スライド 1

FRPのモデリング・シミュレーション（1）

ーFRPとその力学への導入および均質化法の適用事例ー

不確かさのモデリング・シミュレーション法に関する研究会

2015. 9.10 慶應義塾大学矢上キャンパス

筑波大学 大学院

システム情報工学研究科

松田 哲也

豊村 仁，伊藤 祐，岩下 結城，久保 凱，佐藤 仁彦

本日の内容

1. FRP（ Fiber-reinforced plastics）について

・ 代表的なFRP ・ FRPの構造的特徴

3. 均質化法の適用事例

2. FRPの力学と解析手法

・ 複合則 ・ Halpin-Tsai則 ・ 等価介在物法 ・ シアラグモデル ・ CFPR積層板 ・ 平織積層板 弾-粘塑性解析，クリープ解析，ミクロ層間応力解析 負のポアソン比，熱弾-粘塑性ツースケール解析 損傷解析，弾-粘塑性トリプルスケール解析

代表的なFRP ～CFRP積層板～

炭素繊維をポリマーで固める

さらに積層する

CFRP積層板（Carbon Fiber-Reinforced Plastics Laminates）

100μm

CFRP積層板 最も代表的な複合材料 高比強度，高比剛性，高耐食性

代表的なFRP ～CFRP積層板～

2 3 Al O /Al (whisker) 4 B C (whisker) /Al Boron/Resin 2 3 Al O /Ni (whisker) S-Glass/Resin Boron/Al Carbon/Resin Boron/Ni St, Ti Al 6 10 m 4 10 m 2 3 4 5 10 20 30 40 3 4 5 10 比剛性 比 強 度

比強度･･･単位重量あたりの強度

比剛性･･･単位重量あたりの剛性

軽くて強い！

出典：複合材料（機械システム入門シリーズ） 三木，元木，福田，北条，（1997）

代表的なFRP ～CFRP積層板～

代表的なFRP ～織物積層板～

繊維束

ポリマー

平織FRP積層板

（Plain-Woven Fiber-Reinforced Plastics Laminates）

代表的なFRP ～織物積層板～

平織GFRP積層板

平織CFRP積層板

平織FRP積層板

代表的なFRP ～織物積層板～

LEXUS LFA

平織FRP積層板

ミクロレベル 構造物レベル ○繊維の力学挙動 ・弾性 ・損傷／破断 ・熱特性 …etc ○母材の力学挙動 ・弾性 ・粘弾性 _・塑性 ・粘塑性 _{・クリープ} ・損傷 _{・熱特性 …etc} 繊維・母材の特性 フリーエッジ ラミナ層間 繊維／母材界面

FRPのマルチスケール構造

CFRP積層板の全体挙動 材料特性レベル ミクロ構造 ○繊維／母材 ○積層構造 ○織構造 ・弾性 ・塑性 ・クリープ ・熱特性 ・粘弾性 ・粘塑性 ・損傷／破断 …etc

本日の内容

1. FRP（ Fiber-reinforced plastics）について

・ 代表的なFRP ・ FRPの構造的特徴

3. 均質化法の適用事例

2. FRPの力学と解析手法

・ 複合則 ・ Halpin-Tsai則 ・ 等価介在物法 ・ シアラグモデル ・ CFPR積層板 ・ 平織積層板 弾-粘塑性解析，クリープ解析，ミクロ層間応力解析 負のポアソン比，熱弾-粘塑性ツースケール解析 損傷解析，弾-粘塑性トリプルスケール解析

