1論 文】 UDC ：624．072．2 ：624．012．4S ：539．384 日本建築学会構造系論 文 報 告 集 第 389 号・昭和 63 年 7 月
軸 方 向
お よ
び
横
方 向
に分
布 外 力
を
受
け る
直線 曲
げ
材
の近
似
閉
解
と そ
の性 質
に
つ いて
正 会 員 皆 丿ll
洋 ＿＊ 序 壁， スラ ブ，および シェ ル などの薄 肉連 続 体の弾 塑 性 挙 動は周 辺に取り付け られ る架構や周 辺 はりの寸 法 や 強 度に よっ て大き な影 響 を 受 けること が明ら かにされ て来 てい る17）。 この ため，大き な寸 法を有す る 周 辺は りを持 つ供試 体の実 験が行わ れ て い るIG｝。 材せいが 大きな直 線 曲げ材の挙 動に お い て，せ ん断変形は重 要 性 を 増す。 直 線 曲 げ 材の 初 等 理 論へ せ ん断変形 を 導 入 する理 論は Timoshenko は り理論と して知 られて い る。こ の 理論は， 材の断 面が平 面を保持し な が ら中央 面に対し て一定の せ ん断変形角を持っ て傾 斜す ること を 仮 定 する。 富井 ・平 石1°，は材の上下面に軸 方 向の分 布 外 力が作 用す る直線 曲 げ材のせ ん断変形 を算定する方 法を示してい る。この方 法は あ る断面の せ ん断 変 形 角 を 定 数と す るTimoshenko は り理論と同じ考え方に立 脚 するもの と考え ら れ る。 一 方，富 井 ・平 石の は り理論は， 材の上下 面に軸 方 向の分 布せ ん断 外 力が作 用す る は りの せん断 応 力 成 分と して一 般に存 在する中央面か らの距 離に比 例 する応 力 成 分の効 果 を無 視 し て いるls） 。 上下 面の軸に垂 直 方 向の外 力を受 ける材せいの大き な直線曲 げ 材では， 横 方 向 垂 直応 力（Transverse
Normal
Stress）に よ る効 果を も検討す る 必 要が あ る もの と 予測され るG ）。 有限変形， あるい は高 次 変 形 を考慮す る棒材の 一般 理 論を展 開した研 究は数 多く報告さ れ てい る2レー7，。こ れ ら 一般理論の標 準 的な扱いは，三 次 元 連続 体理論を級 数 展 開し て， 棒 材の理 論へ 誘導す る手法で ある。変 位 成 分を 断面 軸か らのべ き級 数，あ るい は Legendre関 数 等 を利 用して展開 する手 法は，直 線 材の み な らず，薄 肉 断 面を 有す る空 間 曲 線 材の一般 理 論］3 ） に拡 張さ れてい る。棒 材 の一般 理 論は未 知 関数 を増 大さ せ る ので，適切 な近 似 が 必 要で あ る と 云 われ て い る。 本 論文で は， 上下面に軸 方 向および横 方 向の分布 外力 が作用す る直 線 曲 げ 材の変 位 成 分を中央面か らの距 離に 関す るべ き 級数で展 開し，最 終 的にはTimoshenko は り と同 様， 3個の変 位 成 分を未知 関数と する範 囲 内で 直 線曲 げ材の近 似 閉 解を求める方 法 を示す。また，得ら れ る近 似 理 論に基づい て得ら れ る解とほ か の解 法によ る解 との比 較 検 討 を行 う。 本論文の §1−3で利用 する主な記 号を付録 1に示す。 §4で は参考と し た文 献に合わ せ，一部 異な る記号 を も 導入 し た。 §1．平面 内で挙 動 する直 線 材の 力 のつ り合い 近 似 解 を誘 導 する時，どの段 階で ど の よ うな近 似を 導 入 する かによっ て誘 導さ れ る近 似 式の精 度が異な ること が予 測される。こ こ では，物理的な意 味 を 把 握しな が ら 式の誘 導を行 うた め， 矩 形 断 面の直 線 曲げ材を考え る上 で必 要なつ り合い式 を誘 導する。 平 面 内で挙動 す る矩形断 面の直 線 材は平 面 応 力 場にあ るもの と仮定す る。こ の場の平 衡 方 程 式は次 式の よ うに 表 され る9｝ 。彑 ＋亟 ＝ 0＿＿．＿＿ ＿．＿．＿＿．＿＿（1−1＞ ∂x ∂y
薯
・咎
一・……・一 …・……一 一 …（1−2） 矩 形断面の中央 面 上に材 軸 を 定 め，これ をx 軸と す る。直 線 材 は，Fig．1に示さ れ る ように上 面 （y＝D／2） に x，y軸の正の方 向に単 位 長さ当た り そ れ ぞれ q2， W2 の大き さを持つ外 力を受け，下面 （y＝− D／2 ）に x，y 軸の 負の 方 向に そ れ ぞ れ qi， Wl の大き さを持つ 外 力を 受け て い る。 材の断 面 力， 軸 力N ｛x ），曲 げモ ーメ ン ト M （x ），せ ん断 力Q
（x ）はFig，1に示 され た方 向を 正 と し，それぞれ次 式の よ うに定 義され る。拍
［
論 文の内 容の一部は，文 献18｝，19）に発表し ている。 拿 鹿 児 島大学 教授 ・工博 （昭 和 62 年？月9日 原摘受理｝ W2d ：詣
・dn ，、羸
L
d・嗣
購
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・・∵
1
…∵・t・・▽
………・…M ．−
ff
， ax （一・y）・d・dz
……・……・……・…（2−2）Q
− ． 一∬
砺 d吻
…∵・ ∵1
−・…∴…／−t……・（2−3 ） こ こ に，、A ．は材の断 面 領 域 を表 す。． ， （1−1）式 を直 線 材の断面で積分して次 式 を得る。 ．妾
礁
鹹 ・∫
∫
寄
・…二
1
…1
…（・・ （2−1）式お よ ． び qi， q2を 考 慮に入れ ると， （3）式は 次式の よ うに表 現される。噐
・q广 qi−・…・・・・・・・・……・t−・・ ………・…（・〉（1−1）式に （−y）
を
乗 じて， 材の断 面で積分 し て次 式 を得る。 ．，．晶
脇
（一幽
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ナ∬
寄
（一歩
）d・d・− O， ． ・一・・・・…．・・二卜・・・… ゼ・・・・・・・・・・・・・… （5 ） ＼（2）式 を （』5・）．式へ 代入 し ， 整理 して， モ ーメ ン ト の平衡を表す次 式を得る。 』．：「 ， ’砦
7Q 二争
σ1＋d
’ ，）L
・…・・・… …一 ・：・… （6） ． 同様に， （1−2）式を断面で積分 して次式を得る。晶
∫
∫
脚 ・＋∬
器
