数 式 処 理 シ ス テ ムMathematicaの 応 用 と イ ン タ ー ネ ッ トを利 用 した 経 済 学 学 習 に つ い て
鵜 沢 秀
1は じ め に 1.1こ れ ま で の経 済 学 学 習 方 法
基 礎 的 な経 済 学(ミ ク ロ経 済 学 とマ ク ロ経 済 学 を指 す こ とが 多 い)を 含 め, 一 般 的 に経 済 学 を学 習 し よ う とす る 学 生 に とっ て
,よ りわ か りや す い 方 法 につ い て の研 究 と実 践 が こ れ まで な さ れ て き た。 そ こで は,い ろ い ろ な ア プ ロー チ が 提 案 さ れ,実 行 さ れ て きて い る。
3節 で 紹 介 す る イ ンタ ー ネ ッ トの ホ ー ムペ ー ジ に ア ク セ ス す る と イ ギ リス や ア メ リ カで の経 済 学 教 育 の コ ン ピ ュ ー タ化 へ の努 力 を知 る こ とが で き る。
(1)教 科 書 を何 回 も読 む,
(2)自 分 で グ ラ フ を描 い た り表 を作 成 す る, (3)講 義 を聴 き,先 生 に 質 問 す る,
(4)少 人 数 の セ ミナ ー に参 加 し,質 問 や 議 論 をす る, (5)少 人 数 で読 書 会 を行 う,
(6)具 体 例 に 数値 を 当 て は め て 計 算 問題 を解 い て み る, (7)モ デ ル分 析 を試 み る,
(8)コ ン ピ ュ ー タ を利 用 す る, な どな ど多 くの 学 び方 が あ る 。
コ ン ピ ュー タ を 利 用 す る とい っ て も,さ ら に い くつ もの 利 用 の仕 方 が あ る。
大 き く分 け て3つ の 方 法 が あ る 。1つ は,コ ン ピ ュ ー タ ・プ ロ グ ラム を 自分 で
〔49〕
作 成 して 経 済 問 題 を解 く方 法,2つ め は,専 門家 の 作 成 した 経 済 シ ミュ レー シ ョ ン を利 用 す る 学 習 で あ る。3つ め は,作 成 され た プ ロ グ ラ ム,例 え ば,表 計 算 ソ フ トや 計 量 経 済 分 析 プ ロ グ ラ ム(統 計 処 理 ソ フ トを含 む)を 利 用 して,経 済 問 題 を解 く方 法 で あ る 。
1.2ソ フ ト ウ エ ア の 選 択
経 済 学 を 学 ぶ ソ フ トウ エ ア は 次 の3種 類 に 分 け ら れ る 。1つ は,今 ま で の 教 科 書 に よ る 学 習 を パ ソ コ ン の 画 面 上 で 行 う,い わ ゆ る,基 本 的 な ア プ ロ ー チ で あ る 。 代 表 的 な も の と し て,CliffsStudyWareforECONOMICS(1993),3.5
で 紹 介 す るWinEcon4.0(1996)お よ び4.1(1997),Stiglitz,J.,Economics
(W.W.Norton&Company,1993)用 の ソ フ トな ど多 数 あ る 。 も ち ろ ん マ ル チ メ デ ィ ア を 生 か し た も の で あ る の で,そ の 学 習 効 果 は 大 き い 。
2つ め は,経 済 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 体 験 さ せ る ソ フ ト ウ エ ア で あ る 。 こ の 種 の ソ フ トウ エ ア も 数 多 く あ る が,3.9に あ げ て あ るLovell(1995,1996)な ど は 興 味 深 い も の で あ る 。
3つ め は,実 際 の デ ー タ を も と に ど の よ う な 経 済 的 因 果 関 係 が 存 在 す る か を 予 想 を 立 て な が ら学 習 さ せ る ソ フ トで,第2の ソ フ ト ウ エ ア は 大 部 分 こ の 特 徴 を 持 っ て い る 。 初 歩 的 な 経 済 学 か ら専 門 の 計 量 経 済 学 的 研 究 に ま で 利 用 可 能 な ソ フ トウ エ ア も 数 多 い 。
こ の 小 論 で は,数 式 処 理 シ ス テ ムMathematicaの 経 済 分 析 へ の 応 用,お よ び,
イ ン タ ー ネ ッ トを 利 用 し た 経 済 学 学 習 と研 究 資 源 の 活 用 に つ い て 述 べ る 。2節
で は,数 式 処 理 シ ス テ ムMathematicaを 利 用 し て,寡 占 理 論 に お け る 複 占 モ
デ ル の ク ー ル ノ ー 均 衡 や シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を 求 め る 。3節 で は,イ ン タ ー
