Functional Analysis and Its Application to Differential Equations

関数解析学と微分方程式への応用

Functional Analysis and Its Application to Differential Equations

関数方程式研究室 

BV17068

1

一般に微分方程式の解を求めることは難しい.そこで関数 解析学の観点から微分方程式を見つめなおすことによって, 微分方程式の解の存在と一意性を考察する. 本研究では,関 数解析学の基本事項をまとめ,実際にその内容を微分方程式 に応用する.関数解析学については[1]と[2]を,関数解析学 の微分方程式への応用については[3]を参考にした.

2

ノルム（R^やCにおける絶対値を一般化したもの）が定 義された線形空間をノルム空間,内積が定義された線形空間 を内積空間といい,完備なノルム空間をバナッハ空間,完備 な内積空間をヒルベルト空間という.

I = (a, b) (⊂R)を有限あるいは無限の開区間とし, 通

常の微分をf^′,f^(m)などと表す.また,uをI上の可測関数 とする.

C(I) :={f |I上で連続}.

C^m(I) :={f |I上でm回微分可能かつf^(m)も連続}. C^∞(I) :={f |I上で無限回微分可能}.

suppf :={x∈I |f(x)̸= 0}.

C₀^m(I) :={f ∈C^m(I)| suppfがIの有界閉集合}. C₀^∞(I) :={f ∈C^∞(I)| suppf がIの有界閉集合}. L^p(I) :=

( u|

Z b a

|u(x)|^pdx <∞ )

(1≤p <∞).

L^∞(I) :=

u| ess.sup

x∈I

|u(x)|<∞

. L¹_loc(I) :={u|uはIで局所可積分}.

∥u∥p :=









 Z b

a

|u(x)|^pdx

!1/p

(u∈L^p(I), 1≤p <∞), ess.sup

x∈I|u(x)|(u∈L^∞(I), p=∞).

L^p(I) (1≤p≤ ∞)はノルム∥ · ∥pに関してバナッハ空 間になる.

3

定義 3.1. m を自然数とし, f ∈ L¹_loc(I)とする. 任意の φ∈C₀^∞(I)に対し,次を満たすg ∈L¹_loc(I)が存在すると き,gをf のm階の広義導関数といいD^mf で表す.

Z b a

f(x)φ^(m)(x)dx= (−1)^m Z b

a

g(x)φ(x)dx.

4

定義 4.1. mを自然数とし, 1≤p≤ ∞^とする. W^m,p(I) を次のように定義する.

W^m,p(I) :=

f ∈L^p(I)|D^kf ∈L^p(I), 1≤k≤m . W^m,p(I)に属する関数に対し,次式でノルムを定義する.

∥f∥m,p :=











 Xm k=0

D^kf^p

p

!1/p

(1≤p <∞), Xm

k=0

D^kf

∞ (p=∞).

定理 4.1. W^m,p(I)は∥f∥m,pをノルムとしてバナッハ空 間である.

定義4.2. W^m,p(I)におけるC₀^∞(I)の閉包をW₀^m,p(I)で 表す.W^m,p(I)とW₀^m,p(I)を総称してソボレフ空間とよぶ. 定理 4.2. 1 ≤p≤ ∞^とし, u∈W^1,p(I)とすると, ある

¯

u∈C( ¯I)が存在して,u= ¯u(a.e.x∈I)である.また,次の 式が成り立つ.

¯

u(x)−u(y) =¯ Z x

y

Du(t)dt(x, y∈I).¯ W^m,2(I)に属する関数に対し,次式で内積を定義する.

(f, g)_m,2= Z b

a

f(x)g(x)dx+ Xm k=1

Z b a

D^kf(x)D^kg(x)dx.

(1) バナッハ空間に対して内積が定義されたため, W^m,2(I)と W₀^m,2(I)はヒルベルト空間になる.

定義4.3. H^m(I)とH₀^m(I)を次のように定義する. H^m(I) :=W^m,2(I), H₀^m(I) :=W₀^m,2(I).

5

H をヒルベルト空間,Kをその係数体とする.

定義5.1. 汎関数f :H →Kが次の線形性の条件を満たし ているとき,fはH上の線形汎関数であるという.

(

f(x+y) =f(x) +f(y) (x, y ∈H), f(αx) =αf(x) (α∈K, x∈H).

定義 5.2. 汎関数f :H →Kが次の条件を満たすとき, f は点x0∈Hで連続であるという.