FRP（複合材料）に対する解析手法

・複合則

・Halpin-Tsai則

・シアラグモデル

・等価介在物法

・セルフコンシステント法

・積層理論

・Aboudiのセル法

・有限要素法

・均質化法

代表的なFRP（複合材料）に対する解析手法

複合則（Voight近似）

複合則（Reuss近似）

複合則により計算されたヤング率

Halpin-Tsai則（経験的手法）

それ以外⇒

シアラグモデル（短繊維の場合）

シアラグモデル（短繊維の場合）

1

2





等価介在物法

S ：Eshelbyテンソル

Eshelbyの楕円体介在物（1957）

Muraらによる体系化

Mori-Tanakaの平均場理論（1973）

今日における

「マイクロメカニクス」

の基礎

複合材料の力学モデルと変形・損傷・破壊解析への応用，東郷敬一郎

数値解析手法の有用性

これまでの方法は，マクロ特性を求めるにあ

たっては有効であったが，ミクロ挙動を見るこ

とには必ずしも適さなかった．

近年の計算機性能の向上．

数値解析的なアプローチの有用性

マルチスケール解析

数値的な均質化手法，有限要素法（FEM）

本日の内容

1. FRP（ Fiber-reinforced plastics）について

・ 代表的なFRP ・ FRPの構造的特徴

3. 均質化法の適用事例

2. FRPの力学と解析手法

・ 複合則 ・ Halpin-Tsai則 ・ 等価介在物法 ・ シアラグモデル ・ CFPR積層板 ・ 平織積層板 弾-粘塑性解析，クリープ解析，ミクロ層間応力解析 負のポアソン比，熱弾-粘塑性ツースケール解析 損傷解析，弾-粘塑性トリプルスケール解析

均質化法について

Microscopic ◆ユニットセル問題◆ , i kl i





：特性関数 , , ( ) ( ) kl p ij ijpq pk ql q kl ijkl kl k l c E c







 



◆微視的発展式◆ Macroscopic , , ( ) ( ) kl p ij ijpq pk ql q kl ijkl kl k l c E c







 



◆巨視的関係式◆ 〈 〉：体積平均

CFRP積層板のマルチスケールモデリング

ラミナの応力変化 ( ) ( ) , kl i i  





A E R  特性関数 （均質化法） 積層構成 （積層理論） 微視的応力変化 巨視的構成式

(a) Laminate (b) Lamina (c) Unit Cell

 N 1 X 2 X 3 X ( ) f  ( ) 1 y ( ) 2 y ( ) 3 y ( ) Y ( ) 1 x ( ) 2 ( 2) x X ( ) 3 x ( ) 1 X 2 X 3 X 12

0.01 0.02 50 100 150 0 Macroscopic strain E33 Ma cro sc op ic stre ss 33 [M Pa] Experimental = 10 -3 _s-1 = 10 -5 s-1 = 10 -7 s-1 E33 . Simulated 0.01 0.02 50 100 150 0 Macroscopic strain E33 Ma cro sc op ic stre ss 33 [M Pa] Experimental = 10 -3 _s-1 = 10 -5 s-1 = 10 -7 s-1 E33 . Simulated

弾-粘塑性解析

4 1 12 5 3 31 4 31 3 5 0 0.165 MPa _, mm/mm _, s 1.55 10 0.49 2.40 10 0.28 2.47 10 3.5 10 0.35 10 35 ( ) 141.8( ) 10 f f f f f m m p p p E E G E n g       （応力） （ひずみ） （時間） 　炭素繊維 エポキシ

ユニットセルモデル

1 y 2 y Y 母材 繊維 Y 一方向CFRP積層板 クロスプライCFRP積層板

材料定数

45°

45°

弾-粘塑性解析

0.01 0.02 200 400 600 800 0 Experimental = 0° = 10° = 20° = 30°  Macroscopic strain E33 Ma cro sc op ic stre ss 33 [M Pa] fractured Predicted

 0.01 0.02 100 200 300 400 500 0 10° 20° 30° 45° = 0°  Experimental Ma cro sc op ic stre ss 33 [M Pa] Macroscopic strain E33 Predicted

 0.01 0.02 100 200 300 400 500 0 Experimental = 0°1 = 45° = 10° = 60° = 20° = 90° = 30°   Predicted Ma cro sc op ic stre ss 33 [M Pa] Macroscopic strain E33



