論文 ひび割れ幅算定手法における付着喪失等価領域の解析的考察

論文 ひび割れ幅算定手法における付着喪失等価領域の解析的考察

壹岐 直之^*1 ・ 清宮 理^*2

要旨：ひび割れ幅を簡便に算定するための概念として付着喪失等価領域がある。付着喪 失等価領域は鉄筋とコンクリート間に付着が無いとする部分の長さであり，一般に20cm 程度とされている。しかし，鉄筋とコンクリートの付着特性は種々の要因の影響を受け，

その影響により付着喪失等価領域の長さは変化する。本論文は，鉄筋径，かぶり，およ びコンクリート強度を要因として，これらによる影響を解析的に考察したものである。

キーワード：付着喪失等価領域，ひび割れ幅，局所付着応力，数値解析，CPひび割れ幅法

1. まえがき

温度応力解析技術の向上に伴い，温度ひび割 れが発生する確率は高い精度で予測できるよう になった。しかし，実構造物における温度ひび 割れ制御では，ひび割れを完全に防止すること が困難な場合があり，現実的にはひび割れ幅を 抑制する方法が採用されることが多い。ここで，

ひび割れ幅の予測が必要になる。本来，ひび割 れ幅は局所付着特性を設定した数値解析や，鉄 筋とコンクリートを付着要素で接合したモデル による３次元有限要素法解析などによって予測 することが望ましいが，これらの方法は煩雑で ある。簡便な方法として，付着喪失等価領域:l_s を設定してひび割れ幅を予測する方法がある。

この方法は，CPひび割れ幅法にも採用されてお り，l_sにひび割れ位置での鉄筋のひずみ:ε_s^*を乗 じた値をひび割れ幅とする方法である。l_sの値 は文献¹⁾おいて種々の方法によって検討されて

おり，l_s=20cmの一定値が提案されている。

しかし，l_sは部材の条件に依存する。l_sは鉄筋 とコンクリートとの付着特性の影響を受け，付 着特性は部材の条件に左右されるからである。

例えば，コンクリート圧縮強度が低い場合は，

付着強度が低下するため，ひび割れ近傍でのす べりが大きくなり，l_sも増加する。文献¹⁾におい ても，将来研究が進んだ段階でl_sの値を見直す としている。

一方，局所付着特性に関して，島ら²⁾はマッシ ブなコンクリートに埋め込まれた異形鉄筋の付 着応力を高い精度で予測できる算定式を提案し，

筆者ら³⁾は島らの提案式をひび割れに挟まれた 部材に適用できるよう拡張した。これらの局所 付着応力に関する研究の進展によって，コンク リート内部の鉄筋のひずみ分布を高い精度で予 測することが可能となり，l_sを再検討する段階 に達したと考えている。

本論文は，筆者らが提案した局所付着応力関 係式³⁾を用いてl_sを数値解析的に算定し，鉄筋径，

かぶり，およびコンクリート圧縮強度がl_sに与 える影響について考察を行ったものである。さ らに，上述の要因をパラメータとしたl_sの定式 化を試みた。

2. 付着喪失等価領域の算定方法 2.1 局所付着応力関係式³⁾

本論文で用いた局所付着応力関係を式(1)に示 す。この式は鉄筋径（D16,19），コンクリート 圧縮強度（20～40N/mm²），コンクリートの断

面積（φ15～50cm），および境界条件（一軸引

張実験，引抜実験，両側引抜実験）を要因とし た付着実験の結果から定めたものである。この 付着実験の方法を図－１に示す。式(1)を用いた 解析結果は，一例を図－２に示すように，鉄筋 ひずみ分布の実験結果とよく一致している。

*1 若築建設（株） 事業統括本部 技術研究所 博(工) （正会員）

*2 早稲田大学 理工学部社会環境工学科 教授 工博 （正会員）

コンクリート工学年次論文集，Vol.26，No.1，2004

( )

{ }

[ ]

) (

10 1

5000 1 ln ' 73 . 0

5

3

c t t s

c s c

f f

D S S f

σ τ ε

−

⋅

⋅ +

−

⋅ +

⋅

= ⋅ (1)

