● 前回の講義のまとめ

2012年度・前期・数理解析・計算機数学２・第１２回 1

● 講義資料

▼ 講義予定

• 連立一次方程式の数値解法：消去法

● 前回の講義のまとめ

★ Symplectic法（前回の続き）

• HamiltonianH が

H(q, p) =T(p) +U(q) と分解できている場合に,以下の計算スキーム

qn+1 =qn+hdT dp(pn), pn+1=pn−hdU

dq(qn+1),

をSymplectic Euler 法とよび, 1次のSymplectic解法となっていることが証明できる.

実際,１段目の写像(qn, pn)7→(qn+1, pn)をS¹_h,２段目の写像(qn+1, pn)7→(qn+1, pn+1)を S_h² と書くと,それぞれの微分は

DS_h¹= I _∂p∂q^∂2T

0 I

! ,

DS_h²= I 0

−_∂p∂q^∂2U I

! , となり,それぞれ

det(DS¹_h) = 1, det(DS_h²) = 1,

となるので, Symplectic Euler法のスキーム Sh: (qn, pn)7→(qn+1, pn+1)は, det(DSh) = 1 を満たし,面積保存写像となる.

実際には,DS_h¹,DS_h²,DSh は, Symplectic群

Sp(N) =

M ∈M2N(R) :M^TJM =J , J = 0 I

−I 0

!

に入る. （なので, Symplectic解法と呼ぶ.）

Symplectic Euler法をH(q, p) = (1/2)(q²+p²)に適用すると, qn+1

pn+1

!

= 1 h

−h 1−h²

! qn

pn

!

となり,この行列の行列式はたしかに1となっている.

Jul. 04, 2012, Version: 1.0 [email protected]

2012年度・前期・数理解析・計算機数学２・第１２回 2

• p次のSymplectic 解法で計算すると, HamiltonianH は保存しないかわりに, ある関数H˜ が存在して,

H(q˜ n, pn) =一定値,

H(q˜ n, pn)−H(qn, pn) =O(h^p) が成り立つ.

実際H(q, p) = (1/2)(q²+p²)の時には,

H˜(q, p) = (1/2)(q²+p²+hqp) となる.

• H(q, p) =T(p) +U(q)の時により高次のSymplectic解法を構成するには,上記のS_h¹,S_h² を 合成して

S²_bkhS_c¹kh· · ·S_b²_1hS¹_c1h

を考え, パラメータ{bj}, {cj} をp次となるようにきめればよい. 実際,以下のようにきめ る方法が知られている.

★ ２階線形常微分方程式の境界値問題

• u: [0,1]−→Rに対する微分方程式の境界値問題

u^′′(x) +cu(x) =f(x), x∈(0,1),

u(0) =u(1) = 0 (1)

を離散変数法を用いて数値的に解くことを考える.

• 定義域の区間[0,1]を N 等分して, xk =kh, (h= 1/N)での厳密解の値u(xk)の近似値を uk と書く. この時,２階微分u^′′(x)を

u^′′(x)∼ u(x+h)−2u(x) +u(x−h) h²

と差分化する. これは,

u^′(x)∼u(x+h)−u(x) h

∼u(x)−u(x−h) h

u^′′(x)∼u^′(x+h)−u^′(x) h

と考えて導出したものである.

• したがって,方程式を差分化すると,

u(xk+1)−2u(xk) +u(xk−1)

h² +cu(xk) =f(xk) uk+1−2uk+uk−1

h² +cuk =fk

となる. ここで,この式はk= 1, . . . , N−1 に対して成り立つ式である.

Jul. 04, 2012, Version: 1.0 [email protected]

2012年度・前期・数理解析・計算機数学２・第１２回 3

• ここで,境界条件u(0) =u(1) = 1は,

u0=uN = 0 と書き直せるので,解くべき式は

u2−2u1

h² +cu1=f1, uk+1−2uk+uk−1

h² +cuk=fk, k= 2, . . . , N−2,

−2uN−1+uN−2

h² +cuN−2=fN−2

(2)

となり,未知ベクトルU = (uk)に対する連立一次方程式となる.

• いま,

A=



















−2 1

1 −2 1

. .. ... ...

1 −2 1

1 −2



















と書くと, (2) は

1

h²A+cE

U =F (3)

と書き直すことができる. したがって,２階線形常微分方程式の境界値問題(1) を離散変数 法で解くことは,連立一次方程式(3)を解くことに帰着できた.

● 実習内容

1. （★★★）連立一次方程式











3x+ 12y+ 9z= 3 2x+ 5 y+ 4z= 4

−x+ 3 y+ 2z= 5

を,はき出し法およびGauss の消去法で解くプログラムを書きなさい.

2. （★★★）連立一次方程式











2x+ 2y+ z= 3 x+ y+ 2z= 4 y+ z= 5

を,はき出し法およびGauss の消去法で解くプログラムを書きなさい.

Jul. 04, 2012, Version: 1.0 [email protected]