5. 変分法 (5. 変分法 汎関数 : 関数の関数 (, (, ( =, = では, の値は変えないで, その間の に対する の値をいろいろと変えるとき, の値が極地をとるような関数 ( はどのような関数形であるかという問題を考える. そのような関数が求められたとし, そのからのずれを変分 δ と

April 22, 2016

平成

_{28年度 学部前期}

http://www.biorobotics.mech.nagoya-u.ac.jp/

丸山 央峰

教科書：力学Ⅱ（原島 鮮 著，裳華房）

金用日：

_{8限，9限，10限（15：35~18：00）}

１５．変分法（

15.1変分法）

汎関数：関数の関数 x=a, x=bでは，yの値は変えないで， その間のxに対するyの値をいろいろ と変えるとき，Iの値が極地をとるよう な関数y（x）はどのような関数形であ るかという問題を考える． そのような関数が求められたとし， そのからのずれを変分δyとよぶと， 右図より， 即ち 極値をとる：曲線の形状を極微小だけ変化させたときIの変化が零であること





b a

f

x

y

x

y

x

dx

I

(

,

(

),

'

(

))



























b a

_y

y

dx

f

y

y

f

I

'

'







)

(

)

(

dy

d



y







'



(



)

dx

dy

dx

dy

y

















dx

dy

y

'



１５．変分法（

15.1変分法）

よって Iが極値をとるためのは，δI＝0，δyは任意なので あるいは，合成関数の微分公式より 与えられた変分法の問題についてのEulerの微分方程式



























































































































b a b a b a b a b a

ydx

y

f

dx

d

y

f

I

dx

y

y

f

dx

d

y

y

f

dx

y

y

f

dx

dx

y

d

y

f

y

y

f

I

















'

'

'

)

(

'

)

(

))

(

'

),

(

,

(

x

y

x

y

x

f

x

f



0

'

'

'

2 2 2 2 2 2





























y

f

dx

y

d

y

f

dx

dy

y

y

f

y

x

f

＝

₀

0

'

























y

f

y

f

dx

d

左辺では，x, y, y’は独立と 考える

１５．変分法（

15.1変分法）

例１ 平面上の2定点の長さが極小となる曲線を求めよ． ＜解＞ 曲線の長さ Eulerの方程式で として よって あるいは 2 2 2 2 2 2

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

dx

dx

dy

dy

dx

ds





















dx

y

ds

I

b a B A











₁

_'

2

0

'

1

'

2



















 y

y

dx

d

2

'

1

)

'

,

,

(

x

y

y

y

f





D

Cx

y

const

y

'









A

B

0

'

'

'

2 2 2 2 2 2





























y

f

dx

y

d

y

f

dx

dy

y

y

f

y

x

f

dx

dy

ds

１５．変分法（

15.1変分法）

例2 円柱面（半径R）上の2定点の長さが極小となる曲線を求めよ． ＜解＞ 曲線の長さ Eulerの方程式で として よって





     

ds

Rd

dz

R

z

d

I

B A B A B A

















₍

₎

2

₍

₎

2 2

_'

2

0

'

2

'

2

2 2















 z

R

z

d

d



2 2

_'

)

'

,

,

(

z

z

R

z

f







const

z

'



D

C

z







１５．変分法（

15.1変分法）

例3 球面（半径R）上の2定点の長さが極小となる曲線を求めよ． ＜解＞ 曲線の長さは，球座標（r，θ，φ）を用いて Eulerの方程式で として よって

















B A B A B A

d

R

d

R

Rd

ds

I

     











2 2 2 2

₍

_sin

₎

₁

_sin

_'

)

(

C

const

d

d



























2 2 2 2 2 2

'

sin

1

'

sin

0

'

sin

1

'

sin











2 2

_'

sin

1

)

'

,

,

(













f

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

sin

sin

'

'

sin

)

(sin

)

'

sin

1

(

'

sin

'

sin

1

'

sin

C

C

C

C

C

C

































y

x

z

φ

θ

r

m

１５．変分法（

15.1変分法）

ここで，cotθ=tとおく この式は原点を通る平面を表している．







sin

cos

cot











_







































1

/

1

sin

)

1

(

1

sin

sin

2 1 2 2 2 2

C

t

dt

t

C

C

d

C

C

0

)

sin

cos

(

0

cos

)

sin

cos

sin

cos

sin

sin

(

0

cos

)

sin(

sin

0

cot

)

sin(

cot

)

sin(

1

/

1

)

sin(

2









































z

x

y

D

a

a

a

D

D

D

D

C

D

D

t











































y

x

z

φ

θ

r

m

１５．変分法（

15.1変分法）

例4 最速降下線問題をもとめよ ＜解＞ 必要な時間 Eulerの方程式で として よって



















1 1 1 1 0 2 0 0 0

₂

'

1

2

x x x t

gy

dx

y

gy

ds

ds

dt

I



0

2

'

1

'

1

'

2 3 2 2

























_y

y

y

y

y

dx

d

y

y

y

y

x

f

2

'

1

)

'

,

,

(





0

)

'

1

(

''

'

2

_

_

2

_

y

y

y

y

x

o

g

P

１５．変分法（

15.1変分法）

を解く 初期条件 y＝0（θ＝0）でx＝0

dx

d

a

dx

d

a

a

a

a

y

dx

dy

y

a

y

a

y

y

y

dy

p

pdp

dy

dp

p

dx

dy

dy

dp

dx

dp

p

y

p

dx

dy

y





























































)

cos

1

(

2

sin

2

)

1

(cos

2

)

cos

1

(

2

)

cos

1

(

2

)

'

1

(

0

1

2

'

''

,

'

2 2

0

)

'

1

(

''

'