こ こ に ，τ : 付 着 応 力 [N/mm²]

f_c’ : コ ン ク リ ー ト の 圧 縮 強 度 [N/mm²] Ss : 鉄 筋 の す べ り 量 [mm]

Sc : コ ン ク リ ー ト の す べ り 量 [mm]

D : 鉄 筋 径 [mm]

ε_s : 鉄 筋 ひ ず み

ft : コ ン ク リ ー ト 引 張 強 度 [N/mm²] σc: コ ン ク リ ー ト 断 面 平 均 応 力 [N/mm²]

2.2 付着喪失等価領域の解析方法

数値解析の流れを図－３に示す。解析方法は，

鉄筋コンクリート部材を，鉄筋軸を法線とする 断面要素に分割して解を求める，いわゆる一軸 モデル法である。要素分割数は1000とした。

数値解析の条件を以下に示す。鉄筋径:D13, D16, D19, D22，コンクリート圧縮強度:f_c’=10, 20, 30, 40N/mm²，かぶり:c=5, 7.5, 10cmの48ケース を検討要因とし，ひび割れ位置での鉄筋応力:σ_s^* を 鉄 筋 の 降 伏 荷 重 ま で 変 化 さ せ た 。 鉄 筋 は SD295A，ヤング係数:E_s=200kN/mm²とした。コ ンクリートは，断面積はかぶりを半径とする円 形，引張強度: f_t=0.23f_c’^2/3，ヤング係数:E_cはf_c’=10, 20,30,40N/mm²に 対 し てE_c=15,23,28,31kN/mm² とした。ここで，fc’=10N/mm²は式(1)を定めた 実験の範囲外であるが，材齢初期（2～3日程度）

に発生する内部拘束型の温度応力を想定したも のである。また，かぶりを解析要因としたのは，

コンクリートの応力状態が付着特性に影響を及 ぼす³⁾ためであり，式(1)においてコンクリート の断面平均応力を算定する際に，鉄筋１本当た りのコンクリート断面積を設定する必要がある ためである。このコンクリート断面積を算定す るための寸法を，本論文では単に‘かぶり’と

Start σ_s(0)=σ_s^*_, ε_s(0)=σ_s(0)/E_s σ_c(0)=0 _, ε_c(0)=σ_c(0)/E_s

S_s(0) の仮定

S_c(0)= {P L_b－A_sE_sS_s(0) }/(A_cE_c) i=0

τ(i)=f ( S_c(i),S_c(i),ε_s(i),σ_c(i) ) i++

i<N

σ_c(i)={P-σ_c(i)･A_s}/A_c ε_s(i)=σ_s(i)/E_s ε_c(i)=σ_c(i)/E_s

ε_s= ε_c End

Yes No

Yes No

P: 鉄筋引張荷重 L_b:付着長 D: 鉄筋径 A_s:鉄筋の断面積 E_s:鉄筋の弾性係数 A_c:コンクリートの断面積 E_c:コンクリートの弾性係数 σ_s,ε_s: 鉄筋の応力，ひずみ σ_c,ε_c: コンクリート断面平均

の応力，ひずみ S_s: 鉄筋のすべり S_c:コンクリートのすべり τ : 付着応力

dx:要素の長さ

N: 要素の数

S_s(i)=S_s(i-1) –ε_s(i-1)･dx S_c(i)=S_c(i-1) –ε_c(i-1)･dx σ_s(i)=σ_s(i-1)－4/D･τ(i-1)･dx

*1)

dx S_c(0)=∫0^Lbε_c⋅



 ⋅ − ⋅

=_AE ∫^{LbP dx AsEs}∫^{Lb s dx}

c

c 0 0

1 ε

(P AE ) (AE)dx

Lb

c c s s

s ⋅

−

=∫0 ε

*1)

dx P

部材の中央

x i

L_b

dx P

部材の中央

x i

L_b

図－３ 数値解析の方法

ひずみゲージ 鉄筋SD295A D16

150

960

162 [email protected] = 636 162

コンクリート 150

センターホールジャッキ ロードセル

供試体

[mm]

図－１ 付着実験の一例（一軸引張実験）

τ / fc'

