小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究 : 「１つの対象の２つの動作」の問題場面の成立条件についての分析

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(1)Title. 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究 : 「１つの対象の２つの動作」の問題場面の成立条件についての分析. Author(s). 渡会, 陽平. Citation. 北海道教育大学紀要. 教育科学編, 67(1): 237-253. Issue Date. 2016-08. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/8029. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) 北海道教育大学紀要（教育科学編）第67巻第１号 Journal of Hokkaido University of Education（Education）Vol. 67, No.1. 平成 28 年８月 August, 2016. 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究 ― 「１つの対象の２つの動作」の問題場面の成立条件についての分析 ―. 渡会陽平北海道教育大学札幌校数学教育学研究室. A Study of Situations of Problems about Speed in Elementary School Mathematics Under the Nature of Speed : Analyzing the Conditions of Situations of “One Object, Two Motions”. WATARAI Yohei Department of Mathematics Education, Sapporo Campus, Hokkaido Unⅳersity of Education. 概要本稿の目的は，小学校算数科で扱うことができるが従来の学習内容では扱われていない速さの性質を用いて解決することのできる速さの問題場面を明らかにするための基礎的研究として，「１つの対象の２つの動作」の問題場面の成立条件を明らかにすることである。そのために，速さの問題場面の成立条件を明らかにするための方法について検討した上で，仮定の設定の仕方により場合分けされた各場合の問題場面としての成立条件について分析した。その結果として，各場合の問題場面の成立条件を示すとともに，問題場面として成立する場合は，解答となる数値を求めるための手続きに着目するとⅰ算術的な操作で求められる問題場面，ⅱ一次方程式によって求められる問題場面，ⅲ二次方程式によって求められる問題場面の３つに分類することができ，提示されている数値の扱い方に着目するとⅰ提示されている数値をそのまま用いる問題場面，ⅱ提示されている数値を無視したり，任意に設定したりすることができる問題場面の２つに分類できることを示した。. １．研究意図. 理解することが難しい量である。平成10年改訂・平成14年度実施の学習指導要領から速さは小学校. 速さは異種の２量の割合として捉えられる量な. 算数科第６学年の学習内容として位置づけられて. ので，感覚的には分かるが概念の意味については. いるので，平成19年度から行われている全国学. 237.

(3) 渡会陽平. 力・学習状況調査では速さの問題は出題されてい. より，任意に設定した道のりに対する平均の速さ. ないが，平成13年度教育課程実施状況調査（国立. と実際の道のりに対する平均の速さは等しいと判. 教育政策研究所教育課程研究センター，2003）で. 断することで，「往復で２時間かかった」という. は速さの問題が第６学年の調査問題として出題さ. 情報を用いることなく解決している点に特徴があ. れている。その結果によれば，速さの問題の演算. る。. 決定の正答率は８割を超えているので，これまで. さて，速さの理解に関して本稿において問いた. に行われてきた指導で速さについての理解は概ね. いことは，日本の算数教育を受けた児童はこの解. 達成できているとみることもできる。しかしなが. 法の妥当性について説明することができるのかと. ら，従来の学習内容で果たして本当に速さについ. いうことである。日本の算数科の教科書を見てみ. て理解させることができているのだろうか。. ると，教科書会社によって多少の違いはあるが，. Jang, Hwang & Cai（2014）はTIMSSやPISA. 速さの単元における具体的な学習内容としては主. といった国際比較調査で上位の成績を出している. に速さの比較，速さの定義，道のりを求める問題，. 中国とシンガポールの児童の問題解決における思. 時間を求める問題を順に学習する構成になってい. 考の特徴を明らかにすることを目的として，両国. る。そして，これらの学習内容における問題解決. の小学校第６学年の児童が速さの問題を解決する. は「速さが一定の時には時間と道のりが比例する」. ときに用いるストラテジーについて調査を行って. という性質を用いてなされ，その結果として速. いる。その調査において，簡略化して示せば「行. さ・時間・道のりの形式的な乗除の関係がまとめ. きは時速40km，帰りは時速120km，往復で２時. られ，その後はその関係を用いて問題を解決して. 間かかったときの往復の平均の速さを求めよ。」. いく。また，比例・反比例の単元では「道のりが. という問題が出題されている。このような問題は. 一定の時には速さと時間が反比例する」という性. 日本の算数科の速さの学習では扱われていない. 質が反比例の関係にある２つ量の事例として扱わ. が，中学校数学科の方程式の学習ではこのような. れているが，この性質を用いた問題解決は扱われ. 問題も扱われるので，その学習を通して容易に解. ていない。中学校数学科では速さは文字式や方程. 決できるようになる。しかしながら，Jang達の. 式，関数の学習で扱われる題材の１つとなり，そ. 調査において上記の問題を次のように解決した児. の問題解決は速さ・時間・道のりの乗除の関係か. 童がいた。. ら関係式を作り，その関係式に対する代数的な操作によりなされる。もちろん，上記の児童の解法. 片道の道のりが１kmだとすると，行きに. において片道の道のりが任意でよいことは文字式. かかる時間は 1 ÷ 40 ＝ 1 / 40時間。帰りにか. の学習内容を用いれば次のようにを示すことがで. かる時間は 1 ÷ 120 ＝ 1 / 120時間。往復２km. きる。. にかかる時間は1 / 40 ＋ 1 / 120 ＝ 1 / 30時間。よって，往復２kmの平均の速さは２÷(1 / 30). 片道の道のりが xkmだとすると，行きにか. ＝ 60より時速60km。従って，実際の道のり. かる時間は x / 40時間。帰りにかかる時間は. についての往復の平均の速さも時速60kmで. x / 120時間。往復 2xkmにかかる時間は x / 40. ある。. ＋ x / 120 ＝ x / 30時間。よって，往復 2xkmの平均の速さは 2x /(x / 30)＝60より時速60km。. この解法は「速さが一定の時には時間と道のり. 従って，片道の道のりが何kmであったとし. が比例する」という性質の逆とみることができる. ても往復の平均の速さは時速60kmである。. 「道のりが変わってもそれに伴って時間も変われば速さは変わらない」という性質を用いることに. 238. しかし，上記の説明では代数的に片道の道のり.

