複素数全体の集合をC で表す1

Lecture 1

1 ^複素数

1.1 複素数

2乗して−1になる数をiで表し,この数を虚数単位(imaginary unit)という。iはi² =−1 をみたす。z =x+iy (x, yは実数)の形で表される数を複素数(complex number)という。

実数xはx+i0という形の複素数と同一視される。複素数z =x+iyに対し, xをzの実 部(real part)といいRezと書く。 yをzの虚部(imaginary part)といいImzと書く。実 部が0の複素数z =iyを純虚数(pure imaginary number)という。複素数全体の集合をC で表す¹。

複素数の相等 2つの複素数z₁ =x₁ +iy₁, z₂ =x₂ +iy₂が等しいz₁ =z₂とは，x₁ =x₂ およびy₁ =y₂であることと定義する．z =x+iyと実数の組(x, y)は1対1に対応する．

複素数の和,積 複素数の和と積に対して以下の規則を定める。

複素数z₁ =x₁ +iy₁とz₂ =x₂ +iy₂の和z₁+z₂と積z₁z₂を, 実数の和、積と同様に 交 換則、結合則及び分配則を用いて計算する．ただし途中でi²が現れた場合それを−1とお く．例えば複素数z₁ =x₁+iy₁, z₂ =x₂+iy₂の和と積は

z₁+z₂ = (x₁+x₂) +i(y₁+y₂) (1.1) z₁z₂ = (x₁+iy₁)(x₂+iy₂)

= (x₁x₂−y₁y₂) +i(x₁y₂+x₂y₁) (1.2) と定義される. 複素数の和、積について以下の計算規則が成り立つ．

(a) 加法についての交換則、結合則

z1+z2 = z2+z1, (1.3)

(z₁+z₂) +z₃ = z₁+ (z₂+z₃) (1.4)

1記号: N={1,2,· · · }: 自然数全体の集合, Z={0,±1,±2,· · · }: 整数全体の集合, Q: 有理数全体の集 合, R: 実数全体の集合，C: 複素数全体の集合

(b) 乗法についての交換則、結合則

z₁z₂ = z₂z₁, (1.5)

(z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃) (1.6) (c) 分配則

z1(z2+z3) =z1z2+z1z3 (1.7) (d) 加法、乗法に関する単位元0,1

z+ 0 = z (1.8)

z1 = z (1.9)

(e) 加法 乗法についての逆元(−z),z⁻¹ = ¹_zの存在. (z⁻¹についてはz ̸= 0の場合のみ存 在する。)

z+ (−z) = 0, z· 1

z = 1 (z ̸= 0) (1.10)

z =x+iyに対し,z⁻¹ =u+ivとおくと

(x+iy)(u+iv) = xu−yv+i(yu+xv) = 1 (1.11) をみたす。これより

xu−yv = 1

yu+xv = 0 (1.12)

となる。これを解くと

u = x

x²+y² (1.13)

v = −y

x²+y² (1.14)

となる。したがって

z⁻¹ = x

x²+y² +i −y

x²+y² (1.15)

を得る。

二つの複素数z₁ =x₁+iy₁,z₂ =x₂+iy₂の差は

z₁ −z₂ =z₁+ (−z₂) = (x₁−y₁) +i(x₂ −y₂) (1.16) と定義される。さらにz₁をz₂(̸= 0)で割った商は

z₁ z2

= z₁z₂⁻¹

= x₁x₂+y₁y₂

x²₂+y²₂ +iy₁x₂ −x₁y₂

x²₂+y₂² (1.17)

で定義される。

1.2 ^複素平面

複素平面 複素数z=x+iyに対して 実数の組(x, y)が定まる。この組をxy 座標平面上 の点に対応させる。複素数を表示する座標平面を複素数平面(複素平面, complex plane) またはGauss平面といい、横、縦の座標軸をそれぞれ実軸(real axis),虚軸(imaginary axis)と呼ぶ。

O

(x,y)

(x,-y) z

z

Figure 1.1: 複素平面

z =x+iyを表す複素平面上の点をP(x, y)とする。点Pの位置ベクトルは−→

OP = ( x

y )

と表される。複素数z₁に対応する点をP₁,z₂に対応する点をP₂とする．複素数の和z₁+z₂ に対してベクトルの和−−→

OP1+−−→

OP2が対応する．

−−→OP₁+−−→

OP₂ = ( x₁

y₁ )

+ ( x₂

y₂ )

=

( x₁+x₂ y₁+y₂

)