勲 一 ・・・…一（・）・ （．7 ）式 を整 理 しτ・呻
方 向の力の平衡を却
次式 を得る。一
｛
鐸
・ w ，− Wl ’ 一・一 ：………・…・ （・｝ つ ぎに， Y ＝Yiに お ける 記・軸 方 向の力の 平 衡を考え る。 （1−1） 式 を写≧Yiの領 域 A，で積 分 して，次 式 を 得 ’ る。》
鷹
…2
・1
五
寄
・・個 ・・……（・・ （9）式から，せ ん断応力の平 衡を表す次式を得る。・
駄
一去（
’q・・fZ
，2
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，，2
）
一・……・・（・・〉 こ こ に， b は矩 形 断 面の材の幅で ある。 同 様に，（1−2） 式 をy≧Yiの 領 域で積 分 して，軸に垂 直な方 向の応 力 ’（Transverse Normal Stress＞ay の平 衡を表す次式 を得る。
嘱
一去（
Zf，・ナ∫
艦
1
・嘘）
一・……一一（11） §2．平面 内で挙 動す る直 線 材の 変 位 場と応 力 場と の 問 題 点 一 一 Timoshenkoは りの考 え 方，富 井 ・平石の は り理論1°1 との 関係，お よびこれ らの理論の問 題 点を 明 ら かにす る1s） 。 ．せ ん断変形 を考慮に入れ 』たTimoshenkoは りの 理 論 （軸方向変位を含め る）．は，変位を表す未 知 数を3個 導入する。そ れ らは中 央 面一ヒで の x ，y軸 方 向 変 位そ れ そ れ u（x ），v（コc）， およ び 曲 げモ ・ 一，Plン ト によ る回転θ （切 （あ るい は，せ ん断 変 形 角 β（x）〉である。こ れ ら の変位成分を用い て，材の x ，，’y軸 方 向の変 位 u，（x，，y）， および u2（x， y）は次 式の ように表 現さ れ る。 1 1（x，y ）＝u（x）−yθ（x）＝ u（x＞−y （v，x一β〉 一・・∵・・・・… ‘・・一・・r・・・・… t：… （12−1） u2（x， y ）＝ v（x ）．………tt・・∵．1・…・（IZ−2） ・（12）式か’ら誘導さ・れ るひずみ場は次式の よ うに表さ れる。 εエ＝Ul，．＝ u，．： ya＝ ， ε，＝ ・．y； 0 ， rry＝v．＝一θ＝β・………・……・（13 −1，2，3＞ （13）式か ら導れ る応 力 場は次 式の よ うに表されるe ’ ax＝Eεx， σy＝0， Txy＝0（v．π二 θ）；Gβ ・・一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （14−1 ’ ，2，3 ） t （14−1）式を （2−1 ），（2−2）式へ 代入 すれ ば，軸 力N ， 曲 げモーメ ン トM ζ変位 成 分 u，θの 関 係 式が得ら れ る。 ハ1； EA罵 高伽hf
＝ Eleエ ・一・・・・・・・・・・・・・・… （15−1，2） （14−1），（13−1）式を （10）式へ 代 入レて次 式奪得る。ひ
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・・ 、、こ4
，’に， ．．’ AI・・
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， ・・d・・ ・，−1
∫
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・t・t（・6−a，・〉（15 ）， ’ （4 ）， （6）式 を利 用して， u，xx お よ び ． e，xx を 消 去すると次 式 を 得る。
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＋ 争羽
一・ ． ・・・・・・・・・・・・・・… 一・・・・・・・・… 气・・… （17） （・7拭 の 勉 」。 鳧 て・ （i4
−3 ）式で趨 さ れ る．T・y を導入し，次 式 を 誘 導 する。 ，・ T・・一・β・
詈［
者
（・、＋q2）一号
（・，−a
・）一
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争
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IQ
・号
（qi＋d
・）｝
］
・ ・ ・9・∵・∵・… 一・・・・・・・・・・・… ▼・・・・… （18） 上 式で定 義さ れ るA Txy が恒等的に0となる よ う に定 数 βを定め ること がで きる な ら ば，Timoshenkoは り理 論は軸方 向分布外 力 qi， q、が作用する直線 材の せ ん断変 形を 正しく評 価 するこ とに なる。 （18｝式の第 2項は Yi に無関係な項， 線 形 項，お よ び 2次項とで構成さ れて い る。こ の よ う な項 を1個の パ ラメr タ β を用い て恒等 的に 0と す るこ と は不 可 能であ る。 軸 方 向分 布外力 qiお よ び σ2が ともに 0である通 常のTimoshe
圦koはり理論では；次式で表され るせん断モネ ルギの平 均 値 を利用 して定 数 β を 定め ている18）。 ．β一
湯
、∬
帥 … ………’1・・ r・∴・……r−一（19 ｝ F 一 53 一 一軸 方 向 分 布 外 力qiおよ び q，が作 用し てい る直 線 材に 対 して，（17）式か ら得ら れる Txs を （19）式へ 代入 し て も，β は せ ん断 力
Q
，および軸方 向分布 外力 q、， q，の 線 形 結 合と して表さ れ ない。これ は軸 方 向 分布外 力 が 作 用 す る 直線 材に対し て， せん 断エ ネルギの平均 値と して のせ ん断 変 形 角は定め ら れ ない こと を意味す るIS）。 断 面 内で定 義さ れ る重み関 数 W （y，z）を用い て，（18） 式か らせ ん断変形角β を算定す る。 重み 付き残 差法の 算 定 式は次式で表さ れ る。f
∫
△r・ ・W （y・z＞dydz− o…・……・・………（2。） A rryが （18 ）式 で与え ら れ る矩 形 断 面の 直 線材へ 次 の よ う な い くつ かの 重み関 数 を適 用して，せ ん断 変形 角 β を求め る。1） 中央 面で の選点 法 （W （y，z）＝δ（y ＞：Dirac関 数 ）
β一 一
訓
暑
Q
・を
（・・＋・・）｝
…・・………（・・一・＞ 2） 一定の重 み 関数の時 （w （y，z ）＝ 1 ｝β一一
古
Q
