6章 無作為抽出と標本分布

無作為抽出 と標本分布

6-1

無 作 為 抽 出 母集団 と標本

調査 や実験 で観測 の対象 となる同種 の事物 の集 ま りを母集 団 とい う

.母

集 団 にはそれ を構成 す る要素 の数 が有 限か無 限か に よって

,有

限 母集団 と無限母集団が ある

.母

集 団 に関す る情報 を得 るた め,それか らと り出 された母集団の一部分 を標本 とい う. 無作為抽 出

標本 か ら母集 団 に関す る統計的推測 を行 うた めには

,標

本 は 母集団の縮図 になるような ものでなければな らない.その ような標本 は無作為 抽 出に よって得 られ る。無作為抽 出 とは

,母

集 団 を構成 す るすべ ての要素が等 確率で標本 のなか に選 ばれ るような標本抽 出の方法 であ る。無作為抽 出 によっ て得 られた標本 を無作為標本(また は単 に標本)とい う

.実

際 の無作為抽 出で は 乱数表が よ く使 われ る。 復元抽 出 と非復元抽 出

母集団か ら標本 を抽 出す る とき

,一

度 と り出 した もの を元 に戻 し

,次

の もの を と り出す方法 を復元抽 出 といい,と り出 した もの を元 に戻 さず

,次

の もの を とり出す方法 を非復元抽 出 とい う. 母数 と統計量

母 集 団 にお けるある変量

Xの

確率分布 をその変量 の母集 団分布 といい,この分布 の特性値 で あ る平均 μ

,分

散 σ2な どを母数 とい う

.一

般 に

,母

集団か らとられた大 きさ

%の

無作 為標本 を表す確率変数

Xl,χ

2,・…, Xη を標本変量 とい う

.標

本 変量 χl,χ2,°…,χ ηは互 い に独立 な π個 の確率 変数 で,その確率分布 はすべて母集 団分布 と同 じで ある。標本 の個数 πを標本 の大 きさといい, 標本平均 χ

=

χ η Σ Ｈ ｌ 一_π 83

84

₆

無作 為抽 出 と標 本 分布

標本分

散

s2=券

_ム

(χJ一

ア

)2 の ような標本変量 χl,X2,° …,Xη の関数 を統計量 とい う。

6-2

標 本 平 均 の分 布 標本平均

Xの

分布 に関 して

,以

下 の定理が成 り立 つ。

Xの

平均 と分散 定理

1

平均 μ

,分

散 σ2の無 限母集団か らとられた大 きさ

%の

標本 の平 均 を

Xと

すれ ば

E(χ

)=μ

y(χ

_)=手

定理

2

平均 μ

,分

散 σ2の有 限母集団か らとられた大 きさ

2の

標本 の平 均 を

X,母

集団の大 きさを Ⅳ とすれ ば

E(χ

)=μ

7(ア

)=4 η

_Ⅳ

_{-1 %}

σ

2

Xの

標本分布 定理

3

平均 μ

,分

散 σ2の 正規母集団か らとられた大 きさ πの標本 の平 均 χ の分布 は

,平

均 μ

,分

散_場 の正規分布 に従 う. 定理

4(中

心極 限定理

)

平均 μ

,分

散 σ2のあ る母 集 団か ら とられ た大 きさ

%の

標本 の平均

Xの

分布 は,η が十分大 きいな らば

,近

似 的 に平均 μ

,分

散 場 の正規分布 に従 う。

6-3

χ

2分

布 ,ι 分 布

,F分

布 χ2分布,′ 分布

,F分

布 はいずれ も正規母集 団か らの標本抽 出 に関連 して導 出 された標本分布 である。 χ2分布

確率密度関数が

ん

(″)=ε

θ

ザ

χザ

ー

1 (χ

>0)

