自明な結び目が 2- 隣接である結び目について

自明な結び目が 2- 隣接である結び目について

下田 真寛 ( 神戸大学大学院理学研究科 博士課程前期課程 1 年 ) 2013 年 12 月 20 日

概 要

一回の交差交換で移り合う結び目

K, J

, K

J

n-adjacent

Askitas

Kalfagianni

.

n-adjacent

,

,

n-adjacent

.

,

K

2-adjacent

, K

.

1. 導入

 一回の交差交換で移り合う結び目 K, J に対して, K が J に n-adjacent であるとい う関係が Askitas と Kalfagianni[1] によって定義された . 自明な結び目に n-adjacent で ある結び目については研究されているが , 逆に , 自明な結び目が n-adjacent である結び 目についてはあまり研究されていない. 本研究では, 自明な結び目が n-adjacent である 結び目に着目し , 自明な結び目が結び目 K に 2-adjacent であるならば , K の判別式の 値が 1 になるという結果を得た .

本稿の 2 章では , 主定理の紹介とそのための定義を導入する . 3 章では , 主定理の証明 に必要な結び目の手術表現について記述し , 4 章で主定理の証明を行う .

2. 主定理

 本稿の主定理は定理 2.4 である . はじめに , 主定理のための定義を導入する . 結び目 K に対し , K の補空間 X = S ³ \ K の無限巡回被覆空間を X e とする . τ : X e → X e を Aut( X) e ∼ = Z の生成元とし, τ _∗ : H ₁ ( X) e → H ₁ ( X) e を τ に導かれる準同型写像とす る . このとき , x ∈ H ₁ ( X), e f(t) = a _r t ^r + · · · + a ₀ + · · · + a _{− s} t ^{− s} ∈ Z [t, t ^{− 1} ] に対し , f(t)x := a _r τ _∗ ^r (x) + · · · + a ₀ x + · · · + a _−s τ _∗ ^{− s} (x) ∈ H ₁ ( X) e と積を定めると , H ₁ ( X) e は Z [t, t ^{− 1} ]-加群の構造を持つ.

定義

2.1 ([2, 3]). H ₁ ( X) e の Z [t, t ^{− 1} ]- 加群としての表現行列を K の Alexander 行列 と よび, M _K で表す. M _K の行列式 detM _K は Z [t, t ^{− 1} ] の単元倍を除いて一意に定まる.

これを K の Alexander 多項式 とよび , ∆ _K (t) で表す . また , det(K) := | ∆ _K ( − 1) | を結 び目 K の 判別式 とよぶ .

命題

2.2. ∆ _K (t) は次の (i), (ii) を満たす . (i) ∆ K (t ^{− 1} ) = ∆ K (t).

(ii) ∆ _K (1) = 1.

定義

2.3 ([1]). 結び目 K, J に対し , K が J に n-adjacent であるとは , K のある図式

D と D の交点 c 1 , . . . , c n が存在して , そのうち任意の m 個 (0 < m ≤ n) の交点で交差

交換した図式が J を表すことである .

図 1. スクエア結び目は 3 ₁ に 2-adjacent である . 例えば , 図 1 のように , スクエア結び目は 3 1 に 2-adjacent である .

定理

2.4. 結び目 K に対し , 自明な結び目が K に 2-adjacent であるならば , det(K) = 1.

自明な結び目が 2-adjacent であるような結び目の例には , 自明な結び目がある . 残念 ながら , 非自明な結び目の例は見つかっていない .

3. 結び目の手術表現

 任意の結び目の任意の図式に対し , 適切な交点をいくつか選び交差交換を行うと自明 な結び目の図式が得られる . また , 結び目図式の交差交換は , 絡み数が 0 となるような 自明な結び目を交点に引っ掛けておき , それに沿って ± 1-surgery を施すことによって 実現できる . このことから , Levine [4] と Rolfsen [2, 3] は結び目の手術表現を導入した .

3.1 ([2, 3]). K を結び目, O を自明な結び目とする. このとき, 次の (i)–(v) を満た すような S ³ \ O 内の互いに素な n 個のトーラス体 T ₁ , . . . , T _n と , S ³ \ ( ˚ T ₁ ∪ · · · ∪ T ˚ _n ) 上の自己同相写像 ϕ が存在する .