(1.18)

z 1 z

2 z + z

1 2

Figure 1.2: 複素数の加法

ベクトル−→

OP の大きさ|−→

OP| = √

x²+y² をzの絶対値(absolute value)といい|z|で 表す．

|z|=√

x²+y² (1.19)

二つの複素数z₁ =x₁+iy₁, z₂ =x₂ +iy₂ に対応する位置ベクトルを−−→

OP₁, −−→

OP₂ とす ると,P₁とP₂間の距離|−−→

P₁P₂|は

|z1−z2|=√

(x1−x2)²+ (y1−y2)² (1.20) で与えられる．

複素数の絶対値に関して以下の式が成り立つ．

1.

|z|² = (Rez)²+ (Imz)² (1.21) 2.

|z| ≥ |Rez|, |z| ≥ |Imz| (1.22)

複素共役: 複素数z = x+iyに対し、z¯ = x−iyをz の複素共役(ふくそきょうやく, complex conjugate)と呼ぶ. 複素共役に関して以下の式

Rez = z+ ¯z

2 , Imz = z−z¯

2i , (1.23)

¯

z = z (1.24)

z₁±z₂ = z¯₁±z¯₂, z₁z₂ = ¯z₁z¯₂ (1.25)

|z|² = zz¯ (1.26)

が成り立つ。(1.26)から

|z₁z₂|² =z₁z₂z¯₁z¯₂ =|z₁|²|z₂|² (1.27) となり

|z₁z₂|=|z₁||z₂| (1.28) が成り立つ。

三角不等式 複素平面上の3つの点z₁,z₂,z₁+z₂を頂点とする三角形を考える。3角形の 辺の長さに対して3角不等式|−→

OP| ≤ |−−→

OP₁|+|−−→

P₁P| が成り立つ。これを複素数表示で考 えると

|z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂| (1.29) となる。(1.29)式は複素数を用いると

|z₁+z₂|² = (z₁+z₂)(¯z₁+ ¯z₂)

= z₁z¯₁+z₁z¯₂ + ¯z₁z₂+z₂z¯₂

= z₁z¯₁+ 2Re(z₁z¯₂) +z₂z¯₂

≤ |z1|²+ 2|z1||z2|+|z2|² = (|z1|+|z2|)² (1.30) と証明できる。

一般にn個の複素数z₁,· · · , z_nに対し

|z₁+· · ·+z_n| ≤ |z₁|+· · ·+|z_n| (1.31) が成り立つ。

問題 1.1  (1.31)を示せ。

3角不等式

|z1|=|(z1+z2)−z2| ≤ |z1+z2|+| −z2| (1.32) より

|z₁| − |z₂| ≤ |z₁+z₂| (1.33) が成り立つ。ここでz₁とz₂を交換すると

|z₂| − |z₁| ≤ |z₁+z₂| (1.34) を得る。まとめると

||z₁| − |z₂|| ≤ |z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂| (1.35) が成り立つ．

1.3 極形式

原点Oから点P(̸= O)に向かうベクトル−→

OP の大きさをr, −→

OP がx軸となす角度をθと すると,対応する複素数z =x+iy の実部、虚部はそれぞれ

x=rcosθ, y=rsinθ (1.36)

となる．zは

z =r(cosθ+isinθ) (1.37)

と表される．(1.37)をzの極形式(polar form)という。このときr=|z|となる。角θを zの偏角(argument)といい、argzと書く²。

複素数zに対し, その大きさrは一意的に定まる。cos, sinは周期2πの周期関数であ るので,zの極形式(1.37)に対し

z =r(cos(θ+ 2nπ) +isin(θ+ 2nπ)), n = 0,±1,±2,· · · (1.38) が成り立つ．つまり0でない複素数zに対し, その偏角argzは一つには定まらず, 2πの整 数倍の不定性がある。θ = argzの値を, −π < θ ≤ πに制限したものを偏角argzの主値 (principal value)といい, Argzと書く。z(̸= 0)に対しArgzは一意的に定まる。zの偏 角argzは

argz = Argz+ 2nπ, n= 0,±1,±2,· · · (1.39)

2z= 0に対しては偏角は定義されない。

r

θ

(x,y)