で与 え られ る分布 を自由度 νの χ2分布 とい う.こ こで

_,定

数 εは ん(″)が 密 度関数 で ある とい う条件 か ら決 まる。 χ2分布表 確率変数 χ が 自由度 νの χ2分布 をす る とき

,確

率 αに対 し

６ ．   て χ2分布,ι 分布

,F分

布

P(χ

>ノ

(ν))=α を満たす χ′(ν)の値 の表 を χ2分布表 と いう(付表

5参

照). 定理

5

平均 μ

,分

散 σ2の正規母集団か らとられた大 き 散 を s2と す る とき,

ノ

=子

は自由度 ν=π

-1の

χ2分布 に従 う。 ι分布

確率密度関数が 85 χ:(ν) χ2 さ ηの標本の分 はgν_(′)カジ密i涯蔓 自由度 νの ι分布 2 一ι_多(ν

) O

ι子(ν)

2の

標 本 の平 均 と分 散 を

,F,

gズ

→

=c(1+子

) 学

(一

∞

<χ

<∞

) で与 え られ る分布 を自由度 νの ι分布 とい う。 関数で ある とい う条件 か ら決 まる。 ι分布表

確率変数

Tが

自由度 νの ノ分布 をす る とき

,確

率 αに対 して P(I TI>′ =(ν ))=α

t

を満たす ′

_,(ν)の

値の表を ′分布表 とい

う

(付

表

4参

照

). 定 理

6

正規 母 集 団か ら とられ た大 きさ s2と す る とき, の分布 は, 定理 フ き さ πl, 多2 数 ︱ ︱ ︱ 定 で こ こ

′

=/2-1(∬

―μ

) S 自由度 ν

=%-1の

′分布 に従 う。 2つの正 規 母 集 団 Ⅳ(μl,σ2),Ⅳ(μ2,σ2)から独 立 に と られ た大 の標 本 の平 均 と分散 を ∬

1,Lお

よびs12,s22と す る。この とき, ′=三二

∬

2 (μ l μ2)

s/券

+場

こ こで, ♂

=

は_,自由度 ν=π l+π

2 2の

″分布 に従 う。

86

F分

布

確率密度関数が

れ

豚かαり

_<1+ル

_ド

_甘

で与 え られ る分布 を自由度 νl,ν2の

F分

布 とい う。 母 分散

:

σ

2=12+22+32+42+52_9=2

(b)可

能 な標本 は次 に示す

5C2=10通

りで ある.

6

無作 為 抽 出 と標 本 分布 (″

>0)

こ こ で 定 数 εは れ1,ν2(∬) が密度関数 である とい う条件 か ら決 まる。

F分

布 表 確 率 変 数

Fが

自由度 (νl,ν2)の

F分

布 をす る とき

,確

率 α に対 して,

P(F>几

(νl,ν2))=α を満 たす 鳥(νl,ν2)の値 の表 を

F分

布表 とい う。本書 で は,α=0。05,0.025に 対 す る表 を与 える(付表

6,付

表

7参

照). 定理

8 2つ

の正規母集団 Ⅳ(μl,σ2),N(μ2,σ2)から独立 に とられた πl 個 と π2個 の標本 の不偏分散 を π12,π 22とす る とき,

F=牙

の分布 は,自由度(π

l-1,π

2 1)の

F分

布 に従 う。 例 題 例 題

1(非

復元抽 出による

Xの

標本分布)

5個

の数

,{1,2,3,4,5}か

らなる母集団がある。

(a)こ

の母集団の平均 と分散 を求めよ。

(b)こ

の母集団か ら大 きさ

2の

標本 を非復元抽出で と り出す とき

,す

べての可能な標本 を列挙せ よ。

(C)各

標本 の平均 を求 め, 標本平均 χ の標本分布 を導 け。

(d)こ

の分布の平均 と分散 を求めて,こ れ らの値が公式か ら求めた値 と一致することを示せ。

(e)母

集団分布 と χ の標本分布 をそれぞれ図示せ よ。 解

(a)母

平 均

:

μ

=

1+2+3+4+5

=3 自由度νl,ν2のF分布 標本

(1,2)(1,3)

∬

1.5 2

(1,4)(1,5)

2.5 3

(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)