・…一 …一 『一 一 一 ……（・・−2） ・） S、ω（
（16−b）式）
を重み勲 と す・時 （W （y，z）÷
・りβ一一
古
｛
書
Q
・磊
（q・＋q・｝｝
一 ・一 …（21−3） 富井・平石が物 理 的 直 覚か ら誘導し た式1°レは （21−3） 式に対 応 する。 こ の式は軸方 向 分 布 外 力qi， qiが と もに 0の と き （19 ｝式か ら得られ る結 果と一致す る。 （21）式の例 題に利用し た重み関 数は すべ て yに関 す る偶 関 数で ある。 ゆ え に， （18） 式の 大カッ コ ［ ］の 中の第 1項，お よび第 3 項， す な わちせ ん断応力分布に お け る定 数 項 成 分，および2次関数分 布の成 分，が せ ん 断変形へ 及 ぼ す影 響は重み を付け て評価す るもの の，第 2項す な わ ち中央 面か らの距離 y に比例す る せ ん断 力 成 分が せ ん断変形へ 及 ぼ す影 響は まっ た く評価され て い な い。軸方 向分布 外 力 qt， qtが作 用す る直線 材 を扱 う時， こ のせ ん断 応 力 成 分の効 果を考慮す る必 要があろうe ま た，（14−2）式で示 したよ うに， こ こ で紹 介し た理論で は直 線 材の上 下 端に横方 向の分 布 外 力 Wt ， W、が作用 し てい る にもか か わ らず，as は恒 等 的に 0と なっ てい る。 材せい の大き な直線材では， こ の応 力によ る変形 も考 慮 に入れ る必 要が あ ろ う。特に，材の上下 面で ほ か の連 続 体と接 続した 周 辺架構 を直 線 材と してモ デル化し，境 界 条 件 を導 入す る時，これ らの応 力 成 分の影 響を考 慮する 必 要があるもの と考え られ る。 §3．分布外力を受け る直線 材の応 力のつ り合いの改 良 3−1 つ り合い 式の近 似 せ ん断変形 を考 慮に入れ な い初等は り 理論では，（10） お よび （11 ）式の つ り合い 式 は無視さ れ て い る。 Timoshenkoは り理 論は，断 面内の 任意の y座 標で成 立すぺ き （10）式 を平面 保 持の仮 定の もとで近似 的に断 面全体で平均 的に成 立 させ る という考え方に基づいてい る。 近 似 理論 的に見 る と，Timoshenkoはり理論は （10） 式 を1項の関数で近似す る， い わ ゆ る1項 近 似の理 論に 対 応 する。こ の時，（11）式のつ り合い は無 視さ れて いる。 せ ん断応力の つ り 合い を表す （10）式を m 個の項を持 つ 関 数で近似的に表 現す る時，横 方 向 応 力 ay の つ り合 いを表す （11）式 を （m −1）個の項を持つ 関 数で 近似 的に 表 す もの と すれ ば，Timoshenko はり理論や富 井 ・ 平 石の は り理 論は m ‘1の近 似 理 論であ る と言え よ う。 （10 ）式にお け る g の線 形 項の影 響を も考慮し てつ り合 い を評 価す ることは m ＝2の近 似理論に対応する。ま た，Fig，1に示さ れ た上 下 面に作 用す る横方 向分 布 外 力 ω、，w、に よ る横 方 向 応 力σs を線 形項ま で採 用し て近 似 すれ ば，m ＝ 3の近 似 理 論に対 応す る。 こ れ らm ＝2お よび3の近 似 理論は材 端に せん断 力および曲 げモーメ ン トを受 ける直線材の近 似 閉 解に， 上 下 面に分布外力 が 作 用 する直線 材の近 似 閉 解 を追 加 し た近 似 解を求め る解 法 である。本 論 文で は，最終 的な未 知 関 数 をTi皿oshenko は り と同一の 3 個に保っ たま ま， m ＝2お よ び 3と し た 近 似理論を 誘 導 し，適用例を示す。 3−2 近似理論の展 開 中央 面 上で定 義 され る新しい未知関数α 匸（x），g1（x）， az（コc），お よ び g2（x ）を導入 して，変 位 場 を 次の よ う に 仮定す る。 Ul（x， y）＝u （x）−y （v，x一β） ま s・
芳
α 1ω ・み
・ ・ω ……『・（・2−1） tu、（x，y） − v（x）＋yg ・（x）＋
告
9・（x ）…・（22−2 ） （22）式か ら導れ るひずみ場は次 式の ように表 され る。 t 1・・− UI，・一 ・，・−Y（v・一β獄
芳
・ II・券
呶 ・………・…・…（23−1）・茜 ，−91＋
咢
・・…・…・…・・一 …一 ・（23−・）r。 ，一β・ y
（
2α1D 十9匚・x）
・y ・（
か
＋枦
・）
・…・………・…・・・……（23−3 ｝ 応 力とひずみ の 関 係 式は Poisson比の影 響を無 視し て次 式の表 現を採 用する。 。。；E，。，σ．・＝Eε。 ， τ。 。・・ G r。。…一（24−1，2，3） （23），（24）式におい て，α‘，9t（‘ユ 1，2）の作 用 を検 討す る。α‘，g、は y に関す る i次の せん 断 応力TtY を形 成す る。ま た， α、，g、は そ れ ぞ れ くi＋1） 次の ar，お よ び （i− 1）次の横方 向 応 力 ay を 形成す るe ゆえ に，3−1 で示し た よ うに せ ん断 応 力のつ り合い を （m −1）次 （m＝
1
，Z
，3）まで の m 個の項を到
用 して表 現 するな ら， 横 方 向応 力は （m −1）個 ． の項を用い て表 現 すれば，整 合 性が と れ ることが分る。 （23），（24）式を （2−1），（2−2） 式へ 代 入し て，次 式 を 得 る。 ．H 砺 ・
署
α1。 一 ・・・…一 一 ……（25−1）M ・・’…
毒
一・レ弘
・ ・一 ・・…一 （25−2＞ ・e
・，・一ル
・d ・d・1
・・…・…・…・…・・……（25−a） （25−1．2）式 を （4 ＞，（6）式へ 代入 して，次式を得る。・A ．・，・x ・
署
・ … ＋・・… 一・：・∴・…一 （26−1）E・・（・．x−
fl
）．x＝一号
咄 ＋号
〔・1＋q・）一・ ・・・・・・・・・・… 一・・・… ，・・・・・・・・… （26−2）以＃，基本 的な関 係 式 を誘 導．し た。導似 式 は 式の誘 導 の仕 方 に依 存して精 度が変 化する。材断 面の せ ん断応 力 Try， 横方 向応 力ay のつ り合い を表 現する （10）， お よ び （11 ）式をこ こ で は次の ように扱う。 ．1） （2371），（24−1．） 式で定め ら れ る ax を （10 ）式へ 代入 して ． rxy を