(i) ϕ(O) = K.

(ii) ϕ(∂T _i ) = ∂T _i .

(iii) c(T _i ) を T _i の中心線とすると, c(T ₁ ) ∪ · · · ∪ c(T _n ) は自明な絡み目.

(iv) lk(c(T _i ), O) = lk(c(T _i ), K) = 0.

(v) µ i を ∂T i の meridian とすると , lk(ϕ ^{− 1} (µ i ), c(T i )) = ± 1.

定義

3.2. 命題 3.1 で得られる (T ₁ , . . . , T _n , h) を , 結び目 K の 手術表現 とよぶ . ただし , h = ϕ | ∂(T

∪···∪ T

) とする.

命題

3.3. 結び目 K は次の (i), (ii) を満たす Alexander 行列 M _K = (a _ij (t)) を持つ . (i) a _ij (t) = a _ji (t ^{− 1} ).

(ii) | a _ij (1) | = δ _ij =

{ 1 (i = j),

0 (i ̸ = j).

証明.

自明な結び目 O の補空間 X ₀ の無限巡回被覆空間を X f ₀ とする. 命題 3.1 より, X \ ( ˚ T ₁ ∪ · · · ∪ T ˚ _n ) と X ₀ \ ( ˚ T ₁ ∪ · · · ∪ T ˚ _n ) は同相である . T _i の持ち上げを V _i とし , V = V ₁ ∪ · · · ∪ V _n と定める . ϕ e : X f ₀ \ V ˚ → X e \ ˚ V を ϕ から得られる同相写像とす る. 図 2 のように, V _i の連結成分をひとつ指定し, V _i,0 と定める. ∂V _i,0 の longitude を l _i , meridian を m _i とする . このとき , Z [t, t ^{− 1} ]- 加群表示として , H ₁ (( X e \ V ˚ ) ∩ V ) ∼ = H ₁ (∂V ) ∼ = (m ₁ , . . . , m _n , l ₁ , . . . , l _n : ) , H ₁ ( X e \ ˚ V ) ∼ = H ₁ ( X f ₀ \ ˚ V ) ∼ = (m ₁ , . . . , m _n : ) , H ₁ (V ) ∼ = (l ₁ , . . . , l _n : ) が得られる. ここで, 次の Mayer-Virtoris 完全系列を考える.

H ₁ (∂V ) −→ ^f

H ₁ ( X e \ V ˚ ) ⊕ H ₁ (V ) −→ ^f

H ₁ ( X) e −→ ^f

H ₀ (∂V ) −→ ^f

H ₀ ( X e \ V ˚ ) ⊕ H ₀ (V ).

H ₀ (∂V ) の生成元を x _i とすると f ₄ (t ^k x _i ) = (1, t ^k x _i ) と決まる . したがって f ₄ は単射ゆえ f 2 は全射である . また , m ^′ _i = ϕ e ^{− 1} (m i ) とすると , f 1 (t ^k m i ) = (t ^k m ^′ _i , 0), f 1 (t ^k l i ) = (0, t ^k l i ) より , Kerf ₂ = Imf ₁ = (m ^′ ₁ , . . . , m ^′ _n : ) ⊕ (l ₁ , . . . , l _n : ) となる . 準同型定理より , H ₁ ( X) e ∼ = (m ₁ , . . . , m _n : m ^′ ₁ , . . . , m ^′ _n ) である . つまり , m ^′ _i を m ₁ , . . . , m _n と t で表せば , K の Alexander 行列の様子がわかる . V i,0 の中心線を c(V i,0 ) とすると ,

m ^′ _i =

∑ n

j=1

∑ ∞ k= −∞

lk(m ^′ _i , t ^k c(V _j,0 ))m _j .

ここで, k ̸ = 0 のとき lk(m ^′ _i , t ^k c(V _j,0 )) = lk(l _i , t ^k l _j ) であるため, lk(l _i , t ^k l _j ) = lk(t ^{− k} l _i , l _j ) = lk(l _j , t ^{− k} l _j ) より , (i) が得られる . また , t = 1 のとき , m ^′ _i = ∑ _n

j=1 lk(m ^′ _i , c(T _j )) である ので , 命題 3.1 の (v) より , (ii) が得られる .

