数学教育から見た「用器画」教科書

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１．はじめに図１は昭和17（1942）年の中学教授要目に基づく教科書『数学５第二類』（昭和19年発行）にあるもので、「次の投影図に示す直円錐と平面との線の実形を書け」という問題である。「円錐曲線」というこの単元は４年生と重複しており、『数学４第二類』にもほとんど同じ問いがある。実形を描かせることにまず驚かされるが、このあといくつかのヒントを示した上で、その線が「楕円であることを証明せよ」という問いにまで発展することに、ますます圧倒される。今日の中学や高等学で、この種の扱いをすることはほとんどえられないからである。ここには二つの重要な要素がある。一つは、当時「用器画」といわれた図学の技法が、ごく自然に数学に取り入れられていること、二つには、それを（現代の高生でも相当に難しいと思われる）数学的な問題解決に存に活用していることである。これらは、ともすれば軽い扱いとなりがちな今日の空間図形の教育にとって、示唆に富んでいる。本稿の目的は、昭和17年の教授要目で数学への積極的な融合が図られた「用器画」の内容が、それまでの間、旧制中学でどのように教えられてきたのかを、主に教科書をたどることで明らかにすることである。なお、昭和18∼20年当時、新しい教科書が発行されたとはいえ、戦時下でそれを実施に移すのが困難であったことは想像に難くない。しかし、当時生徒であった方々の資料からは、図１を実際に解いたあとがノートに残されるなど、新しい内容を懸命に実践しようとした当時の様子を見て取ることができるのである。２．旧制中学における「用器画」２.１教授要目上の「用器画」と空間図形明治32（1899）年中学令が改定され、指導内容が教授要目として整備されるのは同35年である。この当時、数学の中で空間図形といえば、もっぱら立体の種類とその体積、表面積を取り扱っていた。一方、図形の描き方、特に立体の平面への作図法については教科「図画」の中の「用器画」が担っていた。両者の内容を、明治35年のあと同45年、昭和６年と改訂される教授要目から一覧にしたものが表１である。冒頭の図１のような、立体図形に関する「用器画」の扱いを見ると、明治35年の要目では第４学年で「立体の截断及び立体表面の展開」にまで言及している。同45年の要目では「立体の平面図、立面図、側面図」が第４学年、さらに第５学年で「切断面、展開図、等角図」など具体的な空間図形の表現を取り上げている。昭和６年の改訂は全体として表現が簡素化されているものの、内容的には明治45年のものを踏襲しており、

数学教育から見た「用器画」教科書

Yokiga （Descriptive Geometry）Text Books and Mathematics Education

片岡

啓

Kei KATAOKA

(和歌山大学教育学部)

2009年９月29日受理昭和17（1942）年の中学教授要目には、数学における空間図形に、当時「用器画」といわれた図学の技法が大幅に取り入れられ、それまで体積や表面積が主な関心であった内容を一変させた。投影図を用いて、円錐の断面に現れる図形が楕円であることを証明するなど、今日の数学教育から見ても斬新で高度な内容を扱っていた。本稿では、こうした指導を可能にした、中学図画科における「用器画」の内容を、明治以来の教科書から検討した。明治から昭和初期に至るいずれの教科書も、円錐曲線の実形を描く技法などが数多く扱われ、数学との「融合」の素地を作っている様子が明らかとなった。今日の中学・高における空間図形指導の貴重な素材にもなる。キーワード：用器画、空間図形、楕円、円錐曲線、旧制中学