局所付着応力 :31.2N/mm² :30cm 30cm 鉄筋径

付着長

コンクリート圧縮強度 コンクリート断面 ×

:D=19.1mm :40D ( =764mm )

0 0.2 0.4

(Ss-Sc) /D [%]

すべり :実験値 :解析値

0 1

σc / ft

コンクリート断面平均応力

荷重端からの距離[D]

0 5 10 15 20

0.4 εs [1/1000]

鉄筋ひずみ 0

1 2

図－２ 付着実験結果の一例（一軸引張実験）

称するが，実構造物においては，ひび割れに直 交する鉄筋のかぶり，あるいは鉄筋間隔の1/2 のいずれか小さい方と考えればよいであろう。

付着喪失等価領域:lsの決定方法の概念を図－

４に示す。l_sは，文献¹⁾と同様に，数値解析で求 めた鉄筋とコンクリートのひずみの差の積分値 をすべり:Sとして算定し，Sをひび割れ位置の鉄 筋ひずみ:ε_s^*で除したものとした。

本論文では付着長を40Dとした。これは，隣 接するひび割れの中央での境界条件として，鉄 筋ひずみ=コンクリートひずみとなるために必 要とされる長さである。一般に，温度ひび割れ は数m程度の間隔で発生し，先の付着長40Dを大 きく越える。また，コンクリートの引張強度が 小さい場合やかぶりが小さい場合など，本解析 で設定した条件によっては，部材の中央に新た なひび割れが生じ，付着長が40Dを下回ってし まう場合が生じたが，この場合はCPひび割れ幅 法におけるコンクリート応力開放領域の考え方 に矛盾を生じるおそれがあるため，本論文では 評価の対象にしないこととした。なお，付着長 が40D以上であれば以降で示す数値解析の結果 は変わらないが，20D程度以下の場合は，境界 条件が変わるため数値解析の結果は異なり，本 論文で示す付着喪失等価領域は適用できない。

3.数値解析の結果 3.1付着喪失等価領域

数値解析の結果を図－５に示す。数値解析に おいてコンクリート断面平均応力が引張強度を 超えた場合，つまり部材中央に新たなひび割れ が生じた場合は，その荷重以降は示していない。

本解析での付着喪失等価領域:l_sの範囲は38～

135mmであり，文献¹⁾に示される一軸モデルを

用いた検討結果の30～100mm程度よりは若干 大きく，同文献¹⁾で提案された値200mmよりは 小さな値であった。また，l_sは，ひび割れ位置 での鉄筋応力: σ_s^*の増加に伴って増加し，鉄筋 径大きいほど，コンクリート圧縮強度が低いほ どl_sの増加する割合は大きかった。鉄筋径が大 きい場合やコンクリート圧縮強度が低い場合，

つまり付着応力が弱くなる条件ではl_sが大きく なることが確認できた。

かぶり:c=100mm，ひび割れ位置での鉄筋応力:

σs*=100N/mm²における付着喪失等価領域:lsと，

鉄筋径およびコンクリート圧縮強度との関係を 図－６および図－７に示す。l_sは，鉄筋径にほ ぼ比例し，コンクリート圧縮強度の-0.5乗にほ ぼ比例することが判る。

かぶりの影響は他の条件と比較して小さかっ た。ひび割れに挟まれた部材のようにコンクリ ートの応力場が引張になる場合は，かぶりが小 ひずみ 付着喪失等価領域：

ひび割れ面からの距離：x ひび割れ面からの距離：x 鉄筋ひずみ：

コンクリートひずみ：

ひび割れ位置の鉄筋ひずみ

すべり：

0

( )

∫

= dx

S ε_s ε_c

* s

s S

l = ε

εs

c c

c σ E

ε=

*

εs

図－４ 付着喪失等価領域の決定方法

ひび割れ位置での鉄筋応力: σ_s^* [N/mm²] 付着喪失等価領域 ∫: ls = (εs-εc).dx / εs* [mm]

D13

50 100 150 200

D19

50 100 150 200

D22

0 100 200 300

50 100 150

200 10 :

20 : 30 : 40 :

50 75 100

fc' [N/mm2]

