ゼミのクラス編成問題
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(2) 第8巻. 1.は. 第1・2号. じ. め. 大 学3年 生 ∼4年 生 で 開 講 され るゼ ミ(演 習)と. に. い う科 目 は,必 ず しも必 修 で はな か っ. たが,昨 今 は必 修 と され る傾 向 に あ る。 今 まで も教 員 一 人 当 た りの 学 生 数 が あ ま り多 くな い国 公 立 大 学 や 理 科 系 の 学 部 に お いて は,む. しろ必 修 が 当然 で あ った が,教 員 一 人 当 た り. の 学 生 数 が 多 い私 学 学 部 に お いて は,学 生 の 人 数 の 問 題 で ゼ ミ運 営 が 難 しい こ と も あ り, 選 択 科 目 と な って い た と こ ろ も多 い 。 しか し,学 生 定 員 の 正 常 化 や 教 員 数 の 正 常 化 に よ り,何 とか 人 数 的 に実 行 可 能 とな って き たの と,大 学 教 育 の 質 を 高 め る為 に は,ゼ. ミに お. け る教 育 の 効 果 が 高 い事 も あ り,必 修 化 の 流 れ とな っ たわ けで あ る。 しか し,何 とか 人 数 的 に実 行 可 能 とな って き た と言 え ど も,全 体 の 学 生 数 が 多 い こ と に は変 わ りな く,そ の た め,学 生 全 員 を適 切 に各 ゼ ミに配 属 す る に は時 間 が か か り,例 え ば 筆 者 の 所 属 す る学 部 で は,2年. 生 の9月 終 わ り頃 か ら配 属 希 望 の ア ンケ ー トを 始 めて 約3. ∼4ケ 月 か か って 学 生 の 配 属 が き ま る。 本 論 文 で は この 決 定 方 法 につ いて 新 た な 方 法 を 考 え,そ の 利 害 得 失 を 考 察 す る。. 2.現. 行 の ゼ ミ配 属 先 決 定 方 法. 筆 者 の 所 属 す る学 部 で 現 在 行 わ れ て い る選 考 方 法 は,第1次 り,第1次. が 始 ま るの が9月 終 わ り頃,第4次. 月 で あ る。 第5次. 選 考 か ら第5次 選 考 まで あ. が 終 わ るの が12月,第5次. 選 考 は翌 年 の4. は主 に編 入 等 の 学 生 が 対 象 で あ るの で,こ れ を 除 くと実 質 的 に は約3∼. 4ケ 月 とな る。 各 ゼ ミに は一 定 の 定 員 が 設 定 され,定 員 が 満 た され る まで 順 次 学 生 を 受 け 入 れ て い くこ と にな って い る。 例 え ば,そ れ ぞ れ の 回 の 選 考 で 希 望 者 が 定 員 よ り多 い場 合 に は選 考 を行 い,選 考 に漏 れ た学 生 は それ 以 降 の 回 の 選 考 で 空 きが あ るゼ ミを 希 望 し,決 定 す る ま で 続 け る事 に な る(こ れ を 「現 行 方 式 」 と呼 ぶ こ と に す る)。 な お,こ の方 法 に は い くつ か の 問 題 点 が 存 在 す る。 それ らを 列 挙 す る と次 の よ う にな る。 ①1次 ∼4次. まで 時 間 が 相 当か か る。(し か し,逆 に考 え れ ば,時 間 を か けて 決 めて い くの. で,決 定 したゼ ミが 仮 に希 望 しな いゼ ミで あ って も,学 生 が 自分 な りに納 得 す る時 間 が あ る と も言 え る。) ② 教 員 側 に選 択 す る権 利 が あ るの は定 員 以 上 の 希 望 者 が 来 た場 合 に限 られ るた め,適 切 で な い(つ ま り,知 識 ・興 味 そ の他 で マ ッチ ングが悪 い)学 生 が来 て も受 け入 れ ざる を得 な い。 -2(2)一.