定
義 する。』
”
2） （10 ）式か ら得られ る．隔 を （11）式へ 代 入 し て， ay を定義？るp す なわ ち， （24−3 ）， 』 （23−
3
）式か ら定め られる rxyを （11＞ 式へ 代入 し て σ y を 定め る方 法を採 用 しなt）．。 ’3
） （1・）・．1
・1）式の第 ． 噸 あ 繭 と して （23−3，2）， お．よび （Zt
／
−3
，，2 ）式，O）ら定め られ る変 位 成分β， α1， g，， a2，g2を用い．た表 現を導 入し，（10），（11）式へ 重み付 き 残 差 法 を 適用 して，変 位 成 分 β，a、 ， g圃， at ，9iを定め る。 1 上 記’1
）の方 針の も とでせ ん断応力 Tx，を求め て，次 式 を得る。 △TXY−Txy−［
去
q・ナ（
｛
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・（・ べ βλ。＋
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毒
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一・…………一（・・） （27 ）式か ら得られ る TXY を （11 ）式へ’代入 し て，次． 式 を得る。 Aas− ay−［
去（
号
一の
9、。＋壱（
号
一の
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『 （・＋y ）恥 、一β）．xxx＋ 3
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一州
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一 ・ ・・・・・・… 一・・・… 一マr・・マ… r・・・・・… （28） ．．（26），および （8） 式 を 利 用 し： 〈，（28）式の Eu ，xx お よ び 耳ω，ガ 戯皿 を消去して， 次 式 を得る。 △の
一丙 一［
毒
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一・・1
・・∵……・（・・）（29）式の扱い に近 似 を導 入 する。 ． al，エx＝お よびαt，＝rx の付く項は ほ か爾項に比 較し て高 次であり， 材の上 下 面 （y＝±D／2）で 0 （重 根 ）と なる の で，こ れらの項 を 無 視す る。これ は横方向応 力ay のつ り合いを考え る時， せ ん断応 力 rx，は 断面が 剛で あ る と仮定した時の分 布と 同一である と考えてい るこ と を意 味す る。 この時，（29） 式の ay と し て，（23−2）お よ び （24−2）か ら定め ら れ る 表現 を導入 して，次 式 を得る。 t Aay≒E
（
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（D＋Y）・Wi＋
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− y）司］
一・…・・…・………（3・） 同様に，（26）式を利 用して （27）式の Eu ，xx お よび E｛v，x−fl
），xr を消去 し，（27）式の T＝y と して （23−3）， （24−3） を用い た表 現 を 代入 して，次 式を得る。 A・・・…G｛
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一 ・一・一 ・（31） （30），お よ び （31） 式は未 知 変 位 成分 β，a、，91， a，， および g：を定める た めの基 礎 式ど なる。こ れ らの変 位 成 分 を大 別して次の 2つ の方 法で定め る。（1 ）．at， gl， α，，g，を考 慮に入れる。 （2＞α、、9iを考 慮に入れ る （α 2 ＝ 9z ・O ） 。 、 1 近 似 解の精 度 を確 保 す るた め，上 記 （1）， （2） ．の各 場 合 （31）式へ 適 用 する重み関数が異なる の で，別 途 扱 一55
一 一う。 （1 ） α1，g、，α2， g：を考 慮する場 合 （m ＝3の近 似理 論 〉 （30 ）， お よ び （31） 式で 与え ら れ る Aσy，お よ び △恥 を近 似 的に 0 とする ため，（30＞式は定 数 項とyの 1次関 数項， （31）式は定 数 項，yの 1次，お よび2次 の関数項 を重み関 数 とし た重み付き残 差 法 を適 用す る。 演 算 を容 易にするた め，次の Legendre関 数の表現を利 用す る。
Wi一
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・鵬一盍
・・肌一券
（
y2 1D2 12）
・・−st … s−・・・・・・・・・・・… −t・（32−1，2，3） （32 ）式 を （30）， および （31）式へ 代 入 し，次 式の重 み付き残 差 法の式を得る。ff
， ・・，W・d・d・一 ・ （・− 1，・）…・………・・（33）fltA
… W・dydz − ・ 胴 ，2，3）・・…一 （34） （33），（34）式を算 定して次 式を得る。Eg、一
［
看
（・、珈 ，）一 、書
玉
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＝−o ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一一・・・・・・… （35−1）酬
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一・ t−’’’’’’’’’’’’’’’’”・・・・・… 曾・… （35−2 ＞ 研望
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Q
］
一・ ・・・… −t・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （35−3）G
（
2多
’ ＋ ・、，x）
一［
一蓋
（q・一・D
・留
α…］
一・ ’’’’’”【’’’”…一一t−・・・・・・・・・・・… （35−4）G
（
茅
・右殉
一［
爿
Q
・号
（ql＋q・）｝
＋ 11。・・
司