2

y

y





y

2



)

sin

(

2









a

x

１５．変分法（

15.1変分法）

以上より解はサイクロイド曲線を描く サイクロイド曲線：1つの曲線に沿って円が転がるとき，円周上の1点が描く 曲線がサイクロイド曲線である．

)

sin

(

2









a

x

(

1

cos

)

2







a

y

１５．変分法（

15.1変分法）

２つまたはそれ以上の未知関数がある場合： 汎関数は次式で表され， これを極小にするような関数を求めることとなる． Eulerの微分方程式は

dx

x

z

x

y

x

z

x

y

x

f

I

b a

(

,

(

),

(

),





,

'

(

),

'

(

),





)





0

'

























y

f

y

f

dx

d

0

'

























z

f

z

f

dx

d

１５．変分法（

15.1変分法）

未知関数が他の拘束条件を満足しなければならない場合： 即ち積分 を が満足される範囲内で極大または極小にするようなy=y(x)を求める． Lagrangeの未定乗数法 未定乗数λは次式から求める．

I

dx

y

y

x

g

b a







₍

_,

_,

_'

₎

与えられた値

dx

y

y

x

f

I

b a

(

,

,

'

)







(

,

,

'

)



(

,

,

'

)





0



b

f

x

y

y

g

x

y

y

dx

a





I

dx

y

y

x

g

b a





(

,

,

'

)

１５．変分法（

15.1変分法）

例5 重力場でつるされた両端を固定された糸の形を求めよ． ＜解＞ 糸の長さが一定の元で糸全体の位置エネルギーが最小となる． 汎関数 拘束条件 Lagrangeの未定乗数法より Eulerの微分方程式は

dx

y

y

ds

y

I

x x x x 2

'

1

0 0 0 0











 

I

dx

y

x x







 0 0 2

'

1

0

'

1

)

(

2 0 0











y

y

dx

x x





0

'

1

'

1

'

)

(

₂ 2



























y

y

y

y

dx

d



y

g

ds

dU









P

ds

Q

T

T

θ

θ

保存力であり

系全体で

δU=0と考える

σgds

１５．変分法（

15.1変分法）

整理して， 積分して





1

0

1

1

2

2

)

(

1

)

(

0

1

1

)

(

,

'

2 2 2 2 2 2 2



































































p

p

p

dy

dp

p

p

y

p

dy

dp

y

p

p

p

p

p

y

dy

d

p

dy

df

p

dx

dy

dy

df

dx

df

p

dx

dy

y







2

1 p

pdp

y

dy









2 1

1 p

c

y









１５．変分法（

15.1変分法）

これから ここで， とおくと 積分すると したがって

u

c

y





1



dx

c

y

dy

















 

1

2 1



dx

u

du

c

_

_

1

2 1 1 2

)

(

arccos

c

c

x

u

h













1 2 1

cosh

c

c

x

c

y

0 arccos 0 arcsin 2    



c c x h c c x h c x dx 2 cosh 2 sinh x x x x e e x e e x      

１５．変分法（

15.1変分法）

境界条件 で より この解を拘束条件に導入して よって 上式よりc₁が決まる． また，解とc₁よりλが決まる．







1 1

cosh

c

x

c

y

0

x

x





y



y

₀

c

₂



0

I

dx

c

x

dx

y

x x x x











  0 0 0 0 1 2

_cosh

'

1

1 1 0

1

sinh

2

c

c

x 

0 1 0 1

cosh

y

c

x

c







y

O

y

₀

g

懸垂曲線

x

₀

-x

₀

１６．ダランベールの原理（

16.1ダランベールの原理）

運動の第2法則より 慣性項を力の項に移項して， 質点に働く実際の力と慣性抵抗とを合わせた ものはつり合いにある力の系を形作っている． 慣性抵抗は「加えられた力」の仲間に入れられる． （束縛力でなく） n

F

F

F

mA



₁



₂



...



0

...

2 1



F





F



mA



F

_n

0

...

0

...

0

...

2 1 2 1 2 1































z

m

Z

Z

Z

y

m

Y

Y

Y

x

m

X

X

X

n n n







１６．ダランベールの原理（

16.1ダランベールの原理）

質点に働く実際の力の法線成分と，仮想的な力であるの遠心力とはつりあう． 例：円錐振り子で周方向の運動が制御されているが制御されていなければ 2自由度系である． _{2 2}

/

r

mr



mV



ダランベールの原理 仮想仕事の原理 糸の傾きをθからθ＋δθに変わる 仮想変位を考える．

１６．ダランベールの原理（

16.1ダランベールの原理）











cos

0

cos

0

sin

sin

2 2

l

g

mg

S

S

ml





























cos

0

sin

cos

sin

2 2

l

g

l

mg

l

ml











θ δθ

S

mg

mgsinθω

2

「つり合い」の必要十分条件を「運動力学」に拡張 Lagrangeの変分方程式（ダランベールの原理） 移項して， 特に保存力の場合 積分して

１６．ダランベールの原理（

16.1ダランベールの原理）



















X

_i



m

_i

x



_i



x

_i



Y

_i



m

_i

y



_i



y

_i



Z

_i



m

_i

z



_i



z

_i



0











m

_i

(

x



_i



x

_i



y



_i



y

_i



z



_i



z

_i

)





X

_i



x

_i



Y

_i



y

_i



Z

_i



z

_i







m

_i

(

x



_i



x

_i



y



_i



y

_i



z



_i



z

_i

)





dU





















 

2













1

0

t t

X

i

m

i

x

i



x

i

Y

i

m

i

y

i



y

i

Z

i

m

i

z

i



z

i

dt

宿題

教科書

_{1６章の問題３}

教科書

_{1６章の問題５}

Word・一太郎等での作成OK