(4) 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究. xkmが往復の平均の速さに影響しないことを示しただけにすぎず，児童がどのような根拠に基づ. ２．研究課題と研究方法. いて片道の道のりを任意に設定して解決を進めた. ⑴ 考察対象とする速さの問題場面. のかについては説明することができない。このよ. 本研究はどのような速さの問題場面においてど. うに，日本の従来の算数・数学教育では速さ・時. のような速さの性質が用いられるのかを明らかに. 間・道のりの乗除の関係による問題解決はできる. することを目的とする。そのために，まずこれま. ようになるが，その一方で速さの性質を用いた問. での算数教育において主に扱われてきた速さ・時. 題解決という点については十分ではないのであ. 間・道のりの乗除の関係を１回用いて解決できる. る。つまり，速さの理解といったときに，速さ・. 問題場面の他にどのような速さの問題場面がある. 時間・道のりの乗除の関係の理解についてはこれ. のかについて整理する。. までの指導でなされているが，速さに伴う性質の. Mayer（1981）は当時のアメリカ・カリフォル. 理解については十分ではないのである。上記のよ. ニア州で使われていた中学校用の標準的な代数の. うな速さの問題を解決できるようにすればよいと. 教科書で扱われている文章題の分類を行い，速さ. いうことならば，これまで通りこのような問題は. の問題については13タイプ（単純な道のり・速. 方程式の学習において扱うだけで十分である。し. さ・時間，追いつき，正反対の方向に離れる，往. かしながら，速さについてのよりよい理解を目指. 復１，接近１，速さの変化１，等しい時間，等し. すならば，「速さが一定の時には時間と道のりが. い道のり，直角に離れる，往復２，接近２，同じ. 比例する」という性質を用いた問題解決や速さ・. 方向で離れる，速さの変化２）に分類している。. 時間・道のりの乗除の関係による問題解決だけで. Mayerの分類における往復，接近，速さの変化に. はなく，その他の速さの性質を用いた問題解決も. ついてそれぞれ２種類あるのは，例えばある距離. 学習内容に位置づけて，速さについての見方を拡. を２人の人が互いに近づいていき，出会うまでに. げる必要がある。. どれだけの時間がかかるのかを求める問題場面に. 算数科においてこれまでに扱われている速さの. おいて，「Ａさんは時速３km，Ｂさんは時速６km. 問題場面は主に速さ・時間・道のりの乗除の関係. で近づく」というようにそれぞれの数値が提示さ. を１回用いて解決できるものに限られている。ま. れている場合と「ＢさんはＡさんの２倍の速さで. た，教科書によっては旅人算も扱われているが，. 進む」というように同種の２要素の関係が提示さ. その解決は表に数を当てはめる推測と確認による. れている場合で区別しているからである。. ものである。このように日本の算数教育では上記. また，Jang達（2014）は上記のMayerの分類. のような速さの性質を用いて解決することができ. と中国とシンガポールの算数科の教科書で扱われ. る速さの問題場面はこれまでに扱われてこなかっ. ている速さの問題に基づいて，両国の小学校第６. た。従って，速さの性質を用いた問題解決を実現. 学年向けに次の５つの分類から調査問題を出題し. するためには，まずどのような問題場面において. ている。. どのような速さの性質が用いられるのか，そして. ⅰ 「１つの対象の１つの動作」の問題場面：. 算数科で扱うことを前提としているから文字を用. Mayerの分類における単純な道のり・速さ・時. いる代数的な方法を用いなくても解決することが. 間の問題場面であり，日本の算数科において速. できるのかを明らかにする必要がある。. さの単元で扱われている問題場面である。. 以上の問題意識から，本研究は小学校算数科で. ⅱ 「１つの対象の２つの動作」の問題場面：. 扱うことができるが従来の学習内容では扱われて. Mayerの分類における速さの変化１，速さの変. いない速さの性質を用いて解決することのできる. 化２の問題場面である。. 速さの問題場面を明らかにすることを目的とする。. ⅲ 「１つの対象の往復」の問題場面：Mayerの. 239.

(5) 渡会陽平. 分類における往復１，往復２の問題場面である。 ⅳ 「２つの対象のそれぞれ１つの動作」の問題. そこで，これら２つの問題場面の解決において用いられうる速さの性質を明らかにすることを本研. 場面：Mayerの分類における追いつき，正反対. 究の課題とする。. の方向に離れる，同じ方向で離れる，接近１，. ⑵ 速さの問題場面の成立条件についての課題. 接近２の問題場面である。Jang達の調査問題. 算数科の速さの単元でこれまでに扱われている. では出題されていないが等しい時間，等しい道. 「１つの対象の１つの動作」の問題場面には速さ. のり，直角に離れるもこの分類に属する。. （v），時間（t），道のり（d）の３つの要素が関. ⅴ 「１つの対象の３つの動作」の問題場面：中. わり，v × t ＝ d という関係が成り立つ。よって，. 国・シンガポールの両国の算数科において扱わ. この問題場面では３つの要素のうちの２つが既知. れていないが，児童が平均の速さの概念を３つ. 数として提示されていれば，それらを用いること. の動作に対しても適用できるかを調査するため. で残りの１つの要素を求めることができる。それ. に出題されている。. に対して，「１つの対象の２つの動作」の問題場. 上記のようにJang達の分類はMayerの分類を. 面には，第１区間における速さ（v1），時間（t1），. より大きな集合でまとめる分類である。Jang達. 道のり（d1），第２区間における速さ（v2），時間. の分類では「１つの対象の２つの動作」と「１つ. （t2），道のり（d2），全体の道のり（dt），全体の. の対象の往復」が分けられているが，往復とは「１. 時間（tt），全体における平均の速さ（vt）の９つ. つの対象の２つの動作」の問題場面において第１. の要素が関わり，v1 × t1 ＝ d1 ，v2 × t2 ＝ d2 ，vt. 区間と第２区間の道のりが等しいという同種の２. × tt ＝ dt ，t1 ＋ t2 ＝ tt ，d1 ＋ d2 ＝ dt の５つの関係. 要素の関係が提示されているとみなすことができ. が成り立つ。このように「１つの対象の２つの動. るので，「１つの対象の往復」を「１つの対象の. 作」の問題場面は要素間の関係が複合的であるた. ２つの動作」に含めることができる。そこで本稿. め，求めたい要素に対してどの要素が既知数とし. では，Jang達の５つの分類をさらに整理してⅰ. て提示されていれば，もしくはどの同種の２要素. ⅱⅳⅴの４つにまとめる。. の関係（例えば，d1 ＝ d2 や t1 ＝ t1 × 2）が提示さ. この４つの分類のうち，「１つの対象の１つの. れていれば解決することのできる問題場面として. 動作」は日本の算数科の速さの単元でこれまでに. 成立するのかが明らかではない。同様に「２つの. 扱われている問題場面である。「１つの対象の２. 対象の１つの動作」の問題場面においても関係が. つの動作」と「２つの対象のそれぞれ１つの動作」. 複合的になるので，解決することができる問題場. は「１つの対象の１つの動作」について動作数と. 面の成立条件は明らかではない。. 動く対象の数をそれぞれ１つ増やした問題場面で. 従って，本研究において考察対象とする２つの. あり，従来算数科で扱われている速さの問題場面. 問題場面で用いられうる速さの性質について検討. を１段階拡張した問題場面とみることができる。. するためには，それに先立ってそれぞれの問題場. また，「１つの対象の３つの動作」は「１つの対. 面の成立条件を明らかにする必要がある。よって，. 象の２つの動作」について動作数を１つ増やした. 「１つの対象の２つの動作」及び「２つの対象の. 問題場面であるから，従来算数科で扱われている. １つの動作」の問題場面の成立条件を明らかにす. 速さの問題場面を２段階拡張した問題場面とみる. ることも本研究の目的を達成するための課題となる。. ことができる。従って，従来扱われている速さの. ⑶ 本稿の目的. 問題場面を１段階拡張した「１つの対象の２つの. 以上より，本研究の目的を達成するために次の. 動作」と「２つの対象のそれぞれ１つの動作」の. ４段階を設定する。. ２つの問題場面が，従来の速さの学習を既習とし. ⅰ 「１つの対象の２つの動作」の問題場面の成. て解決に取り組みやすい問題場面になるだろう。. 240. 立条件を明らかにする。.