解析結果

実験結果を精度良く 予測している 一方向 クロスプライ 擬似等方

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0 1.0 2.0 Creep time tc[h] M ac ros copi c s tr ai n E33 [% ] , ,

クリープ解析

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.0 2.0 0 Creep time [h] Macr oscop ic stra in E33  c = 84 MPa = 63 MPa = 44 MPa 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.0 2.0 0 Creep time tc [h] M ac ro sco pic str ai n E33  c = 84 MPa = 63 MPa = 44 MPa 0.01 0.02 0 [ 30 ]  1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.0 2.0 0 Creep time tc[h] M a c ros copi c s tr a in E33 [% ] _ c = 84 MPa = 63 MPa = 44 MPa [ 45 ]  [ 60 ]  解析結果 実験結果 0.01 0.02 50 100 150 0 Macroscopic strain E45° Macr o sco p ic st rai n E0 ° 実験結果 = 10 -3 s-1 = 10 -5 s-1 = 10 -7 s-1 E45° 解析結果 

解析条件

4 1 12 5 3 31 4 31 3 5 0 0.165 MPa _, mm/mm _, s 1.55 10 0.49 2.40 10 0.28 2.47 10 3.5 10 0.35 10 35 ( ) 141.8( ) 10 f f f f f m m p p p E E G E n g       （応力） （ひずみ） （時間） 　炭素繊維 エポキシ

材料定数

温度: 100 C[ ] 積層構成:

 

30

 

45

 

60 183, 77, 28 [MPa ] クリープ応力: アングルプライ積層板 実験結果を概ね良く 予測している 

+θ -θ

負のポアソン比

巨視的ポアソン比および

ミクロ応力 分布



T 積層方向ポアソン比-ひずみ関係 繊維垂直方向応力分布 -154 -90.2 -26.6 37.1 101 [MPa] [±30] [±45] [±60]

y1 y2 y3 y1 T L y1 T L y1 T L T  Y 16 fibers 16 fibers +θ -lamina −θ -lamina

. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..

ミクロ層間応力解析

解析モデルおよび層間せん断応力分布

2 y 3 y [MPa] 8.997E+00 8.097E+00 7.197E+00 6.298E+00 5.398E+00 4.498E+00 3.599E+00 2.699E+00 1.799E+00 8.997E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 繊維本数：16 繊維本数：16 0°プライ 90°プライ 8 A A2 A1

2 y 3 y 1 y 0.5% E_ 



熱弾-粘塑性ツースケール解析

0 , _q ij Up x d ijn U dj i           





0 0 0 0 0 , , , , q j j j ijpq p x i x ij j i ijkl kl i x ijkl kl i x c U U d n U d c U d T c U d                    









マクロ応力の釣合式

マクロ構成式





0 0 0 ij

c

ijkl

E

kl kl

T

kl













マクロ境界値問題

マクロスケール ミクロスケール 0 ijkl c 0 kl  0 kl  T ：均質化された弾性剛性テンソル ：均質化された粘塑性関数 ：均質化された線膨張係数 ：温度変化率 3 x 2 x 1 x    1 y 2 y 3 y

T



熱弾-粘塑性ツースケール解析

単位： [mm] 1 x 3 x 2 x 300 30 2 0  . モデル寸法

マクロモデル

ミクロモデル

材料定数

温度履歴          2 6 0 25 RTM6 MPa _{0 0179 6 4939 2344 5} 0 38 0 1939 92 677 10 K 0 069 52 774 0 3486 233 38 . 0 0546 32 . . . . . . . . . . . . m m m p p E _{T T} n _T T g T T                          エポキシ の材料定数 ヤング率 ポアソン比 線膨張係数 硬化関数 ₀₄₆         6 6 HTA GPa ₂₃₅ GPa _{19 1} 0 28 0 33 GPa _{7 2} 10 K _{0 4} 10 10 K LL TT LL TT LT LL TT E E G         _       . . . . . 炭素繊維 の材料定数 ヤング率 ヤング率 ポアソン比 ポアソン比 せん断剛性率 線膨張率 線膨張率 クロスプライ 非対称積層板 0 0 90 90/ / /  0 2000 4000 6000 8000 50 100 150 200 Time [s] T e m pe ra tur e Case1 Case2