補題

3.4. D を自明な結び目の図式 , c 1 と c 2 を D の異なる交点とする . D を c 1 で交 差交換した図式を D ₁ , D を c ₂ で交差交換した図式を D ₂ , D を c ₁ と c ₂ で交差交換し た図式を D ₃ とする . また , D _i が表す結び目を K _i （ i = 1, 2, 3 ）とする . このとき , あ る r(t) ∈ Z [t, t ^{− 1} ] と ε 1 , ε 2 ∈ {± 1 } が存在して , r(1) = 0 かつ

M _K

= (

ε ₁ ∆ _K

(t) r(t ^{− 1} ) r(t) ε 2 ∆ K

(t)

)

が成り立つ .

証明.

結び目 K _i の補空間 X _i の無限巡回被覆空間を X f _i (i = 1, 2, 3) とする. D, c ₁ , c ₂

から得られる K ₃ の手術表現を (T ₁ , T ₂ , h) とすると , K ₁ は (T ₁ , h | ∂T

), K ₂ は (T ₂ , h | ∂T

)

図 2. V _i の連結成分を指定する .

という手術表現を持つ. 命題 3.3 より, ある a ₁ (t), a ₂ (t), r(t) ∈ Z [t, t ^{− 1} ] が存在して, r(1) = 0 かつ

M _K

= (

a 1 (t) r(t ^{− 1} ) r(t) a ₂ (t)

) .

すなわち , ある m ₁ , m ₂ を用いて H ₁ ( X f ₃ ) ∼ = (m ₁ , m ₂ : a ₁ (t)m ₁ + r(t ^{− 1} )m ₂ , r(t)m ₁ + a 2 (t)m 2 ) と書ける . 一方で , H 1 ( X f 1 ) の表示は , H 1 ( X f 3 ) に m 2 = 0 を与えることで得ら れる . したがって , M _K

= (a ₁ (t)) となり , ある ε ₁ ∈ {± 1 } が存在して a ₁ (t) = ε ₁ ∆ _K

(t).

同様に , ある ε ₂ ∈ {± 1 } が存在して a ₂ (t) = ε ₂ ∆ _K

(t).

4. 主定理の証明

補題 3.4 より , ある r(t) ∈ Z [t, t ^{− 1} ] と ε ₁ , ε ₂ ∈ {± 1 } が存在して , r(1) = 0 かつ

M _K = (

ε ₁ ∆ _K (t) r(t ^{− 1} ) r(t) ε ₂ ∆ _K (t)

)

が成り立つ . Alexander 多項式の定義より , ある整数 m と ε ^′ ∈ {± 1 } が存在して , ε ^′ t ^m ∆ _K (t) = ε ₁ ε ₂ ∆ _K (t) ² − r(t)r(t ^{− 1} ).

t = − 1 を代入して式を整理すると ,

| ∆ _K ( − 1) | | ∆ _K ( − 1) + ε | = r( − 1) ² .

ただし , ε = ε ^′ ε ₁ ε ₂ ( − 1) ^m+1 . このとき , | ∆ _K ( − 1) | , | ∆ _K ( − 1) + ε | ∈ N ∪ { 0 } は連続する 整数なので互いに素である . 積が平方数になるので , | ∆ _K ( − 1) | , | ∆ _K ( − 1) + ε | は共に平 方数である. 連続する平方数は 0, 1 しかない. また, 命題 2.2 より | ∆ _K ( − 1) | は奇数で あるので , det(K) = | ∆ _K ( − 1) | = 1.

謝辞

 講演終了後に詳細な助言をしてくださった華東師範大学の門上晃久先生に感謝致し ます . また , コメントをくださった他数名の方々にも感謝致します .

参考文献

[1] N. Askitas and E. Kalfagianni, On knot adjacency, Topology Appl. 126 (2002) 63–81.

[2] D. Rolfsen, A surgical view of Alexander’s polynomial, in Geometric Topology, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 438, Springer-Verlag, Berlin and New York (1974) 415–423.

[3] D. Rolfsen, Knots and Links, Math. Lecture Series, Vol. 7 (Publish or Perish Barkeley, 1976).

[4] J. Levine, A characterization of knot polynomials, Topology 4 (1965) 135–141.