素粒子物理学

素粒子物理学

2013年8月 2014年4月改定

𝑆𝐿(2, 𝐶) ≅ 𝑂(3,1)

• 𝑆𝑈 2 ≅ 𝑆𝑂 3 （回転）に対し、 𝑆𝐿(2, 𝐶) ≅ 𝑂(3,1) （ローレンツ変換＝回転＋

等速推進）

• 時空点𝑥 = (𝑥⁰, 𝒙) を、次のエルミート行列に対応させる。

• 𝑋 𝑥 = 𝑥⁰ + 𝑥³ 𝑥¹ − 𝑖𝑥²

𝑥¹ + 𝑖𝑥² 𝑥⁰ − 𝑥³ = 𝑥⁰𝜎⁰ + 𝑥¹𝜎¹ + 𝑥²𝜎² + 𝑥³𝜎³

• detX = 𝑥^{0 2} − 𝑥^𝑘𝑥^𝑘 をノルムとすると𝑥は(1,3)型Minkowski空間となる。

• 変換𝑋 → 𝑋^′ = 𝑀^†𝑋𝑀, 𝑀 ∈ 𝑆𝐿(2, 𝐶)を考える。

• 𝑋′ ^† = 𝑀^†𝑋𝑀 ^† = 𝑀^†𝑋^†𝑀 = 𝑀^†𝑋𝑀 = 𝑋′ より、𝑋′ はエルミート。また、

det𝑋^′ = det𝑀^† det𝑋 det𝑀 = det𝑋 より、𝑀 はLorentz変換に対応する。

• パラメータ（次元）は６（回転３、ブースト（並進）３）

• 行列𝑀と−𝑀は同じ変換→𝑆𝐿(2, 𝐶)/𝑍₂ ≅ 𝑂(3,1)

• 慣性系Kから、単位ベクトル𝑣の方向に速度𝑣 = tanh𝜃で動く慣性系K’へのブー スト（等速推進）は、𝑃 = exp 𝜃/2 𝒗 ∙ 𝝈 = cosh 𝜃 2 I + sinh(𝜃/2) 𝒗 ∙ 𝝈

𝑆𝑈(2)

＝ ＋

𝑆𝐿 𝑛, 𝐶 = 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛, 𝐶 det𝐴 = 1 複素特殊線型群

ローレンツ変換

• 反変４元ベクトル𝑥^𝜇 = (𝑥⁰, 𝑥¹, 𝑥² , 𝑥³)

• 𝐿^𝜇_𝜈によって変換→𝑥^′𝜇 = 𝐿^𝜇_𝜈𝑥^𝜈 逆変換は、𝑥^𝜇 = 𝑥^′𝜈𝐿_𝜈^𝜇

• 時空座標、エネルギー運動量ベクトル（４元運動量） 𝐸, 𝑝_𝑥, 𝑝_𝑦, 𝑝_𝑧

• 共変４元ベクトル 𝑥_𝜇 = 𝑥⁰, −𝑥¹, −𝑥² , −𝑥³ = 𝑔_𝜇𝜈𝑥^𝜈, 𝑔_𝜇𝜈 =

1 0 0 −1

0 0 0 0 0 0

0 0

−1 0 0 −1

• 𝐿_𝜇^𝜈によって変換→𝑥_𝜇′ = 𝐿_𝜇^𝜈𝑥_𝜈 逆変換は、𝑥_𝜇 = 𝑥_𝜈^′𝐿^𝜈_𝜇

• 2つの反変４元ベクトル 𝑎^𝜇と𝑏^𝜇のスカラー積 𝑔_𝜇𝜈𝑎^𝜇𝑏^𝜈 = 𝑎_𝜇𝑏^𝜇 = 𝑎⁰𝑏⁰ − 𝑎^𝑘𝑏^𝑘 は Lorentz変換の下で不変。