0 プライ 90 プライ 1 y 3 y 2 y 0 0 MPa 0 1 y 3 y 2 y 0 MPa 0 0 0 プライ 90 プライ 1 y 3 y 2 y 1 y 3 y 2 y 0 0 [%] 0 0 0 0 [%]

熱弾-粘塑性ツースケール解析

1 x 3 x 2 x ミクロ相当応力σ_eq分布 相当粘塑性ひずみ 分布  p MPa 0 0 0 0 2000 4000 6000 8000 50 100 150 200 Time [s] T e m pe ra tur e Case1 Case2 解析結果（熱応力・ひずみ分布）

0 プライ 90 プライ 1 y 3 y 2 y 1 y 3 y 2 y 0.12 0.06 [%] 0 0.13 0.06 0 [%]

熱弾-粘塑性ツースケール解析

0 プライ 90 プライ 1 y 3 y 2 y 44.2 1.64 MPa 22.9 1 y 3 y 2 y 45.5 MPa 23.7 1.91 p  1 x 3 x 2 x MPa 27.7 0 13.8 ミクロ相当応力σ_eq分布 相当粘塑性ひずみ 分布  p 0 2000 4000 6000 8000 50 100 150 200 Time [s] T e m pe ra tur e Case1 Case2 解析結果（熱応力・ひずみ分布）

積層ずれを有する平織積層板の損傷解析

基本セルA



,



kl ij

c

ijkl pk ql p q

E

kl





 





マクロ構成式



,



( , )

kl ij

t

c

ijkl pk ql p q

E

kl



y



 





微視的応力の発展式 Hoffman則













2 2 1 2 2 3 4 5 2 2 2 6 7 8 9 T Z Z L L T L T Z TZ ZL LT F C C C C C C C C C                        

0 0.01 0.02 0 100 200 (0,0) (0,l/4) (0,l/2) (0.3l/4) (0,l) (l/4,0) (l/4,l/4) (l/4,l/2) (l/4,3l/4) (l/2,0) (l/2,l/4) (l/2,l/2) (l/2,3l/4) (3l/4,0) (3l/4,l/4) (3l/4,l/2) M a c ro sc op ic S tre ss  33 [M P a ] Macroscopic Strain E₃₃[-]

積層ずれを有する平織積層板の損傷解析

■:損傷要素(モードL(L軸引張)) ■:損傷要素(モードT(T軸引張)) ■:損傷要素(モードLT(LTせん断)) ■:損傷要素(モードZ (Z軸引張)) ■:損傷要素(モードZL(ZLせん断)) ■:損傷要素(モードTZ(TZせん断)) ■:非損傷要素

巨視的負荷方向応力

-ひ

ずみ関係

0, 0 2 y 3 y 1 y 3 , 0 4 l       0 0.01 0.02 0 100 200 (0,0) (0,l/4) (0,l/2) (0.3l/4) (0,l) (l/4,0) (l/4,l/4) (l/4,l/2) (l/4,3l/4) (l/2,0) (l/2,l/4) (l/2,l/2) (l/2,3l/4) (3l/4,0) (3l/4,l/4) (3l/4,l/2) M a c ro sc op ic S tre ss 33 [M P a ] Macroscopic Strain E₃₃[-]

弾-粘塑性トリプルスケール解析

繊維束 母材 繊維 母材 マクロスケール メゾスケール ミクロスケール ユニットセル 基本セル 半ユニットセル 局所化 局所化 均質化 均質化