ネ ッ トを 利 用 し た 経 済 学 学 習 と研 究 用 の 資 源 に つ い て 述 べ る 。
数式処理 システムMathematicaの 応用 とインター ネッ トを利用 した経済学学習 について 51
2数 式 処 理 シ ス テ ムMathematicaの 応 用 例 複 占モデ ルにお ける クー ルノー均衡 とシュ タッケ ルベル ク均衡 を求 める
数 式 処 理 シ ス テ ムMathematicaは,も と も と 自 然 科 学 系 の 問 題 解 決 の た め にWolframに よ っ て 開 発 さ れ,現 在 はWolframResearch社 が 維 持 管 理 し て い る ソ フ ト ウ エ ア で あ る が,他 の 分 野 に も積 極 的 に 利 用 さ れ て い る 。Varian (ed.)[1993]はMathematicaを 利 用 し て,経 済 問 題 や 金 融 問 題 を い ろ い ろ な 側 面 か ら解 い て い る17の 事 例 を 集 め た も の で あ る 。 浅 利,久 保,石 橋,山 下 [1995,1997]は,Mathematicaの 計 算 能 力 と そ の 特 性 の 一 つ で あ る グ ラ フ 表 示 を 大 い に 利 用 し て い る 。 ま た,小 林[1996]は,グ ラ フ を 多 用 し て ミ ク ロ 経 済 学 の 学 習 補 助 を 試 み て い る 。
こ の 節 で は,Mathematicaの 数 式 処 理 と グ ラ フ 表 示 を 利 用 し て,複 占 モ デ ル の ク ー ル ノ ー(Cournot)均 衡 と シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク(Stackelberg)均 衡 を 求 め る 。 ク ー ル ノ ー ・モ デ ル お よ び シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク ・モ デ ル に つ い て の 詳 論 は 参 考 文 献 に ゆ ず る(今,鵜 沢,山 本[1992],奥 野,鈴 村[1988],梅 原,
シ ャ オ[1997],Friedman[1983]な ど を 参 照 せ よ)。
2.1複 占 モ デ ル に お け る ク ー ル ノ ー均 衡
同 質 の 生 産 物 を生 産 す る2つ の企 業 が 存 在 し,互 い に相 手 の 生 産 量 を 与 件 と して 自分 の 企 業 の 利 潤 を最 大 に し よ う と競 争 して い る。 自分 の 企 業 の生 産 量 ば か りで な く,相 手 企 業 の生 産 量 も 自分 の 企 業 や 相 手 の 企 業 の 利 潤 に重 要 な 影 響 を与 え る こ とを お 互 い に認 識 して い る 。 これ は ゲ ー ム理 論 の 言 葉 で い え ば,数 量 を 戦 略 変 数 とす るゲ ー ム で あ る。
ク ー ル ノ ー は1838年 に発 刊 さ れ た 著 書 の 中 で,今 日,ゲ ー ム 理 論 にお い て ナ ッ シ ュ(Nash)均 衡 と呼 ば れ る 概 念 を発 見 した 。 しば しば,ク ー ル ノ ー=ナ ッ シ ュ均 衡 と い わ れ る理 由 は この た め で あ る。
戦 略 の 組 み(q1C,q2C)は 次 の 条 件 を 満 た す と き,ク ー ル ノー=ナ ッ シ ュ
均 衡 とな る。
商 学 討 究 第48巻 第2・3号
(1)企 業2の 戦 略q2Cに た い し て,企 業1の 利 潤 を 最 大 に す る 戦 略 はq1C で あ る 。
(2)企 業1の 戦 略q1Cに た い し て,企 業2の 利 潤 を 最 大 に す る 戦 略 はq2C で あ る 。
す な わ ち,企 業1の 生 産 量q1Cは,企 業2の 生 産 量q2Cに 対 す る 企 業1の 最 適 生 産 量,お よ び,企 業2の 生 産 量q2Cは,企 業1の 生 産 量q1Cに 対 す る 企 業2の 最 適 生 産 量 で あ る 。
同 質 の 生 産 物 を 生 産 し販 売 す る2つ の 企 業 が 直 面 す る 市 場 需 要 曲 線(逆 市 場 需 要 関 数)を 次 の よ う に 想 定 す る 。
P=a‑b(ql十q2)
こ こ で,pは 市 場 価 格,q1,q2は そ れ ぞ れ 企 業1お よ び 企 業2の 生 産 量 を 表 す 。 ま た,a,bは 正 の パ ラ メ ー タ で あ る 。
以 下 の 説 明 はMathematicaの グ ラ フ ィ ッ ク 機i能 を 利 用 で き る 環 境 で 実 行 し た も の で あ る 。
Mathematicaを 起 動 す る と, In/lノ'=