一・一 ……・…・・……一 ・（35−5） こ こ に， （35−3）式は （23−3），（24−3）式か ら 定 め られ る rry を （2−3）式へ 代 入し た式と同一と な る。 （8）式，（26 ）の 2 本の条 件 式，および （35）の5本 の条件 式，合計8本の条件式 を与え られた境 界 条 件の も とで解析し， 8個の変 位 成 分 u ，v，fi
， al，9i、 a2，9t，お よ びせん断 力Q
を 定 めれ ばこ の 直線 材の問 題は解け る。 次に， 未 知 関 数の整 理，お よ び削減 を試み る。 （35｝式 を整 理して，次式を得る。・、一 ，
書
。 （Wl ＋ w ！）r 、蹇
。（・，−q，｝，r …・・（・6−1）舮 一
赫
（脚 麟 2蟲
（qi＋q・），x −・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 『噛・一… （36−2）al− 一
斎
（Wl ＋鴫 一 2ぎ
A （q・一・・） ・ 、畜
、（・1 − q ・），。x・鵬
晦 …一（36−3） ・ 一蓋
（Wl − w・），x− 、藷
、（ql＋q・），・ ・・
煮｛
Q
・号
（q・＋・・）1
・鑑
蝓 ・・・・・・・・・・… 『・・・・・・・・・・・・・・・・… （36−4）β一 一
鵡
一纛
（・、＋ ・の一器
咄 一’−t・’・・・・… 一・・・・・・・・・・・・・・… （36−5 ） 変 位 成 分に変 数 変 換を行うた め，次の量を定 義する。u（x｝一
去
ff
， Ui （x， y）dyd2 ＝：u （x）＋務
α 1ω ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 鹽・（37−1）v（x）−
tfl
・ ・（x，・）d・d… v（x）＋み
ω ・・・・… 9・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （37−2）・ω 一
｝ル
・（・c，・y）（ − y）d
・d
・− v，x一β一翻
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （37−3） U， お よび V は そ れ ぞ れx， y軸 方 向の 変 位の断 面 での 平均 値である。θは中 央 面 まわ りの u、の一次モー メ ン トを断面 2 次モ ーメン トで除し た 量であ り，無次元 量であ る。 この量を導入する と，後述す る ように， 曲げ モーメ ン トの表現や境界条件の導入 が簡 明と な る。 （37） 式の変 数 変 換の もとで （36） 式 を解く際，次の 2つ の ステッ プを と る。 （a），（36）式の右 辺にあ る a、， a2 の微分 項を 無視し た第 1近似解を求め る。 （b）次に， 漸 近 法あ るいは摂 動 法に対 応す る手 法を利 用し て， （36 ） 式の右辺の微 分項を評 価し， せん断 力の表 現 を修 正する 第 2近 似 解 を 求め る。 （a） 第 1近似解 右 辺の a、．＝ ＝，a2，x＝ を 無 視した （36） 式の表 現，およ び （37−2）式の y を （37−3）式へ 代 入 して，次 式の表 現 を得る。 α一一暑
GA （v．．一θ）＋｛
罷
（ω・− w、）．x一
諾
（q，＋qt）＋罷
（qi＋q，），。 。1
…・一 一｛38） 〔38）式 を （36−4，5）式へ 代入 し て ， β，α 2 の第 1近 似 表 現 を得る。 ぴ一号
（Vx
− ・）・ 、藷
。（Wl 一乢一 、
81
，r
｛qi＋q・）− 48詣
、（ql＋ q・）．。x・’・・…（39−1） ・・一 一号
（・，i ・｝・ 、静
脚 婦 。・
謐
晦 ）一，盡
、（qi＋ql）．xx …・…・（39−2） （36−1，2，3） 式の 9i， g：， qT，（39−1、2）式の β ゜ ， a；， お よび （37）式の u ，v を （22 ）式へ 代 入し，整理 す ると・・ ．
脚
や
な変雌
帳 現 式 を得る・ ・1剛
一u ．r’y・e＋（
y ’ 5y34 ’ 3Di）
悔
一θL
，，seiA
，（點 一乱
一 2ぎ
蓋
（q、＋q，） ． ・』．． ．： ．』’ 、 ＋ 1蟲
迄
、千卿｝
、 ’．．． …
（
t ．．Dty 12）
卜
、9
， ． （・1・wD ・F− ，
t
，・・一 ω ・ 、薨
、．・ql− ・・同
． t tt ’ コ1 ‘
、． 一一… ∵”… ”… ∵∴”（4q一耳〉 ・、（x，，）− v＋y
｛
h
／
A （妊
臨
）二1蓬
A ． （9、r ，、｝，、，｝
＋
（
b
・一？
1
）
卜
意
（副7 勒1
． 一’［ ＋ ，。
劣
直
ぐ・i
＋・・），mレ
…・…一・……（・・−2） （40）3式の変位場 は．β個の変位成分 U，、．V， お よび θ を用い て表現 され てい る。こ れ に対 応 ずる 3本の条 件 式 は・ （26）式の 2本・ お よび （8撚
であ酬
26），ヰ
に 変 位 場と同様の変 数変換を行い∫亨ん断力は （38）式 を 利 用し て，次 式で表さ ．れ
る う り合い式を 得る。．
EA U，。 、 ＝（ql一 σ、）≒0・・一，・ ∴∴・……一．t…∴・（41−1，） 1 L ，
E1 貼
慮
q
岨 ・ 一 β）＋釜
（Wl −w ・），r．一
詈
（・1切
一噐
（面
。 。一・…（41−2）暑
『
叫
一磁
齶
叫
盛
、
鴫
（q、＋q，），＝一霧
髭
．〔b
，＋q，），．．． 一（WlrWz ）＝O・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （41−3＞ ’ tl こ．の時の応 力 場 は 次式で 定 義される．6 N ＝EA U，τ …………・……・… ニ………・・・…（42−1）M ＝ E∬e， ・一：……’’”… ∴；”… ：’… ””（42−2）
叶
匿
『
幽
τ
θ狂
釜
（ab
・’− w・）・i
’＋
務
（・1＋ ・、）一 ，釜
（・掴 。 。｝
・…（1
・・3＞ （b ） 第2近 似解 ．．．t ．t．．t／tL ．． ， 第 1近 似 解は （36），式の右 辺の aL，お よ び α、の微 分 項 を 無 視 して誘 導 されたも （36−4，5，．）式で α 2．xx の項 を驚
ると 蜘 およ・び騨
分脚 よ うに表さ．・
1
；
着
・・櫑
・；，・… … ’ ・：L………『（43−・）・β一一 ，
蕁
気
ムQ
・器
磁
… …・一 …（・3−2）ム
醤
諾
・霞
・∴……・冊
・…∴1
…：……・（43−3 ）（43）式の増 分 を考
肆
して，せ ん断力め増 分を算 定す．る。 得野
