統計学教育における数式処理システムの利用

統計学教育における数式処理システムの利用

Examples of Using a Computer Algebra System in Statistics Education

ネットワーク情報学部 石鎚英也

School of Network and Information Hideya ISHIZUCHI

Keywords: statistics, education, CAS, Maxima

Abstract

This essay suggests the possibility of statistics education using a computer algebra system (CAS) by

attempting to derive typical probability distributions from normal distributions using CAS.

はじめに

統計学は難しい．例えば，最も重要な分布である正規分 布からしてその由来がよく分からないという学生さんが多 いのではないだろうか．正規分布から派生する確率分布に ついては言わずもがなである．しかしながら，初等的な統 計学の教育でも，オーソドックスな推定・検定の授業では， そうした分布の話を避けては通れない． ある統計学のテキスト_{[5]に以下のような記述がある：} 「伝統的統計学の初等的学習では，_{𝑡𝑡分布・𝐹𝐹分布・カイ 2} 乗分布などの標本分布を導出しません．『～という統計量は ～分布することが知られている』と天下りに教えられまし た．（中略）それどころか統計学の授業を担当している教員 自身が導いたことがないという場合も少なくないのであ る．」このように，統計量の分布について曖昧さなしに教え ることは非常に難しいが，それを使わずに済ませることは できないので，天下り的に認めてもらうというのが，多く の授業で採られているやり方ではないだろうか． ビッグデータとかデータサイエンスとかエビデンス・ベ ースト・アプローチといった新語が人口に膾炙し，大学教 育でも実務的・実践的なデータ解析の教育が重視されてき ているようである．しかしながら，昨今の数式離れの風潮 からすると，基礎的な内容であっても，統計学の数理的な 側面については，今後さらに手薄になっていくのではない かと危惧される．例えば，ほとんど数式がでてこない統計 学の入門書もある_{[9]（誤解のないよう付言すると，文章と} 図版だけで統計学の概念や手法を説明しようとするそうし た試みの価値を否定するものではない）． 特に文系の学部では，理論は必ずしも必要ないとする考 え方もあり得るが，統計学の数理的な背景がある程度は分 かる，あるいは，時間をかければ理解できるはずだといっ た感触を得ることは，よく分からないまま手順をただ暗記 するのと比して，少なくとも，精神的には健全であろう． 本小論は，数式処理システム（_{CAS）を使って，正規分布} から派生する典型的な確率分布の導出を試み，_{CAS を利用} した統計教育の可能性を示唆するものである．手で行うに は煩雑な積分も，数式処理システムを利用することで，腕 力に自信のない人でも計算できるし，些末な計算より導出 の大きな流れに意識を集中できるというメリットもある． ただし，当然ながら，その代償として，ソフトの利用方法 を知り，書式に則してスクリプトを作る必要がある．従っ て，このようなアプローチによる教育は，他学部と比して， ネットワーク情報学部のような文理・情報系の学部により 適していると思われる． 数 式 処 理 シ ス テ ム と し て ， 専 修 大 学 の 端 末 室 で は Mathematica が利用可能であるが，以下では，フリーウェ アである_{Maxima（wxMaxima 17.10.0）を用いることにす} る．なお，Maxima のスクリプトについての詳しい解説は 省略する（ヘルプや[10]などを参照されたい）．

準備

2.1. 逆関数

24 専修ネットワーク＆インフォメーション No.26. 2018 10 専修ネットワーク＆インフォメーションNo.××，2012

付録

a.1.

視覚化（Maximaスクリプトの例）

a.2.