「任意のε >0に対し, δ >0が存在して,∥x−x0∥< δ を満たすすべてのx∈Hに対し|f(x)−f(x₀)|< ε.」

また, 汎関数f がH のすべての点で連続であるとき, f はH上で連続であるという.

定義 5.3. f をH 上の線形汎関数とする. 次の条件を満た すとき, fはHで有界であるという.

「ある定数M >0が存在して,|f(x)| ≤M∥x∥(x∈H).」 定理5.1. H上の線形汎関数f :H →Kに関して,次は同 値である.

(i)f はH 上で連続である. (ii)f はH上の1点で連続である. (iii)fは有界である.

この定理により,線形汎関数については,連続であること と有界であることが同値である.

定義5.4. H 上の連続線形汎関数全体からなる集合をHの 共役空間といい,H^∗で表す.

H^∗に属する関数に対し, 次式でノルムを定義する.

∥f∥= sup

x∈H, x̸=0

|f(x)|

∥x∥ .

定理5.2(リース). f をH上の連続線形汎関数とするとき, 次を満たすy∈Hがただ1つ存在する.

f(x) = (x, y) (x∈H).

また,∥f∥=∥y∥^{が成り立つ}.

この定理は連続な線形汎関数をヒルベルト空間上の点を 用いて一意に表せるというものである.

6

次の常微分方程式の境界値問題について,関数解析学を用 いて解の存在と一意性を考察する.

a, b∈R^とし,I= (a, b)を区間とする. (−u^′′(x) +u(x) =f(x) (x∈I),

u(a) =u(b) = 0. (2)

定義6.1. u=u(x)が(2)の古典解である.

⇔ (

u∈C( ¯I)∩C²(I),

uは(2)の方程式と境界条件を満たす. 定義6.2. u=u(x)が(2)の弱解である.

⇔





u∈H₀¹(I), Z b

a

DuDφ dx+ Z b

a

uφ dx= Z b

a

f φ dx(φ∈H₀¹(I)).

(3)

(2)が一意な弱解を持つことを示す.f ∈L²(I)とする. F(φ) =

Z b a

f(x)φ(x)dx(φ∈H₀¹(I))

とおくと,F はH₀¹(I)上の連続線形汎関数である.従って, 定理5.2より,

∃1u∈H₀¹(I)s.t. F(φ) = (φ, u) (φ∈H₀¹(I)) が成り立つ.得られた式は(1)を用いて書き換えると

Z b a

DuDφ dx+ Z b

a

uφ dx= Z b

a

f φ dx(φ∈H₀¹(I)) となり,次の定理が成り立つ.

定理6.1. (2)においてf ∈L²(I)とする.このとき, (2)は 一意な弱解u∈H₀¹(I)をもつ.

この弱解uがC¹( ¯I)にも属していることを示す. (3)は 任意のφ∈C₀¹(I)についても成り立つので,Dφ=φ^′ とす ると,

Z b a

Duφ^′dx= Z b

a

(f −u)φ dx(φ∈C₀¹(I)) が成立し, 広義導関数の定義より, D²u ∈ L²(I)を得る. 従って,u∈H²(I)となる.ここで定理4.2より,Du∈C( ¯I) であることからu^′∈C( ¯I)が存在し,次の定理が成り立つ. 定理6.2. 定理6.1の弱解uはu∈H₀¹(I)∩C¹( ¯I)である. 最後に, f ∈ C( ¯I) ならばこのuが古典解であること を示す. (3) と広義導関数の定義から, u^′′ ∈ C( ¯I)となり, u ∈ C²( ¯I) を得る. 一方, (3)の左辺第 1 項を部分積分 し, C₀¹(I)はL²(I)で稠密であることとφの任意性から, φ=−u^′′+u−f ととると

Z b a

(−u^′′+u−f)²dx= 0

が成立し,−u^′′+u−f = 0 (a.e.x∈I)を得る.u^′′, u, f はすべて連続であることより,次の定理が成り立つ.

定理6.3. f ∈C( ¯I)のとき, (2)には弱解u∈H₀¹(I)∩C²( ¯I) が一意に存在する.さらにuは(2)の古典解である.

7

微分方程式の境界値問題の解の存在と一意性を示す際に, 弱解をリースの定理により一意に表せることや, uがどの空 間に属しているかということが重要であり,関数解析学は微 分方程式と密接に関わっている.

参考文献

[1] 樋口禎一・芹沢久光・神保敏弥,関数解析学の基礎・基 本,牧野書店, 2001

[2] 竹内慎吾, “関数解析”講義ノート, 2018年度前期 [3] 兼子裕大, “解析学III”講義ノート, 2019年度後期