2.533.53.544.5

例 題

(C)よ

って

,Xの

標本 分布 は

(d)Xの

標本分布 より

E(χ

)=3 (分

_{布の対称性 より})

yC7)=1◆

_52×

_士

_+22×

_奇十

・

・

・

_+4.52×

_士

_{_32=0。 75}

-方

,公

式か らは

E(χ

)=μ

=3

7(ア

)=#召

￨・

子

=:<・

÷

=0・75

Xの

標本分布 か ら求 めた値 に一致 している. ４ ． ５ ︲ 一 ・０ ４ １ 一 １０ ３ ． ５ ２ 一 １０ ３ ２ 一 １０ ２ ． ５ ２ 一 １０ ２ １ 一 １０ ・ ・ ５ ︲ 一 ︲０ 一 ″ 〓 ・ ∬   一 χ Ｐ これ らの値 は

(e)

1.5 2.5 3.5 4.5 2 3 4 Xの標本分布 は (平均 とメジア ンの標本分布) 1,2,3の 目が それ ぞれ

2個

ず つ記入 され たサ イ コロを1回投 げ る とき, 出 る目の平均 μ と分散 σ2を求 め よ。

(a)こ のサ イ コロを

3回

投 げ る とき

,(i)出

る目の平均

,(ii)出

る 目 のメジア ン

,の

標本分布 を導 け.

(b)こ

れら標本分布の平均はいずれもμに等しいことを示し,ど ちら

の分散が小さいかを述べよ

.

∬ P(χ=∬)

6

無作為抽出 と標本分布 よって, _μ

_=1×

÷

+2×

÷

+3×

÷

=2

σ

2=12×

÷

+22×

÷

+32×

÷

_22=

サ イ コロの

3回

の投 げの結果 を χ

l,X2,X3,そ

の標本平 均 を

X,標

本 メ ジ ンを ″ とし

,Xと

〃 の標本値 をそれぞれ ∬ と 協 とす る. (Xl,χ 2,X3)のすべ ての可能 な結果 と,それ に対 す る ∬ の値

,お

よび

%の

値 を次 の表 に示す。 ３ １ 一 ３ ２ １ 一 ３ １ １ 一 ３ ２ 一 ３   ァ 可能 な結果 (∬1,″ 2,″ 3) 一 ″ % 可能 な結果 (″1,∬ 2,∬ 3) 一 ∬ π (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (2,1,1) (1,1,3) (1,3,1) (3,1,1) (2,2,1) (2,1,2) (1,2,2) (2,2,2) (2,2,3) (2,3,2) (3,2,2) １   ４ 一 ３ ４ 一 ３ ４ 一 ３ ５ 一 ３ ５ 一 ３ ５ 一 ３ ５ 一 ３ ５ 一 ３ ５ 一 ３   ２   ７ 一 ３ ７ 一 ３ ７ 一 ３ (3,3,1) (3,1,3) (1,3,3) (3,3,2) (3,2,3) (2,3,3) (1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) (3,3,3) ７ 一 ３ ７ 一 ３ ７ 一 ３ ８ 一 ３ ８ 一 ３ ８ 一 ３   ２ １ 一 ３ × １ 一 ３ × １ 一 ３

=夕

_{で ある}. これ ら

27通

りの結果の得 られ る確率 はいずれ も

この表 よ i)

%

P(〃

=π

)

(b)こ

れ ら2つの分布 はいずれ も2を中心 として対称 であるか ら

E(χ

)=E(〃 )=2=μ

りχ の標本分布 と 〃 の標本分布 は 例 題 よ って, ( ３   １ 一 ２７ ８ 一 ３ ３ 一 ２７ ７ 一 ３ ６ 一 ２７ ２   ７ 一 ２７ ５ 一 ３ ６ 一 ２７ ４ 一 ３ ３ 一 ２７ １   １ 一 ２７ 一 ″

一″ 

 ・ル

Ｐ ３ ７ 一 ２７ ２ １３ 一 ２７ １ ７ 一 ２７ ２ 一 ９ 〓 一 １ 一 ２７ ・４ 一 ２７ ×       〓

ｍ

一

＋     ＋ れ ７ 一 ２７ ７ 一 ２７

な

︼

︼

ま

_，

一

α

 

“

詢

 

ｙ

 

ｙ

分 の χ と ″ よって,

(Xの

標 本 分 布) ある工場で生産 される電球の寿命 は平均 1180時 間

,標

準偏差

20時

間の 正規分布 に従 う.こ の とき

,次

を求めよ.