(3) ゼ ミの クラス編成問題(大 村) ③ 希 望 者 が 定 員 を超 え る場 合 の 選 考 基 準 が あ ま り明 確 で な く,ど の よ うな 学 生 が 選 ばれ や す いの か が よ く分 か らな い事 が 多 い。 も し選 考 基 準 が 明 示 され れ ば,学 生 側 の ゼ ミの 希 望 順 位 に影 響 を与 え る事 が 予 想 され る。 ④ 希 望 者 が 多 数 集 ま るゼ ミと そ うで な いゼ ミが 混 在 す るが,学 生 が よ く考 え た 結 果 か ど う か は必 ず し も明 確 で は な い。(真 面 目 とい え な い 例 と して は,「 友 達 が 希 望 す るか ら私 も … … 」 とか ,「 授 業 が厳 し くな さそ う… …」,… … 等 が 考 え られ る。) ⑤ 選 考 に 漏 れ た 学 生 は,そ の 次 の 選 考 で 空 き が あ る ゼ ミの 中か ら選 択 す る こ と に な るの で,最 初 に ど こを 希 望 す るか が 学 生 側 の 最 終 的 な 配 属 先 に影 響 す る。 例 え ば,希 望 者 が 多 いゼ ミを第1希 望 に した場 合 に は選 考 に漏 れ る確 率 が 高 くな るが,次 の 回 の 選 考 で は本 来 の 第2希 望 の ゼ ミは空 きが な くな って い るか も知 れ ず,そ. うな る と更 に希 望 順 位 の 低 いゼ. ミ しか 残 らな い事 も考 え られ る。 その 結 果 と して,学 生 全 体 の 満 足 度 の 合 計 値 は低 くな っ て しま う可 能 性 が あ る。(こ の 問 題 も逆 に考 え る事 も出来 る。 希 望 順 位 が よ く考 え て 決 め られ たの で は な く,何 とな く決 め られ た よ うな 場 合 に は,希 望 者 の 多 いゼ ミが 果 た して そ の 学 生 に と って 良 いか ど うか は分 か らな い。 仕 方 な しに決 ま っ た と思 って いた ゼ ミが 後 で 考 え る と反 って 良 か っ た と い う事 も充 分 あ り得 る。) ⑥ ゼ ミ希 望 者 全 員 が 真 面 目 に よ く考 え て 順 位 を考 え た と仮 定 で き る場 合 に は,現 行 の 逐 次 決 定 方 式 で は,満 足 度 を 数 量 化 した場 合 に学 生 全 員 の 満 足 度 の 合 計 値 が 最 大 とな る可 能 性 は低 い。 ⑦ ゼ ミ選 考 の 選 考 基 準 と して 学 生 の それ まで の 成 績 が 考 慮 され な い場 合 は,勉 強 しよ う と 言 う イ ンセ ンテ ィ ブが 働 き に くい。. 式. 3.定. 以 上 の よ う な 問 題 を 解 決 す る 方 法 の 一 つ と して,数 定 式 化 が 可 能 で あ る[1][2][3][4]。. 化. 理 計 画 法 の 一 種 で あ る輸 送 問 題 で の. 輸 送 問 題(Hitchcock-Koopmansの. 輸 送 問 題)[1][2]. と は次 の よ う な問 題 で あ る。. 3.1輸. 送 問題. 「倉 庫(起. 点)i(i=1,2,…m)は. j(j=1,2,…n)は,b、. そ れ ぞ れa、 個 の 在 庫 商 品 を 持 つ 。 一 方 都 市(目. 個 の 需 要 を 持 つ 。 倉 庫iか. の 費 用 をCl、 と し,そ の 輸 送 個 数 をXl、 と す る 場 合,各 一3(3)一. ら都 市jに. 商 品1単. 的 地). 位 を 輸 送 す るた め. 倉庫の在庫を全ての都市の需要を満.
(4) 第8巻. 第1・2号. た す よ う に 輸 送 し, か つ 総 輸 送 費 用 を最 小 にす る よ うな 輸 送 方 法 を 求 め よ。 」. 表3.1輸. 送問題. この 問 題 は以 下 の よ う に定 式 化 で き る。 ①. 目的 関 数. 目的 関 数 で あ る総 輸 送 費 用Zは,. とな り,次 の 制 約 条 件 下 でZを 最 小 にす るX、、を 求 め れ ば よ い。 ②. 制約条件. 倉 庫iの 在 庫 量 の 式(行 和). 都 市jの 需 要 の 式(列 和). 総 需 要 量 は総 供 給 量 に等 しい。 輸 送 個 数 は正 。.
(5) ゼ ミの ク ラス 編 成 問 題(大 村). Xij≧0. ・。・・。・(3. .1.5). な お,輸 送 問 題 に お いて は行 の 合 計 値 及 び列 の 合 計 値 全 て が 整 数 で あれ ば基 底 変 数 の 値 も 全 て 整 数 と な る。[1] 本 論 文 で 取 り上 げ る 「学 生 を各 ゼ ミに配 属 す る」 モ デル は,学 生 を表3.1の 形 に割 り当 て て い くこ と と 同様 の 構 造 で あ るの で,上 記 の 輸 送 問 題 の 一一 種 と見 な せ る。 この 場 合,行 の 合 計 で あ るa、 は1で あ り,列 の合 計 で あ るb、 は各 ゼ ミの合 計 人 数 に相 当す る。. 3.2ゼ. ミク ラ ス編 成 問 題 の モ デ ル. 学 生 全 員 の ゼ ミの 希 望 を 考 慮 し,そ に,素. 早 く決 め る モ デ ル と して,数. れ ぞ れ の ゼ ミへ の 配 属 を 納 得 性 の あ る 方 法 で,適. 理 計 画 法 の 一 種 で あ る輸 送 問 題 の モデ ル を 用 い る こ と. に す る 。 具 体 的 に は 次 の モ デ ル を 考 え る 。 な お,目 大 化 で あ り,各. 切. 的 関 数 は ゼ ミ受 講 生 全 体 の 満 足 度 の 最. 学 生 が 各 ゼ ミに配 属 され た場 合 の 満 足 度 は数 量 化 で き る とす る。 そ の 場 合. の 制 約 条 件 は次 の よ う にな る。 ① 学 生iは,た. だ 一 つ の ゼ ミに必 ず 配 属 され る。. ② ゼ ミjの. 最 大 人 数 をa、 と す る。(「3.1」 の 輸 送 問 題 のa,と. は 別 の も の で あ る). ③ ゼ ミjの. 最 小 人 数 をb、 と す る 。(「3.1」 の 輸 送 問 題 のb,と. は 別 の も の で あ る). ④Xl、 は,学. 生iを. ゼ ミjに. 配 属 す る 時 「1」 と し,学. 生iを. ゼ ミjに. 配 属 しな い 時. 「0」 とす る 。. 3.2.1変. 数 と定 数 の 定 義. Xl、:学 生iを,ゼ. ミjに. 配 属 す る 時x1、=1. 学 生iを,ゼ. ミjに. 配 属 しな い 時x1、-o. i=1,2,…m(学. 生 の 番 号). j-1,2,…n(ゼ. ミの 番 号). a、:ゼ ミjの. 最 大 人 数(制. 約 条 件,「3.1」. の 輸 送 問 題 のa、 と は 別 の も の で あ る). b、:ゼ ミjの. 最 小 人 数(制. 約 条 件,「3.1」. の 輸 送 問 題 のb、 と は 別 の も の で あ る). Sl,:学 生iが. ゼ ミjに. 配 属 さ れ た 場 合 の 満 足 度(満. 値 と最 小 値 を あ らか じ め 設 定 し た 上 で,学. 5(5)一. 足 度 が 高 い ほ ど大 き な 数 と し,最. 生 に ア ン ケ ー トで 答 え て も ら う。). 大.