• ∆𝑥^𝜇 = (Δ𝑥⁰, Δ𝑥¹, Δ𝑥² , Δ𝑥³)が時空座標の変化を表すとき、 ∆𝑠 ² = 𝑔_𝜇𝜈Δ𝑥^𝜇Δ𝑥^𝜈 = Δ𝑥^{0 2} − Δ𝑥^{1 2} − Δ𝑥^{2 2} − Δ𝑥^{3 2}を「不変距離の２乗」という。

• 𝜙 をスカラー関数とするとき、

• 𝜕^𝜇𝜙 = ^𝜕𝜙

𝜕𝑥_𝜇 = ^𝜕𝜙

𝜕𝑡 , −𝜵𝜙 は反変ベクトル

• 𝜕_𝜇𝜙 = ^𝜕𝜙

𝜕𝑥^𝜇 = ^𝜕𝜙

𝜕𝑡 , 𝜵𝜙 は共変ベクトル

ローレンツ変換の例

• z(x⁽³⁾)軸まわりのθ回転 𝐿^𝜇_𝜈 =

1 0

0 cos𝜃

0 0

sin𝜃 0 0 −sin𝜃

0 0

cos𝜃 0

0 1

• Z軸方向に速度𝛽 = tanh 𝜃 で等速推進(boost) 𝐿^𝜇_𝜈 =

coshθ 0

0 1

0 −sinhθ

0 0

0 0

−sinhθ 0

1 0

0 coshθ

ローレンツ群 𝑂(𝑚, 𝑛 − 𝑚) の４つの連結成分

• 𝐴 = 𝐵 𝑇

𝑆 𝐶

, （

𝐴

は

𝑛 × 𝑛

行列、

𝐵

は

𝑚 × 𝑚

行列）とすると、

• 𝑂 𝑚, 𝑛 − 𝑚 ₀ = {𝐴 ∈ 𝑂(𝑚, 𝑛 − 𝑚)| det 𝐵 = det 𝐶 ≥ 1}

• 𝑂 𝑚, 𝑛 − 𝑚 ₁ = {𝐴 ∈ 𝑂(𝑚, 𝑛 − 𝑚)| det 𝐵 = det 𝐶 ≤ −1}

• 𝑂 𝑚, 𝑛 − 𝑚 ₂ = {𝐴 ∈ 𝑂(𝑚, 𝑛 − 𝑚)| det 𝐵 = −det 𝐶 ≤ −1}

• 𝑂 𝑚, 𝑛 − 𝑚 ₃ = {𝐴 ∈ 𝑂(𝑚, 𝑛 − 𝑚)| det 𝐵 = −det 𝐶 ≥ 1}

𝑆𝑂(𝑚, 𝑛 − 𝑚) の２つの連結成分は、𝑂 𝑚, 𝑛 − 𝑚 ₀, 𝑂 𝑚, 𝑛 − 𝑚 ₁ である。

Pauli行列の変換

• I = 𝜎⁰

とおき、

𝜎^𝜇 = 𝜎⁰, 𝜎¹, 𝜎², 𝜎³ , 𝜎^𝜇 = 𝜎⁰, −𝜎¹, −𝜎², −𝜎³

と おくと、

• 𝑋 𝑥 = 𝑥⁰𝜎⁰ + 𝑥^𝑘𝜎^𝑘 = 𝑥_𝜇𝜎^𝜇, 𝑋^′ 𝑥^′ = 𝑥_𝜇′ 𝜎^𝜇

• 𝑀^†𝑋^′𝑀 = 𝑋

に代入→

𝑥_𝜇′𝑀^†𝜎^𝜇𝑀

=

𝑥_𝜇′𝐿^𝜇_𝜈𝜎^𝜈

ここで

𝑥_𝜇′

は任意 より、

𝑀^†𝜎^𝜇𝑀

=

𝐿^𝜇_𝜈𝜎^𝜈

• 𝑋₁ 𝑥 = 𝑥⁰𝜎⁰ − 𝑥^𝑘𝜎^𝑘 = 𝑥_𝜇𝜎^𝜇, 𝑋₁^′ 𝑥^′ = 𝑥_𝜇′𝜎^𝜇

• 𝑁^†𝑋^′𝑁 = 𝑋

に代入→

𝑥_𝜇′𝑁^†𝜎^𝜇𝑁

=

𝑥_𝜇′𝐿^𝜇_𝜈𝜎^𝜈

ここで

𝑥_𝜇′

は任意よ

り、