と い う プ ロ ン プ トが 表 示 さ れ る の で,プ ロ ン プ トの 後 に,市 場 需 要 曲 線(逆 需 要 関 数)を 入 力 す る 。
In∠7ノ'=p=a‑b(q1+q2) と入 力 す る と,次 の 行 に
Out∠=Z7=a‑b(q1+q2)
と結 果 が 表 示 さ れ る 。 結 果 を 表 示 し た く な い ζ き は,入 力 の 最 後 に セ ミ コ ロ ン
";"を 入 力 す る と 良 い
。 こ こ で,bと(q1+q2)の 問 に ス ペ ー ス が あ る が, こ れ はMathematicaの 記 号 法 で 積 を 表 す た め に 用 い ら れ て い る 。
次 に,費 用 関 数 は2つ の 企 業 に と っ て 同 一 で あ り,平 均 費 用=限 界 費 用=
mと な っ て い る ケ ー ス を 考 察 す る 。 In[27'=cl=mql
Out/27=mql
数式処理 システムMathematicaの 応用 とインターネッ トを利用 した経済学学習 につい て 53 In[31'=c2=mq2
0ut/31=mq2
売 上 額(収 入)は 価 格(p)と 生 産 量(q1ま た はq2)の 積 で あ る 。 費 用 を 考 慮 す る と 利 潤(profit1とprofit2)は そ れ ぞ れ 次 の よ う に 入 力 す れ ば 求 め る こ と が で き る 。
一1海 ∠'41
」=profitl=pq1‑cl Out∠41=一(mql)+q1(a‑b(q1+q2))
上 の 式 を 簡 単 に す る に は,Simplifyを 用 い て, In/57:=Simplify[profit1]
ま た は,
In/51:=Simplify[%]
Outf57=q1(a‑m‑bq1‑bq2)
こ こ で,%は す ぐ 前 の 番 号 で 与 え ら れ る 内 容 を 示 す 。 こ こ で はprofitlを 表 し て い る 。
1}z[67'=pro且t2=pq2‑c2 0ect(67=一(mq2)+q2(a‑b(q1+q2))
相 手 企 業 の 生 産 量 を 与 件 と し た と き,自 分 の 企 業 の 利 潤 を 最 大 に す る 生 産 量 を 求 め る 。 こ れ は,ク ー ル ノ ー の 反 応 関 数(reactionfunction),ゲ ー・ ・ム 理 論 で は 最 適 反 応 関 数(bestresponsefunction)と 呼 ば れ て い る 。
乃n∫77:=foc={D[profit1,q1]==O,D[pro丘t2,q2]==Ol Out∫77=={a‑m‑bql‑b(q1+q2)==O,
a‑m‑bq2‑b(q1+q2)==0}
こ こ で,D[profitl,q1]==0は 利 潤(pro趾1)を 生 産 量q1に 関 し て 偏 微 分 し た も の を ゼ ロ に お く こ と を 示 し て い る 。 す な わ ち,企 業1の 利 潤 最 大 の1
階 条 件 を 求 め て い る 。 従 っ て,focは2つ の 企 業 の 利 潤 最 大 の1階 条 件 を ま と め て 表 現 し て い る 。
1勿∠"81'=D[profitl,{q1,2}]
Outl81=‑2b
こ こ で,D[profitl,{q1,2}]は,関 数profit1を 変 数q1に 関 し て,2回 偏 微 分 し た も の を 表 し て い る 。b>0を 考 慮 す る と,そ の 値 は 負 で あ る 。 従 っ て,利 潤(profit1)が 生 産 量(q1)に 関 し て 凹 関 数(利 潤 の グ ラ フ が 上 に 凸)に な っ
て い る 。 す な わ ち,利 潤 最 大 の2階 条 件 は 満 た さ れ て い る 。 同 様 に,企 業2の 2階 条 件 も 満 た さ れ て い る 。
InIg7'=r1=Solve[foc[[1]],ql][[1]]
a‑m‑bq2}O ut∠"97={q1‑>2b
1勿∠=ZO7'=r2=Solve[foc[[2]],q2][[1]]
a‑m‑bq1}O ut∠107・={q2‑>2b
Solve[foc[[1]],q1]はfocの 要 素 の う ち 第1番 目 の 要 素(D[profitl,q1]=
=0 ,す な わ ち,a‑m‑bq1‑b(q1+q2)==0を 表 す)をq1に つ い て 解 い た も の で あ る 。 式 の 最 後 に つ い て い る[[1]コ は,出 力 の カ ッ コ{}を と る た め で あ る 。
従 っ て,r1お よ びr2は そ れ ぞ れ 企 業1と 企 業2の 反 応 関 数 を 示 し て い る 。 後 で 利 用 す る た め に,新 た に 関 数reaction1[a,b,m]お よ びreaction2[a,b,m]