(a)25個

の電球の無作為標本の寿命 の平均が 1170時 間を超 える確 率.

(b)無

作為に選んだ π個の電球の寿命の平均が

,少

な くとも0。

9の

確 率で 1175時 間を超 えるといえる

%の

値. 解 電球の寿命 を

Xと

す る と χ ∼ Ⅳ (1180,202)

25個

の電球の寿命 を χl,χ2,・…,χ 25,そ の平均 を

ア

=士

_二χ

J とすれ ば,

90 よって

,χ

∼ Ⅳ (1180,42)で ぁるか ら

帥

)ズ

χ

>Hη

浄く

Z> )

=1-0(-2。

5)=0(2.5)=0。9938

(b)η

個 の電 球 の寿命 を χl,χ2,・ …,Xη,その平 均 を

6

無作為抽出 と標本分布

Eσ

_)=H80,7σ

)=讐

=M

アη

=券

豊χ

J

アη

∼Ⅳ

_い

0,等

) P(Xη >1175)≧0。90 P(Xη

<1175)<0.10

P(Z< )≦

0・10

ο

_(一

_子

_)≦

01Qの

_(平

_)≧

090

カ _≧

_1.28⇒

_π≧26.2 とすれ ば, 与 えられた情報 よ り, 正規分布表 よ り よって

,27個

以上。 (正規 変 量 の1結合) 1フ リJ旺1 ‐ ヽ工 場 一 ノ ■T

Xlと X2は

独 立 な確 率 変 数 で,

Xl∼

.Ⅳ

_{(5,2), X2∼ N(3,1)}

の とき

,y=2Xl―

χ2に 対 して

(a)E(y),

(b)7(y),

(C)P(y>8.5)

を求めよ

.

解

(a)E(y)=E(2Xl―

X2)=2E(Xl)一

E(χ

2)=2×

5-3=7

題 例 91

=47(Xl)+7(χ

2) (χ

lと χ2は 独立で あるか ら) =4×

2+1=9

(C)正

規 分布 に従 う独立 な確率変数 χ

l,X2の

一次結合 αlχl+α

2X2は

正 規分布 に従 うか ら よって,

y∼

_N(7,9)

P(y>8.5)=1-P(y<8。

5)

=1-P(Z<¥)

=1-P(Z<0.5)

=1-0(0.5)=1-0.6915=0.3085

例 題

5 (2つ

の平均の差の分布) 確 率 変 数 χ と

yは

独 立 で

,χ

∼ Ⅳ

_(2,1),y∼

N(3,2)と

す る。χ と

yは

_{Xと yに}

_{関 す る そ れ ぞ れ}5イ固の観 測 値 の 平 均 を表 す。この と き, 次 を求 め よ。

(a)E[(χ

-3)2]

(b)E[(χ

+2y)2]

(C)χ

―

yの

分布

(d)P(χ >y)

解

(a)E[(χ

-3)2]=E[(χ -2-1)2]

=E[(χ

-2)2_2(χ

-2)+1]

=E[(χ -2)2]_2E(χ

-2)+1

=1-0+1=2

(b)E[(χ

+2y)2]=E[{χ -2+2(y_3)+8}2]

=E[(χ

-2)2]+4E[(y_3)2]+64

+4E[(χ

-2)(y_3)]+16E(χ

-2)+32E(y_3)

仮 定 よ り

E[(χ

-2)2]=1, E[(y-3)2]=2,

E(χ

-2)=0, E(y_3)=0,

E[(χ

-2)(y_3)]=E(χ

-2)E(y_3) (χ

-2と

y_3は

独 立 だ か ら)

92

であるか ら, よって,

(d)P(χ

>

6

無作為抽 出 と標本分布

E[(X+2y)2]=1+4×

2+64=73

(C)X,yは

正規変数であるか ら

,X―

yも

正規変数 である.