(6) 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究. ⅱ 「１つの対象の２つの動作」の問題場面で用いられうる速さの性質を明らかにする。 ⅲ 「２つの対象の１つの動作」の問題場面の成立条件を明らかにする。 ⅳ 「２つの対象の１つの動作」の問題場面で用いられうる速さの性質を明らかにする。. 造関係”とし，それに対して問題文において提示される同種の２要素の関係を“仮定関係”とする。そして構造関係において，v1 × t1 ＝ d1 ，v2 × t2 ＝ d2 ，vt × tt ＝ dt の３つを“乗法的構造関係とし， t1 ＋ t2 ＝ tt ，d1 ＋ d2 ＝ dt の２つを“加法的構造関係”とする。また，問題文において既知数として. そして，上記のⅰを解決することを本稿の目的. 提示されている要素を“仮定要素”とし，問題文. とする。. において求めるべき未知数として設定されている. ⑷ 研究方法. 要素を“結論要素”とする。. 上記の目的を達成するために，本稿では以下の. ② 問題場面の図表現についての規定. 方法による理論的考察を行う。. 「１つの対象の２つの動作」の問題場面には上. ① 問題場面の成立条件についての分析方法の検. 述したように５つの構造関係が成り立ち，問題の. 討：まず問題場面として成立するとはどういう. 解決にはそれらが用いられる（構造関係が関係式. ことかについて規定する。次に，問題場面の成. としてそのまま用いられる場合もあれば，構造関. 立の成否に関わる問題場面の要素の影響につい. 係に基づく比例関係や反比例の関係が用いられる. て考察し，問題場面をどのように場合分けして. 場合もある）。しかし，問題の解決に必ず５つの. 分析をしたらよいのかを定める。最後に，上記. 構造関係が用いられるとは限らず，問題文におい. の判定基準と問題場面の場合分けに基づいて，. て設定された仮定によって解決に用いられる構造. どのような分析手続きを行えばよいのかについ. 関係の組み合わせは異なってくる。そこで，本稿. て示す。. では解決に用いられる構造関係の組み合わせを予. ② 問題場面の成立条件についての分析：①で定. め設定し，そこにさらに結論要素，仮定関係，仮. めた分析の手続きに基づいて，場合分けされた. 定要素を設定することによって問題場面の場合分. 各場合に対して問題場面の成立の成否判定を行. けを行い，それぞれの問題場面の成立条件を分析. う。それにより，各問題場面がどのような仮定. する。よって，問題場面の場合分けは多様になる。. の設定仕方の下で問題場面として成立するのか，. それを言葉で表現すると煩雑になるため，本稿で. 成立しないのかを特定する。即ち，本稿の目的. は図表現で表す。「１つの対象の２つの動作」の. である問題場面の成立条件を明らかにすると. 問題場面における５つの構造関係には相互関係が. は，各問題場面が問題場面として成立するため. あり，それを整理すると図１のように表せる。図. の仮定の設定の仕方を明らかにすることである。. １の相互関係を本稿では簡略化して図２のように表す。そして，問題場面の場合分けにおける図表. ３．「１つの対象の２つの動作」の問題場面の成立条件についての分析方法の検討. 現を図３のように表す。図３における２本の太線（┃と━）は解決に用いられる構造関係を表す。 □は結論要素として設定されていることを表し，. ⑴ 本稿における表現についての規定. ●は仮定要素として設定されていることを表す。. 分析方法の検討に先立って，本稿において用い. そして，２つの乗法的構造関係を横断する . る用語と図表現について規定する。. は，に囲まれた２つの要素の仮定関係が設定. ① 用語についての規定. されていることを表し，３つの乗法的構造関係を. 本稿では，「１つの対象の２つの動作」の問題. 横断したは，に囲まれた３つの要素のう. 場面に内在する v1 × t1 ＝ d1 ，v2 × t2 ＝ d2 ，vt × tt. ちの両端の２つの仮定関係が設定されていること. ＝dt ，t1 ＋t2 ＝tt ，d1 ＋d2 ＝dt の５つの関係を“構. を表す。. 241.

(7) 渡会陽平. できる。しかし，この場合は構造関係 v1 × t1 ＝ d1 を用いることを前提としているにもかかわらず，それを用いることなく解決できてしまっているので問題場面として成立しているとは言えない。【図１】. 【図２】. 【図３】. 従って，図３の場合は，v1 × t1 ＝ d1 と t1 ＋ t2 ＝ tt の２つの構造関係を用いる問題場面で，求めるべき要素は v1 であり，tt と dt の数値，そして t1. 【図８】×. 【図９】× 【図10】○. 【図11】○. と t2 及び d1 と dt の同種の２要素の関係が問題文において提示されていることを意味する。具体的. 図８の場合は，２つの仮定関係を t2 ＝ t1 ×. には，例えば「Ａさんが家から公園まで行くのに，. tt ＝ t2 ×. 公園から学校まで行くのにかかった時間の３倍か. る。一方で，問題解決では用いないが加法的構造. かり，結局家から学校まで行くのに２時間かかっ. 関係から tt ＝ t1 +. た。また，家から公園までの道のりは家から学校. 1，. 2 とすると，tt ＝ 1 t1 × 2 ＝ 1 2 t1 とな. 1 t1 ＝ ( 1 + 1) t1 となる。よって，. 1 2 t1 ＝ ( 1 + 1) t1 となるが任意の 1 2＝ 1+1. 1 ， 2 につい. が成り立つわけではない。従って，. までの道のりの 3 / 5 で，家から学校までの道の. て. りは10kmである。このとき，家から公園まで進. 任意に. んだ速さを求めよ。」という問題場面になる。. 定に不整合が生じうることになるので，問題場面. ⑵ 問題場面の成立条件の判定基準. として成立しているとは言えない。. 次に，問題場面として成立するとはどういうこ. 図９の場合は構造関係 v1 × t1 ＝ d1 と仮定要素. となのかについて検討する。. t1 ，d1 を用いて結論要素 v1 を求めることができ. 1 ， 2 を設定した場合には問題場面の仮. るが，仮定要素 t2 は解決に用いられていない。任意の t2 について問題場面の仮定に不整合が生じることもない。よって，問題場面として成立しているとみることもできる。しかしながら，本稿【図４】×. 【図５】○. 【図６】○. 【図７】×. の目的は解決することのできる問題場面になるための成立条件を明らかにすることであって，問題. 例えば，図４の場合は仮定で設定されている構. 場面の仮定に不整合が生じるラインを明らかにす. 造関係 v1 × t1 ＝ d1 と仮定要素 d1 を用いて結論要. ることではないので，問題解決に用いない仮定が. 素 v1 を求めることができないので，問題場面と. 設定されている場合は問題場面として不成立とす. して成立していない。しかし，図５の場合は仮定. る。一方で，１．で示したJang達の調査問題（図. で設定されている構造関係 v1 × t1 ＝ d1 と仮定要. 10）場合には，仮定要素 tt を用いなくても解決で. 素 t1 ，d1 を用いて結論要素 v1 を求めることがで. きるので tt は過剰な仮定とみることもできる。し. きるので問題場面として成立している。さらに，. かしながら，tt が提示されている場合には tt を用. 図６の場合も構造関係 v1 × t1 ＝ d1 と仮定要素. いて解決することもできるので， tt を設定した場. t1 ，d1 を用いて未知数 v1 を求め，それと v1 と. 合（図10）と tt を設定しない場合（図11）ともに. v2 の仮定関係を用いることで結論要素 v2 を求め. 問題場面として成立するとする。. ることができるので問題場面として成立してい. 以上より，ⅰ設定された仮定から結論要素を求. る。一方で，図７の場合は v1 と v2 の仮定関係と. めることができる。ⅱ結論要素を求める過程にお. 仮定要素 v1 を用いて結論要素 v1 を求めることが. いて，設定されている仮定を全て用いている。ⅲ. 242.