Figure 1.3: 極形式

と表される。つまりargzは数というよりも, 集合{Argz,Argz±2π,· · · }を表すものと考 えた方がよい。

例 1.1 z=−1に対して

Arg(−1) =π

arg(−1) = (2n+ 1)π, n = 0,±1,±2, . . . となる。

例 1.2 z= 1−iに対して

1−i=√

2(cos(−π

4) +isin(−π 4)) より

arg(1−i) = −π

4 + 2nπ (n = 0,±1,· · ·), Arg(1−i) =−π 4 となる。

複素数z₁とz₂の極座標表示を

z₁ =r₁(cosθ₁+isinθ₁), z₂ =r₂(cosθ₂+isinθ₂) (1.40) とすると, その積z₁z₂の極座標表示は, 3角関数の公式を用いて

z₁z₂ = r₁r₂(cosθ₁cosθ₂−sinθ₁sinθ₂+i(cosθ₁sinθ₂+ cosθ₂sinθ₁))

= r₁r₂(cos(θ₁+θ₂) +isin(θ₁+θ₂)) (1.41)

となる。複素数z₁とz₂の積において, 複素数z₁にz₂を掛ける操作は, z₁の偏角をargz₂ だけ回転し，さらにその大きさを|z2|倍することを意味する。

例 1.3 i= 1(cos^π₂ +isin^π₂) より, iをzに掛けた複素数izは, 原点のまわりに点zを反時 計回りに角度^π

2 回転する操作により得られる。

位置ベクトル

( 1 0

)

(1.42) を角度θ反時計回りに回転し, その大きさをr倍拡大する変換は行列

M =r

( cosθ −sinθ sinθ cosθ

)

(1.43) で表される:

( 1 0

)

→

( rcosθ rsinθ

)

=M ( 1

0 )

. (1.44)

偏角の性質 (1.41)より, 複素数z₁, z₂の積z₁z₂の偏角は arg(z₁z₂) = θ₁+θ₂+ 2nπ (n∈Z) である。一方

argz₁+ argz₂ =θ₁+ 2n₁π+θ₂+ 2n₂π (n₁, n₂ ∈Z)

となる。n₁+n₂はすべての整数値をとるので,複素数z₁,z₂とその積z₁z₂の偏角に対して arg(z₁z₂) = argz₁ + argz₂ (1.45) が成り立つ．これは右辺と左辺の表す値全体が集合として等しいことを表している式で ある.

例 1.4 z̸= 0に対して

arg(z²) = argz+ argz (1.46)

であるが

arg(z²) = 2argz (1.47)

ではない。z =re^iθとおくと(1.47)の左辺は

2θ+ 2nπ n ∈Z (1.48)

であり, 一方で右辺は

2(θ+ 2mπ) = 2θ+ 4mπ m∈Z (1.49)

となり, 両辺の表す値が集合として異なっている。

例 1.5 複素数z₁, z₂に対して(1.45)が成り立つが, それを偏角の主値に変えた式

Arg(z₁z₂) = Argz₁+ Argz₂ (1.50) は必ずしも成立しない。例えばz₁ =−1, z₂ =iのときz₁z₂ =−iより(1.50)の左辺=−^π₂ だが, 右辺はπ+ ^π₂ = ^3π₂ となり, 値が異なる。

z ̸= 0のときz⁻¹が定義される。z⁻¹の極座標表示は, zz⁻¹ = 1より z⁻¹ = 1

r(cos(−θ) +isin(−θ)) (1.51) となる。従って

arg(z⁻¹) = −argz (1.52)

である。^z1

z2 =z₁·z₂⁻¹より

argz₁

z₂ = argz1−argz2 (1.53)

が成り立つ.

Eulerの公式 偏角θの関数f(θ) = cosθ+isinθは

f(0) = 1 (1.54)

f(θ₁+θ₂) = f(θ₁)f(θ₂) (1.55) df(θ)

dθ =if(θ) (1.56)

を満たす。これは指数関数e^kθにおいてk =iとおいたものと同じ関係式

e^k0 = 1 (1.57)

e^k(θ1+θ2)=e^kθ1e^kθ2 (1.58) d

dθe^kθ =ke^kθ (1.59)

を満たしている。実際

e^iθ = cosθ+isinθ (1.60)

が成り立つ. (1.60)はEulerの公式と呼ばれる。(1.60)は指数関数及び3角関数のべき級 数展開

e^x =

∑∞ n=0

xⁿ

n! (1.61)

sinx=

∑∞ n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! (1.62)

cosx=

∑∞ n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! (1.63)

を用いて証明できる。

問題 1.2 f(θ) = cosθ+isinθについて 1. (1.54)–(1.56)を確かめよ。

2. (1.60)をべき級数展開(1.61)-(1.63)を用いて確かめよ。

Eulerの公式を用いると複素数の極形式は簡潔に

z =re^iθ (1.64)

