1. ニュートンの運動の 3 法則

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龍谷大学 . _理工学部 . _{数理情報学科} . _樋口 . _担当科目 . 2003 _年 . _{物理数学☆演習} II. 01 _回

全体 目次 前回 次回 略解 樋口さぶろお^a 更新 Time-stamp: "2003/09/26 Fri 12:41 hig"

物理数学☆演習 II

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• _毎回, _{理解を確かめる} quiz _をします. 配った紙に解いて提出してく ださい. フォルダーを学籍番号でグループ分けしています.

• _紙は, _{チェックした後}, 1-508 前の引き出しで返却します. _ただし, _数 週間以上経過したものは処分することがあります.

• ¤

£

¡

戸田 n.m ¢, ¨

§

¥

戸田 p99 ¦などは, _教科書 (_戸田, _力学) _{の参照個所を示し} ます.

• TA _{大槻 真也さん} (_樋口研), _{辻 祐介さん} (_樋口研), _{前 直弘さん} (_飯 田研).

• _{再履修の方へ}: 2002 年度以前の内容と同じではありません (_重なる 部分は多いですが)

• _{前期の物理数学☆演習} I ファイナルトライアルの答案をお返ししま す. _{下の時間帯に}, 樋口の部屋ではなく実験室で院生の人から受け 取ってね (_要学生証). 9 _月 26 _日 (_金) 13:10–14:40 1-539 _実験室.

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1. _{ニュートンの運動の} 3 _法則

1.1 _第 2 _法則 (ニュートンの運動方程式) ¤

£

¡

戸田 2-2 ¢ t: _時刻 , r(t): _{位置ベクトル}, v(t) = ^dr_dt (t): _{速度ベクトル}, r(t) = ^d_dt²₂^r(t):

加速度ベクトル.

物体の加速度 a(t) _は, _{物体の受ける 力 ベクトル} F(t) _で決まる.

加速度 a(t) _の向き: _力 F(t) _{の向きと同じ}.

加速度 a(t) _の大きさ: _質量 m _に反比例, _力 F(t) _{の大きさに比例}.

a(t) = 1

mF(t) _すなわち ¹ (1)

これを ニュートンの運動方程式 という.

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基本ベクトル i, j, k _を使って F(t) = F_x(t)i + F_y(t)j + F_z(t)k _と成分で 書くと

md²x

dt² (t) =F_x(t), (2)

md²y

dt² (t) =F_y(t), (3)

md²z

dt² (t) =F_z(t). (4)

位置 r(t)

微分→

積分←

速度

v(t) = ^dr_dt (t)

微分→

積分←

加速度

a(t) = ^d_dt²₂^r(t) ²

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例題 1

時間を t _{とするとき}, _ある質量 m = 4 の粒子の位置ベクトルの x _成分 は x(t) = ¹₄(1 − e^−4t) + 1 _である. _{速度ベクトルの} x _成分は

v(t) = ^dx_dt (t), _{加速度ベクトルの} x _成分 a(t) = ^d_dt^2x₂ (t) _を求めよ. _力の x 成分 F(t) _{を求めよう}.

3

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例題 2

質量 m _{の物体に重力} F = −mgk =

³ ₀

−mg0

´

がはたらいている. _このと き, _{物体の運動は},

r(t) = −1

2gt²k + At + B (8)

と書ける. _ただし, A, B は時間によらないベクトル. _これが第 2 _法則を 満たすことを示せ.

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1.2 _第 1 _法則 (_{慣性の法則}) ¤

£

¡

戸田 2-1 ¢ 第 2 _法則で, F = 0 _のとき,

md²r

dt² (t) = 0 (= F) . (9)

物体は, ‘_力’ の作用を受けないかぎり, _{等速直線運動をする}. (_特に, _速度 0 すなわち静止の場合もある)

例: _{エアホッケーのパック}, _{電車の中の風船}, 無重力状態の宇宙飛行士. 例でないもの: _{地面を転がるボール}, _自転車, _自動車.

観測者は地面に固定されているとは限らない.

等速直線運動する電車, _飛行機, _{エレベータでもよい}. _慣性系

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では成り立たない.

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1.3 _第 3 _法則 (_作用 · _{反作用の法則}) ¤

£

¡

戸田 2-3 ¢ 物体 1 _が物体 2 _に力 F_{12 を及ぼすとき}, _物体 2 _も物体 1 _に力 F_{21 を及ぼ} す. _{その向きは反対}, _{大きさは同じ}.