(8) 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究. 設定された問題場面の仮定に不整合が生じない。という３項目を全て満たす場合には問題場面とし. （ⅲ-2) 乗法的構造関係と加法的構造関係を１つずつ用いる場合. て成立すると判定し，いずれかを満たさない場合には問題場面として成立しないと判定する。 ⑶ 仮定設定による場合分けについての検討. （ⅲ-3) 加法的構造関係を２つ用いる場合. 問題場面の成立の成否には，問題場面の仮定の設定の仕方が影響する。即ち，解決に用いられる構造関係の組み合わせは何か，そして結論要素，仮定関係，仮定要素の配置場所はそれぞれどこか. ⅳ 構造関係を３つ用いる場合（ⅳ-1) 乗法的構造関係を３つ用いる場合. である。そこで，次は構造関係，結論要素，仮定関係，仮定要素による場合分けの仕方について検討する。 ① 構造関係の組み合わせによる場合分け. （ⅳ-2) 乗法的構造関係を２つ，加法的構造関係を１つ用いる場合. 「１つの対象の２つの動作」の問題場面の解決に用いられる構造関係の個数は０～５であるから，解決に用いられる構造関係の個数によって場合分けが可能である。しかし，乗法的構造関係と. （ⅳ-3) 乗法的構造関係を１つ，加法的構造関係を２つ用いる場合. 加法的構造関係は仮定関係との関わりに関して性質が異なっている。つまり，仮定関係は乗法的構造関係との関わりにおいては２つの乗法的構造関係の要素間の関係を示すのに対して，加法的構造関係との関わりにおいては１つの加法的構造関係. ⅴ 構造関係を４つ用いる場合（ⅴ-1) 乗法的構造関係を３つ，加法的構造関係を１つ用いる場合. の中の２つの要素間の関係を示すのである。よって，乗法的構造関係，加法的構造関係がそれぞれいくつ用いられるのかを考慮して場合分けをすると，大きく分けて以下の12通りに分けられる。. （ⅴ-2) 乗法的構造関係を２つ，加法的構造関係を２つ用いる場合. ⅰ 構造関係を用いない場合 ⅵ 構造関係を５つ用いる場合 ⅱ 構造関係を１つ用いる場合（ⅱ-1) 乗法的構造関係を１つ用いる場合 ② 仮定要素の設定の仕方 ⒜ 仮定要素の値の範囲（ⅱ-2）加法的構造会関係を１つ用いる場合. 図12，13の場合において，それぞれ仮定要素 d2 と dt は解決には用いない過剰な要素である。図12の場合は任意の d2 について問題場面の仮定. ⅲ 構造関係を２つ用いる場合（ⅲ-1) 乗法的構造関係を２つ用いる場合. に不整合は生じない。しかし，図13の場合は例えば d1 > dt となるように d1 と dt を設定してしまった場合には，構造関係 d1 ＋ d2 ＝ dt に不整合が生じることになる。つまり，２つの量 d1 ，d2 の和で 243.

(9) 渡会陽平. ある dt は必ず２つの量よりも大きくならなけれ. について，本稿の図表現では図17のように，必ず. ばならない。. 設定されなければならない仮定要素は●，いずれか１つが設定されればよい仮定要素については代表の１つを. ，他に可能性のある配置場所をで. 表す。そして，いずれか１つが設定されればよい仮定要素の組が２組ある場合は，１組目をと，【図12】×. 【図13】×. ２組目を. とで表す。. 【図14】○. 【図15】×. 同様に時間，速さについても要素間の大小関係がある。そこで本稿の分析では，仮定要素は次の条件を満たすように任意に設定できるものとする。 ⅰ 各要素は量：v1 , v2 , vt , t1 , t2 , tt , d1 , d2 , dt ∈ℝ+. 【図16】○. 【図17】○. ⅱ 速さの条件：v1 < vt < v2 または v2 < vt < v1 ⅲ 時間の条件：t1 , t2 < tt かつ t1 + t2 ＝ tt. ③ 結論要素の配置場所による場合分け. ⅳ 道のりの条件：d1 , d2 < dt かつ d1 + d2 ＝ dt. 問題場面として成立するかどうかには結論要素. ⒝ 仮定要素の配置場所. の配置場所も影響する。例えば，図18の場合は仮. 図14のように仮定要素が３つ配置されている場. 定要素及び構造関係を２つ用いることで結論要素. 合には，まず加法的構造関係を用いて t1 を求め，. を求めることができる。しかし，図18における結. それから乗法的構造関係を用いて結論要素 v1 を. 論要素の配置場所を図19のように２つの構造関係. 求めることができる。一方で，図15のように仮定. の交点に配置した場合には，どのように仮定要素. 要素が３つ配置されている場合には加法的構造関. と仮定関係を設定したとしても解決に用いない構. 係を用いることなく乗法的構造関係を用いるだけ. 造関係が存在してしまうため問題場面としては成. で結論要素 v1 を求めることができる。このよう. 立しない。このように構造関係上に結論要素を配. に配置される結論要素の個数が同じであっても，. 置する場合には，構造関係の交点に配置するか，. 配置される場所によっては設定されている構造関. 交点ではない位置に配置するかが問題場面の成立. 係が用いられないため問題場面として成立しなく. に影響する。では，構造関係の交点に結論要素が. なる。従って，本稿における分析では図15のよう. 配置された場合には問題場面として成立しないか. な問題場面として成立しなくなるような仮定要素. というと必ずしもそういうわけではない。例えば，. の配置は予め排除し，分析の対象外とする。. 図20の場合は問題場面として成立する。さらに，. また，図16の場合は仮定関係を dt ＝ d2 × と. 構造関係上の交点ではない位置に配置する場合で. すると，dt ＝d1 ＋dt / だから d1 ＝( －1)dt / 。. あっても，乗法的構造関係上に配置するか，加法. よって，v1 ＝ ( － 1) dt / t1 と結論要素を求める. 的構造関係上に配置するかも問題場面のタイプに. ことができる。この関係式から結論要素を求める. 影響する。また，図21のように構造関係上ではな. ために必要な仮定要素は dt と t1 であることが分. い位置に結論要素が配置された場合には必ず仮定. かるが，一方で v1 ＝ ( － 1) d2 / t1 というように. 関係が必要になってくる。. dt の代わりに d2 が仮定要素として設定されていても問題場面として成立する。従って，この問題場面において t1 は必ず設定されなければならない仮定要素であり，dt と d2 はどちらか一方が設定されればよい仮定要素である。このような違い. 244. 【図18】○. 【図19】×. 【図20】○. 【図21】×.