E(χ

一

y)=E(ス

つ一

E(y)=2-3=-1

7(χ

―

y)=7(χ )+7(y)

=÷

+÷ =÷

３ 一 ５ 一 Ⅳ ”   ＞

一

_ｙ

 

刈

一

_卜

 

_一

イ

一 χ Ｐ 〓 一_ｙ

=P(Z>」

号デ計

)==1-ο

(1。291)=1--0.9017==0。 0983 例題

6 (正

規変量の和) 大型 の りん ご

1個

の重 さは平均

330g,標

準偏 差

15gの

正規 分布 に従 い, 並型 の りん ご

1個

の重 さは平均

280g,標

準偏 差

10gの

正 規 分布 に従 う. その とき

,次

の確率 を求 めよ.

(a)無

作為 に選 んだ大 型 の りん ご

3個

の重 さの合計 が

1000gを

超 え る.

(b)大

型 の りん ご

1個

と並型 の りん ご

1個

を無作為 に選 ぶ とき

,並

型 の重 さが大型の重 さを超 える.

(C)無

作為 に選 んだ並型 の りん ご

5個

の重 さの合計 が

,無

作為 に選 ん だ大型 の りん ご

4個

の重 さの合計 を超 える。 解 大 型 の りん ご

1個

の重 さ を χ

,並

型 の りん ご

1個

の重 さ を

yと

す る と χ ∼ Ⅳ

(330,152),y∼

Ⅳ (280,102)

(a)大

型 の りん ご

3個

の重 さ を

Xl,X2,X3と

す れ ば

,,T=Xl+χ

2+X3

の分布 は

E(T)=E(χ

l+χ

2+χ

3)

=E(χ l)+E(χ2)+E(X3)

=330+330+330=990

7(T)=7(Xl+χ

2+X3)

=7(Xl)+7(χ 2)+7(X3) (χ

l,χ

2,X3は

独 立 だ か ら)

例 題 より, 93

=152+152+152=675

よって, ≒1-0(0。

385)=1-0.6499=0.3501

(b)χ

一

yの

分布 は

E(χ

一

y)=E(χ

)―

E(y)

=330-280=50

7(χ

―

y)=7(χ )+7(y)

よ り,

=152+102=325

χ 一

y∼

Ⅳ (50,325) よって,

P(y>ス

つ

=P(χ

一

y<0)=P(Z<号

琵普)

=1-の

(2。774)=1-0.9972=0。 0028

(C)大

型 りん ご

4個

の重 さ を χ

l,X2,X3,χ

4,そ の合 計 を ■

=忍

χJ, 並型 りん ご

5個

の重 さ を

yl,y2,y3,y4,Lそ

の合 計 を

T2=忍

L

とすれ ば

,仮

定 よ り ■ ∼N(1320,4× 152)

T2∼

Ⅳ (1400,5×102) よって, ■ ―

Tl∼

Ⅳ (80,5×102+4×

152)=N(80,1400)

ゆ えに,

P(■

>■

)=P(■

― ■

>0)

T∼

Ⅳ(990,675)

P(T>1060)=P(Z> )

=P(Z>端

)

=1-の

(2.138)=1-0.9837=0。0163

(Xの

平 均 と分散) Xl,X2,° …,Xη を平均 μ

,分

散 σ2の母集団か らの大 きさ

%の

無作為標 本 とし,そ の平均を

Xと

するとき

E(χ

)=μ

,7(χ

)=子

を示 せ 。 94

6

無作為抽 出 と標本分布 解

Xl,X2,°

‥,χ ηは同一母 集 団 か らの無作 為標 本 で あ るか ら

,互

い に独 立 で

,か

つ

E(Xl)=E(χ

2)=…・

_=E(χ

_η)=μ

7(Xl)=7(X2)=…

・

_=7(χ

η)=σ2 よって,

EC7)=E(Xl+χ

2+…

・十χ″

)