(6) 第8巻 3.2.2目. 的 関 数(学. 第1・2号. 生 全 体 の 満 足 度 の 最 大 化). 法. 4.解. 数 理 計 画 法 の 一 種 で あ る 輸 送 問 題 の モ デ ル で 解 け る の で,悪 数40人,学. 生 数850人. タ を 作 成 し,実. い 条 件 の 一 例 と して,教. 員. と 設 定 し,特 定 の ゼ ミ に 希 望 者 が 集 中 す る 場 合 を 想 定 した テ ス トデ ー. 際 に 解 い て み る 。 こ の 場 合 に は,未. 知 数X1、 の 数 は40×850=34,000変. 数 と. な る。 小 さ な 数 理 計 画 法 の 問 題 で あ れ ば(例. え ば[6]),Excelの. -6(6)一. ソ ル バ ー で も解 け る が,Excel.
(7) ゼ ミの ク ラス 編 成 問 題(大 村) の ソ ル バ ー で 解 く事 が 出 来 る 未 知 数 の 最 大 は,Excel2003・Excel2007共 る 。 従 っ て,本. 問 題 は 未 知 数 が 遙 か に 多 い の で,Excelで. に200変 数 迄 で あ. は 解 く事 が 出 来 な い 。 そ こ で 数. 理 計 画 法 専 門 の 汎 用 ソ フ ト ウ ェ ア[5]を 用 い て 解 く事 に す る 。 こ の ソ フ トウ ェ ア は,Excel上 で 作 動 し,Excelの. ソ ル バ ー と よ く似 た 使 用 方 法 で 最 適 解 を 計 算 す る こ と が 可 能 で. あ る 。 分 析 者 が 適 切 な モ デ ル を 正 し く作 る こ と が 出 来 れ ば,こ. の よ う な ソ フ トウ ェ ア を 使. う こ と に よ り最 適 解 を 求 め る こ と が 出 来 る 。 少 し昔 で あ れ ば,こ. の 程 度 の 変 数 の 数 の モ デ ル を 解 く に は 高 価 な ソ フ トウ ェ ア と 大 型 コ. ン ピ ュ ー タ を 使 う 必 要 が あ っ た 。 ま た,場 場 合 等 も含 め て,時 し現 在 で は,各. 間 を 掛 け て,解. 合 に よ っ て は,高. 価 な ソ フ トウ ェ ア が 買 え な い. を 求 め る ソ フ トウ ェ ア を 自 作 す る 場 合 も あ っ た 。 しか. 種 の 解 法 研 究 の 成 果 が 取 り入 れ られ,最. 汎 用 ソ フ トウ ェ ア が 比 較 的 安 価 に 使 え,ハ. 適 化 問 題 を 解 くた め の 性 能 の 良 い. ー ドウ ェ ア も パ ー ソ ナ ル コ ン ピ ュ ー タ で 計 算 可. 能 とな って い る。. 唖 伊. 算. 5.計. 5.1前. 提 条件 とな る 学生 満 足 度 行 列. 仮 に教 員 数40人,学. 生 数850人 と した場 合 で,「 現 行 方 式 」 で は配 属 が 難 しい と思 わ れ る. 場 合 と して,特 定 のゼ ミに希 望 者 が 集 中す る場 合 を想 定 した テ ス トデ ー タ を作 成 した。Sl, は,学 生iが ゼ ミjに 配 属 され る場 合 の 学 生 の 満 足 度 で あ り,第1志 れ 以 外 は0∼10点(但. し整 数)と. して い る。 表5.1で,同. 望 の ゼ ミは10点,そ. 一 の 学 生 のS1、値 で,10点. が複数. 個 あ る場 合 が あ るが,そ れ は複 数 個 の 第1志 望 が あ る と い う意 味 で あ る。 な お,こ の 得 点 の 範 囲 内(0∼10点,但. し整 数)で. あれ ば,学 生 が どの よ うな 満 足 度 の 点 数 を 答 え た と し. て も解 を求 め る こ とが 可 能 で あ る。 この よ う な デ ー タを 実 際 に集 め る た め に は,ゼ. ミを 希 望 す る全 て の 学 生 に希 望 を 提 出 し. て も ら う必 要 が あ り,表5.1の 各 一 行 が 一 人 の 学 生 の満 足 度 デ ー タ に 相 当 す る。 この デ ー タ を集 め る方 法 を 考 え る事 は現 実 的 な 問 題 で あ るが,理 論 的 な 分 析 を す る こ と と 同様 に非 常 に重 要 な こ とで あ り,こ の 方 法 を適 切 に設 計 す る こ と は シ ス テ ム設 計 の 問 題 とな る。. 5.2各. ゼ ミの最 大 人 数 ・最 少 人 数 の 感度 分 析. た だ一 つ の 前 提 条 件 で の 解 を 求 め るだ けで はな く,計 算 の 前 提 とな る,各 ゼ ミの 最 大 人 数 と最 少 人 数 の 設 定 が,合 計 学 生 満 足 度 に どの よ うな 影 響 を 与 え るか を 調 べ るた め,各 ゼ ー7(7)一.