偏差平方和の分布

ここでは，下記の命題について，[8]に示されている証明 を紹介し，また，特に，_{𝑛𝑛 = 2と𝑛𝑛 = 3の場合について，より} 具体的にMaxima で証明の流れを確かめる．なお，この証 明では，直交行列による変数変換を用いており，基礎的な 線形代数の知識を仮定する． 𝑛𝑛個の独立な確率変数𝑧𝑧𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑛)がいずれも同一の 正規分布_{𝑁𝑁(μ, σ}2_{)に従うとき，（標準偏差で基準化され} た）偏差平方和_{𝑥𝑥 = ((𝑧𝑧1− 𝑧𝑧̅) 𝜎𝜎⁄ )}2_{+ ⋯ + ((𝑧𝑧𝑛𝑛− 𝑧𝑧̅) 𝜎𝜎⁄ )}2の 確率分布は（自由度_{𝑛𝑛 − 1の）𝜒𝜒}2分布に従う．ただし，_𝑧𝑧̅ は標本平均である． まず，_{𝑧𝑧𝑖𝑖}を標準化して_{𝑤𝑤𝑖𝑖= (𝑧𝑧𝑖𝑖− 𝜇𝜇) 𝜎𝜎⁄ と置くと，𝑤𝑤𝑖𝑖}は標準 正 規 分 布 に 従 う が ，_{𝑤𝑤𝑖𝑖− 𝑤𝑤̅ = (𝑧𝑧𝑖𝑖− 𝜇𝜇) 𝜎𝜎⁄ − (𝑧𝑧̅ − 𝜇𝜇) 𝜎𝜎⁄ =} (𝑧𝑧𝑖𝑖− 𝑧𝑧̅) 𝜎𝜎⁄ なので，下記の命題を示せばよいことが分る（た だし，_{𝑤𝑤̅は𝑤𝑤𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑛)の標本平均）．以下こちらを示す．} 𝑛𝑛個の独立な確率変数𝑤𝑤𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑛)がいずれも標準正 規 分 布 に 従 う と き ， 偏 差 平 方 和_{𝑥𝑥 = (𝑤𝑤1− 𝑤𝑤̅)}2_{+ ⋯ +} (𝑤𝑤𝑛𝑛− 𝑤𝑤̅)2の確率分布は（自由度𝑛𝑛 − 1の）𝜒𝜒2分布に従う． 一行目の要素が全て_{1 √𝑛𝑛⁄ であるような𝑛𝑛次元正規直交行} 列の一つを_{𝑄𝑄とする．このような行列は実際に存在する．例} えば，_𝑞𝑞1を要素が全て_{1 √𝑛𝑛⁄ であるような𝑛𝑛次元行ベクトル} とし，_{𝑞𝑞𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 2, ⋯ , 𝑛𝑛)を第𝑖𝑖要素のみが 1 で他は 0 であるよ} うな_{𝑛𝑛次元行ベクトルとすると，これらは線形独立なので，} グラム・シュミットの正規直交化法で正規直交系を得て， それらを並べた行列を作ればよい． そ の 直 交 行 列_{𝑄𝑄 を 使 っ て ， 𝑤𝑤 = (𝑤𝑤1 ⋯ 𝑤𝑤𝑛𝑛)}𝑡𝑡か ら _{𝑦𝑦 =} (𝑦𝑦1 ⋯ 𝑦𝑦𝑛𝑛)𝑡𝑡への変数変換 (𝑦𝑦⋮1 𝑦𝑦𝑛𝑛 ) = 𝑄𝑄 (𝑤𝑤⋮1 𝑤𝑤𝑛𝑛 ) を考える． 最初に，_{𝑦𝑦𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛𝑛)が独立に標準正規分布に従うこと} を示す：_{𝑤𝑤𝑖𝑖}の同時分布は，独立性の仮定から標準正規分布 の積 ∏ 1 √2𝜋𝜋exp (− 𝑤𝑤𝑖𝑖2 2 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = (2𝜋𝜋)−𝑛𝑛2∙ exp (− ∑𝑤𝑤₂𝑖𝑖2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ) = (2𝜋𝜋)−𝑛𝑛2∙ exp (−1_{2 𝑤𝑤}𝑡𝑡 _𝑤𝑤) で与えられる．また，_{𝑄𝑄の直交性から𝑄𝑄}−1_{= 𝑄𝑄}𝑡𝑡なので 𝑤𝑤𝑡𝑡 _{𝑤𝑤 = (𝑄𝑄}−1_𝑦𝑦)𝑡𝑡_𝑄𝑄−1_{𝑦𝑦 = (𝑄𝑄}𝑡𝑡_𝑦𝑦)𝑡𝑡_𝑄𝑄−1_{𝑦𝑦 = 𝑦𝑦}𝑡𝑡 _𝑦𝑦 である．そして，_{𝑤𝑤 = 𝑄𝑄}𝑡𝑡_{𝑦𝑦のヤコビアンは𝑄𝑄の直交性から} |𝑄𝑄𝑡𝑡_{| = |𝑄𝑄| = ±1} で，絶対値が1 なので，𝑦𝑦_𝑖𝑖の同時分布も_(2𝜋𝜋)−𝑛𝑛2∙ exp (−1 2𝑦𝑦𝑡𝑡 𝑦𝑦) となる．すなわち，_{𝑦𝑦𝑖𝑖}は独立に標準正規分布に従う． 