=争

α

l+χ 2+…

・

+Xη

)

=号

メ

E(χ

l)+E(χ

2)+…

・

十

E(χ

″

)}

=,(μ

+μ

+…

0+μ ) =μ

yC7)=7(Xl+χ

2+…

・十χη

)

=,7(χ

l+χ

2+…

+χ

η

)(Xl,χ

2,…

ち

χ

η

の

独

立

性より

) =考

_{￨{7(Xl)+7(χ}

2)+…

+7(χ

η

)}

_か

_(σ2+σ

2+…

_+σ2) σ2 π

例 題 例題

8 (独

立な正規変数の和 と差) 解 男子 学 生 の体 重 を

X,女

子 学 生 の体 重 を

yと

す る と,

X∼

N(60,82), y∼

Ⅳ(52,52)

(a)S=X+yと

ぉ くと,

E(S)=E(χ

)+E(y)=60+52=112

7(S)=7(χ )+7(y)=82+52=89

よ って, ゆ えに

S∼

N(112,89)

P(S>100)=1-P(S<100)

=1-P(Z< )

=1-0(-1.272)=0(1.272)=0。

8983

(b)D=χ

―

yと

ぉ くと,

E(D)=E(ス

つ一

E(y)=60-52=8

7(D)=7(ス

つ

+7(y)=89

よ って, ゆ えに

D∼

N(8,89)

P(y>ス

つ

=P(χ

一

y<0)

=P(Z<需

)

=の

(-0。848)

=1-の

(0.848)=1-0.8017=0。1983 ― 例 題

3 (狸

立 な止 現 父 狐 の不‖と差 ノ ある大学 の男子学生 の体重 は平均60 kg,標準偏差 8 kgの 正規 分布 に従 い

_,女

子学生 の体 重 は平均52 kg,標準偏差 5 kgの 正規 分布 に従 う こ とが 知 られ てい る。い ま

,1人

の男子学生 と

1人

の女子学生 を無作 為 に選 ぶ と き

,次

の確率 を求 め よ。

(a)2人

の体重の合計が 100 kgを 超 える.

(b)女

子学生 の方が男子学生 よ りも重 い。

(C)女

子学生 の体重が男子学生の体重の少 な くとも÷ はある。

6

無作為抽出 と標本分布

96

(C)

よ って, 〓 一 一       × 〓５   α 月   ２ ７

と

中

哺

〓 ″

P(y>÷

χ

)=P(7>0)

=P(Z>t看

争)

=の

(0.896)=0.8149 例 題 (独立 な正規 変数 の和) 毎 日定刻 に自宅 を出て会社 に通勤 しているあるサ ラ リーマ ンの通勤所要 時間 (分

)は

次 の

3段

階か らな る。

X:自

_{宅 か ら乗車駅 までの歩行時間 と下車駅 か ら会社 までの歩行 時間} の合計.

y:乗

_{車駅 での電車の待 ち時間}.

Z:電

車 に乗 ってい る時間. χ

,y,Zの

平均 と分散が 平均

標準偏差 ジ( 20 1 y 5 3 Z 40 2 で与 えられ る とき

,次

を求 めよ.

(a)こ

のサ ラ リーマ ンの通勤所要時間の平均 と標準偏差.

(b)X,y,zは

ぃずれ も正規分布 に従 うとして,このサ ラ リーマ ン が 自宅 を出て

1時

間以 内に会社 に着 く確率. 解 通 勤 所 要 時 間 を

7と

す る と ″

=χ

+y+Z

ゆ えに,

題

例 97

(a)E(フ

/)=E(X+y+Z)

=E(ス

つ十

E(y)十

E(Z)

=20+5+40=65(分

) 7(フ

/)=7(χ

+y+Z)

=7(χ

)+7(y)+7(Z) (χ

,y,zは

互 い に独 立 とみ な して)