(8) 第8巻 表5.1学 ◎. 第1・2号. 生 の 各 ゼ ミに 対 す る 満 足 度 行 列(Sij)の 入 力 テ ス トデ ー タ の一 例. 「 ・」 は デ ー タ を 省 略 し て い る 事 を 示 す 。 ゼ ミ 番 号j→. ミの 最 大 人 数 と 最 少 人 数 を 変 化 さ せ 感 度 分 析 を 行 う 。 こ れ らの モ デ ル ケ ー ス を ま と め る と 表5.2と な る。 表5.2の28通. り の 各 条 件 に 対 し て 最 適 解 を 求 め れ ば,各. 表5.2モ. デ ル ケ ー ス前 提 条 件 一 覧. ゼ ミ最. ゼ ミ最. 小 人 数. 大 人 数. のcase M1、. のcase M1、. 制約条件. 撮人 ゼ 小数. case. case. ゼ ミの 最 大 人 数 と 最 少 人 数 の 変. ぜ ミ最 大人 数.
(9) ゼ ミの クラス編成問題(大 村) 化 が 合 計 学 生 満 足 度 に与 え る影 響 の 大 き さ を知 る こ とが 出来 る。. 5.3Excel上 表5.2の28通. で の ワ ー ク シ ー トの 一 例 り の 各 条 件 に 対 す る 最 適 解 を 求 め る に 当 た っ て,具. 体 的 にExcel上. で どの. よ う な ワ ー ク シ ー ト に な る か を 簡 略 化 し て 示 し た の が 次 の 表5.3で あ る 。 こ の 中 で 重 要 な 表 は2種. 類 あ る 。 そ れ ら は,各. 度 行 列 」 と,34,000個 行 列 に は最 初. 学 生 が 各 ゼ ミに配 属 され た場 合 の 満 足 度 を 示 す. の 未 知 数 の 最 適 解(行. 「0」 を 入 れ て お くが,数. 表5.3Exeel上 各ゼミに対す る学生満足度 行列(SIJ)IIIIIIIII. 列 表 記)を. 記 入 す る場 所 を示 す. 「解 行 列 」(解. 理 計 画 法 の ソ フ トウ ェ ア を 実 行 し,そ. で の ワ ー ク シ ー. トの 一 例. 「学 生 満 足. の数理計画.
(10) 第8巻 モ デ ル の 最 適 解 が 求 め ら れ れ ば,そ る 。 そ の 他 に,数. 第1・2号. の 最 適 解 が ソ フ ト ウ ェ ア に よ っ て 入 力 さ れ る 。)で あ. 理 計 画 法 の モ デ ル を ソ フ トウ ェ ア に 認 識 さ せ る た め の い くつ か の 項 目 を. 追 加 して い る 。 そ れ ぞ れ 行 数 が 学 生 の 人 数 分 の850行. あ る の で,実. 際 は 縦850行. 以 上,横40列. 以上の大 き. な 表 とな る。. 5.4Xijの. 解行列の一例. 制 約 条 件(3.2.2)式 が,こ. ∼(3.2.6)式. を 満 た し,(3.2.1)式. を 最 大 に す るXl,を. 求 め ること. の ゼ ミ ク ラ ス 編 成 問 題 を 解 く こ と に な る 。 本 論 文 で は ア メ リ カ のLINDOSys-. temsInc.社. の 数 理 計 画 法 ソ フ トで あ るWhat'sBest!をExcel上. で 使 用 して い る。. mn Σ ΣSij・Xij→max…. …. (3.2.1)(既. 出). ij. こ の よ う に して,数 一 例 と して. 理 計 画 法 ソ フ トを 使 いXl,を. ,表5.4の. よ う な 形 で 解 が 求 め ら れ る。. 表5.4X、jの. 5.5計. 求 め る と(上 記 の 数 理 計 画 問 題 を 解 く と). 解の一例. 算 結 果 の ま とめ. ① 学 生 数850人 な る 。 そ こ で,ゼ. ゼ ミ数40の 前 提 条 件 で は,全. く平 等 に 配 分 す れ ば1ゼ. ミ に よ る 人 数 の ば らつ き を あ る 程 度 認 め,制. と ゼ ミ最 大 人 数 を 設 定 し,そ. 約 条 件 と して ゼ ミ最 少 人 数. の 範 囲 内で 合 計 満 足 度 を 最 大 化 す る事 を 考 え る。. 前 述 の 表5.2の 全 て の ケ ー ス に つ い て 数 理 計 画 問 題 で の 解 を 求 め,そ 最 少 人 数 一 定 」 の7ケ. ミ 当 た り21.25人 と. ー ス(0,5,8,10,15,20,21人)の. で ゼ ミ最 大 人 数 の 制 約 条 件 を そ れ ぞ れ22,23,24,25人 一10(10)一. の 結 果 を,「 ゼ ミの. 下 で,そ. れぞれのケー ス. と 設 定 した 場 合 に,最. 適 解 で は学.