を そ れ ぞ れ 次 の よ う に 定 義 す る 。 InIllノ'=reaction1[a̲,b̲,m]:=(a‑m‑bq2)/(2b) 乃nI127:=reaction1[a,b,m]
a‑m‑bq20 ut[127=
2b
In/131:=reaction2[a̲,b̲,m̲]:=(a‑m‑bq1)/(2b) InI147'=reaction2[a,b,m]
a‑m‑bqlO ut[141=2b
反 応 関 数 を グ ラ フ 表 示 し た も の が 反 応 曲 線 で あ る 。 ク ー ル ノ ー=ナ ッ シ ュ 均
衡 は 条 件(ユ)お よ び(2)か ら,企 業1と 企 業2の そ れ ぞ れ の 反 応 曲 線 の 交
数式処理 システムMathematicaの 応用とインター ネッ トを利用 した経済学学習 について
点 と し て 求 め ら れ る 。 1勿IZ57'=qc=Solve[foc,{q1,q2}][[1]]
}Out∠ フ51={q1‑〉,q2‑>3b3b
ク ー ル ノ ー=ナ ッ シ ュ 均 衡 は
ユ
q1=,q2=3b3b
55
と な る 。 こ こ で,ク ー ル ノ ー=ナ ッ シ ュ 均 衡 の 時 の 生 産 量(QIC[a,b,m]と Q2C[a,b,m])を そ れ ぞ れ 定 義 し て お く 。
In(161'=QIC[a ̲,b̲,m̲]:=(a‑m)/(3b) Inl177'=QIC[a,b,m]
Out/l77=3b a‑m
In/181:=Q2C[a ̲,b̲,m̲]:=(a‑m)/(3b) InI197'=Q2C[a,b,m]
a‑m Out/191=3b
ク ー ル ノ ー=:ナ ッ シ ュ 均 衡 価 格(PC[a,b,mコ)を 次 に 求 め る 。 In/201:=PC[a .‑fb"m」:=Simplify[a‑一 一 一b(QIC[a,b,mコ+Q2C
[a,b,m])]
InI21ノ 」=PC[a,b,m]
a+2mO ut/211=3
さ て,企 業1と 企 業2の ク ー ル ノ ー一=ナ ッ シ ュ 均 衡 の 時 の 利 潤(pai1C[a, b,m]とpai2C[a,b,m])を そ れ ぞ れ 求 め る 。
In/227'=pai1C[a"b ̲,m̲]:=Simplify[(PC[a,b,m]‑m)QIC [a,b,m]]
In[231'=pai1C[a,b,m]
2(
a‑m)O ut[231=9b
In[241'=pai2C[a̲,b̲,m̲]:=Simpiify[(PC[a,b,m]‑m)Q2C [a,b,m]]
InI251:=pai2C[a,b,m]
2 (a‑m)O ut/251=
9b
ク ー ル ノ ー 均 衡(CournotEquilibrium),お よ び,そ の と き に 得 ら れ る 利 潤 の 組(CournotProfits)は
InI267'=CournotEquilibrium={QIC[a,b,m],Q2C[a,b,m],PC[a, b,m]}
a‑ma‑ma+2mO ut[267={3b・3b・3}
In12η'=CournotProfits={pai1C[a,b,m],pai2C[a,b,m]}
22 (a‑m)(a‑m)O ut/277={
9b・9b}
と な る 。
2.2ク ー ル ノ ー 均 衡 の グ ラ フ 表 示
Mathematicaは グ ラ フ 表 示 が 手 軽 に 行 な え る 。
ま ず,反 応 曲 線 を 表 示 さ せ る た め に,パ ラ メ ー タ の 値 を,例 え ば, a=25,b=1,m=1
と す る 。
In[281'=a=25;b=1;m=1;
In/291:・=RE1・=D[profitl,q1]
Outl297=24‑2q1‑q2 1n[301'=RE2=D[profit1,q2]
Out[301=24‑q1‑2q2
■
数式処理 システムMathematicaの 応用 とインター ネッ トを利用 した経済学学習について 57 RE1お よ びRE2は,企 業1と 企 業2の 限 界 利 潤(=限 界 収 入 一 一 ・ 限 界 費 用) をそ れ ぞ れ 求 め て い る 。 限 界 収 入 と は,企 業 が 追 加1単 位 の 生 産 物 を 販 売 す る と きの 収 入 の 増 分 を示 し,限 界 費 用 と は,企 業 が 追 加1単 位 の 生 産 物 を生 産 す る時 の 費 用 の 増 分 を 示 す 。
限 界 利 潤 が ゼ ロ と な る 点(ql,q2) の 軌 跡 は 反 応 曲 線 を 示 す 。Mathe‑・
maticaで は 次 の よ う に す れ ば 良 い 。 1勿131ノ'=GrRE1=Contour.
