエ変換T
n s s T () ( n )
s 標本化された信号 xs (t) x(t)
T (t) ) ( ) ( , ) ( ) (t F g t G f ) ( ) ( ) ( ) ( * ) ( ) (
t f t g t W F G
F u G u du t g t f ( ) ( ) 2 1 ) ( ) (
フーリエ変換と畳み込み(b) 処理対象の信号 ) (t0 f ) (t f ) ( ) (t0 g t t0 f (c) フィルタ関数を 平行移動して 倍する t0 f (t0) 畳み込み：
f
g
t
d
t
g
t
f
(
)
*
(
)
(
)
(
)
(a) フィルタ関数（インパルス応答） (d) を変化させたときの波形 t0 (e) (d)の波形を全て重ね合わせて加算した信号 ) ( * ) (t g t f ０ １ M M
n s s T () ( n )
s ０ M s M s M s T 1 の場合 M s 2 畳み込み：
F
(
u
)
G
(
u
)
du
２次元信号の標本化
２次元フーリエ変換
f
x
y
j
ux
vy
dxdy
v
u
F
(
,
)
(
,
)
exp{
(
)}
F u v j ux vy dudv y x f ( , )exp{ ( )} ) 2 ( 1 ) , ( 2 標本化格子：r
mn
m
r
1
n
r
2(
r
(
x
,
y
)
m
,
n
0
,
1
,
2
,...)
周波数領域の 双対格子：
j
i
j
i
r
q
p
v
u
q
p
j i pq0
1
,...))
2
,
1
,
0
,
)
,
(
(
2 1
但し
x
y
u
v
標本化格子：r
mn
m
r
1
n
r
2(
r
(
x
,
y
)
m
,
n
0
,
1
,
2
,...)
周波数領域の 双対格子：
j
i
j
i
r
q
p
v
u
q
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j i pq0
1
,...))
2
,
1
,
0
,
)
,
(
(
2 1
但し
2r
1r
2
1
２次元信号の標本化定理
１次元信号の場合 ２次元信号の場合
n st
x
t
t
nT
x
(
)
(
)
(
)
n s sX
n
T
X
(
)
1
(
)
の面積
で作られる平行四辺形
2 1,
:
A
)
(
A
1
)
(
)
(
)
(
)
(
r
r
F
F
r
r
r
f
r
f
p q pq s m n mn s
標本化定理の意味
０ M s M s M s T 1 の場合
M s
2
) ( ) ( ) ( M P TX X s 逆フーリエ変換 の畳込み とF [ ( )] ) ( ) ( 1
M TP t x t x s )
:
(
n
整数
nT
n
M
n M n M M nT t Sa nT x nT t nT t nT x t x )) ( ( ) ( ) ( )] ( sin[ ) ( ) (
る。 間と見なすことができ これは、離散信号の補 の値が求められる。 における 以外の任意の て を畳み込むことによっ と 標本化された信号 つまり、 ) ( ) ( ) ( t x t nT t t Sa t xs M t
離散信号の補間法(I)
t
t
t
t
T
t
T
1
のとき
のとき
t
t
t
t
x
t
x
ˆ
(
)
(
)
１．最近傍補間
)
(
)
(
)
(
ˆ
t
x
t
x
t
x
２．線形補間
離散信号の補間法(II)
３．３次多項式補間
|)
|
2
(
0
)
2
|
|
1
(
|
|
|
|
5
|
|
8
4
)
1
|
|
0
(
|
|
|
|
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ
2 3 3 2t
t
t
t
t
t
t
t
t
C
nT
t
C
nT
x
t
x
n４．標本化定理
)
:
(
n
整数
nT
n
M
n M n M M nT t Sa nT x nT t nT t nT x t x )) ( ( ) ( ) ( )] ( sin[ ) ( ) (
t
nT課題９
課題１８
行いなさい。
の値をいろいろ変えて
、
計算においては、
。
との誤差を描きなさい
それぞれ計算で求め、
を
の復元結果
の関数
補間、標本化定理で元
補間、３次多項式
から最近傍補間、線形
関数
で標本化した
を標本化周波数
また、
なさい。
両者の誤差関数を描き
の近似関数であるが、
は
補間関数
s s st
x
t
x
t
x
t
x
t
t
x
t
Sa
t
C
0 0)
(
)
(
ˆ
)
(
)
(
sin
)
(
)
(
)
(
補間が必要となる処理
• サンプリング周波数の変換
– Downsampling：サンプリング周波数を下げる – Upsampling：サンプリング周波数を上げる
画像の幾何学的変換・補正
計算
幾何学的変換 幾何学的変換
原画像（白枠の部分を拡大）