かぶり D16

:c [mm] 解析結果の

近似直線 50

100 150 200

図－５ 付着喪失等価領域の解析結果

さいほど付着応力が弱くなり³⁾，l_sは増加する。

一方，本解析ではすべりを鉄筋とコンクリート のひずみ差を積分したものと定義した。この定 義では，コンクリート断面積が小さいほどコン クリートのひずみが大きくなり，鉄筋とコンク リートのひずみ差が小さくなるため，l_sは減少 する。本解析では，上述した両者の影響が相殺 されたと考える。

図 － ５に 示 し た よ う に ， 鉄 筋 応 力: σ_s^*が50 N/mm²以上ではσ_s^*とl_sの関係はほぼ直線であり，

かぶりによる違いは無いとみなせるので，かぶ り:c=100mmでの両者の関係を l_s= A σs*+B とし て近似した。近似した係数A,Bと鉄筋径との関係 は４章（図－９）で述べる。なお，σ_s^*が50N/mm² 未満の場合は，ls=20cmとしてもひび割れ幅は 0.05mm未満であり，ひび割れ幅の予測精度は現 実的に問題にならない。

3.2 コンクリートひずみの影響

以上の解析ではすべりを鉄筋ひずみとコンク リートひずみの差の積分とした。コンクリート のひずみは，任意の断面での平均応力をコンク リートの弾性係数で除したものであり，断面内 の平均的なひずみである。しかし，ひび割れが 生じた部材でのコンクリートのひずみは，鉄筋

に近いほど大きく，コンクリート表面では断面 平均ひずみよりも小さくなる傾向があり，この 傾向はかぶりが大きいほど強い³⁾。この現象は，

ひび割れ面が鉄筋近いほど幅が狭く，コンクリ ート表面では幅が広くなる曲面を示す⁴⁾ことか らも明らかである。通常，ひび割れ幅はコンク リート表面で評価する。このため，3.1で示した 付着喪失等価領域を用いて算定したひび割れ幅 は，コンクリート表面で計測されるひび割れ幅 よりも小さく見積もるおそれがある。

任意断面でのコンクリートひずみ分布を予測 することは現時点では困難であるが，すべりの 算定においてコンクリートのひずみを無視した 場合，つまり l_s’=∫ε_s･dx / ε_s^*としたときが，付 着喪失等価領域がとりうる最大値と考えて差し 支えないであろう。l_s’の解析結果を図－８に示 す。l_s’の範囲は47～406mmであった。l_s’とl_sの差

ひび割れ位置での鉄筋応力: σ_s^* [N/mm²] 付着喪失等価領域 ∫: ls' = εs.dx / εs* [mm]

D13

100 200 300 400

D19

100 200 300 400

D22

0 100 200 300

100 200 300 400

10 : 20 : 30 : 40 :

50 75 100

fc' [N/mm2]

かぶり

D16

:c [mm] l_s = (ε ∫ _s-ε_c).dx / ε_s^* の近似直線

100 200 300 400

図－８ 付着喪失等価領域の解析結果 (すべりの算定でコンクリートひずみを無視した場合) 鉄筋径: D [mm]

付着喪失等価領域: ls [mm]

fc'[N/mm²]=10: , 20:

30: , 40:

かぶり

鉄筋応力: c=100mm : σs*=100N/mm²

D13

D16 D19

D22 ( ) σ_s^*=90N/mm²

12 16 20

0 40 80 120 160

図－６ 付着喪失等価領域と鉄筋径の関係

コンクリート圧縮強度: fc' ^-0.5 付着喪失等価領域: ls [mm]

D13: , D16:

D19: , D22:

かぶり 鉄筋応力 鉄筋径

: c=100mm : σs*=100N/mm²

( ) σ_s^*=90N/mm²

f_c'=

[N/mm40²] 30 20

10

0.15 0.2 0.25 0.3

0 40 80 120 160

図－７ 付着喪失等価領域と圧縮強度の関係

が大きくなるのは，かぶりが小さく鉄筋径が大 きい場合，コンクリート圧縮強度が小さい場合 であった。

両者の比率:l_s’/l_s の各解析条件における平均 値 を表 － １に 示 す 。l_s’/l_sは ，D13, c=100mm, f_c’=40N/mm²のとき最小値1.33，D22, c=50mm, f_c’=10N/mm²のとき最大値4.48であった。