=12+32+22=14

よ って,

/7(7)=、

江

I=3。

74(分

)

(b)7は

平均

65,標

準偏差3.74の正規分布 に従 うか ら

P(γ

<60)=P(Z<T)=1-の

(1。336)≒0。0908 解 繊 維100本の破 断強度 を

Xl,χ

2,°…,Xl。。とす る と χ J∼ Ⅳ

(1.2,0.12)(グ =1,2,‥

0,100) 100本の東 の破 断強度 を

yと

す る と

y=χ

_{l+χ 2+…}

・

+χ

l。。 よ って

,yは

E(y)=E(χ

l)+E(χ

2)+…・

+E(Xl。

0)=100× 1.2=120

7(y)=7(Xl)+7(χ

2)+…・

+7(χ

10。)=100×0。

12=1

の正規 分布 に従 うか ら,

ズ

y>22"=く

Z> )=卜

_α

_2"‐

_∞

6 [注

]

この問題 では,η=100よ り中心極限定理が使 えるので,繊維の破断強度が 正規分布 に従 うとの仮定がな くて も解 ける。 (中心極限定理)

171JE IU

_{ヽ叶セじ慨 円氏} `こ瑠Eノ あ る種 の繊 維

1本

の破 断強度 は平均1。2 kg,標準偏 差0。l kgの 正規 分 布 に従 う。この繊維 100本の東 に122。5 kgの 荷重 をか ける とき

_,東

が破壊 され る確率 を求 め よ。 乱数表か ら

1桁

の乱数 を

50個

とる とき,そ の平均が4と 5の 間にある 確率 を求めよ. (中心極限定理)

98

解 乱 数 の分布 は離散 型 一様 分布

6

無作為抽出 と標本分布 ″ P(χ=″) で_,この分布 の平均 と分散 は

μ

=0×

士

+1×

士

+・

・

・

+9×

士

=4.5

σ

2=02×

士

+12×

士

+..0+92×

十

_4.52=8.25 で ある。とられた

50個

の乱数 は この分布 を もつ母集 団か らの大 きさ50の無作 為標本 とみなされ るか ら

,50個

の標本 の平均 を χ とすれ ば

E(χ

)=μ=4.5

7(χ

)=子

=」

晋

1=0・165 π

=50は

大 きいか ら

,中

心極 限定理 に よって

,Xは

近似 的 に Ⅳ (4.5,0.165)に 従 う。よつて,

P(4<ア <5)=P(1芳

千

者

「

<Z<ず

_拳

_妾

_号

)

=2の (1.231)-1=2×

0.8909-1=0。7818

6章

の 問 題

6.1

サ イコロを

2回

投 げる とき

,出

た 目の和 の標本分布 を求 め,この分布 の平均 と分散 を求 め よ.

6.2 1の

目 を3つ

,2の

目 を2つ

,3の

目 を1つ もつ サ イ コロ を1回投 げ る とき

,(a)出

る目

Xの

確率分布 を示 し

,(b)そ

の平均 と分散 を求 めよ。

(C)こ

のサイ コロを

7回

投 げ る とき

,出

る 目の平均

Xの

平 均 と分散 を求 め よ.

6.3

χ と

yは

独立 な確率変数 で, χ ∼

N(5,9), y∼

Ⅳ (7,16) の とき,

(a)χ

一y, ９ １ 一 １０ ８ １ 一 １０ ７ １ 一 １０ ６ １ 一 １０ ５ １ 一 １０ ４ １ 一 １０ ３ １ 一 １０ ２ １ 一 １０ １ １ 一 １０ ０ １ 一 １０

6章の問題

(b)3X+y,

(C)X,

(d)χ

一

y

の分 布 を求 め よ。た だ し

_,Xは

N(5,9)か

ら の 平 均 で

,yは

N(7,16)か

ら とった 大 き さ る。 とった大 きさ

25個

の無作 為標本 16個の無 作 為 標 本 の平 均 で あ 6。

4

あ る中学校 の男子

3年

_{生 の身長 の分布 は近似 的 に平均}163。

Ocm,標

準 偏 差

8cmの

正 規 分 布 に従 い

,女

子

3年

生 の 身 長 の 分 布 は近 似 的 に平 均 155。

5cm,標

_準偏差

6cmの

_{正規分布 に従 う。その とき}

_,次

_{の確率 を求 めよ}.

