プチテストの点数はメールに書いてあります

§

^お知らせ

先週残した例題はそのうちやります

プチテストの点数はメールに書いてあります

プチテストの返却答案で

_赤い

_は正解

_赤い

_は

_{そこまであってる} けどそのあと間違ってる

_{を意味しています}

赤い下線や青い文字は採 点用のメモです

¨

§

¥

先週の

_の略解

A = √

A · A = p

1² + 1² + 0² = √

2. (72)

B = √

B · B = q

(−1)² + (−1)² + (√

2)² = 2. (73) A · B = 1 × (−1) + 1 × (−1) + 0 × √

2 = −2. (74)

aCopyright c°2003 Saburo HIGUCHI. All rights reserved. _へや 1-508 http://sparrow.math.ryukoku.ac.jp/~hig/physmath1/ http://hig3.net/

物理数学☆演習

cos θ = −2/(√

2 × 2) = −1/√

2, (75)

θ = ³₄π. (76)

θ = ⁵₄π

_{もあるけど}

_なす角

_{といったときは鋭角}

_{開きが小さい側の角}

_で答える

¨

§

¥

先週の

_の略解

2

_{物体の距離の}

_{乗を求めると}

|r_P(t) − r_Q(t)|² = 2 cos² t + (1 + sin t)² + (sin t − 2)² = 7 − 2 sin t.

最も離れるとは

_{物体の距離}

_の

_乗

_{が最大値をとること}

_その時刻 は

_は整数

_距離は

9 = 3.

微分して増減表書いても

いいし

三角関数のグラフからもわかる

最も近づくとは

_{物体の距離}

_の

_乗

_{が最小値をとること}

_その時刻 は

_は整数

_距離は

5.

5.5

_外積

_{ベクトル積}

_つの

_{次元ベクトル}

_に対して

次の式で表わされるベクトル

C = A × B

_{のことを 外積 という}

_この記号

_{は新しい記号}

_実 数のふつうの

_かける

_{とたまたま同じ文字}

C = A × B = |A| |B| (sin θ) ˆC (77)

ただし

_は

_と

の両方に垂直な単位ベクトルで

_が右手 系をなすようなもの

別の言い方

_から

に回る右ねじが進む向きの単位ベクトルが

θ A

B

C |B|sinθ

|A||B|sinθ

|A||B|sinθ C

物理数学☆演習

つまり

_向きは

_で

_大きさ

は

¨

§

¥

外積の感じ

フレミングの左手の法則とか

_{これで簡単に書ける}

2

_本の棒

を使って網を張るような感じ

_{網の正対する向きが}

_の

向き

_{網の面積が}

§

^計算方法

ベクトル

_スカラー

_に対して

_{次を使ってよい}

超注意

A × (B + C) = A × B + A × C, (79)

(aA) × B = a(A × B). (80)

¨

§

¥

基本ベクトルの間の外積

i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0. (81) i × j = +k, j × k = +i, k × i = +j, (82) j × i = −k, k × j = −i, i × k = −j. (83) i, j, k

_{が 循環的}

に入れ替わってることに注意

物理数学☆演習

¨

§

¥ A × B

_{の成分表示}

A × B

=(A_xi + A_yj + A_zk) × (B_xi + B_yj + B_zk)

=(A_xB_xi × i + A_xB_yi × j + A_xB_zi × k) + (A_yB_xj × i + A_yB_yj × j + A_yB_zj × k) + (A_zB_xk × i + A_zB_yk × j + A_zB_zk × k)

= (A_yB_z − A_zB_y)i + (A_zB_x − A_xB_z)j + (A_xB_y − A_yB_x)k.

(84)

x, y, z

が循環的に入れ替わってることに注意

覚え方

i j k

A B

A A B B

x

y z

z

x

y

i j k

A B

A A B B

x

y z

z

x

+

-

例題

_離陸前

_{飛行機の機首は}

_の向き

_左翼は

_の向き

_天井は

の向きを向いて

_{右手系をなしていた}

飛行中のある瞬間には飛行機の機首の向きの単位ベクトルは

³ 1 11

´ ,

左翼の向きの単位ベクトルは

³ ₋₁

01

´

だった

1.

この瞬間に左翼が折れてないかチェックしよう

機首と左翼のなす角を求めよう

2.