式 を舛
騨
晦
示す丙
と蝉
・、一 母
螽
・・、−P
・∵ ・… ／：ttt・…・… …… …・…（44） ． （43）式 を 〔44＞式へ 代大して，次式を得る。 ． ’ 盆1 ・ ・1 ・』’．．・．：1 ．・・△
Q
＝一 酉嘩
”：∵… ’∵∵’”：’鹽マー’『”1
，／．．・，（45） （．39−2）式で表さ れ るα；を （45 ＞．式へ 代入し て，次 式 を得る。 、．・． ・ −AQ −
｛
訓
（畦 ρ
ゲ
、蟲
幅莎
、≠
．， ’ 一
を
8
・（・汗磁
避
・2轟
ぐ争
千 一｝
……・…………・…．・…∵∴・・（46）
（38 ｝式の せん断 力Q°へ （46＞式のせん断力増分 AQ を加え た
Q
＝Q
°＋△Q
をせ ん断力と考え る と ， （41 ）式 に対 応す るつ e．合い式娃次式で表さ れ筒。 E／4U，xx −（qL− qa）＝0−t・・… 一一・・ ’・・・・・… ∴・・… （47−1）E∬
e
，xx．＋暑
，A
（Vx
＝θ）＋鐙
旨（wl 一ωb
， x・一
罷
叶
q・忌
｛
謎
1
吟
βλ η．
− 1
蟲
ぐ勠 一ω1
），xxx −18
云
・｛卿
晦
、．ナ12
證
A （吋叫
＿1
τ豊
1
σ、†
q、）一 ・ ・’・1 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一・・・… （47−2）暑
釧 ヒ、一暗
鍔
噛1
距臨
＋
豊
（σ晦
溜
鑑
：（σ面
品
．需
｛
峠
叫
一1謂
オ
（Wl ，−Y
・・）・xx＝ ・一、
2
，（・1＋i
」・），ixx；
、蟲
（々、峨剥
一〔
ndl
− w，）ib
・・∵一∴1 ．……・：∴・……・／ttt （47−3） こ の時の応 力場．は，．次式の よ うに表さ れ るbN − EA・U，。”… ∴ ・… ∵1∵・・∵・一 一 …・…（48−1） M ＝E∬e．■’’”∴’「’’’’’”「’’’’’’’”鹽・・・・・・・・・・… （48−2）
Q
ご
一｛
吾
G厩
一台
1
・釜
’ （脇 二副
略
〔・魁
罷
． （吋
唖
’．’1
． ’＋
｛
詮｛
咋
一θ！
＿71
蟲
1
唏 砺 λ＿ ：一 、
ぎ
、… 峨瑞
（q ’ 、＋ ・，）．・・＝r＝｝
．・・・・…・・
L
− …∴・・∫
∴．・一 …（48
−3） t．」 t 第2近 似 解．で は， せん断 応 力増分 が （．6 ）．，（8 ） ． 式の つ り合い式へ 及 ぼザ影響 を考慮た．入 れ た 。 こ の応 力 増 分 一 57 一 一は せ ん断 応 力
Q
よ り2回微分 階数の高い量 と して表現 さ れ て い る の で， 得られたつ り合い式 を解析す る た めに は，2本の境 界 条 件 式が新たに必要とな る。3−3でこれ を検 討する。 （2） α且，glの みを考 慮す る場 合 （m ＝2の近 似 理 論 ＞ Aσ。r （（30）式）は定 数 項 を重み関 数 と して，重み付 き残 差 法 を適 用する。△鞠 （（31 ）式）は2つ の 項を重 み関数と し て選べ る の で，定数項とy の 1次 関 数 を 採 用する の が一般 的な手 法で あ ろ う。し か し な が ら，（21−3） 式 を誘 導する時，S，（Y ）を重み関数と して いた。この式 は軸 方 向 分 布 外 力が0の とき，せ ん断エ ネルギの平 均 値 か ら得ら れる せん断 変 形 角と同一の変形 角を与え る。 こ こ で は， 定 数 項と Si（Y）を重み関 数と し て採 用して， ム恥 へ 重み付き残 差 法 を 適 用 する。S，（y）を重み関 数 と し て，次 式 を得る。∫
∫
4（
w3−x
／
；
w，）
dyd・一。（
∴ w・一撃
陥 一誘
i
（
9
“
i
一去
）
）
…・『一 ・（・・） ほ か の 2式は （35−1），および（35−4）式と同一と な る。 （49＞ 式か ら得 ら れ る βは （21−3 ＞式と同一の 表現 式と なる。9iおよびaL はそ れ ぞ れ （36−1 ），お よ び （36−3） 式の よ うに表さ れ る。 〔36−3）式の右辺の al．。＝ の付いた 項 を無 視 し，さ らに （37−1）式の変数 変換を行う と，次 式の変 位 場 を得る。u、・（・，・y）一・u −・ge＋
（
： D ： y − 12）
［
一孟
（跼 ＋ w・），x一
諭
（伍一 耐 2蓬
4 （・1唖同
u、（x，・y）− v ＋ ン
｛
悉
（Wl＋w・）一 、
蹇
。 （q・一・・），．｝
………・・……（・・） こ こ1こ， θ＝v．r一β一t− ・・・・… 一一・・一一・・s・s・・・… s−・・−4（50−a） つ り合い式は次 式の よ うに表さ れ る。 EAU ，x ＃一（（ハーq2》＝0・・… 『・・・・・・・・・・・・・・・・… く51−1）E∬e，xx ＋
暑
GA （・，r一θ）−il
，J
D （ql＋q・）＝ ＝・ 一幽9・一・・・・・・・… 一・… 一… 一・・… （51−2）詈
GA （v，。−e ），x ＋務
（q・＋q・）．・一（Wl− w・｝− o …・……一 ……・…………（51−3） 応 力場は次 式の よ うに表現さ れ る。 N ＝EAU ．，〃 ；EIθゴ …………・・………・・（52 ）Q
− −1
暑
GA （v．r− ・）・豊
（qi＋q・｝｝
3−3 汎 関数と境界 条件 3−2で示 さ れ た近 似理論は変 位 場を仮 定し，せん断 応 力tXY お よ び横方 向 応 力 ay の つ り合い を考えて，変位 成分の い くつ かを消 去し た。m ＝3の近 似 理 論の第 2近 似 解の つ り合い式に おい て，せ ん断 力 増 分AQ の影 響 をも考 慮に入 れ た。 （46｝式で表さ れ る AQ と （38 ）式 で表 されるQ
とを 比 較 する と，AQ はQ
より2回 微 分 階 数の高い変位成分を用い て表現さ れて い る。 ゆ え に， 第 2近似 解では材 端の境 界条件をさ らに 2個 追 加し ない と， つ り合い式を解くことは でき ない 。こ こでは， 直線 曲 げ材の ポ テンシャ ルエ ネル ギ を 定 義し， 第 1変 分 を算 定し て，3−2で示さ れ た理 論 を検 証し，さらに境 界 条件 を 明ら か に す る。 （1） m ・＝3の近似理論 （22 ）式の変位 場， （24） 式の応 力 場，およびFig．1 の外 力 を考 慮す る と，直線曲げ材の ポテンシ ャ ルエ ネル ギn は次 式のよ うに表さ れ る。n−
f
。 ’［
∬爿