(a)男

子生従

2人

を無作為 に選 ぶ とき

_,2人

の身長 の差が

5cmを

超 える.

(b)女

子生徒

2人

を無作為 に選 ぶ とき

,2人

の身長 の差が

5cmを

超 える.

(C)男

子生徒

1人

と女子生徒

1人

を無作為 に通 ぶ とき

,2人

の身長 の差 が 10 cmを超 える。

6.5

高校

3年

生 の 身長 は次 の よ うな正規 分布 に従 う こ とが知 られ て い る. 男子

: 169.3cm,標

準偏差

4.6cm

女子

: 156.6cm,標

準偏差

4.2cm

これ ら2つの正規母集 団か ら とった大 きさ 64と 36の標本 平均 をそれ ぞれ

yと

_{す る とき}

_,次

_{の値 を求 め よ} .

(a)X,yの

平均 と標準偏差.

(b)χ

―

yの

平均 と標準偏差。

(C)χ

が

yを

少 な くとも

12 cm超

える確率. 6。

6

桃 の缶詰 の中味 の重 さは平均

300g,標

準偏 差

1.2gの

正規 分布 に従 い

_,空

_{き缶の重 さは平均}

20g,標

準偏差0。

5gの

正規分布 に従 う。この とき

,次

の値 を求 めよ。

(a)桃

の缶詰

1個

の重 さの平均 と標準偏差.

(b)無

作為 に選 んだ桃 の缶詰

1個

の重 さが

323gを

超 える確率.

6.7

鋼板 にあ けた穴 にボル トをはめ こむ。ボル トの直径 は平均 2.80 cm, 標準偏差0。03 cmの正規分布 に従 い

,穴

の直径 は平均

2.90 cm,標

準偏 差 0.04

cmの

正規分布 に従 うとき

,次

を求 めよ。

loo 6

無作為抽出 と標本分布

(a)ボ

ル トと穴 をそれぞれ無作為 に選 んで はめる とき

,ボ

ル トが穴 には ま らない確率.

(b)無

作為 に とった

5個

のボル トがすべて穴 には まる確率.

6.8

正規母集団 Ⅳ(μ,σ2)か らとられた大 きさ

%の

無作為標本 を

Xl,χ

2, …0,Xた とす る とき,

y=χ

_{l+2X2+3X3+…}

・+πχた は どんな分布 に従 うか。 6。

9(a)平

均 μ

,分

散 σ2の 正規母集団か らの大 きさ

4の

無作 為標本 の 平均 を

Xと

す る とき

,確

率 P(lχ一μl<σ) の値 を求 めよ.

(b)平

均

80,標

準偏 差10の母 集 団か ら大 きさ64の無作 為 標本 を とる と き

,標

本平均 χ が82を超 える確率 を求 め よ. 6。

10

密度関数 /(∬)=6″(1-χ

) (0≦

χ≦1) を分布 に もつ母集団か ら大 きさ45の標本 が とられた

.標

本平均 を χ とす る と き

,次

を求 めよ.

(a)χ

の標本分布 。

(b)P(χ

<0。55)。

(C)P(χ

>0.46). 6。

11

小数点以下 を四捨五入す る ことで

,測

定値 をそれ に最 も近 い整数値 に丸 め る とき

,丸

めの誤差 χ は区間_{(一÷ ,÷}

_)で

一様分布 に従 う確率変数 と みなされ る。η個 の測定値 をそれ ぞれ それ に最 も近 い整数値 に丸 め る とき,こ れ ら丸 め誤差 の平均 χ の平 均 と分散 を求 め よ。ηは十 分大 きい と仮 定 して,

Xの

絶対値 が 力 を超 えない確率 を求 め よ.