要約>

図１円錐と平面

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何れも透視図まで含む高度なものである。一方数学では第５学年で立体を扱うが、平面への表現法などは取り上げられていない。次の改訂となる昭和17年の要目において、数学に投影図や透視図が取り入れられ、前述のような円錐曲線にその方法が活かされるまでに両者が融合するが、ここではそれに先行する「用器画」の指導内容を教科書によって見てみよう。２.２平瀬作五郎『用器画法』教授要目としてその内容が整備されるのは明治35年以降だが、教科書検定はそれ以前から実施されており、『検定済教科用図書表』によれば、明治21（1988）年から昭和18（1943）年に検定を受けた図画全体の教科書は改訂版なども含めて370種類に及び、同時期の幾何教科書432種類と比べても色がない。常に数社のものが出版されており、熱心に指導された様子が想像される。明治24年、中学令改定以前で、中学がまだ尋常中学と高等中学といわれた時代、府立大阪尋常中学では、教科「図画」について図２のような教育課程をもち、教科書を用いていた。教育課程では「図画」、教科書では「画学」と不揃いながら、４、５年生で平瀬（作五郎）著の教科書『用器画法』によって授業されていたことがわかる。ところで本学は旧制師範学を前身に持ち、昭和18 年の制度改正までは中学と共通の教科書を用することも多かったので、附属図書館にはこの時期の教科書が豊富に保存されている。所蔵されている平瀬作五郎による「用器画」教科書は、表２の通りである。一方、『検定済教科用図書表』に記されている平瀬の著書は、①明治22年発行の『用器画法』全６冊、②同 34年『用器画法図式』『同解説』各３冊、および、③同 39年発行の『中等用器画法』全３冊となっている。書名や発行年が微妙に合わないため、大阪尋常中学で用いられた教科書は特定できないが、表２の１と、① とは発行者名「中島精一」が一致するので、近いものではないかと思われる。図３は、その明治15年発行『用器画法』『同図式』の表紙である。大きさは左がおよそB６、右がA５判程度で、『図式』の方には解説は全くなく、図がずらっと並んでいる。表１旧制中学教授要目教授要目空間図形（数学）用器画（図画）明治35年（1902年）幾何第五学年多面体角壔、角錐、正多面体曲面体球、円壔、円錐第二学年幾何画、直線、角、円、多角形第四学年立体、立体の截断、立体表面の展開の投影図明治45年（1912年）幾何第五学年多面体角壔、角錐曲面体球、円壔、円錐第三学年直線、角、円、多角形第四学年立体の平面図、立面図、側面図第五学年切断面、展開図、等角図、透視図法昭和６年（1931年）第五学年増課教材平面及直線、多面体、曲面体、三角函数第三学年平面幾何画及その応用第四学年投影図及その応用第五学年透視図及その応用図２明治24年府立大阪尋常中学表２平瀬著「用器画」教科書書名発行備 1 用器画法_{用器画法図式}_{（1882）年}明治15 上が解説書、下は図のみ。平_{瀬「纂訳」とあり、翻訳本。} 2 新撰用器画法_{（1889）年}明治22 3 中等教育用器_{画法、同解説}_{（1893）年}明治26 図３平瀬作五郎『用器画法』、『同図式』（明治15年）

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冒頭の数学教科書に関連する円錐の切断の投影図は第二巻に登場し、『図式』では美しい図によって、「はじめに」で示した作図の解を提示してくれている（図４）。切断面の楕円の長軸の実長が、立面図の切断線AB に表されることを利用し、「副投影面」を作って楕円の実形（斜線部）を作図する。もちろん冒頭の数学教科書が求めているものと同じである。図４の一部を取り出した図５左を用いてその作図法をたどると次のようになる。立面図上の断面AB上の点gにおける、断面の楕円の「幅」g1-g2を求めたい。立面図上に母線J″G″を引き、平面図上に対応する母線 JG、JG′を描く。この母線と、立面図のgから下した垂線との点g、g′の長さが求めるものである。頂点J″と gを含む平面と、切断平面との線として求めるという方法で、見取図を描くと図５右のようになる。この教科書でさらに驚くのは、円錐の側面について、図６のような断面の展開図（『用器画法』によれば、「剖展図」とある）を作図によって求めていることである。切断した円錐の実物の製作には欠かせない技法だが、切断面の頂点からの実長を読み取り、展開図上にプロットしていく作業は決して容易ではない。このあと、明治35年の教授要目の時代まで、展開図が取り扱われている。２.３竹下富次郎『竹下用器画』明治35年の教授要目以降の用教科書については、大阪府内の旧制中学に若干資料が保存されている。わかる範囲で、「用器画」部を一覧にしたものが表３である。明治35年の和歌山中学の資料もあるが、教科書については掲載されていない。この表にある竹下富次郎『中等教育新撰用器畫法』は残念ながら実物を確認できなかったが、少し後の検定教科書『竹下用器画』は本学附属図書館にも所蔵されている（図７）。図４平瀬『用器画法図式』による円錐の切断図６切断面の展開図表３大阪府立中学の「用器画」教科書図７『竹下用器画』（明治39年）北野中学明治37 竹下氏中等教育新撰用器画法明治38 同上明治42 図画教育会図学教科書堺中学明治37 竹下富次郎中等教育新撰用器画法明治38 同上岸和田中学明治39 平瀬氏用器画法解説（参用）四條畷中学明治39 図画教育会図学教科書池田中学明治39 図画教育会図学教科書図５図４の一部（左）と、見取図（右）