(10) 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究. そこで，本稿における分析においては，結論要. 「３倍の時間がかかった」のような乗法的な仮定. 素がⅰ解決に用いる乗法的構造関係上にあって構. 関係である。この違いの影響についてJang達の. 造関係の交点にはない場合，ⅱ解決に用いる加法. 調査問題の改題を用いて検討する。. 的構造関係上にあって構造関係の交点にはない場. 「Ｐ地点からＱ地点までは時速40km，Ｑ地点. 合，ⅲ解決に用いる構造関係の交点にある場合，. からＲ地点までは時速120kmで進み，合計２時間. ⅳ解決に用いる構造関係上にはない場合の４通り. かかった。Ｑ地点からＲ地点までの道のりはＰ地. の場合分けを行う。. 点からＱ地点までの道のりの２倍である。Ｐ地点. ④ 仮定関係の設定の仕方. からＲ地点までの平均の速さを求めよ。」という. ⒜ 仮定関係の配置場所による場合分け. 仮定関係が乗法的な問題場面ならば，１．で示し. 図８の場合，つまり同一の加法的構造関係にお. た児童の解法のように「合計２時間かかった」と. いて２つの仮定関係が提示されている場合には問. いう情報を用いないで解決することができる。一. 題場面の仮定に不整合が生じた。では，加法的構. 方で，「Ｐ地点からＱ地点までは時速40km，Ｑ地. 造関係は存在しないが図22のように速さについて. 点からＲ地点までは時速120kmで進み，合計２時. の仮定関係が２つ提示されている場合はどうなる. 間かかった。Ｑ地点からＲ地点までの道のりはＰ. のか。２つの仮定関係を v2 ＝ v1 ×. 1 ，vt ＝ v2 ×. 地点からＱ地点までの道のりよりも48km多い。. 2 とすると，v2 ＝ 1 v1 ，vt ＝ 1 2 v1 となる。平. Ｐ地点からＲ地点までの平均の速さを求めよ。」. 均の速さについては必ず v1 < vt < v2 または v2 <. という仮定関係が加法的な問題場面において，１．. vt < v1 を満たすから，v1 <. 1. で示した児童の解法のように「合計２時間かかっ. 1< 1 2<. た」という情報を用いない場合には次のようにな. v1 <. 1 2 v1 < 1 v1 または. 1 2 v1 <v1 より，1< 1 2 < 1 または. 1 が成り立たなければならない。しかしながら，この関係式は任意の. る。. 1 ， 2 について成り立つわ. けではないから問題場面の仮定に不整合が生じう. 第１区間の道のりが１kmだとすると，第. る。以上より，同種の要素間について２つの仮定. ２区間の道のりは49kmである。第１区間に. 関係が設定されている場合には問題場面として成. かかる時間は 1 / 40時間。第２区間にかかる. 立しないと結論づけられる。. 時間は49 / 120時間。全体の道のり50kmにかかる時間は 1 / 40 + 49 / 120 ＝ 13 / 30時間。よって，全体の平均の速さは50 / (13 / 30) ＝ 1500 / 13だから時速1500 / 13km。従って，実際の道のりについての平均の速さも時速1500 /. 【図８】×. 【図22】×. 13kmである。. そこで，本稿における分析では，同種の要素間. しかしながら，この解答は正しくない。つまり，. に設定できる仮定関係は１つという条件のもと. 仮定関係が加法的な場合には１．で示した児童の. で，ⅰ仮定関係が提示されない場合，ⅱ仮定関係. 解法で解決することができないのである。速さは. が１つ提示される場合，ⅲ仮定関係が２つ提示さ. 乗法的な概念であり，速さの性質も乗法的な性質. れる場合，ⅳ仮定関係が３つ提示される場合のそ. である。それ故に，仮定関係が乗法的な場合のほ. れぞれの場合について分析する。. うが速さの性質が用いられやすくなる。そこで，. ⒝ 仮定関係の種類による影響. 速さの性質が用いられる問題場面を明らかにする. 仮定関係には２通りが考えられる。即ち，「６. という本研究の目的を鑑み，本稿の分析において. 時間多くかかった」のような加法的な仮定関係と. は仮定関係は乗法的な関係のみを扱う。. 245.

(11) 渡会陽平. ⑷ 問題場面の成立条件についての分析方法. ① 構造関係を用いない問題場面. 以上の検討に基づいて，本稿では構造関係の組. 次の１タイプが問題場面として成立する。. み合わせそれぞれについて次の手順で分析をする。 ⅰ 分析対象とする構造関係の組み合わせに対して，結論要素の配置場所で場合分けをする。 ⅱ さらに，提示される仮定関係の個数及びその配置場所で場合分けをする。. 【図0.1】. ⅲ 各場合について仮定要素を設定する。 ⅳ 各場合について，設定された仮定要素と仮定. ② 乗法的構造関係を１つ用いる問題場面. 関係及び場合分けで設定されている用いられる. 結論要素が構造関係上にある場合（図1.1～1.3）. 構造関係の組み合わせに対して算術的な操作も. の３タイプ，構造関係上にない場合（図1.4，1.5）. しくは代数的な操作を適用し，それにより結論. の２タイプが問題場面として成立する。. 要素を求めることができるかを確認する。併せて，結論要素を求める過程において設定された仮定が全て用いられているかを確認する。 ⅴ 結論要素が求められた場合には，設定した仮定に対して不整合が生じていないかを確認する。. 【図1.1】. 【図1.2】. 【図1.4】. 【図1.5】. 【図1.3】. ４．「１つの対象の２つの動作」の問題場面の成立条件についての分析結果 ⑴ 各問題場面についての分析結果解決に用いられる構造関係，結論要素の配置場. ③ 加法的構造関係を１つ用いる問題場面. 所，仮定関係の配置場所，結論要素の配置場所に. 次の３タイプが問題場面として成立する。. よって場合分けされた各問題場面に対して上記の手続きで問題場面の成立条件の分析を行った。本稿では紙幅の都合により分析の手続きについては省略し，問題場面として成立した場合のみを示す。特に説明が必要な場合のみ，その旨について述べ. 【図1.6】. 【図1.7】. 【図1.8】. る。また，本稿では問題場面として成立した個々の. ④ 乗法的構造関係を２つ用いる問題場面. 場合を網羅して示すのではなく，同じタイプの問. 次の３タイプが問題場面として成立する。特に. 題場面の代表となる１つの場合のみを示す。例え. 図2.2と図2.3の場合は提示する仮定要素の個数を. ば図1.3の場合ならば，乗法的構造関係の選び方. 変えても問題場面として成立するという特徴があ. が３通り，各構造関係において結論要素の配置場. る。. 所の選び方が３通り，２つの仮定関係それぞれについて配置場所の選び方が２通りずつあるから図 1.3と同じタイプの問題場面は３ × ３ × (２ × ２) ＝ 36通りある。これらの代表として図1.3を示す。【図2.1】. 246. 【図2.2】. 【図2.3】.

