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Chapter 9: Linear correlation
Cohen, B. H. (2007). In B. H. Cohen (Ed.), Explaining
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概要
• 相関係数とは何か • 相関係数の数式 • 〃 検定 • 〃 注意点 • フィッシャーのZ変換 • 信頼区間 • 相関係数の差の検定3/X
相関係数とは何か
• 二つの変数それぞれの「集団内での相対的位 置」を求めたときの，二つの変数間の直線的関 係を表す指標 – 二変数をそれぞれzスコア化すると，両変数のzス コアがどれだけ対応するか，と簡単に定義できる。 – 完全な正の相関のとき，集団内の個人は2つの変数 で同じzスコアを取る。 – 完全な相関 ＝ 一方の変数でもう一方を完全に予測4/X
相関係数の数式
• 相関係数の式として，様々な変形式が用いら れてきた – 手計算を簡単にするための式 – 式の表すものを捉えやすい式5/X
相関係数の数式
• 本文には書かれていないが，一般的には以下 – 1/(N-1)は1/NでもＯＫ。どうせ分母と分子で打ち消される http://www.weblio.jp/content/%E3%83%94%E3%82%A2%E3%82 %BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E7%A9%8D%E7%8E%87%E7%9 B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B06/X
相関係数の数式
• 共分散を見ることで，どのようなときにrの値 が正（負）になることに貢献するのかわかる • 平均値を基準に４区画（象限）に分けたとき， 右上・左下は「正」に，右下・左上は「負」 の相関係数に貢献 Ｙの平均値 ←Ｘの平均値Ai = (Xi - Xの平均)(Yi - Yの平均）
共分散 = 1/N * Σ Ai
Ai ＞ 0 Ai ＞ 0 Ai ＜ 0 Ai ＜ 0
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相関係数の検定
• 母相関係数ρ=0とした場合のrの分布はどのよ うなものか（＝帰無分布）をまず考える • 統計学的に，ρ=0でサンプルサイズが十分に 大きい時，分布は平均0，標準誤差が1/√Nと なることが分かっている。 • サンプルサイズが十分に大きくないときには， 標準誤差は以下の式となる (p170)。9/X
相関係数の検定
• そして相関係数の有意性は以下のt値から求め ることができる (p271)。 • ρ0は0なので，式変形後，式9.6が一般的に知 られるt値の式である。10/X
相関係数の検定
• rの臨界値を求める。自由度（とα）の関数 • t値を求めて検定はするものの，t値はrとNの 関数なので，臨界値をrの値から求めることが できる。 Table A.511/X
相関係数の検定
• 相関係数の自由度はN-2 – なぜなのか – N=2で相関を計算すると何が起きるか。直線は必 ず２点を通れるので，rの絶対値が1（＝一方の変 数でもう一方の変数が完全に予測可能）に。 – つまり，このときの相関係数は母相関係数につい て何の情報も与えない。 – 仮に自由度を母相関係数についての情報量だとす ると，N-2が自由度というのは直観的に理解可能 r = 112/X
相関係数の注意点１
• 相関係数の解釈には注意が必要 • 線形の関係しか捉えられない – 二次関数的関係は捉えられない – Fig.9.3, 9.413/X
相関係数の注意点２
• 限定された母集団 – 母相関係数：ρ（ロー） – 母集団全体からランダムサンプリングすれば，rは ρをバイアスなく測定するが，大抵は，サンプル の範囲が限定されているなどによって，バイアス を受ける。 – → 切断効果14/X
相関係数の注意点２
• 切断効果 – Fig.9.5 – 変数の分散が限定されることで，母集団には存在 する相関関係が歪められること – 多くの場合は，相関が小さくなる – 母集団の分布が曲線の場合には，強くなる場合が ある。15/X
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相関係数の注意点３
• 外れ値の影響を強く受ける – 相関係数は外れ値の影響を強く受ける。特に，両 方の変数が外れ値になる値（bivariate outliers） の影響が大きい。図9.6では，元々強い負の相関 だった者が，若干正の相関になってしまう。17/X