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全３巻、B５判横長で各巻十数ページからなり、説明の文章はなく、図だけが並んでいる。やはり『竹下用器画説明』という別冊があり（図８）、作図法はこちらに記されている。生徒配布された教科書なのか、教師がこれによって指導したのかは定かでない。『説明』はおよそB６判の大きさで、前項の教科書とよく似たスタイルとなっている。立体の切断は第二巻「投影図法」に登場する。立方体、四角錐、円柱の順に進み、円錐の切断は図９のように示されている。作図方法や、このあとに側面についての断面の展開図が登場する点など、前項の教科書と共通点が多い。教授要目上第４学年で実施された内容である。２.４図画共励会『中等用器画教科書』中学で用した教科書は、各学で毎年作成されていた『○○中学一覧』という冊子などに見ることができるが、明治45年の要目以降については資料が多くない。和歌山県下では、本学附属図書館にも所蔵されている『和歌山県立海南中学一覧大正十二年』（図 10、現県立海南高）がある。A５判程度、約100ページの冊子で、革や関係法令、学則、各種統計などが掲載されている。残念ながら立２年目のもので２年生までの教科書しか掲載されていない（45年の要目では「用器画」は３∼５年生）。この時期の教科書の中で、筆者が実物を閲覧できたのは、表４の二種類だけである。このうち「大正14年２月17日文部省検定済」と記された、図画共励会著作の『中等用器画教科書』はおよそB５判の横長で、一から三の各巻が40∼50ページになっている（図11）。作図とその説明が両方とも１冊にまとめられ、空間図形の投影図は主として「第弐」で扱われている。その中ほどに図12のような「円錐切断」が登場する（ページ番号は打たれていない。「…」は筆者による省略）。断面が楕円となる場合について切断面の実形を描く方法を、「長径の上に短径及び其他諸点を移す」とごく簡単に記した上で、図13のような作図を掲載している（若干の書き込みが残っている）。もちろんこれも冒頭の数学教科書で求めている図になっている。円錐断面の作図は、母線の投影図を用いて楕円の「幅」の実長を求めるという、前二項の教科書と同じ方法が用いられている。断面が双曲線や放物線になる場合も、同じような図面が載せられている。この時期の教科書から、断面の展開図は扱われなくなる。図８『説明』図９『竹下用器画』による円錐の切断図10 『和歌山県立海南中学一覧』、大正12年表４明治45年要目の「用器画」教科書著者書名出版社出版年図画共励会『中等用器画教科書』三省堂大正13年原貫之助・石谷辰次郎『中等用器画教範』修文館昭和２年図11 『中等用器画教科書』

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２.５阿部七五三吉『新制標準画法』昭和６年の教授要目に基づく「用器画」教科書で、実物を閲覧できたものを、表５に一覧にした。この時期の用教科書については、東京府立一中（現都立日比谷高等学）の詳細な記録が残されている。図14A、Bは『東京府立第一中学一覧』の昭和９∼18 年の「教科用書表」から「図画」の第３∼５学年の部をつなぎ合わせたものである。この中で、昭和16年度から教授要目が変わるまで用されたことがわかる、阿部七五三吉（しめきち）『新制標準画法』は、「昭和10年１月14日文部省検定済」と記されている。A５版の大きさの本で、やはり空間図形を扱う第二巻は57ページの厚みがある。「截断面の投影に関する画法」という項目が立てられ、四角柱を斜めに切った断面の実形問題に続いて、直円錐の截断面の実形図、平面図を求める問題が登場する。図15は第二巻にあるその図で、前述の教科書と同じような図面が記されているが、その作図法は上で示したものとは異なり、底面に平行な平面による断面（円）を用いる方法になっている。図16左を用いて簡単に述べると、立面図上の断面e′d′上の点f′における、断面の楕円の「幅」f2-f3を次のように求める。f′を通り図12 『中等用器画教科書』にある「円錐断面」図13 『中等用器画教科書』による円錐の切断表５昭和６年要目の「用器画」教科書著者書名出版社出版年中根孝治『新用器画』冨山房昭和７年濱田稔『新制用器画』帝国書院昭和８年積善館編集所『新制図法』積善館昭和９年阿部七五三吉『新制標準画法』中等学教科書㈱昭和10年波根義三『新制用器画法』成武堂昭和12年図画教育研究会『現代新図法五訂版』三省堂昭和13年鈴川信一『教範用器画改訂版』帝国書院昭和14年図14A 『東京府立第一中学一覧』より、昭和９∼13年図14B 『東京府立第一中学一覧』より、昭和14∼18年