E （ui．・＋u；．・）＋G（・・，・＋u・x） ’ldA
−
｛
・、（
Dx ・i
）
w・一・・（
・，一号
海
＋u置
（
x，号
）
q2−u1
（
x＿一
書）
q1
｝
］
dx
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… ．・・・… （53 ） （40）式の変 位 表 現 を （53）式へ 代 入し，変 分 をと る と消去する項 を省 略し て次 式 を 得る。 跚 ，y、θ）イ ［
爿
酣 皚 ＋El・ef・ ＋暑
（v
．一θ ＋F・）fx
・暑
・鵡 一・腸
・即 ・一・） 十〔q置一q：）u十（ω 厂 ω 2）v ＋（
T
5 D 百D θ＋丁2v
・x）
（ql＋qt）］
de ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一一・・（54） こ こ に，R
一蟲
（伽 嘛 一煮
（q、＋q・｝ DS （qi十q，），． ． 十 120EAFr− 一
意
（即 賊 ＋ 2。畠
A （叶 載・ ”…”t’”t’’’’’’”t’’’’”tt’（54−a，b＞ （54）式の第 1変分を算 定して次式 を得る。 ・lls−［
蹴 δ・ ＋E・・e・・θ＋
｛
言
GA （1〈．一θ）−tl
G・F・・
丑
（・1＋ω一黜
レ θ ・F，）．一｝
・・・
｛
謎
（v．一・ ・F・｝訓 一 ・θ）］
：
イ
［
｛
・・レ （・r ・2）｝
・・ ＋｛
EIθ．・ ・＋暑
GA （ v，・− e）−9
GIF・一
静
隔一θ＋賑詭
恥 ＋qD］
・θ ＋［
暑
GA
（v，．L
θ），．−9
．GIF． ＋ 、2名
A （q・＋q・），・一｛
謎
（u
．一θ ＋F・｝，・ ・x 一〔Wl− Wt）囲
伽 ・一 ・一 ・…・…（55） こ こ に，下線を付し た項は （54 ）式の下線を付し た項 か ら誘導さ れ た項で あ る。 （55）式の 下 線 を 付 し た 項 を 無視す る と，Eulerの方 程式は （41 ）式の 3 本のつ り合 い式を与え る。境 界 条件 式は U ，お よび V をそれ ぞ れ断 面で の軸 方 向，および 横 方向 変 位と考えて 良い こ とを示 し て い る。ま た，無 次 元量 θを 曲 げモーメン トカM に よる回 転 角と考えて良 い こと を示．して いる。 すなわち， ‘ 3−2 （a）で示し た第1 近 似 解は （54＞式の汎関 数で下線を付し た項を省略し た 理論と言える。 ・ ． ，下線を付 し た項 を 含め た （55
）．式の Eulerの方 程 式 は （47 ）式で示し た第 2次近似 解の 3本のつ り合い式 を 与え る。 こ の時， ’ 追 加され る境界条件式は， （55 ）式か ら次 式の よ う に表さ れ る。 ・．［AM （δV，・− aθ）］
1
＝ 0ノ・t−：……・’”一 … ’t−a（56）． こ こ ・・ ．齢｛
詳
帳 θ・F・），・’ 1…・一 …（56−・） （56
−a）式の AM は （40・・1）式で表さ れ る軸 方 向 変 位 Ul（x，の を用いて，次 式の ように表さ れる高 次モーメ ン トである。AM −
ft
・・’・，・（
ysyS43Dt）
d・d・…・・t……〔・・） （2 ＞ m ＝2の近似理 論 （50 ）式の変 位表 現を 緬31式へ 代入 して も，m ＝2 の近 似 理 論の汎 関 数 を得ること は で き ない。 こ の状況 は 変 位 を （12） 式で表 現する』Timoshenkoは り も向一で ある。（53）式の せ ん断ひずみエ ネル ギの 項を せ ん 断変 形 角 β を利 用して，次の よう．に近似 的に表現す る。f
∫
9
（Ul，Y＋ u・，・） ・ d・dz≒一∬
卿 ・一・…（・8） （2i−3）式か ら得 ら れ るQ
を （58）式へ 代 入し て，次 式 を得る。 ’・∬
号
（u・，。＋・・，。） ・ d・d・≒缶
・酬書
（qi＋ ・t）fl
・
缶
齢 。一・鴫
厨
・｝（v．x −・） ・ （∵（50−a）式 ）・・……・一 ……・∵一 ・………一…（59） （59）式 を 代 入して， （53）式のせ ん断ひずみエ ネルギ を算定し， ほ か の項は （50）式に基ブい て算 出し，変分 ． を と る と消去す る項を省略 し て， 次 式の汎 関 数を得る。 叫 ・，・）一∬［
爿
・就 ＋E・θ ＋吾
GA 〈・，．一θ） ・｝
＋台
（qi＋q2）（v，x一θ） 十（w一 Wz）v 十（q，−qt）u ・号
（・i＋ ・・）・］
・x …一 ・一 一 （・・） （60） 式の第 1変 分の Eロlerの方 程 式は m ＝2の近 似 理論の つ り合い式 （（51）式） を 与え る。境 界 条 件 も U， 「 v， お よ び θをそ れ ぞ れ軸 方 向 変 位，横 方 向 変 位， お よ び曲 げモーメン トカに よ る 回転と考えて扱え ぱ良い こと を 示 してい る。 §4．数値解析 ‘ ’引 い くつ か の代 表 的な外 力 を 受ける 直線 曲 げ 材につ い て， 本 論 文で示し たm ＝2お よび3の近 似 理 論と既往の 解法とを適 用して得られ る解の相 互 比 較を行 う。 4−1 中 間 外 力が作 用しない時 横 方 向分布 外 力 ω 1，w，，お よび軸 方 向 分 布 外 力q、， q2が すべ て 0の とき の 肌 r2 お よ び 3の近 似 理 論か ら 得ら れ る解の性 質 を検 討す る。 i） m ＝ 2の近似理論 つ り合い式 （（51 ）式）， 合応 力 （（52 ）式）， お よび変 位 場 （（50）式）はTimoshenkoは りと 同一の表 現と な る。 こ の 時，変位場 か ら算 出し たせ ん断ひずみ にG
を 乗じて得られ る せん断応 力 TXY を （2−3）式へ 代入 して 得ら れ る せ ん断 力Q
（− G乃ゆエーの ）と，（52）式で与 え られ る せ ん断 力 Q が亠致 し な いとい うTimoshenko は り理 論の矛 盾は解 消し な い。 ｝ii
） m ＝3の近 似 理 論 第 1近 似 解に おける せん断力のつ り合い か ら 穐 一θ が定 数と な り，（56）式の境 界 条 件を満足 す るの で， 第 1近 似 解 と第2近 似 解 とに差 違は生じ ない。 断 面で の変 位 成 分 U，V，θ をTimoshenkoは りの変 位成分 u， v， θと読み か えれ ば，同一の数 値を 示 す。 対応す る合 応 力 N，Q
