オイラー法による微分方程式の近似解の誤差評価について

愛知工業大学研究報告 第38号A平成15年

13

才イラ

-j

去による微分方程式の近似解の

誤差評髄について

On

the error e

s

t

i

臨

ationof the approximate s

o

l

u

t

i

o

n

of d

i

f

f

e

r

e

n

t

i

a

l

equation

by Euler

ヲ

smethod

樋 口 功 *

I

s

a

o

HIGUCHI

Abstract

By the fumdamental theorem of Cauchy-Lipschitz】theexistence and the uniqueness of

the solution of the following initial value problem ar喧assured N U Z J I u

-U 一 z d つ d

ν

(xo)= yo

But we can not obtain the concrete form of the solution by the above fundamental theorem，

In some elementary cases，七hesolution-function can be derived by simple calculations， But in

many cases， the solution-function can not be obtained in general

80 we need to have their approximate solutions instead of their true solutions with the help of computer，

As the methods of finding the approximate solutionうtheEulerう七heHeun and the Runge-Kutta

methods are well known.

In the present paper

，

we shall give the error estimation of approximate solution obtained by Euler's皿 ethodwhen f(x

，

ν) is Lipschitz continuous

1.はじめに

正規形微分方程式の初期値問題7 u u

z

r I d 一 一 出 υ 一 伽

_υ

_(xo)

₌

_Yo の近似解法としてはうオイラ一法，ホイン法およびルンゲ・クッタ法が普から知られている。 これらの方法は?パソコンの進歩により近年その有効性が見直されているがう次に述べるコーシー園 リプシッツの基本定理により保証されている7解の存在と一意性をよりどころにして導かれた近似解法 である。 物理学や工学では7実際に目の前で生じている現象を扱う場合が多くy解の存在と一意性はあまり問 題にならない。 しかしう解の存在と一意性をよりどころにしてう真の解の具体的な形が導かれることが多いしヲ近似 解が真の解に"近い"ことも基本定理を用いて示されるので?基本定理は理論上はもとよりフ応用上も重 要である。 本論ではヲオイラー法のよる近似解の誤差評価のついて考察したい。 本基礎教育センター・自然科学教室

2

.

コーシ一因リブシッツの基本定理

微分方程式の解の存在と一意性を保証する基本的な次の定理を思い起こそう。

コーシー闘リブシッツの基本定理.

微分方程式 (2.1) rI

z

u d d 一 一 U U 一 2

7 α τ

α

において

，

f(xぅy)は有界閉領域

(

2

.

2

)

D:

I

x

-x

o

l

三

α

?

ν -￨

y

o

l

:

S

bう α(うb

>

0) 上でう次の条件

(

1

)

，

(II)を満たすとする。

(

1

)

f(xぅy)は D 上で連続である。 (II) f(xぅν)は

D

上でリプシッツの条件を満たす7すなわち

，

D上の任意の

2

点

(

x

，

yr)ヲ

(

x

うめ)に対し (2.3) If(xぅ

υ

1

)-

f ( X

，

Y2 ) I

三

LIYl-Y21 を満たす定数 Lが存在する。 このときヲ初期条件 (2

め

υ

(xo)= Yo を満たす(1.1)の解y(x)が (2.5)

I

x

-

x

o

l

壬

C

，

ただしぅ C二 min(寸 ) ぅ M 二 問 問(x，y)EDIf(x

，

y) I の範囲において存在する。しかもそのような解はただ一つで、ある。

注意 L

上に述べた基本定理はう理論的に解の存在と一意性を保証してくれるがう解

υ

(x)の具体的 な形を与えてはくれない。 右辺の f(x

，

y)の形によりう解 y(x)をzの関数として求められることもあるがうそれは限られた 場合である。 そこでうパソコンを用いてう真の解の代用としてヲ近似解を求めざるを得なくなる。 数値解析のテキストで、は?近似解法の誤差うすなわち真の解と近似解の差うの評価に関して?なぜかう 右辺の関数 f(x

，

y)が偏微分可能な場合のみに限られてう論じられている。 しかし?コーシー・リプシッツの基本定理で扱われている関数 f(xぅν)はリプシッツ条件を満たせば 十分で?必ずしも偏微分可能とは限らない。 偏微分可能とは限らないがリプシッツ連続である関数 f(x

，

y)に関するオイラ-i去による近似解， の誤差評価が得られたのでう以下に報告したい。

オイラ一法の誤差評価

1

5

3

.