相関係数の注意点４
• 相関は因果を意味しない – 因果が逆であったりする。運動するから元気なの か，元気な人が運動しているのか。 – 第三変数。楽天的だから運動もして元気。この場 合にも，運動と元気の間には相関が生じる – このことは，２群の実験でも同じことである。運 動群と非運動群を分けても，そこに第三変数であ る楽天的な傾向の介在は防げていない。（群分け ではなくて，運動量を「操作」すれば別）18/X
相関係数の注意点５
• 相関係数のインフレ？ – 先ほど述べたように，N=2のとき，rが必ず1にな るという相関係数のインフレが起こる。 – しかしこれは，N=3, N = 11のときでも，本来は r=0となるはずの期待値が，rの期待値は√(1/(N-1))で与えられるので，それぞれ0.707, 0.316と なるという形で残る。 – なにぃっ!?っと思ってシミュレーションしてみた19/X
シミュレーション
• 相関係数が大体0になる分布を生成 – N = 10000 – r = -0.006538254 – これを母集団と見なす -2 0 2 -4 -2 0 2 4 x y ここからnずつサンプリング して，相関係数を計算。そ れを100回くり返した平均 相関係数をプロット20/X 0 20 40 60 80 100 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 vec fr am e2 平均相関係数 n = サンプルサイズ あれ？ ばらつきは大きいけど 別にバイアスはないような……
ρ = 0
どうも，rを絶対値にしたとき の話らしい (p272)21/X
シミュレーション
• ここから，nの数ずつサンプリングして，相関 係数を計算。それを100回くり返した平均相 関係数の絶対値をプロットする。•
ρ = 0
平均相関係数 n = サンプルサイズ 0 20 40 60 80 100 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 vec fr am e222/X
シミュレーション
• つまり，自分に都合の良い相関係数のときだ け論文中に取り上げて議論してしまった場合 には，上記のバイアスをモロに受ける。 • サンプルサイズが少ないと，母相関係数とは かなりズレた相関係数が得られる23/X
相関係数の注意点６
• 相関係数の前提
– 独立無作為サンプリング
– どちらの変数も正規分布
– 二変量正規分布（bivariate normal distribution）
– ただしサンプルサイズが大きい時には，２変数の
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相関係数の検定力分析
• 相関係数の検定についても検定力を求めるこ とができる • 基本は独立な二群の平均値差の検定と同じ • ただし，t値とr値を混同しないこと。前者は 効果量とサンプルサイズに依拠し，後者は効 果量そのもの25/X
相関係数の検定力分析
• 検定力分析をするためには，t検定のときのよ うに，δ（前はtの期待値であった）が必要で ある。これは，母相関係数ρに√(N-1)をかけ たものである。 • 式9.726/X
相関係数の検定力分析
• 必要な参加者数を求める場合（式9.8) • Table A.3を用いる • 検定力が85%欲しいならば，δは3.00必要で， そのためにはNは74.5必要だとわかる。 (p279)27/X
フィッシャーのZ変換
• ρ = 0のとき，分布はほぼ正規分布に近似す ることができる。しかし例えばρ = .8のとき， 1以上の値が取れないため，分布が歪む • これを修正するのがフィッシャーのZ変換。 • Table A.6を用いる • Zに変換すれば，zスコアと同様の扱いができ， 検定や信頼区間を出すのに便利28/X
相関係数の信頼区間
1. rをZに変換して正規分布するようにする。 2. 信頼水準を決める。95%。 3. zの95%信頼水準の臨界値は絶対値1.96 4. Zの標準誤差をこの式で計算する。 5. 臨界値と標準誤差の積にZを足す（引く） 6. それぞれの値が信頼区間の上限と下限になる。29/X
相関係数の信頼区間
• さらに，ここで計算された値はあくまでもZ の値なので，これをrに再変換する。
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相関係数の検定
• 特定の相関係数よりも大きいか小さいかの検 定は，ρ = 0以外の帰無分布を考えるので， 本来は分布の歪みを考えなくてはならない • しかしフィッシャーのZ変換を用いたz検定を 行うことで対応することができる。 • 以下の式でzを計算し，検定にかける31/X