Plot[RE1,{q1,0, 24},{q2,0,24}, Contours‑〉{0}, ContourShading‑>
False,FrameLabel
‑〉{q1 ,q2}]
0躍13Z1=‑ContourGraphics一
図1の よ う に 企 業1の 反 応 曲 線(こ の ケ ー ス の 時 は 直 線)が 描 か れ る 。 同 様 に し て,次 の よ う に 入 力 す る と,図2の よ う に 企 業2の 反 応 曲 線 (こ の ケ ー ス の 時 は 直 線)が 描 か れ る 。
In1321'=GrRE2=Contour‑
Plot[RE2,{ql,O, 24},{q2,0,24}, Contours‑〉{0}, ContourShading‑>
False,FrameLabe1
‑〉{q1 ,q2}]
Out[327=‑ContourGraphics一
昏号
20
ql
図1.企 業1の 反 応 曲 線
ql
図2.企 業2の 反 応 曲 線
グ ラ フ を 見 や す くす る に は 文 字 情 報 が 必 要 で あ る 。 ま ず,ク ー ル ノ ー=ナ ッ シ ュ 均 衡 の 点 を 示 す た め に,反 応 曲 線 の 交 点 に 文 字 ℃"を 表 示 さ せ よ う 。 そ の た め に は,交 点 の 座 標 が 必 要 で あ る が,次 の よ う に し て す ぐ わ か る 。
In[331'=QIC[a,b,m]
Out∠‑337・={8}
InI341:=Q2C[a,b,m]
Out/347={8}
こ の ケ ー ス の ク ー ル ノ ー=ナ ッ シ ュ 均 衡 の 生 産 量 の 組 は{8,8}で あ る 。 そ こ で,次 の よ う に 文 字 を 表 示 さ せ る た め の 入 力 を 行 う こ と に す る 。
ln[351'=tC=Show[Graphics[Text[C,{8+0.5,8+0.5}]]]
OutI351=‑Graphics一
こ こ で,Cの 位 置 は{8+0.5,8+O.5},す な わ ち,2つ の 反 応 曲 線 の 交 点 の や や 右 上 に 表 示 させ て い る.
In[367'=tReaction1=Show[Graphics[Text[Firm1'sReaction Curve,{6,23}]コ]
Out∠‑367=‑Graphics‑
InI377'=tReaction2=Show[Graphics[Text[Firm2'sReaction Curve,{20,3}]]]
OutI377=‑Graphics一
以 上 の 準 備 の も と に,ク ー ル ノ ー=ナ ッ シ ュ 均 衡 の グ ラ フ 表 示 を 試 み る 。 Inβ81:=GrCournotE=Show[GrREI,GrRE2,tC,tReaction1,
tReaction2,
PlotLabel‑>CournotEquilibrium]
OutI381ニ ーGraphics一
企 業1の 反 応 曲 線 と企 業2の 反 応 曲 線 が 交 差 し て い る 図3が 得 ら れ る 。
次 に,ク ー ル ノ ー 均 衡Cを 通 る 等 利 潤 線 を 描 こ う 。 企 業1の 等 利 潤 線 と は,
企 業1の 利 潤 を 一 定 に す る よ う な 企 業1と 企 業2の 生 産 量 の 組{q1,q2}の 軌 跡
を 表 す 。同 様 に,企 業2の 等 利 潤 線 を 求 め る こ と が で き る 。Mathematicaで は,
数式処理システムMathematicaの 応用 とインター ネッ トを利用 した経済学学習 について 59 次 の よ う に 入 力 す れ ば 良 い 。た だ し,
PlotPointsのdefaultの 値(25)で は,
20
グ ラ フ の 折 れ 線 の 程 度 が 荒 い の で, こ こ で はoptionの 値(50)を 使 っ て
15
い る 。
ぢ
In∠391,=ISOIC=・Contour‑、 。
Plot[pro丘t1,{ql,0,
24},{q2,0,24},
Contours‑〉{pai1C
[a,b,m]},Contour‑
ql
Shading‑>False,
PlotPoints→50,図3・ ク 旧 ル ノ ー 均 衡C
FrameLabe1‑〉{q1,q2}]
Out∠"397=‑ContourGraphics‑
1勿/407'=ISO2C=ContourPlot[profit2,{q1,0,24},{q2,0,241, Contours‑〉{pai2C[a,b,m]},ContourShading‑>False, PlotPoints‑>50,FrameLabel‑〉{ql,q2}]
OutI401=‑ContourGraphics一
さ て,反 応 曲 線 と 等 利 潤 線 を 同 時 に 表 示 す る こ と に し よ う 。 企 業1の 等 利 潤 線 は,企 業1の 反 応 曲 線 上 で そ の 傾 き(D[profitl,q1])は ゼ ロ に な っ て い る 。 同 様 に,企 業2の 等 利 潤 線 は,企 業2の 反 応 曲 線 上 で そ の 傾 き[D[profit2,q2]