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底面に平行な平面による円錐の断面h′j′（円）の平面図を描き、f′から下した垂線とその円との点f、f１の長さが求めるものになっている。切断平面と、底面に平行な平面との線を用いる方法である。見取図は図16 右のようになる。この作図法は、のちに昭和17年の教授要目に基づく数学の教科書において、楕円であることの証明に活用される。２.６「用器画」における投影図の教授内容概略以上のように明治以来、昭和６年の教授要目に至るまで、その教授内容には大きな変がない。円錐の切断やその投影図などは多くの中学生が学習する内容として定着しており、のちに数学がこれを取り入れて「円錐曲線」の項を設ける素地は十あったとえられる。ここでは、最後に取り上げた『新制標準画法』を例にして、投影図の教授内容の概要を整理しておく。空間図形の投影図は第２巻に登場し、第３巻は透視図になっている。第２巻第三章投影図の部は次のような構成である。第一節点の投影画法第二節直線の投影画法第三節平面形の投影画法第四節立体の投影画法第五節截断面の投影画法第六節展開図の投影画法第七節相貫体の投影画法点や直線の投影からていねいに説き起こし、第三節平面の投影では投影面に一定の角度のある平面図形の投影、第四節立体の投影では投影面にそれぞれ一定の角度を持つ立方体の投影など、複雑なものまで扱われる。前述の円錐は第五節に登場するが、四角柱の切断などから順を追って進められている。円錐の切断の後は、より込み入った立体の切断などの練習問題が続く。図15の円錐の次は、「練習問題：次に示した各立体の切断面の実形図を求めよ」（p.38）として、図17のような問題である。コの字状の立体や、厚みのある台形の筒状の立体の切断など、教科の性格から当然のことながら、製図としての色彩がより鮮明となり、楕円など円錐曲線に関する数学的な証明を扱うことはない。この点が、冒頭に紹介した教科書『数学４、５第二類』との大きな違いである。第七章の「相貫体」とは二つの立体がわってできるいっそう複雑な図形で、「二個の直円柱」、「直円錐と直円柱」（図18）、「直円柱と球」について、線を含む投影図を描くなど、高度な作図を取り扱っている。もちろんその数学的な解析が含まれるわけではない。三巻構成の多くの「用器画」教科書では、第３巻に「透視図」があてられる。高度な立体図法だが、次に述べる昭和17年の数学の教授要目にも取り入れられて図15 『新制標準画法』による円錐の切断図16 図15の一部（左）と、見取図（右）図17 切断面の練習問題

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いる。透視図までで「用器画」のひとまとまりの指導内容とえられていたようである。３．『数学４第二類』における「用器画」先述したように、それまで立体の体積や表面積が中心であった数学における空間図形について、昭和６年に次ぐ昭和17年の要目改訂に初めて投影図や透視図などが取り入れられた。それは、空間図形の様相を一変させる大改革であった。この教授要目で数学は、主に代数や関数野の第一類と図形野の第二類にけられた。18年には１∼３年用の教科書、４、５年用も19 年には発行されている。制度改革に伴い昭和18年にも要目が改定され、『中等数学』という別種の教科書も発行されたが、ここでは17年の要目に基づくものに限って述べる。 17年要目に基づく『数学４第二類』の「用器画」部である第１章は表６のような構成である。『数学１』で簡単な平面図と立面図について学んだことを前提に、１で具体的な身の回りのものを描くことから始まる。章立てそのものが、点・直線・平面やそれらの関係に関する複雑さの順ではなく、「ある具体的な実物の図を描くためにはどのような知識と技術が必要か」という観点で構成されている。そうした構成も興味深いが、いずれにしてもそれまで「用器画」が扱ってきた透視図までの範囲を数学が大幅に引き受けていることがわかる。続いてこの教科書では、第２章「球面の図形」をはさんで、第３章で表７のような「円錐曲線」へと進むのである。円錐やその断面の投影図という技法を通して、断面の円錐曲線の証明にまで至る。「用器画」と数学の見事な融合を見て取ることができる部である。楕円の証明は概ね次のような問いに答える形で進められる。【問１】断面が楕円であるとすると、どのような円を縮小したものか。【問２】一般に楕円であれば、図のAM、BM、PMにどのような関係があるか。【問３】前問でわかったことを用いて、楕円であることを証明せよ。問２は、円の場合にPM ＝AM・BMが成り立つことを用いて、（PM/t）＝AM・BMが成り立つといえばよい。もちろんtは縮小の割合を示す定数である。問３は、図16でいえば、楕円の「幅」f２-f３が、e′ d′を直径とする円を短軸：長軸の比で縮めたものであることを仮定して、問２の式をみたすことを示す。やや煩雑ではあるが、投影図の知識があれば現代の高生でも十に取り組むことができる内容である。４．まとめ空間図形と「用器画」の融合の試みは昭和17年の教授要目を頂点として、中学数学に大幅に取り入れられた。同18年の再改訂に際してもその精神は引き継がれたが、戦後の中学や高等学数学でこうした内容が生かされてきたとはいえない。今日、空間図形の平面への表現法は、数学でも、中学の技術・家科でも十に扱われることはなく、その技法を数学的な問題解決に活用する教材も取り上げられることが少ない。そのことが、空間図形の教材やその扱いがやや弱であることにもつながっている。「用器画」やその数学との融合の試みは昭和17年の教科書に突然登場したわけではなく、それに先立つ長年の研究や実践の成果でもある。これらの内容に学びながら、空間図形の理解に役立つ今日的な教材や指導法の開発を今後の課題としたい。最後に、本文に記したものも含めて、本学附属図書館に所蔵のある「用器画」の教科書を一覧にしておく図18 直円錐と直円柱の相貫体表６『数学４第二類』の目次⑴ １．見取図と投影図２．側画面３．断面図４．切口の面積５．種々の投影法６．透視図１．立体図形の表現７．種々の問題表７『数学４第二類』の目次⑵ １．円錐の切断［1］２．円錐の切断［2］３．円錐曲線の主な性質３．円錐曲線４．種々の問題