(11) ゼ ミの ク ラス 編 成 問 題(大 村) 生 の 合 計 満 足 度 が ど う な る か を ま と め た の が 表5.5で あ る。. 表5.5全. て の モデ ル ケ ー スの 解 の ま とめ(ゼ 生 学数 50 8. 基 本条 件 ゼ ミ 平均 数 人数 402125. 制約 条件 ゼミ 最小 人数. case. 表5.5か ら分 か る よ う に,例 ゼ ミ最 大 人 数 を22,23,24,25人. と 増 加 さ せ る(ゼ. 体 の 合 計 満 足 度 は 上 昇 す る 。 こ れ は,各. 変数 の 数 34,000. 最 適解. ゼミ ゼミ 最 大 最小 人数 人数. え ばcase1-1∼1-4の. ミの 最 少 人 数 一 定). ゼ ミ最 合 計 満足 大人 数 度. よ う に ゼ ミ最 少 人 数 を0人. と し,. ミ人 数 の 縛 りを 緩 くす る)と,学. 生全. ゼ ミの 人 数 の 自 由 度 が 増 え る た め,学. 生の希望 に. 添 っ た 配 属 が し や す くな っ て い る こ と を 意 味 す る 。 こ の 様 子 を グ ラ フ に 表 せ ば 図5.1と な る。 case2-1∼case7-4に. つ い て は,こ. の 順 に ゼ ミ人 数 の 縛 り が き つ くな っ て い る が,. 同 様 の 傾 向 と な っ て い る 。 し か し,case7-1∼case7-4の. よ う に極 め て 縛 りが き つ く. な る と,自. …25人. 由 度 は ほ と ん ど 無 くな り,ゼ. ミ最 大 人 数 を22人,…. 満 足 度 は 上 昇 しな い 。 こ の よ う な 場 合 に は,現. 実 問 題 と して,ゼ. と増 加 させ て も合 計. ミ最 少 人 数 の 縛 りを あ る. 程 度 ゆ る めて 適 切 な 自 由度 を 持 たせ る こ とが 良 い と思 わ れ る。 ② 次 の 表5.6は,同 人)の. じ計 算 結 果 を 視 点 を 変 え て,ゼ. 各 制 約 条 件 の 下 で,ゼ. ミの 最 大 人 数 一 定(22,23,24,25. ミ最 少 人 数 を0,5,8,10,15,20,21人 一11(11)一. と 設 定 した 場 合.
(12) 第8巻. 第1・2号. i胡置若 咽 図5.1case1-1∼1-4(ゼ. ミ 最 少 人 数 の 制 約0人)で. (22,23,24,25)の. に,最. 沖. 帖. 哺幅. 凹. 辮. 脚鰯 榴難 甥. 申餉 ● 卜 ㍑ ■ 弐.へ曲占i自 』f齪1「1闇 督. ゼ ミ最 大 人 数 を 次 第 に 増 加 さ せ た 場 合. 合計満足度の変化. 適 解 で は学 生 の 合 計 満 足 度 が ど うな るか を ま と め た もの で あ る。. 表5.6(ゼ. ミの 最 大 人 数 一 定)か. 程 度 の 冗 長 度 を 持 た せ る 方 が,学. 表5.6全. ら 分 か る こ と は 表5.5と 同 様,各. ゼ ミの 人 数 制 約 に あ る. 生 の 合 計 満 足 度 を 大 き く出来 る と い う事 で あ る。. て の モデ ル ケ ー スの 解 の ま とめ(ゼ. 25. 均数 平 人 21. こ、 40 ゼ 数. 50 生 8 学数. 制約 条件 ゼミ. ゼ ミ. 最 小. 最 大 人数 25 25 25 25. 最 小. 0 5 8 10 15 20 21 0 5 8 10 15 20 21 0 5 8 10 15 20 21. 25 25 25 24 24 24 24 24 24. 変数 の 数 34,000. [. 最適 解. ゼ ミ. 人 数. ゼ ミ最 合計満 大人 数 足度. 人 数 0 5 8 10 15 20 21 7 7 8 10 15 20. 24 23 23 23. 21. 23 23 23 23. 10. 10 10 10. 15 20 21. 25 25 25 25. 2254 2254 2254 2254. 25 25 25. 2254 0004 7753. 24 24 24 24 24 24. 0904 0904 0904 0904 0904 0004 7753. 24 23 23 23. 9553 9553 9553 9553 7753 8203 8203 8203 8203 8203. 20. 20. 22 22 22 22 22. 21. 22. 21. 22. 5 10 15. 13 13 13 15. 一12(12)一. 9553 9553. 23 23 23 23. 22 22 22 22 22. 0. ミの 最 大 人 数 一 定). 基本条件[. 3775.