(12) 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究. 例えば，図2.2において２つの仮定関係を t2 ＝ t1. 場合（図2.16～2.18）の３タイプが問題場面とし. ×. て成立する。. 1 ，d2 ＝ d1 × 2 とすると，. v1 ＝ (d2 / 2) / (t2 / 1) ＝. 1 (v2 t2) / 2 t2 ＝ 1 v2 / 2. と結論要素を求めることができるので問題場面として成立する。それだけでなく，上式の計算過程では t2 が消去されているので，t2 が仮定要素として提示されている場合も問題場面として成立する. 【図2.4】. 【図2.5】. 【図2.6】. 【図2.7】. 【図2.8】. 【図2.9】. 【図2.10】. 【図2.11】. 【図2.12】【図2.13】. 【図2.14】. 【図2.15】. 【図2.16】【図2.17】. 【図2.18】. ことになる。これまでに分析してきた問題場面においては，問題場面として成立する場合は図1.7 の場合を除いて全ての場合で仮定要素が構造関係と仮定関係の交点ではない場所に配置されていた。しかし，この場合は構造関係と仮定関係の交点にある t2 が仮定要素になる。図1.7の場合は構造関係と仮定関係の交点になっている２ヶ所が仮定要素を配置可能な場所であったが，この場合も， v1 ＝ (d2 / 2) / t1 ＝ v2 t2 / ＝. 2 t1 ＝ v2 ( 1 t1) / 2 t1. 1 v2 / 2. というように他の交点である t1 が消去される計算過程でも結論要素を求めることができる。よって，仮定要素の配置場所は t1 でもよい。さらに， v1 ＝ d1 / (t2 / 1) ＝. 1 d1 / (d2 / v2). ＝. 1 v2 d1 / 2 d1 ＝ 1 v2 / 2 ，. ⑥ 加法的構造関係を２つ用いる問題場面. v1 ＝ (d2 / 2) / (t2 / 1) ＝. 1 d2 / 2(d2 / v2). いずれの場合も問題場面として成立しない。. ＝. 1 v2 / 2. ⑦ 乗法的構造関係を３つ用いる問題場面. というように他の交点である d1 ，d2 が消去され. いずれの場合も問題場面として成立しない。. る計算過程でも結論要素の求め方もできる。従っ. ⑧ 乗法的構造関係を２つ，加法的構造関係を１. て，この場合の仮定要素の配置場所は図2.3のよ. つ用いる問題場面. うに v2 は固定で，もう１つは構造関係及び仮定. 結論要素が乗法的構造関係上にある場合（図3.1. 関係の交点４ヶ所から任意に選べばいい。このよ. ～3.11）の11タイプ，加法的構造関係上にある場. うに，代数的な操作による計算過程において要素. 合（図3.12～3.15）の４タイプが問題場面として. が消去される場合には，消去される要素を仮定要. 成立する。図3.5と3.6，3.7と3.8，3.9と3.10はそれ. 素として提示した場合も，提示しない場合もとも. ぞれ提示する仮定要素の個数を変えても問題場面. に問題場面として成立する。また，構造関係及び. として成立する関係にある。. 仮定関係の交点上の要素が仮定要素になる場合には他の交点上の要素も仮定要素になりえる。 ⑤ 乗法的構造関係と加法的構造関係を１つずつ用いる問題場面結論要素が乗法的構造関係上にある場合（図2.4. 【図3.1】. 【図3.2】. 【図3.3】. 【図3.4】. ～2.9）の６タイプ，加法的構造関係上にある場合（図2.10～2.15）の６タイプ，構造関係上にない. 247.

(13) 渡会陽平. の要素だから交点上の要素から２個選んだ組み合わせが仮定要素の候補になる。しかし，ⅰ同一の【図3.5】. 【図3.6】. 【図3.7】. 【図3.8】. 仮定関係内の要素を２つ選んだ場合，ⅱ結論要素を含む構造関係上の要素を２つ選んだ場合に問題場面として成立しないことは明らかである。よって，速さと時間の要素を１つずつ，速さと道のり. 【図3.9】. 【図3.10】. 【図3.11】. 【図3.12】. の要素を１つずつ時間と道のりの要素を１つずつ選んだ場合が残りの候補になる。v1 と t1 が仮定要素の場合には計算過程において v1 が消去されて tt ＝( 1 + 2) t1 /. 【図3.13】【図3.14】. 【図3.15】. 1 となる。v1. と t2 が仮定要素の場. 合には計算過程において v1 が消去されて tt ＝ ( 1 + 2) t2 /. 2 となる。v1. と d1 が仮定要素の場合. は上記で示されている。v1 と d2 が仮定要素の場図2.3の場合は代数的な操作において構造関係. 合には tt ＝( 1 + 2) d2 /. 及び仮定関係の交点上の要素が仮定要素になった. 仮定要素の場合には計算過程において d1 が消去さ. 場合に他の交点上の要素を仮定要素としても問題. れて tt ＝( 1 + 2) t1 /. 場面として成立したが，図3.11は必ずしもそうな. 素の場合には計算過程において d2 が消去されて tt. らない場合である。図3.11において２つの仮定関. ＝( 1 + 2) t1 /. 係を v2 ＝ v1 ×. 1 ，d2 ＝ d1 × 2 とすると，t1 ＝ d1 /. 記の６通りの場合と同様である。よって，いずれ. 2 d1 / 1 v1 だから tt ＝ ( 1 + 2) d1 / 1 tt で. の場合も結論要素を求めることができたから，仮. ある。d1 は構造関係及び仮定関係の交点上の要. 定要素の配置場所は上記の２つの条件ⅰⅱを満た. 素だから他の交点上の要素も仮定要素の候補にな. さないように交点上の要素から２つ選んで配置す. る。しかし，v2 を仮定要素とした場合に問題場面. ればいい。このように，構造関係及び仮定関係の. として成立しないことは明らかである。また， t1. 交点上の要素が２つ以上仮定要素になる場合には. を仮定要素とした場合には. 交点上の要素の組み合わせも仮定要素になりえる。. v1 ，t2 ＝. より. 2 v1 t1 ＝ 1 v1 (tt － t1). 2 t1 ＝ 1 (tt － t1) となるが，この式は任意の. t1 ，tt ，. 1 2 v1 となる。t1 と. 1 となる。t1. d1 が. と d2 が仮定要. 1 となる。残りの６通りの場合も上. また，上記で示したように図3.14の場合におい. 1 ， 2 について成り立つわけではない。. て仮定要素の一方に時間の要素を選んだ場合に. つまり，設定した問題場面の仮定に不整合が生じ. は，もう１つの要素は計算過程において消去され. うることになる。t2 に配置した場合も同様であ. る。よって，図3.15のように仮定要素が１つしか. る。よって，仮定要素の配置場所は tt は固定で，. 提示されない場合も問題場面として成立すること. もう１つは d1 または d2 のどちらかである。この. になる。t1 は構造関係の交点上の要素だから交点. ように，構造関係及び仮定関係の交点上の要素が. 上の他の要素も仮定要素の候補になるが，他の要. 仮定要素になる場合に他の交点上の要素も必ず仮. 素を１つ選んだ場合に問題場面として成立しない. 定要素になるわけではなく，問題場面として成立. ことは図3.14の場合で明らかである。. しない仮定要素の配置は除外する必要がある。. ⑨ 乗法的構造関係を１つ，加法的構造関係を２. 図3.14の場合は仮定設定において仮定要素を２. つ用いる問題場面. つ選ぶことができる問題場面である。２つの仮定. 結論要素が乗法的構造関係上にある場合（図. 関係を v2 ＝ v1 ×. 1 ，d2 ＝ d1 × 2 とすると，tt ＝. 3.16～3.21）の６タイプ，加法的構造関係上にあ. 1 v1 と結論要素を求めることができ. る場合（図3.22～3.30）の９タイプが問題場面と. ( 1 + 2) d1 /. る。v1 と d1 はともに構造関係と仮定関係の交点上 248. して成立する。.