4. 付着喪失等価領域の定式化

本章では実用に供することを目的として，付 着等価喪失領域の定式化を試みた。

4.1 定式化の方法

図－５に示したように，鉄筋応力: σ_s^*と付着 喪失等価領域: ls との関係はかぶりに関わらず 同 一 の 直 線 上 に あ る と み な せ た 。 そ の 直 線 l_s=A･σ_s^*+Bにおける定数A,Bと，鉄筋径:Dとの関 係を図－９に示す。定数Aはおよび定数Bは鉄筋 径と比例関係であり，それぞれの比例直線は一 点(D_A0, A₀)および(D_B0, B₀)で交差するとして，

(D_A0, A₀), (D_B0,B₀)を近似した。近似結果は図－９ に示した。次に，A=P(D-D_A0) +A₀，B=Q(D-D_B0)+B₀ におけるP,Qは，図－10に示したように，コン クリート圧縮強度:fc’の-0.5乗に比例するとみな せる。P,Qとf_c’^-0.5の関係の近似結果を図－10に 示した。

4.2 付着喪失等価領域の算定式

以上より，付着喪失等価領域の算定式は式(2) のようになる。

(

)

l_s =γ_c⋅ ⋅σ_s^*+ ⁽²⁾

こ こ に ，l_s :付 着 喪 失 等 価 領 域 [mm]

(

) (

)

= f ⁻ D

A _c

(

) (

)

= f ⁻ D

B _c

D : 鉄 筋 径 [mm]

fc’ : コ ン ク リ ー ト 圧 縮 強 度[N/mm²] σs*: ひ び 割 れ 位 置 の 鉄 筋 応 力[N/mm²] γc : か ぶ り に 関 す る 補 正 係 数

ここで，かぶりに関する補正係数: γ_c につい て，式(2)はすべりを鉄筋ひずみとコンクリート ひずみの差の積分として算定したlsを近似した ものであり，3.2で述べたように，l_sにひび割れ 位置での鉄筋ひずみを乗じた値は，コンクリー ト表面で計測されるひび割れ幅とは異なるおそ れがある。このため， γ_cは上述の差異を考慮し たものでなくてはならない。コンクリート断面 内でのひずみ分布が明らかになるまでは， γc の 値は表－１の値を用いればよいと考える。

式(2)で算定した l_s(cal)と，付着喪失等価領域が とりうる最大値:ls’を図－11に示す。両者はほぼ 表－１ と の比

コンクリート圧縮強度 fc’ [N/mm²] 鉄筋径

D[mm]

かぶり

c[mm] 10 20 30 40

50 ls’/ls=2.35 2.24 2.22 2.24 75 1.66 1.59 1.57 1.58 12.7

100 1.38 1.34 1.33 1.33 50 3.04 2.86 2.81 2.85 75 1.99 1.89 1.87 1.88 15.9

100 1.59 1.52 1.50 1.51 50 3.81 3.54 3.47 3.54 75 2.36 2.24 2.22 2.24 19.1

100 1.82 1.74 1.72 1.73 50 4.48 4.24 4.18 4.24 75 2.82 2.62 2.60 2.63 22.2

100 2.07 1.97 1.95 1.97 *.l = Aσ+Bss B

(D_B0, B₀)=(4.34,11.2)

における定数:

D13 D16 D19 D22

-5 0 5 10 15 20

0 20 40 60 80

鉄筋径: D [mm]

ls = A.σs* +B A

10 : 20 : 30 : 40 : f_c' [N/mm²]

における定数:

(D_A0, A₀)=(-4.51,-0.0817)

D13 D16 D19 D22

0 0.2 0.4 0.6 0.8

図－９ l_s=A･σ_s^*+BでのA,Bと鉄筋径の関係

コンクリート圧縮強度: fc' [N/mm²]

A = P

. (D+4.51)-0.0817 Pの定数:

P = 0.0813.f_c'^-0.5-0.00123

B = Q

. (D-4.34)+11.2 Q Q = 9.85.f_c'^-0.5+0.562

: P : Q

の定数:

10 20 30 40

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0 1 2 3 4 5

図－10 P,Qとコンクリート圧縮強度の関係

' _s *_s

s dx

l ⁼

∫

∫

一致した。l_s(cal)値の範囲は，D13, c=100mm, f_c’=

40N/mm², σs*=10N/mm²のときに最小値40mmか ら，D22, c=50mm, f_c’=40 N/mm², σ_s^*=20N/mm²の ときに最大値395mmであった。

式(2)で算定される付着喪失等価領域は文献¹⁾ で提案された20cmと比較して，鉄筋径D19およ びD22でかぶり50mmの場合は大きな値になる が，それら以外の場合は同程度以下の値になる。

5. まとめ

付着喪失等価領域を筆者らが提案する局所付 着応力関係式³⁾を用いて数値解析的に求め，鉄 筋径(D13～D22)，かぶり(5～10cm)，およびコン クリート圧縮強度(10～40N/mm²)が与える影響 について考察した。結果を以下にまとめる。

(1) 付着喪失等価領域の解析値は38～135mmで あった。一般的に用いられている20cmより は小さな値であった。

(2) 鉄筋径が大きいほど，あるいはコンクリート 圧縮強度が低いほど，鉄筋とコンクリートの 付着応力が低下するため，付着喪失等価領域 が大きくなることを確認した。

(3) 付着喪失等価領域の算定においてコンクリ ートのひずみを無視した場合，付着喪失等価 領域の解析値は47～406mmであり，コンクリ ートひずみを考慮した場合の1.3～4.5倍程度 になった。コンクリート表面のひび割れ幅を 予測する際に，とくにかぶりが小さい場合は 上述の倍率が大きくなるので，付着喪失等価 領域を設定するときのコンクリートひずみ の考え方に注意する必要がある。

(4) 鉄筋径，かぶり，コンクリート圧縮強度をパ ラメータとした付着喪失等価領域の算定式 を提案した。

(5) 付着喪失等価領域の値を20cm一定¹⁾とした 場合，鉄筋径が小さい場合やコンクリート圧 縮強度が高い場合はひび割れ幅を過大に算 定し，逆に，鉄筋径が大きい場合やコンクリ ート圧縮強度が低い場合，かぶりが小さい場 合は，ひび割れ幅を過小に（本論文の解析結 果によると，半分程度に）算定するおそれが あることに留意すべきと考える。

なお，本論文で示した内容は，模型実験によ って把握した局所付着応力関係式に基づいて解 析を行っているため定性的には正しいと考えて いる。ただし，式(2)の定量的な検証は，供試体 を用いた模型実験や実構造物での計測などに基 づいて今後行わなければならない。

参考文献

1) マスコンクリートの温度応力研究委員会：報告 書-温度ひび割れ幅算定方法についての提案，日 本コンクリート工学協会，1992.9

2) 島 弘，周 礼良，岡村 甫：マッシブなコンクリ

ートに埋め込まれた異形鉄筋の付着応力-すべ り-ひずみ関係，土木学会論文集，No.378/V-6， pp.165～174，1987.2

3) 壹岐直之，清宮 理：コンクリートの軸方向応力 を考慮した異形鉄筋の局所付着特性，土木学会 論文集，No.676/V-51，pp.65～76，2001.5 4) 後藤幸正，大塚浩司：引張を受ける異形鉄筋周

辺のコンクリートに発生するひび割れに関する 実験的研究，土木学会論文報告集，No.294，pp.85

～100，1980.2 ひび割れ位置での鉄筋応力: σs* [N/mm²]

付着喪失等価領域の算定値 と ∫ls(cal) ls' = εs.dx / εs* [mm]

D13

100 200 300 400

D19

100 200 300 400

D22

0 100 200 300

100 200 300 400

10 : 20 : 30 : 40 :

c=50 75 100[mm]

fc' [N/mm2]

D16

ls'の解析値 :ls(cal)

式(2)による 算定値

100 200 300 400

図－11 付着喪失等価領域の近似値