(13) ゼ ミの クラス編成問題(大 村) ③ ま た,表5.5と 表5.6か ら分 か る こ とは,各 ゼ ミの人 数 制 約(ゼ. ミ最 少 人 数,ゼ. ミ最 大. 人 数)の 縛 りが 緩 い ほ ど全 学 生 の 合 計 満 足 度 は上 昇 す るが,緩 す ぎ る と最 適 解 と して 配 属 数0の. ゼ ミが発 生 す る事 が 分 か る。 本 例 で 使 っ た学 生 満 足 度 行 列 で は,例 え ば 制 約 条 件. が,「 ゼ ミ最 少 人 数0,ゼ 属 数0の 人 数8,ゼ. ミ最 大 人 数25」 の場 合,最 大 合 計 満 足 度 が 「4,225」とな り,配. ゼ ミが 発 生 す るが,制 約 条 件 が 「ゼ ミ最 少 人 数5,ゼ ミ最 大 人 数25」 「ゼ ミ最 少 人 数10,ゼ. ミ最 大 人 数25」 「ゼ ミ最 少. ミ最 大 人 数25」 「ゼ ミ最 少 人 数15,ゼ. ミ最. 大 人 数25」 の場 合 で も最 大 合 計 満 足 度 が 同 じ 「4,225」とな り,し か も配 属 数0の ゼ ミは発 生 しな い事 が 分 か る。 これ はゼ ミ人 数 の 分 散 化 を 実 現 し,か つ 合 計 満 足 度 は 同 じと い う ク ラ ス分 けが 出来 た と言 う こ とを 意 味 す る。 な お,こ の 合 計 満 足 度 の 減 少 は,本 論 文 で 使 っ た 「学 生 満 足 度 行 列 」 が テ ス トデ ー タ と して 作 られ た もの で,比 較 的 単 純 な もの に設 定 さ れ て い る影 響 が 出て い る可 能 性 が あ り,い つ も こ の よ う に な る と い う事 で は な い。 しか し,例 え どの よ うな 「学 生 満 足 度 行 列 」 で あ って も,同 様 の 分 析 は可 能 で あ る と言 え る。. 6.実. 6.1全. 際に本方法 を使用 する場合 の重要点. 員 の正 しい 「学生 満 足 度 行 列」 を迅 速 に集 め る. 実 際 に本 方 法 を 使 用 す る場 合 の 最 初 の 重 要 点 は,ま ず 全 員 の 「学 生 満 足 度 行 列 」 を 正 し く迅 速 に集 め る こ とで あ り,そ の 為 の 工 夫 が 必 要 で あ る こ とで あ る。 逆 に言 え ば,正. しい. 「学 生 満 足 度 行 列 」 さえ 集 まれ ば,表5.3で 示 した 基 礎 デ ー タ が集 ま った こ と にな り,次 は どの よ うな 条 件 で 最 適 値 を 求 め るの か と い う制 約 条 件 の 考 察 が 重 要 とな る。. 6.2学. 生 が 各 自 の 「学生 満 足度 行 列」 正 し く記 入 で き る よ うな工 夫が 重要. 実 際 の 「学 生 満 足 度 行 列 」 の 実 情 を知 る た め,試 験 的 にゼ ミ志 望 学 生 全 員 対 象 にデ ー タ を集 め たが,そ れ らを 見 る と問 題 点 が 多 く存 在 す る こ とが 判 明 した 。 この 時 集 めた デ ー タ は本 論 文 で 使 用 した デー タで はな いが,大 ①OMR(光 OMR用. き く問 題 点 を列 挙 す れ ば次 の よ う にな る。. 学 的 マ ー ク読 み取 り器)を 使 用 す る場 合 の読 み取 りエ ラ ー の 問題 紙 は一 旦 渡 して 自宅 や下 宿 で記 入 して も らい,後. りエ ラ ー を 作 り出 す 原 因 と な った 。 従 ってOMRを 場 合 に は,OMRを. そ の場 で記 入 して も らい,す. 日回 収 した が,こ れ が 読 み 取. 利 用 して 学 生 の配 属 希 望 を入 手 す る ぐ回収 す る必 要 が あ る。 後 日回 収 で は読. み 取 りエ ラー が 続 出 し,修 正 に多 大 な手 間 が か か る こ とが 判 明 した。(OMRの は現 実 的 な 方 法 で はな い。) -13(13)一. 後 日回 収.
(14) 第8巻 ②OMR読 OMR読. 第1・2号. み取 り機 器 の精 度 の 問題 み取 りはOMR読. み 取 り機 器 の精 度 が 重 要 で あ り,読 み 取 り精 度 の 高 い機 器 を. 持 って い る外 部 の 業 者 に頼 む 方 が 良 い と思 わ れ る。 ③OMRを OMRで. 使 用 す る場 合 の記 入 ミス の 問題 当 日記 入,そ. の場 で 回収 を し,正 し く読 み 取 れ た と して も,記 入 され た デ ー タ. に ミス が あれ ば 話 に な らな い。 しか し記 入 ミス と思 わ れ る も の も予 想 以 上 に 多 く存 在 し た。 記 入 ミス を少 な くす る に は,試 験 並 み に管 理 を 厳 し く して,ピ. リ ッと した 雰 囲 気 の 中. で 記 入 間 違 いが な い よ う に厳 重 に指 導 し,記 入 ミス は全 て 学 生 に責 任 が あ る こ とを 十 分 理 解 させ た上 で,当. 日記 入 させ 当 日回 収 す るの が 良 い。 そ う しな い と,記 入 す べ き 内容 を 学. 生 が 誤 解 し,記 入 され た 内容 自体 が 正 し くな い確 率 が 高 くな る。 ④OMRの. い い加 減 な記 入 デ ー タ の 問題. 記 入 ミスで な く,明 らか に い い加 減 な 記 入 も あ っ た。 これ を その ま ま本 人 の 責 任 とす る の も一 法 だが,教 育 機 関 と して は本 人 に注 意 す べ きか も知 れ な い。 本 人 に注 意 す る に は, OMRで. デ ー タ読 み取 り後,ま. とめ た デ ー タ に対 して,あ. らか じめ 作 って お いた 「い い加. 減 な記 入 を見 つ け 出す プ ロ グ ラ ム」 を 実 行 して,注 意 す る対 象 とな る学 生 を 抽 出 し呼 び 出 す 必 要 が あ る。 その た め に,「い い加 減 な記 入 を見 つ け 出す プ ロ グ ラ ム」を 設 計 す る必 要 が 生 ず る と と も に,呼 び 出 して 注 意 す る と い う時 間 が 必 要 とな る。 な お,本 人 の 責 任 とす る の な ら,こ の よ うな 作 業 は不 要 とな る。 ⑤OMRを OMRを. 使 わ な い方 法 使 う場 合 は上 記 の よ うな 問題 が存 在 す るが,OMRで. な く,Webを. 利 用 した 入. 力 シ ス テ ム で あ れ ば これ らの 問 題 点 を 克 服 しやす い と思 わ れ る。 現 在 あ るWebに. よ る受. 講 登 録 シ ス テ ム に,必 要 な用 件 を追 加 して カス タマ イ ズ 出来 れ ば よい が,出 来 な け れ ば 「ゼ ミ応 募 シ ス テ ム」 の よ うなWebシ Webを. ステ ムを 新 規 開 発 す る必 要 が 出て くる。. 利 用 した 入 力 シス テ ム で は,学 生 は コ ン ピ ュー タ上 で 入 力 中 に,そ の 都 度 プ ロ グ. ラ ムで エ ラ ー チ ェ ック を掛 け られ るの で,「 い い加 減 な入 力 に対 す る警 告 」 「記 入 ミス に対 す る注 意 」が可 能 で あ り,「読 み取 りエ ラー や読 み取 り機 器 の精 度 」 は関 係 が 無 くな る。 こ の 場 合 に は,Webを. 使 った 「ゼ ミ応 募 シス テ ム」で 使 うエ ラー チ ェ ック プ ロ グ ラ ムを 開 発. す る必 要 が あ る。. 6.3適. 切 な 制 約 条 件 を 設 定 し,そ. 制 約 条 件 を 考 え る に 当 た っ て は,何. の た め の 適 切 な 測 度(measure)を を 測 度(measure)に 一14(14)一. 考える. す るか と い う視 点 が 重 要 で あ.