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（小学用は除く）。『検定済教科用図書表』に掲載されていないものも含む。大正、昭和戦前期のものは、まだ確認できていない。平瀬作五郎用器画法中近堂明治15年（1882）用器画法図式中近堂明治15年（1882）新用器画法金港堂明治22年（1889）中等用器画法成美堂明治26年（1893）中等用器画法解説成美堂明治26年（1893）用器画法解説丸善明治34年（1901）竹下富次郎中等教育用器画法敬業社明治27年（1894）中等教育新用器画法解説教科書院明治33年（1900）竹下用器画集成堂明治39年（1906）竹下用器画解説集成堂明治39年（1906）井汲陸二郎中等用器画法第１、第２、第３金港堂書籍明治28年（1895）中等用器画法上、中、下金港堂書籍明治31年（1989）中等用器画法説明上、中、下金港堂明治28年（1895）中等用器画法説明上、中、下金港堂明治31年（1898）中等用器画法説明幾何、投影、透視金港堂書籍明治34年（1901）井汲陸二郎、上原六四郎中等用器画法金港堂明治34年（1901）秋保安治、飯田吉三郎近世用器画法六盟館明治38年（1905）上原六四郎上原中等用器画集成堂明治39年（1906）上原中等用器画解説集成堂明治39年（1906）久保田圭右中等平面用器画法大日本図書明治39年（1906）中等立体用器画法大日本図書明治39年（1906）参文献１）「中学教授要目」（明治35年２月６日）『明治以降教育制度発達第四巻』（昭和39年版復刻、芳文閣）、「中学教授要目」（明治44年７月31日）『同第五巻』、「改正中学教授要目」（昭和６年１月20日）、『同第七巻』、「中学教授要目」『日本中等教育数学会雑誌』第13巻第１号、昭和６年による２）中村紀久二編纂・解題『検定済教科用図書表（二）』（自明治 19年５月至明治37年１月）、『同（三）』（自明治36年５月至明治45年３月）、『同（四）』（自明治45年３月至大正11年４月）、芳文閣、1985、『検定済教科用図書表（五）』（自大正11年４月至昭和７年３月）、『同（六）』（自昭和７年４月至昭和12年３月）、『同（七）』（自昭和12年４月至19年12月）、芳文閣、 1986による３）『府立大阪尋常中学一覧』、府立大阪尋常中学、明治24 年、表より、該当部のみを再構成した。４）『大阪府立北野中学一覧』明治37、38、42年『大阪府立堺中学一覧』明治37、38年『大阪府立岸和田中学一覧』明治39年『大阪府立四條畷中学一覧』明治39年『大阪府立池田中学一覧』明治39年５）『和歌山県立和歌山中学一覧』明治35年６）竹下富次郎『竹下用器画』、集成堂、明治39年７）竹下富次郎『竹下用器画説明』、集成堂、明治39年８）図画共励会編『中等用器画教科書第一∼三』、三省堂、大正 13年12月発行９）東京都立日比谷高等学資料館提供資料による 10）阿部七五三吉『新制標準画法』、中等学教科書㈱、昭和10 年１月発行 11）中等学教科書㈱『数学中学用４第二類』、同社発行、昭和19年６月。この時期教科書はこの１種類のみである。

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