が 垂 直 に な っ て い る 。 ・
In/4ヱ7'=G・C・u・n・tlSO‑Sh・w[G・aphics[G・REI,G・RE2tα 塀ea・ti・nl, 'tR
eaction2,ISOIC,ISO2C]
Out∠41ノ=‑Graphics‑
PlotPointsがdefault(25)の 時 の 図4とoptionの 値(50)の 時 の 図5を 比 較
し な さ い 。2つ の 曲 線 は そ れ ぞ れ 利 潤=64に 対 応 し た 企 業1と 企 業2の 等 利 潤
線 で あ る 。
企 業1の 等 利 潤 線 は下 に あ れ ば あ る ほ ど利 潤 の水 準 は高 い し,企 業2 の等 利 潤 線 は左 に あ れ ば あ る ほ ど利
20潤 の水 準 は高 い こ と に注 意 し よ う。
こ の こ とか ら,2つ の 曲線 に 囲 まれ
磐
た レ ン ズ 状 の 領 域 の 点 は2つ の 企 業 に と っ て,ク ー ル ノ ー 均 衡 の 時 の 利 潤 の 組 み 合 わ せ よ り も(利 潤 が 多 い と い う 意 味 で)望 ま し い 点 で あ る 。 た と え ば,{6,6}の 点 で 生 産 す れ ば 価 格 がp=25‑(6+6>=13だ
か ら,利 潤 は(13‑1)・6=72と な る 。 す な わ ち,企 業1と 企 業2が 協 力 し て{6,6}の 組 を 生 産 す れ ば 利 潤 の 組{72,72}を 手 に 入 れ る こ と が
20で き る 。
しか し,相 手 企 業 が6を 生 産 し た と き に は,当 該 企 業 は6で は な く, 9を 生 産 す れ ば も っ と 多 く の 利 潤 を 手 に す る こ と が で き る 。 こ れ は 次 の
よ う に し て 確 か め ら れ る 。 企 業2が 6を 生 産 す る 場 合 を 想 定 し よ う 。 企 業1の 利 潤 を 改 め て,rijun1と 約 束 し よ う 。
In[427'=rijun1=profit1/.
q2‑>6 0utI427=(18‑q1)q1
ql
図4.ク ー ル ノ ー 均 衡Cと 等 利 潤 線 (PlotPoints=25(default))
ql
図5.ク ー ル ノ ー 均 衡Cと 等 利 潤 線 (PlotPoints=50)
この利 潤 を最 大 にす る企 業1の 生産 量qlを 求 め る。利 潤 最 大化 の1階 条 件 は,
数式処理 システムMathematicaの 応 用とインター ネッ トを利用 した経済学学習 について In/447'=:D[rijunl,q1]==O
Out∠447=18‑2q1==0
と な る 。 従 っ て,生 産 量q1は, InI457ご=Solve[%q1][[1]]
Out[457={q1‑>9}
よ り,9と な る こ と が わ か る 。 ま た,利 潤 最 大 化 の2階 条 件 は,
Inf461'=D[rijun1,{q1,2}]
Out/467=‑2
よ り,満 た さ れ て い る 。 In∠4η'=rijunl/.q1‑>9
0〃'μ η=81
従 っ て,企 業1は6を 生 産 す る よ り も 裏 切 っ て,
61
9を 生 産 す る と81の 利 潤 を 手 に す る こ と が で き る 。 こ の 利 潤 は,協 力 解 の 時 の 利 潤72よ り 多 い 。 こ の と き, 企 業2の 利 潤rijun2は,次 の よ う に し て 求 め ら れ る 。
In[487'=rijun2=profit2/.q1‑>9 0ut/487・=(15‑q2)q2 1n!491'=rijun2/.q2‑>6
0ut∠497・=54
す な わ ち,企 業2の 利 潤 は54と な る 。
2つ の 企 業 は 協 力 し,{6,6}を 生 産 す れ ば,利 潤 の 組{72,72}を 手 に 入 れ る こ と が で き る 。 しか し,相 手 が 協 定 を 守 っ て6を 生 産 す る と き,自 分 が 相 手 を 裏 切 っ て9を 生 産 す れ ば 利 潤 の 組 は{81,54}と な る 。 従 っ て 協 定 を 守 る イ ン セ ン テ ィ ブ は な い 。 し か し な が ら両 企 業 と も 裏 切 っ て,生 産 量 の 競 争 に な る と,落 ち つ く先 は ク ー ル ノ ー 均 衡 と な り,利 潤 の 組 は{64,64}と な る 。 こ の 状 態 は ゲ ー ム 理 論 に お い て 有 名 な"囚 人 の ジ レ ン マ(Prisoner'sdilemma)"
に な っ て い る 。
一 回 限 り の ゲ ー ム で は 協 力 解 は 出 て こ な い が ,無 限 回 こ の ゲ ー ム を 繰 り返 す,
商 学 討 究 第48巻 第2・3号