𝑁^†𝜎^𝜇𝑁

=

𝐿^𝜇_𝜈𝜎^𝜈

Euler-Lagrangeの運動方程式

•

Lagrangian

𝐿 = 𝑇 − 𝑉

•

変分原理

𝛿 _𝑡

1

𝑡₂

𝐿 𝑞, 𝑞 𝑑𝑡 = 0

より、

• ^𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 𝑞 − ^𝜕𝐿

𝜕𝑞 = 0

𝜕𝐿

𝜕𝑞

𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 𝑞

Klein-Gordon方程式

•

自由粒子の分散関係

𝐸² = 𝑝² + 𝑚²

を量子化（

𝐸 → 𝑖 ^𝜕

𝜕𝑡 , 𝑝 → −𝑖𝛻

)

→

− ^𝜕2

𝜕𝑡² + 𝛻² − 𝑚² 𝜙 = 0

または

−𝜕_𝜇𝜕^𝜇𝜙 − 𝑚²𝜙 = 0 𝜙(𝑥) = 𝜙 𝑥⁰, 𝒙

は実スカラー場

これをみたすラグランジアン密度

ℒ

は、

ℒ = 1

2 𝜕_𝜇𝜙𝜕^𝜇𝜙 − 𝑚²𝜙²

・質量

𝑚

のスカラー粒子を記述すると解釈（Higgs,

𝜋⁰

等）

・複素スカラー場

Φ = ¹

2 𝜙₁ + 𝑖𝜙₂

に対する

ℒ

は、

ℒ = 𝜕_𝜇Φ^∗𝜕^𝜇Φ − 𝑚²Φ^∗Φ

Maxwell の方程式

𝜵 ∙ 𝑬 = 𝜌

𝜀₀ ⋯ (1)

𝜵 ∙ 𝑩 = 0 ⋯ (2)

𝜵 × 𝑬 = − 𝜕𝑩

𝜕𝑡 ⋯ (3)

𝜵 × 𝑩 = 𝜇₀𝒋 + 1 𝑐²

𝜕𝑬

𝜕𝑡 ⋯ (4)

𝜌: 電荷密度 𝒋: 電流密度

𝜀₀: 真空の比誘電率 𝜇₀: 真空の比透磁率 𝑐 ≔ ¹

𝜀₀𝜇₀ 光速度

𝑬: 電場

𝑩: 磁束密度（磁場）

𝜵 ∙ 𝑬: 𝑬の発散

𝜵 × 𝑬: 𝑬の回転

ベクトルは太字にするか、

または文字の上に矢印をつ けて表す

電磁ポテンシャル

• スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルAを導入

• 𝑩 = 𝜵 × 𝑨, 𝑬 = −𝜵𝜙 − ^𝜕𝑨

• 四元ポテンシャル（電磁ポテンシャル）𝜕𝑡 𝐴^𝜇 = 𝜙, 𝑨

• 反対称テンソル（電磁場テンソル）

𝐹^𝜇𝜈 = 𝜕^𝜇𝐴^𝜈 − 𝜕^𝜈𝐴^𝜇 =

0 −𝐸_𝑥 𝐸_𝑥 0

−𝐸_𝑦 −𝐸_𝑧

−𝐵_𝑧 𝐵_𝑦 𝐸_𝑦 𝐵_𝑧

𝐸_𝑧 −𝐵_𝑦

0 −𝐵_𝑥 𝐵_𝑥 0

を用いると、Maxwell方程式は

• 𝜕^𝜆𝐹^𝜇𝜈 + 𝜕^𝜈𝐹^𝜆𝜇 + 𝜕^𝜇𝐹^𝜈𝜆 = 0, 𝜕_𝜇𝐹^𝜇𝜈 = 𝐽^𝜈 (= 𝜌, 𝑱 )