(15) ゼ ミの クラス編成問題(大 村) る。 「合 計 学 生 満 足 度 」 を最 重 要 とす る の な ら,一 つ の ゼ ミの人 数 制 限 を 緩 や か に す れ ば 「合 計 学 生 満 足 度 」 は大 き くな る。 しか し,現 実 の 問 題 と して,大 人 数 の ゼ ミが 出来 て し ま う と一 人 一 人 の 学 生 に対 す る教 員 の 指 導 が ど う して も疎 か にな り,結 果 と して 学 生 満 足 度 は低 下 す る。 逆 に一 つ の ゼ ミの 人 数 制 限 に厳 しす ぎ る上 下 の 制 限 を課 せ ば,大 人 数 の ゼ ミは 出来 な い が 「合 計 学 生 満 足 度 」 は低 下 す る。 従 って,一 一 つ の ゼ ミの 人 数 制 限 は平 均 人 数 よ り最 大 人 数 を少 し多 め に し(表5.5,5.6参. 照),一 つ の ゼ ミの 人 数 制 限 の 最 少 人 数 を0名 か ら少 しず. つ 大 き く して い って,そ れ ぞ れ の 場 合 の 「最 適 解 」 と 「合 計 学 生 満 足 度 」 の 数 値 を 求 め, これ らの シ ミュ レー シ ョンの 結 果 か ら適 切 な 解 を 決 定 して 「実 施 解 」 とす るの が 良 い と思 わ れ る。. 7.結. (1)多. 人 数 の ゼ ミ希 望 者 が い て,そ. 配 属 方 法 以 外 に,学. 生 へ の1回. 論. と 考 察. の 学 生 を 全 員 ど こ か の ゼ ミ に 配 属 す る 場 合 に,現. の ア ンケ ー トの み で,数. 行の. 理 計 画 法 の モ デ ル を 利 用 して 最 適. 値 の 解 が 求 め られ る こ と を テ ス トデ ー タ で 確 認 し た(つ. ま り1回. の ア ン ケ ー トの み で 全 て. の 配 属 を 決 め られ る と い う 事 で あ る 。)。 但 し,学. 生 全 員 か ら正 し い 配 属 希 望(学. 生 満 足 度 行 列)を. 迅 速 に集 め る に は シ ス テ ム開. 発 を 含 む 十 分 な 下 準 備 が 必 要 と な る 。 下 準 備 を しな い 場 合 に は,デ は 人 海 戦 術 と な り,正. し い 配 属 希 望(学. 生 満 足 度 行 列)の. ー タ入 力 とデ ー タ検 証. 電 子 デ ー タ を 作 る た め に 多 くの. 人 月 が 必 要 とな るの で 現 実 的 で はな い。 (2)こ. の 時 の モ デ ル の 大 き さ は,学. 生 数850人,ゼ. ミ数40で. あ る。 目 的 関 数 は 「合 計 学 生. 満 足 度 」 で あ り,そ. の 最 大 化 を 実 現 で き る 最 適 解 を 求 め る 。 こ の 場 合 の 変 数(未. 34,000で. ー ソ ナ ル コ ン ピ ュ ー タ 上 のExcelに. あ る が,パ. 知 数)は. 数 理 計 画 法 の 汎 用 ソ フ トウ ェ ア. [5]を 作 動 さ せ て 最 適 解 を 求 あ る こ と が 出 来 る 。 こ の 未 知 数 の 数 が 変 わ っ て も,そ. の都度. モ デル を変 え る こ と に よ り同様 の 計 算 が 可 能 で あ る。 因 み に,計. 算 時 間 は 一 つ の モ デ ル に 対 して,約10秒. め られ る が,一. 番 時 間 が か か る の は,上. デ ー タ を 正 し く集 め る こ と で あ り,こ. 記. 程 度 で34,000個. の変 数 の最 適 解 が 求. 「6.」で 述 べ た よ う に,学. 生 全 員 の ゼ ミの 希 望. れ らの オ ペ レー シ ョ ン を 上 手 く設 計 す る 必 要 が あ る. と 同 時 に,「6.」 で 述 べ た よ う な シ ス テ ム の 開 発 が 必 要 に な る。 ま た,最. 適 化 の た め の モ デ ル の 作 成 は,変 -15(15)一. 数 の 数 や 制 約 条 件 の 変 更 の 都 度 必 要 で あ り,.