， M もTimoshenkoは り と同 一と な る。一方， 変 位 場で は横 方 向 変 位 u2 はTimoshenko は り と一致する もの の， 軸 方 向 変 位 u、 （（40−1）式〉に は違い が生 ずる。 こ の変 位 場か ら誘 導さ れ る せ ん断 力 Q は，（42−3），ある い は （48−3）式で表現 さ れ るせ ん 断 力Q
と変 位 成分 の関 係 式と一致 し， 上 記 した Timo − shenko は りの矛 盾は解 消され る。 こ の 矛盾が解 消され て い る か否か は，3−3で示し た各 近似理論にお ける せん断ひずみエ ネルギの評 価の仕方の 相違と し て も現れ た。 4−2 一様分布の横 方 向 外 力が作 用 する時 等分 布荷 重が 作 用 す る両 端 支 持の は り （Fig．2 ：図中 ω が q と表 示さ れ てい る）を解析す る。直 線 材 中 央 部 の中 央 面，上 面，お よ び下 面の変位，そ れ ぞ れ u，（0，0）， Ut （O， c）， お よ び u2（O， − c）と して次 式 を得る。i
） m ＝2の近 似 理 論 一59
一 一u！（・T・）一一
麗
｝
11
＋器
（・＋の爭
｝
・一（6H ） u・（… ）一 一鰐
1
｛
1＋壽
（1＋・・ff
・黜
（複 合 同 順 ）・……一 一 ・…・………・（61−2，3） iの m ＝3の近 似 理 論u・（… ）一 一
轟
｛
1＋砦
（1＋のデ
ー毳
∫
圖
．・・・・・・・・・・・・・・・… ，・・・・・・・・・・… （62−1） u・（・，・ト劉
1＋籌
・・＋の夢
・罫
・v・1
・・・・・・・・・… t−・・一一・一・・・・・・・・・・… （62−2）u・（・・一・）一一
齶
｝
｛
1＋噐
（1＋・）爭
一
罫
・叶
……・……・一〔62−・） こ こ・・v・− 8課
爭
｛
1＋17・告
£
瑠
調
（∵μ； 105／1十 v ） v。を含める と第2近似 解，無 視す る と第 1近似 解にー
r
← 。 L 9 8 7 〔 6 5 4 3 2 0 出 ） P ＝ 耻 刊 O 刊 躯 舶 QO P 口 Φ 日 Φ O 面 Hq り 咽 自 1L
− 2 一闘
← ＿ 、 ＿司
Fig．2 Bending by Uniform Lead
Approx．｝ Approx ，） am odier o ／£ 0 1 2
Fig．3 Midpiane Displacement Solution fQr v＝O．3
対応する。
iiD Timoshenko・Goodier Timoshenko−Goodier解］z） の 両 端支持の 条 件式と し て，端 部 断面で の y 方向 変位の平 均 値が 0で ある とい う条件を導入 し，記 号お よ び符 号 を本 論 文の表 現に変 換 して，次式を得る。（付録2参 照》 Uz （O， O）＝一 9 2 ． 1 蝋 … ）一一
轟
1
・＋癖
・罫
｝
…………・…・…・・∵………（63−2） u・（。・一．・）一一諾
｛
1＋鐸
一罫
1
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （63−3）錨
〔
・＋ll
（
＋51 吾v）
爭
一 π（
1＋す
・）
斜
…・…………（63−1）lV
） Timoshenkoは り理論 こ の理 論に よ る上 記の 3 変位と も 同一であ り，（61−1＞ 式で表さ れ る。 Poisson比 レ＝o．3として求め た材 中 央の 中 央 面の 変 位 を 表す係 数 （（61−1），〔62−1），（63−1） 式の 中カ ッ コ 内の値 ） と c／1（材せ い とス パ ンとの比 ） との関 係 を Fig．3に示す。図中に お け る▲ 印は m ＝2の近 似 理 論 解， ●印付一点鎖 線は m ＝＝3の第 1近似解，○ 印 付 破 線は m ＝ 3の第2近 似 解 ， 実 線はTimoshenko −Goodier解， 破線はTimoshenkoは り 理論に ょ る解， 二 点鎖 線は Baluch等11］ に よ る解に対 応す る。 Timoshenko−Goodier解を ひ とっ の正解と考え る と， TimQshenkoは り 理論お よ び m ＝2の近 似 理 論は c／1 が 1を越え る領域で中央 面の横 方向変位を大き く評 価す る。 次に，v＝・O．3と して材 中 央 部 上 面の変 位 を 表す係 数 （（61−2），（62−2），（63−2） 式の 中カ ッ コ 内の 値 ）と c／1との関係をFig．4に示 すξ▲ 印 付一点 鎖 線は m ＝2 の 近似理論解，● 印付一点鎖線は m ＝3の第 1近 似 解，実 線 は Timoshe皿ko−Goodler解，お よ び破 線はTimo − shenko は り理 論に よる解に対 応す る。 m ＝3の第2近 似 解 は，c ／t＝1お よ び2 で そ れ ぞ れ第 1近 似 解 よリ ユ．1％お よ び2．1％小さ い変 位 係 数 を与え る。分布 外 力が作 用 して い るこ の面の横 方 向 変 位に関して，m ＝ 2 の 近 似 理 論 解，m ＝3の 第 1，第 2 近 似 解 は Timoshenko−Goodier解と良く符 合す る。一方， Tirno・ shenko は り 理 論に基づ く解はc／1が 大き く な る に従 い ， 変位を 小さく評 価 する。 中央 部での材せい の変 化 （u，（O，c）− Uz（0，− c）〉を 計 算 する と，m ＝2， m ＝3の 近 似 理 論 解， および Timoshenko・Goodier解と も c〃 に か か わ らず 同一の 値を 与 え る。
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4−3Sine 形状の横方 向分布 外 力が作 用す る時 無 限 平 板，お よ び直 線 曲げ材の高 次理論に よる解 析モ デル と し て；二 材中央の 中央面上の横 方 向 変 位u2 （
U2
，0＞ の 解析 例がい く っ か示 され て い る Sine形 状 分 布 外 力 （WzLq …曙
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… ・・…（・2） Timoshenkoは り理 論 も上 記 と 同一の変 位 を与え る。 ii） m ＝ 3の近似理論σ・1‘ ×
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