才イラ一法

区間 [xoぅx]をη 等分しうその分点を次のように定める:

x

o

，

X1

，

X2

，

Xn - X 0 ここで7

一

丁

一 一 1 i k

z

， お Z 一 一 f A と置くとうテーラー展開によりう任意の f(xぅy)ε C1_{に対し次式が得られる:} 1 -.2

仰

k)

二 仰

k一lけ

)+h

均

W

刷

j

山

，

伊

(

Z九kトい一-1)け)

+

ヤ

孟

引

y

'

1

=

ν

(

伊

Xk一1け)

+

hげf(Xk一1

，

ν

(Xk一1)十 O

叫

(h2行)。 このときう真の解

ν

(X)の X=れ に お け る 値

ν

(Xk)の 近 似 値 れ

=

YK(Xk)を 長 。

=

Yoう れ = れ-1十hf(xト 1

，

Yk

ー

1

)

(k

=

1ぅ2

，

3う ー ー ー

?η)

で定義する方法をうオイラ一法という。 オイラ一法はう区間 [Xk-1'Xk]上で f(xぅy)が一定の値 f(Xkー1うれ1) をとると仮定し?積分値

に川

d

x

を 町 ル

注意

2

上で述べたようにうオイラ一法を導く過程でテーラーの定理を使っているためぅ f(x

，

y)が

-C

1_級の関数である必要が生じる。 一方ぅコーシー園リプシッツの基本定理ではう f(xぅy) の偏微分可能性は仮定されていないのでヲ f(x

，

y)が

C

1_級の関数であるという条件は強すぎるということになる。

定義.

関数 f(x

，

y)が次の領域

D

で定義されているとする:

D: Ix-xol

壬

α

，

υ -

￨

YOI

三

b

，

α(ヲb

>

0

)

D 上の任意の2点 (X1ぅ仇)および (X2うめ) に対しう (3.1) If(X1

，

y

l

)

-

f(X2'Y2)1

三

L{lx1-

x

2

1

+

IY1 -Y21} を満たす定数

L

が存在するとき

，

f(xぅy)は

D

上でリプシッツ連続であると言われる。

注意

3

.

関数 f(xヲy) が

D

でリプシッツ連続であればヲ f(x

，

y) は

D

で、連続かっリプシッ ツの条件を満たす。すなわち f(xヲν)はコーシ-.リプシッツの基本定理における条件(1)および

(

I

I

)

を満たす。 以下においてう関数 f(xぅy) が リプシッツ連続である場合にうオイラ一法による近似解の誤差がど のように評価されるかを議論する。

4

.

才イラ

=-i:

去の誤差評価

オイラ一法により得られる近似解の誤差に関してう次の結果が得られた。

定理

微分方程式の初期値問題 ( 4.1)

(

4

.

2

)

dy ァ

=

f

(

x

，

y

)

αz

ν

(

x

o

)

=

y

o

において

，

f

(

x

，

y

)

は有界閉領域 ( 4.3) D

I

x

-

x

o

l

三

α

;

ヲ

￨νν

。

￨

三

;

b

う α(う

b>0

)

上でリプシッツ連続であるとする。すなわちヲ D上の任意の2点

(

X

l

ぅ

y

l

)

および (白うめ)に対し

(

4

.

4

)

I

f

(

X

l

，

Y

l

)

-f

(

X

2

，

Y

2

)

1壬L

{

lxl-

x

2

1

+

I

Y

l

-Y

2

1

}

を満たす定数 L が存在すると仮定する。 このときぅオイラー法による7 η 等分して得られる近似解の誤差は

o(~)

である。 すなわち x軸上の閉領域

(

4

.

5

)

F :

I

x

-x

o

l

壬

C

，

ただし， c

=

min(寸 ) ，

M

=

max(川

)

E

D

l

f

(

川 )

I および F 内の任意の点zに対し，点zにおける真の解の値引

x

)

の，区間

[

x

o，

x

]

をn等分して 得 ら れ た 才 イ ラ 一 法 に よ る 近 似 値 を れ

(

x

)

とすると3 次の不等式が得られる: (4.6)

I

Y

(

x

)

-Y

n

(

x

)

1

三

(

1

十

M)ELC

×

10

η

注意

4

.

上の定理により?これまで

C

1_級の関数

f

(

x

，

ν)に対してのみ得られていたオイラー法 による近似解の誤差評価がう必ずしも微分可能とは限らないリプシッツ連続な関数

f

(

x

，

y

)

に対しで も得られたことになる。 従って7 コーシー圃リプシッツの基本定理における 『リブシッツの条件」 と7これまで知られて いた誤差評価で常に登場する

r

C

l

_

級であるという条件」 との聞に生じていたう理論と応用との聞の 奇妙なギャップを埋めることが出来たと言える。

また7 誤差が o(~)

と評価されたのでヲオイラー法による近似値は?分割の個数η を大きくすればヲ いくらでも真の解の値に近づけられることも示された。「近似解」の「近似」たるが所以が示されたと言 えよう。 次節で?上の定理の証明を与えたい。

オイラ一法の誤差評価

1

7

5

.