(16) 第8巻. 第1・2号. その た めの 時 間 は,必 要 にな る。 (3)制 約 条 件 と して の 各 ゼ ミの 最 少 人 数 と最 大 人 数 を 動 か す こ と に よ り,そ れ ぞ れ の ケ ー ス で最 適 解 を 求 あ,そ れ が 「合 計 学 生 満 足 度 」 に与 え る影 響 を調 べ た(感 度 分 析)。 そ の 結 果,制 約 を ゆ る めれ ば 「合 計 学 生 満 足 度 」 は増 加 す る こ とが 示 され た が,そ れ が 各 ゼ ミ の 人 数 の ば らつ き を増 加 させ るの で,あ. る程 度 の 限 度 を設 定 す る必 要 が あ る と思 わ れ る。. この た め に考 え られ る方 法 と して は,以 下 の 方 法 が 考 え られ る。 ①. 各 ゼ ミの 最 少 人 数 を 少 しず つ 増 加 させ て 感 度 分 析 を 行 い,そ の 中で 適 切 と思 わ れ る解. を選 択 す る方 法 ②. 各 ゼ ミの 人 数 の 最 少 人 数 を 決 め た 上 で,ゼ. ミ人 数 の標 準 偏 差 を 計 算 す るセ ル を作 成. し,標 準 偏 差 の 大 き さを 制 約 条 件 に入 れ て 最 適 化 計 算 を 行 う方 法 。 ④. 最 適 解 を求 め る モ デル と して は,数 理 計 画 法 を 用 いて い る。 目的 関 数 はゼ ミを 受 講 す. る学 生 の 合 計 満 足 度 の最 大 化 で あ る。 この よ うな 問 題 の解 法 は い ろ い ろ研 究 され て お り [1][2][3][4],実. 際 に クラ ス分 け で使 わ れ て い る例 もあ る が[3],場 所 や環 境 が違 い,そ の. 歴 史 が違 う と,実 施(implementation)を. うま く行 う に は,種 々 の 創 意 工 夫 が必 要 とな. る。 それ を う ま く実 行 す る方 法 を 確 立 す る に は,数 学 的 な 解 法 の 研 究 と 同等 以 上 の 時 間 と 手 間 が か か る こ と を理 解 して お く必 要 が あ る。 しか し,一 旦 方 法 が 決 ま って しまえ ば,実 行 時 間 その もの は驚 異 的 に少 な くな る こ とが 報 告 され て い る。[3] (5)本 論 文 で の 学 生 満 足 度 デ ー タ は,記 入 す る点 数 を0∼10と. して い る。 しか し,「0」. は望 まな い こ との 意 思 表 示 と して 使 わ れ る可 能 性 が 高 く,「0」 と答 え て い るの もか か わ ら ず,配 属 され て しま っ た ば あ い に は,そ の 学 生 は不 快 感 を 感 じて しま う可 能 性 が あ る。 そ こで 「0」 と答 え た場 合 に は,ソ フ トウ ェ ア上 の 後 処 理 と して マ イ ナ スの 大 きな 数 を 入 れ る よ う にす れ ば,そ こ に配 属 され る可 能 性 は減 少 す る と思 わ れ る。 (6)本 研 究 で は入 力 点 数 を0∼10と. した が,OMRを. は入 力 しに くい(一 般 的 に は 数 字 は0∼9の あれ ば0∼9で. 使 用 す る場 合 に は 「10」は一 般 的 に. 十 種 類 の み)。 した が ってOMRを. 使 うの で. 答 え させ る方 が 良 い と思 わ れ る。. (7)次 の 図 は,ゼ. ミの ク ラ ス編 成 問 題 を 数 理 計 画 法 を 用 いて 解 決 す る場 合 の 実 施 手 順 の 一. 例 を示 す 。. 一16(16)一.
(17) ゼ ミの ク ラス 編 成 問 題(大 村). 図7-1実 (8)本. 方 法 を 実 施 す る 場 合 に は,学. え る 必 要 が あ る の で,オ. 施手順の概要. 生 の ゼ ミ決 定 ま で の 現 行 の オ ペ レー シ ョ ン を 大 き く変. ペ レー シ ョ ン の 再 設 計 が 必 要 と な り,ア. ン ケ ー トを 採 る 前 の 学 生. に対 す る十 分 な 説 明 も必 要 とな る。. 参. 考. 文. 献. 〔1〕G.B.Dantzig,LinearProgrammingandExtensions,PrinstonUniversity. Pr,1974 〔2〕. 利 根 薫,数. 理 計 画,朝. 〔3〕. 今 野 浩,数. 理 決 定 法 入 門,朝. 倉 書 店,1981. 〔4〕. H.P.Williams,ModelBuildinginMathematical. 倉 書 店,1992 Programming,John. Wiley,1993 〔5〕. 新 村 秀 一,ExcelとLINGOで. 〔6〕. 大 村 雄 史,学. 学 ぶ 数 理 計 画 法,丸. 善,平. 成20年. 生 満 足 度 最 大 化 を 目 指 す 基 礎 ゼ ミの ク ラ ス 編 成,生. No1,2009. 一17(17)一. 駒 経 済 論 叢Vol7.
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