• これをみたすラグランジアン密度 ℒ は、

• ℒ = −¹

4 𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈 − 𝐽^𝜇𝐴_𝜇

𝜀₀ = 𝜇₀= 1の単位系

２ｘ２ ３＋１

𝜕^𝑖𝐴^𝑗 − 𝜕^𝑗𝐴^𝑖 → 𝜵 × 𝑨

𝜕⁰𝐴^𝑖 − 𝜕^𝑖𝐴⁰ = 𝜕𝑨

𝜕𝑡 + 𝜵𝜙

𝜕^𝜇𝜙 = ^𝜕𝜙

𝜕𝑥_𝜇 = ^𝜕𝜙

𝜕𝑡 , −𝛻𝜙 反変ベクトル

𝜕_𝜇𝜙 = ^𝜕𝜙

𝜕𝑥^𝜇 = ^𝜕𝜙

𝜕𝑡 , 𝛻𝜙 共変ベクトル

電磁ポテンシャルとMaxwell方程式

四元ポテンシャル（電磁ポテンシャル）𝐴^𝜈 = 𝜙, 𝑨 を用いて電場Eと磁場Bを表す

• 𝑩 = 𝜵 × 𝑨, 𝑬 = −𝜵𝜙 − ^𝜕𝑨

𝜕𝑡

Maxwellの方程式の

• 𝜵 ∙ 𝑩 = 𝜵 ∙ 𝜵 × 𝑨 = 0 ⋯ (2) および

• 𝜵 × 𝑬 + ^𝜕𝑩

𝜕𝑡 = −𝜵 × 𝜵𝜙 − 𝜵 × ^𝜕𝑨

𝜕𝑡 + ^𝜕

𝜕𝑡 𝜵 × 𝑨 = 𝟎 ⋯ (3) は自動的に満たされる Lorentzゲージ→ 𝜕_𝜇𝐴^𝜇 = ^𝜕𝜙

𝜕𝑡 + 𝛻 ∙ 𝑨 = 0を用いると、

• 𝜵 ∙ 𝑬 = −𝜵 ∙ 𝜵𝜙 − ^{𝜕𝜵∙𝑨}

𝜕𝑡 = ^𝜕2

𝜕𝑡² − ∆ 𝜙 = 𝜕_𝜇𝜕^𝜇𝜙 = 𝜌 ⋯ (1)

• 𝜵 × 𝜵 × 𝑨 − ^𝜕𝑬

𝜕𝑡 = 𝜵 𝜵 ∙ 𝑨 − ∆𝑨 + ^𝜕𝜵𝜙

𝜕𝑡 + ^𝜕2𝑨

𝜕𝑡² = ^𝜕2

𝜕𝑡² − ∆ 𝑨 = 𝜕_𝜇𝜕^𝜇𝑨 = 𝑱 ⋯ (4) 四元電流 𝐽^𝜈 = 𝜌, 𝑱 を用いると、(1),(4)は

▢𝐴^𝜈 = 𝐽^𝜈(▢ ≡ 𝜕_𝜇𝜕^𝜇) と表される。

ゲージ変換

•

大域的

(global)

ゲージ変換

𝜓(𝑥) → 𝑒^−𝑖𝛼𝜓(𝑥)

（

𝛼

は定数）

•

局所的

(local)

ゲージ変換

𝜓(𝑥) → 𝑒^{−𝑖𝑞𝜒 𝑥} 𝜓(𝑥)

（

𝜒(𝑥)

はスカ ラー場）

•

ディラックラグランジアン

𝜓 𝑖𝛾^𝜇𝜕_𝜇 − 𝑚 𝜓

を局所的ゲージ変換 のもとで不変にしたい。

•

粒子の運動

(𝑝_𝜇= 𝑖𝜕_𝜇)

と電磁場（4元ポテンシャル

𝐴^𝜇

）との相 互作用を入れ（

𝑝_𝜇 → 𝑝_𝜇 − 𝑞𝐴_𝜇

）、

𝐴^𝜇 → 𝐴^𝜇 + 𝜕^𝜇𝜒(𝑥)