6 (10)

例: _{銃の発射の反動}. _{地球とりんご} (_重力). _{下敷と髪の毛} (_電気力), _水に 浮かぶ 2 _{せきのボートで}, 一方がもう一方を押したとき.

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1.4 _{運動方程式を解く}

しばらく, _運動が x 方向に限られた場合を考えよう. _つまり,

r(t) = (x(t), 0, 0), v(t) = (v(t), 0, 0), a(t) = (a(t), 0, 0), F = (F, 0, 0)

の x(t), v(t), a(t), F _{だけを考えよう}.

力 F _{が与えられたときに}, _{運動方程式を解いて} x(t) _{を求めるのが}, _力学 の典型的な問題.

例題 3

時間を t _とする. _質量 m = 1 _の物体が, _力 F = e^−t _{を受けて運動してい} る. _時刻 t = 0 _で x = 0 に静止していた物体の運動を求めよ.

言葉の使い方:

運動を求めよ ⇔ _時刻 t _での位置 x(t) _を求めよ. 静止していた ⇔ _速度が 0 _だった ⇔ v(0) = 0.

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8

x(t) = e^−t + t − 1. (18)

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これで運動方程式が ‘_解けた’ (x(t) _{が求まった}).

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§

¥ 別解 ¦

神の啓示により, x(t) = e^−t + t − 1 _{とおいてみると},

x(t) =e^−t + t − 1. x(0) =0. (19)

v(t) =dx

dt (t) = −e^−t + 1. v(0) =0. (20) a(t) =d²x

dt² (t) = +e^−t. (21)

よって, _{解になっている}.

これは前の解き方の検算にもなっている. 前の解き方をしたときは検算 を必ずしよう.

運動方程式 を解くために積分 (2 _回!) _すると, _積分定数 (2 _個) _が出てく る. _{これを決定するのに}, _初期条件 ( 2 _個. _今なら x(0), v(0)) _を使う.

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1.5 _{力の働かないときの} 3 _{次元の運動}

力が働かない ⇔ F = 0 = 0i + 0j + 0k Ã









m^d_dt²₂^x(t) = 0, m^d_dt²₂^y(t) = 0, m^d_dt²₂^z (t) = 0.

(22)

x(t) _は, _{上の方法で求められる}.

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y, z _{成分も同様}.









x(t) = C₁ × t + D₁, y(t) = C₂ × t + D₂, z(t) = C₃ × t + D₃,

別の書き方







x(t) y(t) z(t)





 =





 C₁ C₂ C₃





t+





 D₁ D₂ D₃





 (25)

または

10 (26)

等速直線運動 ! · · · _第 1 _{法則の結論} C₁, C₂, C₃, D₁, D₂, D_{3 は積分定数}.

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1.6 _{微分方程式}

未知関数 x(t) _{に関する方程式で}, _{微分を含んでいるもの} を 微分方程式 という.

求めるのは未知数でなく未知関数!

x(t) _を求める ( 微分を含まない式にする ) _ことを, _{微分方程式を解く} (_{微分方程式を積分する}) _という.

x(0) = 0 _や ^dx_dt (3) = 2 _のような, _{特定の時刻} t _{についての条件を}, 初期条件 という.

ここまで出てきた微分方程式はいちばん簡単なタイプ. (2 _{階常微分方程} 式の中の特別に簡単なもの)

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quiz 1

物理数学☆演習 I, _{物理学序論の感想}, _{物理数学☆演習} II _への希望, _きょ うの授業に対する感想 (_速すぎた, _遅すぎた, まだ習っていないことを 習っているかのように扱っている, _{他の授業と記号が違う}, _{プロジェク} ター/_{黒板が見にくい}, _など) を何でも書いてください. _なお,

http://hig3.net からも随時メッセージを送れます.

quiz 2

時間を t _とする. _質量 m = 1 _の物体が, _力 F = − cos t _{を受けて運動し} ている. _時刻 t = 0 _で x = 1 に静止していた物体の運動を求めよう.

quiz 3

時間を t _{とするとき}, ある粒子の速度ベクトルの x _成分は

v(t) = − sin(4t) _である. _{加速度ベクトルの} x _成分 a(t) _と, _{位置ベクト} ルの x _成分 x(t) _{とを求めよう}. _ただし, x(0) = 1.

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