(14) 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究. 【図3.16】. 【図3.17】. 【図3.18】. 【図3.19】. 【図4.13】. 【図4.14】. 【図3.20】. 【図3.21】. 【図3.22】. 【図3.23】. 【図4.17】. 【図4.18】. 【図4.15】. 【図4.16】. 次に，結論要素が加法的構造関係上にある場合【図3.24】. 【図3.25】. 【図3.26】. 【図3.27】. は図4.19～4.30の12タイプが問題場面として成立する。図4.27と4.28，4.29と4.30はそれぞれ提示する仮定要素の個数を変えても問題場面として成立する関係にある。. 【図3.28】. 【図3.29】. 【図3.30】. ⑩ 乗法的構造関係を３つ，加法的構造関係を１つ用いる問題場面. 【図4.19】. 【図4.20】. 【図4.21】. 【図4.22】. 【図4.23】. 【図4.24】. 【図4.25】. 【図4.26】. 【図4.27】. 【図4.28】. 【図4.29】. 【図4.30】. いずれの場合も問題場面として成立しない。 ⑪ 乗法的構造関係を２つ，加法的構造関係を２つ用いる問題場面まず結論要素が乗法的構造関係上にある場合は図4.1～4.18の18タイプが問題場面として成立する。図4.9と4.10，4.11と4.12，4.13と4.14，4.15と4.16， 4.17と4.18はそれぞれ提示する仮定要素の個数を変えても問題場面として成立する関係にある。. 図4.20と図4.29の場合は仮定設定において仮定要素を２つ選ぶことができる問題場面である。こ【図4.1】. 【図4.2】. 【図4.3】. 【図4.4】. の仮定設定においては，図3.14の場合で示したようにⅰ同一の仮定関係内の要素を２つ選んだ場合，ⅱ結論要素を含む構造関係上の要素を２つ選んだ場合に問題場面として成立しない。よって，. 【図4.5】. 【図4.6】. 【図4.7】. 【図4.8】. 図4.20の場合の仮定要素の配置場所は dt は固定で，残りの２つは上記の２つの条件を満たさないように構造関係及び仮定関係の交点６ヶ所から２つ選んで配置すればいい。また，図4.29の場合の. 【図4.9】. 【図4.10】. 【図4.11】. 【図4.12】. 仮定要素の配置場所は上記の２つの条件を満たさないように構造関係及び仮定関係の交点７ヶ所か. 249.

(15) 渡会陽平. 所のいずれかに２つ配置すればいい。. ら２つ選んで配置すればいい。. 【図4.31】. 【図4.32】. 【図4.33】. 【図4.34】. 【図5.4】. 【図5.5】. 【図5.6】. そして，図5.4の問題場面における特筆すべき【図4.35】. 【図4.36】. 【図4.37】. 【図4.38】. 点として，図5.5または図5.6のように仮定要素を配置した場合には結論要素を求める代数的な手続きにおいて二次方程式を用いる必要が生じることがある。つまり，仮定関係に交わる２つの乗法的. 【図4.39】. 【図4.40】. 【図4.41】. 【図4.42】. 構造関係において一方で時間の要素を，もう一方で道のりの要素を仮定要素として選んだ場合には，結論要素を求めるために二次方程式を解かな. 最後に，結論要素が構造関係の交点上にある場. ければいけないのである。例えば，図5.5におい. 合は図4.31～4.42の12タイプが問題場面として成. て仮定関係を v2 ＝ v1 × とすると，tt ＝ d1 / v1 ＋. 立する。図4.39と4.40，4.41と4.42はそれぞれ提示. t2 ，dt ＝ d1 ＋ v1 t2 だから vt ＝ (d1 ＋ v1 t2) / (d1 /. する仮定要素の個数を変えても問題場面として成. v1 ＋ t2) となる。この式を整理すると t2 v12 ＋ (d1. 立する関係にある。. － vt t2) v1 － vt d1 ＝ 0 となり，この二次方程式を. ⑫ 構造関係を５つ用いる問題場面. 解くことで結論要素 v1 を求めることができる。. まず結論要素が乗法的構造関係上にある場合は図5.1～5.4，5.7，5.11，5.12，5.14，5.15の９タイプが問題場面として成立する。図5.2と5.3，5.11と 5.12，5.14と5.15はそれぞれ提示する仮定要素の個数を変えても問題場面として成立する関係にある。. 【図5.7】. 【図5.8】×. 【図5.9】×. 【図5.10】 ×. 図5.7の場合は仮定設定において仮定要素を３つ選ぶことができる問題場面である。この場合は【図5.1】. 【図5.2】. 【図5.3】. ⅰ同一の仮定関係内の要素を２つ選んだ場合，ⅱ 同一の構造関係上に結論要素及び仮定要素を合わせた個数が３つになるように選んだ場合に加え. 図5.1と図5.4の場合は仮定設定において仮定要. て，ⅲ図5.8，5.9，5.10のように仮定要素を配置. 素を２つ選ぶことができる問題場面である。よっ. した場合も問題場面として成立しない。よって，. て，図5.1の場合の仮定要素の配置場所は v2 と vt. この場合の仮定要素の配置場所は上記の３つの条. は固定で，残りの２つは先述の条件ⅰを満たさな. 件を満たさないように構造関係及び仮定関係の交. いように構造関係の交点６ヶ所のいずれかに２つ. 点８ヶ所から３つ選んで配置すればいい。また，. 配置すればいい。また，図5.4の場合の結論要素. この場合は図5.5や図5.6のように仮定関係に交わ. の配置場所は vt は固定で，残りの２つは先述の. る２つの乗法的構造関係において一方で時間の要. 条件ⅰⅱを満たさないように構造関係の交点６ヶ. 素を，もう一方で道のりの要素を仮定要素として. 250.

(16) 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究. 選んだとしても結論要素を求めるための代数的な. の場合は先に示した２つの条件に加えて，ⅲ図. 手続きにおいて二次方程式を解く必要が生じない。. 5.18のように仮定要素を配置した場合も問題場面. 図5.12の場合は仮定設定において仮定要素を２. として成立しない。よって，この場合の仮定要素. つ選ぶことができる問題場面である。先に示した. の配置場所は vt は固定で，残りの２つは上記の. ２つの条件に加えて，ⅲ図5.13のように仮定要素. ３つの条件を満たさないように構造関係及び仮定. を配置した場合も問題場面として成立しない。. 関係の交点７ヶ所のいずれかに２つ配置すればい. よって，この場合の仮定要素の配置場所は上記の. い。また，5.20の場合の仮定要素の配置場所は v1. ３つの条件を満たさないように構造関係及び仮定. は固定で，残りの２つは先述の２つの条件を満た. 関係の交点８ヶ所から２つ選んで配置すればいい。. さないように構造関係及び仮定関係の交点６ヶ所のいずれかに２つ配置すればいい。どちらの場合も図5.19や図5.21のように仮定関係に交わる２つの乗法的構造関係において一方で時間の要素を，. 【図5.11】. 【図5.12】. 【図5.13】×. もう一方で道のりの要素を仮定要素として選んだ場合には，結論要素を求めるための代数的な手続きにおいて二次方程式を解く必要が生じる。図5.4，5.7，5.16，5.20の分析結果より，結論要. 【図5.14】. 素を求めるために二次方程式を解く必要が生じる. 【図5.15】. 仮定設定の条件について整理する。図5.4，図5.17，図5.20については結論要素を求めるために二次方. 次に，結論要素が構造関係の交点上にある場合. 程式を解かなければならない場合があったが，図. は図5.16，5.17，5.20，5.22～5.27の９タイプが問. 5.21についてはそのような場合はなかった。二次. 題場面として成立する。図5.24と5.25，5.26と5.27. 方程式を解く必要が生じた場合に共通すること. はそれぞれ提示する仮定要素の個数を変えても問. は，ⅰ解決に構造関係を５つ用いる問題場面であ. 題場面として成立する関係にある。. り，ⅱ仮定関係が速さの要素間に対して１つ提示され，ⅲその仮定関係内に含まれない速さの要素が仮定要素として配置され，さらにⅳ仮定関係に交わる２つの乗法的構造関係において一方で時間. 【図5.16】. 【図5.17】. 【図5.18】 × 【図5.19】. の要素が，もう一方で道のりの要素が仮定要素として配置されていることである。この４つの条件を全て満たす場合には結論要素を求めるためには二次方程式を解く必要が生じる。図5.7の場合は. 【図5.20】. 【図5.21】. 【図5.22】. 【図5.23】. ⅰⅱⅳの条件を満たすことはできる。しかし，仮定関係に含まれない速さの要素が結論要素であるため，ⅲの条件を満たすことはできない。 ⑵ 分析結果のまとめ. 【図5.24】. 【図5.25】. 【図5.26】. 【図5.27】. ⑴においては，解決に用いる構造関係，結論要素の配置場所，提示される仮定関係の個数と配置場所，仮定要素の配置場所による場合分けによっ. 図5.17と5.20の場合は仮定設定において仮定要. て，各問題場面の成立条件の分析を行った結果を. 素を２つ選ぶことができる問題場面である。5.17. 示した。それらの全ての問題場面に対する包括的. 251.