と変換

•

このとき、電磁場テンソル

𝐹^𝜇𝜈 = 𝜕^𝜇𝐴^𝜈 − 𝜕^𝜈𝐴^𝜇

は不変

•

クーロンゲージ→

𝜵 ∙ 𝑨 = 0

•

Lorentzゲージ→

𝜕_𝜇𝐴^𝜇 = 0

ディラック方程式

• 線型のハミルトニアン 𝐻 = 𝜶 ∙ 𝒑 + 𝛽𝑚 = −𝑖𝜶 ∙ 𝜵 + 𝛽𝑚 を仮定

• Schrodinger方程式 𝑖 ^𝜕𝜓

𝜕𝑡 = 𝐻𝜓 に代入すると、

𝑖 ^𝜕

𝜕𝑡 + 𝑖𝜶 ∙ 𝜵 − 𝛽𝑚 𝜓 = 0 ラグランジアン密度ℒ = 𝜓^† 𝑖 ^𝜕

𝜕𝑡 + 𝑖𝜶 ∙ 𝜵 − 𝛽𝑚 𝜓

• 方程式を満足する解は４ｘ４行列、

• 𝛼^𝑖 = −𝜎^𝑖 0

0 𝜎^𝑖 , 𝛽 = 0 𝜎⁰

𝜎⁰ 0 ただし、𝜎^𝑖 i = 1,2,3 はパウリ行列、𝜎⁰は ２ｘ２単位行列。（カイラル表示）

• 𝜓 = 𝜓_𝐿

𝜓_𝑅 , 𝜓_𝐿 = 𝜓₁

𝜓₂ , 𝜓_𝑅 = 𝜓₃

𝜓₄ とおく（４成分スピノール）と、

• 𝑖𝜎⁰𝜕₀𝜓_𝐿 − 𝑖𝜎^𝑖𝜕_𝑖𝜓_𝐿 − 𝑚𝜓_𝑅 = 0, 𝑖𝜎⁰𝜕₀𝜓_𝑅 + 𝑖𝜎^𝑖𝜕_𝑖𝜓_𝑅 − 𝑚𝜓_𝐿 = 0

• 𝜎^𝜇 = 𝜎⁰, 𝜎¹, 𝜎², 𝜎³ , 𝜎^𝜇 = 𝜎⁰, −𝜎¹, −𝜎², −𝜎³ を用いると、

• 𝑖 𝜎^𝜇𝜕_𝜇𝜓_𝐿 − 𝑚𝜓_𝑅 = 0, 𝑖𝜎^𝜇𝜕_𝜇𝜓_𝑅 − 𝑚𝜓_𝐿 = 0

• ℒ = 𝑖𝜓_𝐿^†𝜎^𝜇𝜕_𝜇𝜓_𝐿

+

𝑖𝜓_𝑅^†𝜎^𝜇𝜕_𝜇𝜓_𝑅 − 𝑚(𝜓_𝐿^†𝜓_𝑅 + 𝜓_𝑅^†𝜓_𝐿)

ディラック方程式

0

) (

, ,

0 ,

1 ,

1

) 1 (

) 1 (

3 1

3 1

3 1

1 3

3 1

2 2

2 2

2

















































m p

E

m p

E

p p

m p

E

m p

E

m p

E

i i

i i

i i

i



















































はテンソル積を表す。

を用いて に独立なパウリ行列

を３次元化 示 パウリ・ディラック表

表示 とおくのが、カイラル

ディラック表示 とおくのが、パウリ・

ウリ行列 これを満たすのは、パ

になるので、

両辺を２乗して １次元の場合

線形化





  ⁰

,

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0 0

5 1

1

0 3

3

2

2 3

3









 











 



 



 



 



 















 













 





 





 



 





 





































 

 