い わ ゆ る,超 ゲ ー ム を 考 察 す る と,非 協 力 ゲ ー ム の 枠 組 み の 中 で も協 力 解 が 支 持 され る状 況 が 生 じる こ とが 明 らか に さ れ て い る(Friedman[1983]な ど を 見 よ)。 これ は フ ォー ク定 理(FolkTheorem)と 呼 ば れ て い る 。
2.3複 占 に お け る シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡
相 手 企 業 の 生 産 量 に た い し て,(反 応 関 数 に 従 っ て)最 適 な 生 産 量 を 生 産 す る 戦 略 を と る 企 業 を 追 随 者 と い い,相 手 企 業 が 追 随 者 で あ る こ と を 知 っ て 生 産 計 画 を 実 行 す る 戦 略 を と る 企 業 を 先 導 者 と い う。 従 っ て,先 導 者 は 追 随 者 の 反 応 関 数 を 知 っ て い る 。
こ の よ う な 複 占 の ケ ー ス を 考 察 し た の は シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク で あ る 。 い ま, 企 業1が 先 導 者 で 企 業2が 追 随 者 の 場 合 の シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡S1を 求 め
よ う 。
一 般 解 を 求 め る た め に
,パ ラ メ ー タ ー の 値 をa,b,mに 戻 し て お こ う 。 In∠5ρ1'=Clear[a,b,m];
企 業1の 利 潤(profitl)を も う 一 度 呼 び 出 そ う 。 In[51ノ:=Simplify[profit1]
Outl51ノ=q1(a‑m‑bq1‑bq2)
確 か に,パ ラ メ ー タ ー の 値 がa,b,mに 戻 っ て い る こ と に 注 意 し よ う。
企 業1は 先 導 者 で あ る か ら,企 業2の 反 応 関 数 を 知 っ て い る 。 企 業2の 反 応 関 数 は,
Inl527'=reaction2[a,b,m]
a‑m‑bqlO at∠"S27=2b
で あ る の で,q2と し て,こ の 値 をprofit1に 代 入 す る 。Mathematicaで は 次 の よ う に 入 力 す れ ば 良 い 。 こ こ で,先 導 者 と し て の 企 業1の 利 潤 をprofit1S1
と す る 。
InI531:=profit1S1=profit1/。q2‑>reaction2[a,b,m]
数式処理 システムMathematicaの 応用 とイ ンターネッ トを利用 した経済学学習 につ いて
a‑m‑bqlO utI531==一(mq1)+q1(a‑b(q1+))
2b 上 式 を 簡 単 に す れ ば,
ln[541'=Simplify[profitlS1]
q1(a‑m‑bq1)O ut[541=
2
63
企 業1の 利 潤 最 大 条 件 と 企 業2の 利 潤 最 大 条 件 は 次 の よ う に な る 。2階 条 件 は 満 た さ れ て い る こ と に 注 意 し よ う 。
InI551'=focSl={D[profitlS1,q1]==O,foc[[2]]}
a‑m‑bqlbqlO
〃t/551=={a‑m‑‑b(q1+)==0,2b2
a‑m‑bq2‑b(q1+q2)==0}
q1とq2に 関 す る 連 立 方 程 式 を 解 く と, 1カ15『67'=S1=Solve[focS1,{q1,q2}][[1]]
Outf567={q2‑〉},q1‑>2b4b
シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 の 生 産 量 を 定 義 し よ う 。 In/577'=QIS1[a ̲,b̲,m̲]:=Evaluate[Simplify[ql/.S1]]
InI581'=QIS1[a,b,m]
a‑m Out/581=2b
In/591'=Q2Sl[a ̲,b̲,m̲]:=Evaluate[Simplify[q2/.Sl]]
InI601'=Q2S1[a,b,m]
エ Outl607=
4b
シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 に お け る 価 格 は,
InI61ノ'=pS1[a"b ..,m̲]:=Simplify[a‑b(QlS1[a,b,m]+
Q2S1[a,b,m])]
64商 学 討 究 第48巻 第2・3号
Inl627"r‑pS1[a・b・m]
a+3mO ut[627=4
と な り,従 っ て,企 業1と 企 業2の 利 潤 は そ れ ぞ れ, Inl637'=pai1S1[a ̲,b̲,m̲]:=Simplify[(pS1[a,b,m]‑m)QIS1
[a,b,m]]
Inl641'=pai1S1[a,b,m]