この瞬間の飛行機の床向きの単位ベクトルを

求めよう

j k

物理数学☆演習

50

検算しよう

6. 速度ベクトルと加速度ベクトル

£

¡

戸田 1-2 ¢

¨

§

¥

和達 p98,99 ¦

物体の

_{次元の運動}

µ x(t) y(t) z(t)

¶

= x(t)i + y(t)j + z(t)k

_{を考えよう}

_{速度ベクトル}

時刻

_{に 位置ベクトル}

_{にあった物体が}

_時刻

_{には 位置} ベクトル

まで移動していたとする

∆t

_{秒間の変位ベクトル}

=(∆x)i + (∆y)j + (∆z)k (86)

∆t

秒間の平均速度ベクトル

∆t =r(t₁ + ∆t) − r(t₁)

∆t . (87)

=∆x

∆t i + ∆y

∆t j + ∆z

∆t k (88)

物理数学☆演習

時刻

_における

_瞬間

_速度ベク トル

_{を求めるには}

の極限を考えればよい

v(t₁) = lim

∆t→0

r(t₁ + ∆t) − r(t₁)

∆t

= lim

∆t→0

µ∆x

∆t i + ∆y

∆t j + ∆z

∆t k

¶

=dx

dt (t₁)i + dy

dt (t₁)j + dz

dt (t₁)k

=

à _dx

dt (t₁)

dy

dt (t₁)

dzdt (t₁)

! .

(89)

要するに成分ごとに微分すればお っけー

x y

z

x(t ) y(t )

y(t +∆t)

x(t +∆t) r(t +∆t)

r(t ) v(t )

O _{1 1}

1

1 1 1

1

∆r

∆x

∆y

一般に

時間の関数であるベクトル

_{ベクトル関数}

_{があったとき}

∆t→0lim

A(t₁ + ∆t) − A(t₁)

∆t (90)

を

_の

_{における微分といい}

dt (t₁)

_と書く

つまり

_いまは

¨

§

¥

優柔不断モード

こう思ったほうがわかりよい人もいる

v(t₁) = lim

∆t→0

r(t₁ + ∆t) − r(t₁)

∆t = lim

∆t→0







x(t₁+∆t)−x(t₁)

∆t

y(t₁+∆t)−y(t₁)

∆t

z(t₁+∆t)−z(t₁)

∆t





 =







dx

dt (t₁)

dy

dt (t₁)

dz

dt (t₁)







物理数学☆演習

時刻

_{における速さ}

¯¯

¯¯dr

dt (t₁)

¯¯

¯¯ . (91)

• ⁵¹

_{はベクトル}

_{大きさと向きがある}

• ⁵²

_{はスカラー}

_{速度の絶対値}

_{大きさだけ}

アニメ

§

¥

速度ベクトルの性質

•

_{速度ベクトルの向きは}

_{瞬間の向き}

•

速度ベクトルの大きさは

_{速さに比例}

_{瞬間の速さ}

•

_{物体が静止}

_{速度ベクトルが}

_速さが零

6.2

_{加速度ベクトル}

時刻

における加速度ベクトル

dt (t₁)

= d dt

µdx

dt (t₁)i + dy

dt (t₁)j + dz

dt (t₁)k

¶

=d²x

dt² (t₁)i + d²y

dt² (t₁)j + d²z

dt² (t₁)k =





d2x

dt2 (t₁)

d2y

dt2 (t₁)

d2z

dt2 (t₁)



 .

(92)

やっぱり成分ごとに微分すればおっけー

_{このベクトルを}

dt² (t₁)

_と書く

_アニメ

時刻

における加速度の大きさ

¯¯

¯¯d²r

dt² (t₁)

¯¯

¯¯ . (93)

加速度ベクトルは

_{力と関係してるので}

来週には超重要になります

物理数学☆演習

例題

_物体が

µ t+sin t 2t+2 sin√ t

5 cost

¶

で運動している

_{速度ベクトル}

加速度ベクトルを求めよう

2.

静止する時刻を求めよう

3.

速さが最大となる時刻を求めよう

55

56

物理数学☆演習

¨

§

¥ quiz ¦

次のベクトルの外積を求めよう

³ 1 23

´

×

³ ₋₂

−13

´ . 2.

³ ₃

−40

´

×

³ ₋₂

03

´ .

検算しよう

¨

§

¥ quiz ¦

物体が

µ t−2 t²−2t t³−3t

¶

で運動している

1.

_{速度ベクトル}

_{加速度ベクトル}

_{を求めよう}

速さが最小となる時刻を求めよう

3.

速さが最小である時刻における速度と加速度を求めよう