次に， ∑(𝑤𝑤𝑖𝑖− 𝑤𝑤̅)2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = ∑ 𝑦𝑦𝑖𝑖2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=2 を示す： ∑(𝑤𝑤𝑖𝑖− 𝑤𝑤̅)2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = ∑ 𝑤𝑤𝑖𝑖2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 2𝑤𝑤̅ ∑ 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 + ∑ 𝑤𝑤̅2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = ∑ 𝑤𝑤𝑖𝑖2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 𝑛𝑛𝑤𝑤̅2 = 𝑤𝑤𝑡𝑡 _{𝑤𝑤 − 𝑛𝑛𝑤𝑤̅}2_{= 𝑦𝑦}𝑡𝑡 _{𝑦𝑦 − 𝑛𝑛 (}1 𝑛𝑛 ∑ 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ) 2 = ∑ 𝑦𝑦𝑖𝑖2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − (∑𝑤𝑤𝑖𝑖 √𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ) 2 = ∑ 𝑦𝑦𝑖𝑖2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 𝑦𝑦12 = ∑ 𝑦𝑦𝑖𝑖2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=2 以上から，_{𝑥𝑥 = ∑ (𝑤𝑤}𝑛𝑛_{𝑖𝑖=1 𝑖𝑖− 𝑤𝑤̅)}2は，_{𝑛𝑛 − 1個の独立な標準正} 規分布の平方和なので，自由度_{𝑛𝑛 − 1の𝜒𝜒}2分布に従うことが 示された．□ /* 正規分布と自由度 1, 3 のχ2 分布 */ load ("descriptive")$ load("distrib")$ r_s:make_random_state(123)$ set_random_state(r_s)$ n:10000$ z1:random_normal(0,1,n)$ z2:random_normal(0,1,n)$ z3:random_normal(0,1,n)$ f(x):=pdf_normal(x,0,1)$

wxdraw2d(grid=true,title="Standard Normal Distribution", histogram_description(z1, nclasses=[-4,4,15], fill_color=red, frequency=density), explicit(f(x),x,-4,4), xrange=[-4,4])$ rootscontract(f(x));

assume(x>0)$ f1(x):=pdf_chi2(x,1)$

wxdraw2d(grid=true,title="Chi-Square Distribution with 1 Degree of Freedom", histogram_description(z1^2, nclasses= [0,8,15], fill_color=red, frequency=density), explicit (f1(x),x,0,8), xrange=[0,8])$

rootscontract(f1(x)); f3(x):=pdf_chi2(x,3)$

wxdraw2d(grid=true,title="Chi-Square Distribution with 3 Degrees of Freedom", histogram_description(z1^2+z2^2+ z3^2, nclasses=[0,12,15], fill_color=red, frequency =density), explicit(f3(x),x,0,12), xrange=[0,12])$