明日使える ?Kan リフトの話

明日使える ? Kan リフトの話

@alg_d 2017 年 12 月 2 日

※

(この記事ではKan拡張の知識を仮定します．)

Kan拡張の定義において、関手の向きを逆にしたものがKanリフトである．このKan リフト，(一般の2圏の中ならともかく)通常の圏論で何か役に立つのか? と思い検索して みても全然情報が見つからない^*1．そこでこのPDFでは，Kanリフトの性質を使用して 証明できる^*2圏論の定理を紹介する．(他に何か知っていたら，教えてください．)

まず，Kan拡張と同様にして以下の定義をする．

定義. C, D, U を圏，F: C −→D，E: U −→Dを関手とする．F に沿ったE の左Kan リフトとは組⟨F_†E, η⟩であって，以下の条件を満たすものである^*3．

(1) F_†Eは関手U −→C，ηは自然変換E =⇒F ◦(F_†E)である．

C

D U

η =⇒

F

E F_†E

(2) 組⟨S, θ⟩^{が同じ条件を満たす}(即ち S: U −→C は関手でθ: E =⇒F S は自然変 換) ならば，自然変換τ: F_†E =⇒ S が一意に存在してθ = F τ ◦η となる．即ち

*1恐らく最も有益(?)な情報は[1]である．

*2Kanリフトを使わない普通の証明は皆さん知っていると思います．

*3F_†Eという記法はここだけのもの．「左Kan拡張が上付きダガーなら左Kanリフトは下付きダガーで は?」という安直な考え．

1

次の等式が成り立つ．

C

D^η =⇒ U

F

E F_†E

S

τ =

C

D U

=⇒

F θ

E S

定義. C, D, U, V を圏，F: C −→D，E: U −→D，K: V −→U を関手として左Kan リフト⟨F_†E, η⟩^{が存在するとする．}

C

D U V

η =⇒

F

E F_†E

K

このとき⟨F_†E, η⟩^とK が交換するとは，K を合成して得られる次の図式も左Kan リ フトになる(即ち，⟨(F_†E)◦K, ηK⟩^がF に沿ったEK の左Kanリフトになる)ことを いう．

C

D U V

η_K

=⇒

F

E

(F_†E)◦K

K

定義. F: C −→D，E: U −→ Dを関手として左KanリフトF_†E が存在するとする．

F_†E が任意の関手K: V −→ U と交換するとき，F_†E は絶対左Kan リフトであると いう．

Kan拡張の場合と同じように次の定理が成り立つ．(同じなので証明は省略する．) 定理 1. 関手G: D−→Cに対して以下の条件は同値である．

(1) Gが左随伴を持つ．

(2) 絶対左Kanリフト⟨G_†idC, η⟩^{が存在する．}

(3) 左Kanリフト⟨G_†idC, η⟩^{が存在し，}GがG_†idC と交換する．

D

D C

C ^η =⇒

G

idC

G_†idC

G

2

またこのときG_†idC ⊣Gでありηがそのunitである．

定理 2. F: C −→D，E: U −→ Dを関手として，(絶対)左Kanリフト⟨F_†E, η⟩^が存 在すると仮定する．

C

D^η =⇒ U

F

E F_†E

このとき関手H: B −→C に対して

(絶対)左Kanリフト⟨(F H)_†E, σ⟩^{が存在する}

⇐⇒(絶対)左Kanリフト⟨H_†(F_†E), τ⟩^{が存在する} B

C

D U

=⇒^σ

F

E H

(F H)_†E

B

C

D =⇒=⇒^ητ U

F

E F_†E H

H_†(F_†E)

更に，これらが存在するとき(F H)_†E ∼=H_†(F_†E)，σ ∼= (F τ)◦ηである．

またKanリフトについては次の命題が成り立つ．

命題 3. 関手F:C −→Dが忠実充満

⇐⇒ ⟨id_C,id_F⟩^がF に沿ったF の絶対左Kanリフトになる．

C

D C

idF

=⇒

F

F id_C

証明. ⟨idC,idF⟩^が絶対左Kanリフト

⇐⇒^任意の圏X と関手G, H: X −→C，自然変換θ: F G=⇒F Hに対して，τ: G=⇒

3

H が一意に存在してF τ =θとなる．

C X

D C

F

F idC

H

G

=⇒

idF

=⇒

τ

=

C X

D C

F

H

F

G θ =⇒

⇐⇒^任意の圏X とG, H: X −→C に対して

F ◦ −: Hom_C^X(G, H)−→Hom_D^X(F G, F H) が全単射となる．

⇐⇒F が忠実充満．

これらの性質を使うことで次の証明をすることができる．

定理 4. 随伴F ⊣ G: C −→ Dのunitをη とするとき，F が忠実充満=⇒η が自然同 型．^*4

証明. F が忠実充満だから，定理3より ⟨id_C,id_F⟩^がF に沿ったF の絶対左Kanリフ トである．またF ⊣Gだから，定理1より⟨F, η⟩^はGに沿ったidC の絶対左Kanリフ トである．故に定理2より⟨idC, η⟩^がGF に沿ったidC の絶対左Kanリフトになる．

C

D

C =⇒=⇒^idηF C

G

idC

F F

id_C

= C

D

C C

=⇒^η

G

idC

F

id_C

故にidC ⊣GF である．一方idC ⊣idC だから，右随伴の一意性よりGF ∼= idC である．

よってηが同型であることが分かる．

参考文献

[1] カン拡張（Kan extensions）とカン持ち上げ（Kan lifts）, 檜山正幸のキマイラ飼育記

*4ご存じの通り逆向きも成り立ちます．

4