 



m i

x t

x m i t

m p E

I I I

I I I

i

m p i E

i i i i i

i i

i i

i i

と表すと、

量子化すると、

）、

とおくと（ガンマ行列

関数が隠れている）

を掛ける（右には波動 左から

2017/8/20

スピノール

以下の性質を持つ行列 𝑀, 𝑁 ∈ 𝑆𝐿(2, 𝐶) を与える。

𝑀^†𝜎^𝜈𝑀 = 𝐿^𝜈_𝜇𝜎^𝜇, 𝑁^†𝜎^𝜈𝑁 = 𝐿^𝜈_𝜇𝜎^𝜇 ただし、𝑀^†𝑁 = 𝑁^†𝑀 = 𝐼 これらを用いて、２成分スピノール𝜓_𝐿, 𝜓_𝑅 の変換を

𝜓_𝐿^′ 𝑥^′ = 𝑀𝜓_𝐿 𝑥 （左手型スピノール）

𝜓_𝑅^′ 𝑥^′ = 𝑁𝜓_𝑅 𝑥 （右手型スピノール）

と定義することで、ラグランジアン密度の形を不変にする。

• z(x⁽³⁾)軸まわりのθ回転 𝐿^𝜇_𝜈 =

1 0

0 cos𝜃

0 0

sin𝜃 0 0 −sin𝜃

0 0

cos𝜃 0

0 1

に対応するMは、𝑀 = 𝑒^𝑖𝜃/2 0

0 𝑒^{−𝑖𝜃/2} = 𝑁

• Z軸方向に速度𝛽 = tanh 𝜃 で等速推進(boost) 𝐿^𝜇_𝜈 =

coshθ 0

0 1

0 −sinhθ

0 0

0 0

−sinhθ 0

1 0

0 coshθ

に対応するMは、𝑀 = 𝑒^𝜃/2 0

0 𝑒^−𝜃/2 = 𝑁⁻¹

パリティ変換（空間反転）

• 𝑟 → 𝑟^′ = −𝑟, 𝛻 → 𝛻^′ = −𝛻

とする操作をパリティ変換（空間反 転）という。（時間成分は不変）。これより

• 𝜎^𝜇𝜕_𝜇 → 𝜎^𝜇𝜕_𝜇^′ = 𝜎⁰, −𝜎^{𝑖 𝜕}

𝜕𝑡 , −𝛻 = 𝜎⁰, +𝜎^{𝑖 𝜕}

𝜕𝑡 , +𝛻 = 𝜎^𝜇𝜕_𝜇

• 𝜎^𝜇𝜕_𝜇 → 𝜎^𝜇𝜕_𝜇^′ = 𝜎⁰, +𝜎^{𝑖 𝜕}

𝜕𝑡 , −𝛻 = 𝜎⁰, −𝜎^{𝑖 𝜕}

𝜕𝑡 , +𝛻 = 𝜎^𝜇𝜕_𝜇

•

このとき、

𝜓_𝐿^𝑃 𝑟^′ = 𝜓_𝑅 𝑟 , 𝜓_𝑅^𝑃 𝑟^′ = 𝜓_𝐿 𝑟

と定義すると、ラグ

ランジアン密度は不変。

物理量に対するパリティ変換性

• 位置: —

• 質量： ＋

• 速度、加速度、運動量: —

• スピン（角運動量）： ＋

• 力： —

• 電場： —

• 磁場： ＋

• 電荷密度： ＋

• 電流密度： －

• スカラーポテンシャル： ＋

• ベクトルポテンシャル： —

空間反転の下で符号を変えるベクト ルを極性（Polar）ベクトル（V）

符号を変えないベクトルを軸性ベク トル（A）という。

ガンマ行列

•

ラグランジアン密度

ℒ = 𝜓^† 𝑖 ^𝜕

𝜕𝑡 + 𝑖𝜶 ∙ 𝜵 − 𝛽𝑚 𝜓

• 𝛽 = 𝛾⁰, 𝛽𝛼^𝑖 = 𝛾^𝑖

となる行列