2 (a‑m)O utl641=8b
Inl651'=pai2S1[a ̲,b̲,m̲コ:=Simplify[(pS1[a,b,m]‑m)Q2S1 [a,b,m]コ
InI667'=pai2S1[a,b,m]
2 (a‑m)O utf667=
16b と な る 。
以 上 の 結 果 を ま と め て お く と,
InI677'=StackelbergSIEquilibrium={QIS1[ab,m],Q2S1[ab,m], PS1[a,b,m]}
a‑ma‑ma十3m
,,}Out/677={4b2b4
1n/681'=StackelbergSIProfits{pai1S1[a,b,m],pai2S1[a,b,m]}
22
・燗 一{('gtt),(害 ぎbm)i
2.4シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 の グ ラ フ表 示
企 業1が 先 導 者 で 企 業2が 追 随 者 の と きの シ ュ タ ッ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡S1は
数式処理 システムMathematicaの 応用 とイ ンターネッ トを利用 した経済学学習につ いて65
企 業2の 反 応 曲 線 上 の 点 で,企 業1の 利 潤 を 最 大 に す る 点 で あ る 。 従 っ て,企 業1の 等 利 潤 線 が 企 業2の 反 応 曲 線 に 接 し て い る こ と が わ か る 。 こ の こ と を 確 認 す る た め に,次 の 準 備 を し よ う 。
ク ー ル ノ ー 均 衡 と シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を 比 較 で き る よ う に, a=25,b=1,m=1
の ケ ー ス を 想 定 す る 。 Inl697:=a=25;b=1;m=1;
シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を 求 め る 。 In∫701'=StackelbergSIEquilibrium
Out∠ 「707={12,6,7}
1カ!71ノ'=StackelbergSIPro丘ts Outl71ノ={72,36}
次 に 企 業1の 利 潤 が72の 時 の 等 利 潤 線 を 求 め る 。 InI727'=ISOlS1=ContourPlot[profitl,{q1,0,241,{q2,0,24},
Contours‑〉{pai1S1[a,b,m]},ContourShading‑>False, PlotPoints‑>50,FrameLabel‑〉{q1,q2}]
Out[727=‑ContourGraphics一
さ て,比 較 の た め に,企 業2の 利 潤 が36の 時 の 等 利 潤 線 を 求 め る 。 1弛 ∫731'=ISO2S1=ContourPlot[profit1,{q1,0,24},{q2,0,24},
Contours‑〉{pai2S1[a,b,m]1,ContourShading‑>False, PlotPoints‑>50,
FrameLabel‑〉{q1,q2}]
Out∫731=‑ContourGraphics一
シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 点S1を 表 示 さ せ る 。 1カ1741'=tStackelbergS1=Show[Graphics[Text[S1,{QIS1[a,b,
m]+0.5,
Q2S1[a,b,m]+0.5}]]]
Out∫741=‑Graphics一
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ク ー ル ノ ー 均 衡 の グ ラ フ の 上 に,シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 の グ ラ フ を 重 ね て 表 示 す る 。
In〃757」=GrStackelberg=Show[GrREI,GrRE2,tC,tReactionl,tReaction2, ISOISI,ISO2S1,tStackelbergS1]
OutI751=‑Graphics一
図6の グ ラ フ が 描 か れ る 。 こ の 図 か ら,ク ー ル ノ ー 均 衡 と シ ュ タ ッ ケ
20
ル ベ ル ク均 衡 の 関係 が 読 み 取 れ る 。 企 業1の 等 利 潤 線 の利 潤 額 は 下 方 に
15
行 け ば行 くほ ど利 潤 額 が 多 い こ と を 考 慮 す る と,企 業1に とっ て は,ク ー 、 。 ル ノー 均 衡 の 利 潤(64)よ り も シュ
タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡 の 利 潤(72)の 方 が 多 い こ とが わか る 。 企 業2に と っ て は,逆 で,ク ー ル ノー 均 衡 の 利
ユ