と書くことができる。

1.4 べき乗とべき根

複素数zの極表示z=re^iθに対し, そのn乗は

zⁿ =rⁿe^inθ, n= 0,1,· · ·

となる。また

z⁻¹ =r⁻¹e^−iθ より

z⁻ⁿ=r⁻ⁿe^−inθ を得る。これをまとめると, 整数nに対して

zⁿ=rⁿe^inθ, n = 0,±1,· · · (1.65) が成り立つ。r= 1のときこれは(e^iθ)ⁿ =e^inθとなり,

(cosθ+isinθ)ⁿ = cosnθ+isinnθ (1.66) が成り立つ。(1.66)はde Moivre’s (ドモアブル)の公式と呼ばれる。

1のn乗根 自然数n = 1,2,· · · に対して, zの方程式zⁿ = 1の解を1のn乗根(n-th root of unity)という．この解を極表示でz =re^iθと表すと

zⁿ =rⁿe^inθ = 1 となる。rは上式の絶対値を取ることにより

r= 1 となる。するとe^inθ = 1より

nθ= 2kπ, k= 0,±1,· · · となる．従ってzⁿ = 1の解は

z =e^i2kπn = exp (

i2kπ n

)

(1.67) となる．この中でk= 0,1,· · · , n−1に対応するものが独立である．

例 1.6 1の2乗根は+1, −1 例 1.7 1の3乗根は

1, e^2πi3 =−1 2+

√3i

2 , e^−2πi3 =−1 2−

√3i 2

同様にz₀ =r₀e^iθ0 のn乗根を求めることができる。方程式zⁿ =z₀にz =re^iθを代入 すると

rⁿ =r₀, nθ=θ₀+ 2kπ (k ∈Z) を得る。これより

r=ⁿ√

r0, θ = θ₀+ 2kπ n となり

z =ⁿ√ r₀exp

(

iθ0+ 2kπ n

)

を得る。

例 1.8 (−8i)¹³ を求める。| −8i|= 8, arg(−8i) = −^π₂ + 2kπ (k = 0,±1, . . .)より (−8i)¹³ = 2 exp

(i 3(−π

2 + 2kπ) )

= 2 exp(−iπ

6 ) exp(2ikπ

3 ), k∈Z となる。exp(−^iπ₆) = ^√3₂⁻ⁱ より

2 exp(−iπ 6 ) =√

3−i, k= 0の場合 2 exp(−iπ

6 ) exp(2i

3) = (√

3−i)−1 +√ 3i

2 = 2i, k = 1の場合 2 exp(−iπ

6 ) exp(4i

3) = (√

3−i)−1−√ 3i

2 =−√

3−i, k = 2の場合 となる。

問題 1.3 (√

3 +i)^1/2を求めよ。

1.5 ^補足: ^{拡大複素平面}

複素数の平面において無限遠点∞を考えるとしばしば便利である。複素平面Cに∞で表 される無限遠点を付け加えた平面C¯ =C∪{∞}を拡大複素平面(extended complex plane) という。

O N

P

z

Figure 1.4: Riemann球面

Riemann球面 拡大複素平面を幾何学的に具体化するために,原点を中心とする単位球

を考え,球の北極Nと球面上の点Pを通る直線がxy平面と交わる点をzとする。無限遠点 z =∞と対応する点は北極点Nとなる. この対応(立体射影(sterographic projection)) で拡大複素平面と球面は1対1に対応する．この球面をRiemann球面という．

3次元空間(x₁, x₂, x₃)を考える。半径1の原点を中心とする単位球は

x²₁+x²₂+x²₃ = 1 (1.68) で表される。北極N(0,0,1)と球面上の点P(x₁, x₂, x₃)を通る直線は

x^′₁ =tx₁, x^′₂ =tx₂, x^′₃ = 1 +t(x₃−1) (1.69) で表される。x₁−x₂面との交点はx^′₃ = 0とおいて,

t = 1 1−x₃ となり、対応する複素数は

z =x^′₁+ix^′₂ = x₁+ix₂ 1−x3

(1.70) となる。zの絶対値は

|z|² = x²₁+x²₂

(1−x₃)² = 1−x²₃

(1−x₃)² = 1 +x₃ 1−x₃

で与えられる。逆に解くと

x₃ = |z|²−1

|z|²+ 1 (1.71)

x₁ = z+ ¯z

1 +|z|² (1.72)

x₂ = z−z¯

i(1 +|z|²) (1.73)

となる．