定理の証明

最後に定理を言正明する。 定理の証明 第3節で述べたオイラ一法のアルゴリズムを振り返る。 z軸上の閉領域

F

を次のように決める， (5.1) F

Ix-xol

:S;

c

ぅ ただし c = min(_{¥う M}α 土)，_ノヲ M = mα

x

(

_.-¥c，

X

刀

)

E

D

l

f

(

x

，

y

)

1

YJ さらに領域

F

内の任意の点zを選びヲ区間

[

x

o

，

x

]

をη等分しうその分点を次のように定める:

x

o

，

X

1

，

X

2

， ...

xn-x

。 ここでう記述を簡単にするため， h z zo ニ

X

k

+

1-X

k

=

一

一

一

一

一

一

n と置く。 右辺の関数

f

(

x

，

y

)

が有界閉領域

D

上でリプシッツ連続であると仮定したのでヲ

f

(

x

，

y

)

は

D

上で連続で更にリプシッツの条件を満たす。従ってうコーシー・リプシッツの基本定理によりう

D

内で 初期値問題の解

ν

(

x

)

がただ一つ存在する。 このときう真の解

y

(

x

)

のh における値

Y

(

X

k

)

の 近 似 値 れ = れ

(

X

k

)

を

y

o

=

y

ふ れ = れ

(

X

k

)

=

Y

k

-

1

+

h

f

(

X

k

-

1

，

Y

k

-

1

)

(k= 1， 2， 3， ...η) で定義するのがオイラ一法であった。 先ずう k= 1， 2， ••• n に対しう次の式が成り立つことを示す

(5.2)ν(

X

k

)

-Ykl

=

ν(

1

X

k

)一れ(れ )

1

三

￨

ν

(

れ

d

れ-1(Xト

dl(l+Lh)+L(l+M)

ポ。

ここで

，

Lはリフ。シッツ定数で、あり M = m仰 ( 川

)

E

D

l

f

(

x

，

y

)

1

である。 実際う

山 )= 山 一

1

)

+

f

川

x

)

)

d

x

Z JU ' M 品 - u u - A 1κ Z 〆 ， a ・1、 P + ， ， u k -2 k f i j z 十 、 、 ， ， ノ ー_i ' κ Z す 侭 引 u d

一 一

' 炉 内 Z J ' a ' t 、 、 ' お - U U を用いてうリプシッツ連続性に注意して

I

Y

(

X

k

)-y

k

(

X

k

)

1 を評価するとう

z ， G 1 4 v n U U 1 4 ' M 民 Z / F 4 k_、 f J U U

z

- - d

K -k l j z

+

4 ﹄ ム ' h κ U υ 寸_i ' k

z

〆 ， ， 、 、 u g < 一 、 、 } ノ ' n z E m U d 育 児

z

u u

z

d 、 ， a_、 r a E J - m

- u d

z u u 十 τ ょ ' n

z

z

，iJ ︼ 目、

L

K 一 2 ' 向 f l j z

+

1 4 K N U U I n

z

/ ， s t_、 u u < 一

三 ￨ 恥

三I

Y

(

X

k

-

l

)-

:

l

I

k

-

1

1

+

叫

LUluw-l)￨￨

…

1

1

+

1

叫

三I

y

(

x

ト1)れ

1

1

(

1

+

Lh)

+

L(l

+

M)h2

ここで

7ιl

はう

y

(

X

)

に関して平均値の定理が存在を保証する

[

X

k

ー

1

，

X

k

l

内の点である。 以上でう不等式 (5.2)が証明された。 さらに誤差を

En

=

ν

(

X

n

)

-Y

n

(

X

n

)

=

ν

(

x

)

-Y

n

と置きう不等式 (5.2) を繰り返し使し"

I

E

n

を評価すると?

I

E

n

l

三

I

y

(

x

n

-

l

)-

Y

n

-

1

1

(

1

+

Lh)

十

L

(

l

+

M)h2

三

{

I

Y

(

Xn-

2

)-Y

n

-

2

1

(

1

+

Lh)

+

L

(

l

+

M)h2

}

(

1

+

Lh)

+

L

(

l

+

M)h

2

=

1

ν

(

Xn-

2

)

-Y

n

-

2

1

(

1

+

L

h

)

2

+

L

(

l

+

M){l

+

(1

+

Lh) }

h

2

壬

υ

￨

(

X

o

)-Y

o

l

(

l

+

Lh)n

+L(l

+

M)

[

1

+

(

1

+

Lh)

+

(

1

+

L

h

)

2

+

.

.

.

+

(

1

+

Lh)n

什

ここでう

Y

(

X

o

)

-Y

o

=

y

o

-Y

o

= 0 だ、から次式が得られる。

(

5

.

3

)

1

州 三

L

(

l

+

M)

[

1

+

(

1

+

Lh)

+

(

1

十

L

h

)

2

十

+(l+Lh)n

市

オイラ一法の誤差評価 不等式 (5.3) より

I

E

n

l

の評価をさらに続ける。

I

E

n

l

三

L

(

l

+

M)

[1十(1+

Lh)

+ (1 +

L

h

)

2

十 +(1十

Lh)n

ヤ

(1+Lh)n-1L2

T ( 1 ，

H¥(1+Lh)

口-1 =

L

(

l

+

M)

_(l+Lh)-l-

ポ

=

L

_-

(

_，

_-

l

_'

+

_-

_-

M)

_，

_Lh

三

(1+

M

)

{

(1

ぞ

+

r

-1} ここで次の不等式および等式

(1+~f<(1+ 出)叩

e=A(1+i)π に注意すると次の不等式が得られる:

I

E

n

l

三 (1+

M)

(1

十

全

f

h

:

=

:

;

(1 +

M)

内 。

従って評価式 (4.6)が導かれ?定理の証明が終わる。

References

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山

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