𝛾^𝜇

を定義（γ行列）すると、

• ℒ = 𝜓 𝑖𝛾^𝜇𝜕_𝜇 − 𝑚 𝜓

ただし、

𝜓 = 𝜓^†𝛾⁰

•

ディラック方程式は、

𝑖𝛾^𝜇𝜕_𝜇 − 𝑚 𝜓 = 0

• 𝛾⁰ = 0 𝜎⁰

𝜎⁰ 0 , 𝛾^𝑖 = 0 𝜎^𝑖

−𝜎^𝑖 0 , 𝛾⁵ = −𝜎⁰ 0

0 𝜎⁰

（カイラル表 示）

• 𝛾⁰ = 𝜎⁰ 0

0 −𝜎⁰ , 𝛾^𝑖 = 0 𝜎^𝑖

−𝜎^𝑖 0 , 𝛾⁵ = 0 𝜎⁰

𝜎⁰ 0

（パウリ・

ディラック表示）

ガンマ行列とSO(5)

• SO(5)のリー代数（リー環）の元（生成子）は、

𝜎^𝑖 1 , 𝜎^𝑖 𝜏³, 𝜎^𝑖 𝜏¹, 1 𝜏²の10個。（𝜎^𝑖, 𝜏^𝑖は２つの独立なパウリ行列）

• ガンマ行列は、𝛾⁰ = 1 𝜏³, 𝛾^𝑖 = 𝜎^𝑖 𝑖𝜏², 𝛾⁵ = 1 𝜏¹の５個（5次元）。

• これらを合わせると、{𝜎^𝜇 𝜏^𝜇 , 𝜇 = 0,1,2,3} − {1 1} (𝜎⁰ = 𝜏⁰ ≡ 1)これら はSO(6)の生成子を表す。

ガンマ行列の構造

• “わたし”（単位行列）を世界に投げ込む→ γ⁰とγ⁵

• ３つのパウリ行列がγⁱ として「凝縮化」

• γ⁰とγ⁵の取り方が対化（パウリ・ディラック表示とWeyl 表示）。

1（単位行列）

σ¹

σ² σ₃

パウリ・ディラック表示

テンソル積によって単 位行列を埋め込む

𝛾⁵ = 1 𝜏¹

𝛾^𝑖 = 𝜎^𝑖 𝑖𝜏² (𝑖 = 1,2,3)

𝛾⁰ = 1 𝜏³

双一次形式

• 𝜓𝜓 = 𝜓_𝐿^†𝜓_𝑅 + 𝜓_𝑅^†𝜓_𝐿： スカラー →空間反転で符号を変えない

• 𝑖 𝜓𝛾⁵𝜓 = 𝑖 𝜓_𝐿^†𝜓_𝑅 − 𝜓_𝑅^†𝜓_𝐿 : 擬スカラー →空間反転で符号を変える

• 𝜓𝛾^𝜇𝜓 = 𝜓_𝐿^†𝜎^𝜇𝜓_𝐿 + 𝜓_𝑅^†𝜎^𝜇𝜓_𝑅： （反変）ベクトル →空間反転で空間 的成分が符号を変える

• 𝜓𝛾⁵𝛾^𝜇𝜓 = 𝜓_𝐿^†𝜎^𝜇𝜓_𝐿 − 𝜓_𝑅^†𝜎^𝜇𝜓_𝑅： （反変）軸性ベクトル →空間反転 で空間的成分の符号が変わらない。

）

^{ローレンツ不変}

）

^{ベクトルと同様に変換}

CP不変性

•

強い相互作用および電磁相互作用において、C（荷電共役変換）お よびP（空間反転）は保存（C不変性、P不変性）

•

弱い相互作用においてはCもPも破れている。CPは保存？→実は破 れている！

𝜋⁺

𝜈 𝜈

𝜋⁻

𝜇⁺ スピン1/2 スピン0 スピン1/2

C変換 ヘリシティ －

（左巻き）

ヘリシティ ＋

（右巻き）

𝜋⁺ 𝜇⁺

P変換

P変換

C変換 CP変換

𝜋⁻ 𝜈

𝜇^‐ 𝜇^‐

𝜈

右巻きニュートリノ は存在しない

𝜈

左巻き反ニュートリノ は存在しない

右巻き反ニュートリノ→OK