(17) 渡会陽平. な成立条件については本稿では追究しない。本稿. ためには，vt t2 + (2 － 1) d1 ＝ 0 または 4 (1 － ). では，分析結果のまとめとして解決の仕方を視点. d1 2 ＝ 0 にならなければならない。まず，vt t2 + (2. とした問題場面の分類を示す。. － 1) d1 ＝ 0 の場合には根号の中は 4 (1 － ) d1 2. ① 結論要素を求めるための手続きによる分類. になる。しかし， (1 － ) を２乗の形にはできな. 結論要素を求めるための手続きに着目すると，. いので，この場合には成り立たない。次に，4 (1. 問題場面として成立する場合はⅰ算術的な操作で. － ) d1 2 ＝ 0 の場合には d1 > 0 だから＝ 0 また. 求められる問題場面，ⅱ一次方程式によって求め. は＝ 1 にならなければならない。しかし，＝. られる問題場面，ⅲ二次方程式によって求められ. 0 ならば移動していないことになり問題場面とし. る問題場面の３つに分けることができる。. て成立しない。また，＝ 1 ならば速さが変化し. 図5.1aはⅰの問題場面の例である。この問題場. ていないので，求めるべき第１区間の速さと提示. 面は既知数に対して算術的な操作を繰り返すこと. されている平均の速さが同じであることは明らか. で容易に結論要素を求めることができる。. である。よって，この場合も問題場面として成立. 図4.31はⅱの問題場面の例である。この問題場. しない。従って，代数的な操作において二次方程. 面は既知数に対して必ずしも算術的な操作を適用. 式を解く必要が生じる問題場面では必ず無理数の. できるとは限らないので，未知数を文字で表した. 値が関わるので，算数科では扱うことができない。. り，未知数を仮定したりする必要が生じる。. ② 仮定要素の扱い方による分類. 図5.5はⅲの問題場面の例である。ⅱの場合と. 解決の手続きにおける仮定要素の扱い方に着目. 同様に既知数に対する算術的な操作だけでは結論. すると，問題場面として成立する場合はⅰ提示さ. 要素を求めることができないので，未知数を文字. れている仮定要素をそのまま用いる問題場面，ⅱ. で表す必要があるが，その際，ⅱの場合は一次方. 提示されている仮定要素を無視したり，任意に設. 程式を解くことで結論要素を求めることができた. 定したりすることができる問題場面の２つに分け. が，この場合は二次方程式を解かなければならな. ることができる。. い。そこで，このような問題場面を算数科におい. 図5.1a，4.31，5.5はいずれも提示されている仮. て扱うことができるのかについて検討する。. 定要素をそのまま用いるのでⅰのタイプの問題場面である。一方で，図2.2，2.3，3.5，3.6はいずれもⅱのタイプの問題場面である。. 【図5.1a】. 【図4.31】. 【図5.5】. 図5.5において仮定関係を v2 ＝ v1 × とすると，. 【図2.2】. 【図2.3】. 【図3.5】. 【図3.6】. t2 v1 2 + (d1 － vt t2) v1 － vt d1 ＝ 0 であるから， v1 ＝. vt t2 － d1 ± vt 2 t2 2 + 2 (2 － 1) vt t2 d1 + d1 2 2 t2. 図2.2（図3.5）の問題場面の仮定設定が提示された場合には，図2.3の場合も問題場面として成立するので，問題解決において任意に t1 ，t2 ，. である。算数科では無理数を扱えないから，上式. d1 ，d2 の値を定めたとして結論要素を求めるこ. を解として扱うためには根号の中の式を２乗の形. とができる。さらに，図3.6の場合も問題場面と. 2. 2. にして，根号を外す必要がある。vt t2 + 2(2 － 2. 2. 1) v t t 2 d 1 + d 1 ＝｛v t t 2 + (2 － 1) d 1｝+ 4 (1 － ) 2. d1 であるから，根号の中の式を２乗の形にする 252. して成立するので，任意に tt ，dt の値を定めたとしても結論要素を求めることができる。一方で，図2.3や図3.6の問題場面の仮定設定が.

(18) 小学校算数科における速さの性質を用いて解決できる速さの問題場面に関する研究. 提示された場合には，代数的な操作の計算過程に. 引用・参考文献. おいて消去される仮定要素（図2.3ならば t1 ，t2 ， d1 ，d2 ，図3.6ならば tt ）の値をそのまま用いても解決できるが，その仮定設定を無視して上記の場合のように任意に要素の値を定めたとしても結論要素を求めることができる。. Jang, C., Hwang, S., & Cai, J. (2014). Chinese and Singaporean sixth-grade students’ strategies for solving problems about speed. Educational Studies in Mathematics, 87⑴, 27-50. Mayer, R. E. (1981). Frequency norms and structural analysis of algebra story problems into families,. ５．まとめと今後の課題本稿では，速さの問題場面における「１つの対象の２つの動作」の問題場面について，解決に用いる構造関係，結論要素の配置場所，提示される仮定関係の個数と配置場所，仮定要素の配置場所. categories, and templates. Instructional Science, 10⑵, 135-175. 国立教育政策研究所教育課程研究センター編（2003）．『平成13年度小中学校教育課程実施状況調査報告書小学校算数』．東洋館出版社．. （札幌校特任講師）. を観点とした場合分けを行い，各場合について問題場面として成立の成否を分析を行った。その結果として，各場合の問題場面としての成立条件を示すとともに，問題場面として成立する場合は，結論要素を求めるための手続きに着目した場合にはⅰ算術的な操作で求められる問題場面，ⅱ一次方程式によって求められる問題場面，ⅲ二次方程式によって求められる問題場面の３つに分類することができ，仮定要素の扱い方に着目した場合にはⅰ提示されている仮定要素をそのまま用いる問題場面， ⅱ提示されている仮定要素を無視したり，任意に設定したりすることができる問題場面の２つ分類できることを示した。また，結論要素を求めるための代数的な操作において二次方程式が必要になる問題場面については，仮定関係及び仮定要素の値をどのように設定したとしても必ず無理数が関係してしまうため算数科では扱うことができないことを示した。本研究の目的は，小学校算数科で扱うことができるが従来の学習内容では扱われていない速さの性質を用いて解決することのできる速さの問題場面を明らかにすることなので，４．⑵で示した解決の仕方による問題場面の分類をもとにしながら，どのような問題場面においてどのような速さの性質を用いることで解決することができるのかを明らかにすることが今後の課題である。. 253.

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