フーリエ級数を用いた耐震壁のマトリックス構造解析

【論　 文】 UDC ：6B1

．

3

．

04 ：69

．

02：624

．

042

．

7 日本 建 築 学会構造系論 文 報 告 集 第406 号

・

1989 年 12 月

フ

ー

_リ

エ

級

数 を

_用

い

た

耐 震壁

の

マ

トリ

ッ

ク

ス

構 造解析

正 会 員

　 山

丿

1

ー

哲

　　

雄

＊ 　

1．

序

　

本研究は

，

コ ン ピュ

ー

タ の利 用を前提に厳 密 解である 古典 的解析 解をマ トリック ス代 数で書き直し， 直接 剛 性 法を適 用 し て古 典 的 解 析 解の 活 用を意図し た も の であ る。 この よ う な観点か ら， 真 瀬と著者は円柱座標 系の も とで_定義さ れ た円筒シェ ルや 円板な ど種々 の軸 対 称 回転 体 要 素に関して

，

これ らの 閉解 を利 用して節線剛性マ _ト リックス を 定 式 化 し

，

直接 剛性 法を適 用し

，

回転 体 要 素 で構成ま た は等価 置 換された複 雑な軸 対 称連続 体構造物 の マ _{ト リック}ス構 造 解 析 を試み た1） 。 そ の結果， 計 算 時 間， 計 算コ ス ト

，

入出 力 関 係の デ

ー

_{タ処理手 間など}が有 限要素法に比較して大 幅に減 少 する 上 に

，

解析精 度も十 分確 保さ れ るの で

，

試 設 計な ど多く の ケ

ー

スス タ ディを 伴う解 析に有 効で ある こと を明ら かに して い る1）

・

2）

_。

_こ の こ と か ら， 真瀬ら に よっ て解 析 解 （閉 解）を用い たマ トリッ ク ス変位法に よ る軸 対 称 連 続 体の弾 性 解 析システ ムと して

，ANASUP

（

_△

1t

_！

_！

ALIytical

_鯉

porting　system ）

が作成さ れ た3） 。 　

一

方

，

閉解を得ることがで き ない平 面 応 力を受け る長 方 形板 要素 （以後， 単に板 要 素と呼 称する）に関しては

，

皆川ら が梁部 材と壁 板 が

一

体に なっ た複 合 部 材におい て

，

接 合 を予定して いる壁 板 辺に分 布 荷重を作 用さ せ， そ れ をフ

ー

リエ級 数展開し て梁 部材の_節点剛性マ ト リッ クス と と も に， 複 合 部 材 を連 続さ せ る線 節点に よ る解析 法 を

一

部 提 案し た41

。

これに対し

，

著者は フ レ

ー

ム_付き 腰 壁の み な らず 耐 震 壁な どのマ ト リッ クス構 造解析を意 図し て

，

先に提案し た 回転 体 要 素に おける解 析 手 法の_概 念と同

一

の_概念か ら板 要 素 と梁 要 素を そ れ ぞ れ独立に取 り扱い

，

これ らの要 素の 各 節 線 剛 性マ ト リッ ク スをル ジャ ン ドル の_多項式 を用い て定 式 化し た5 ）

・

fi） 。 し か し

，

板要素が フ

ー

リエ級 数 型の余 解に基づい て いる に も か か わ らず， 基 底関数に ルジャ ン ドル の多 項式を採用してい る た め， その取 り扱い にわずら わ しい 面が存在す る と と もに

_，

解 析 精 度 を高 める た めに さ ら に高次の代 数関数型 応 力 関数を付加 し な け ればな ら な かっ たη

。

本 論 文で は， ルジャン ドル の多項 式に か わ っ て フ

ー

リエ 級 数を基 底 関 数に選 択し た場 合の 板 と梁の各 節 線 剛 性マ _トリッ クス 本 研 究の

一

部は

，

文 献 17 ）および 日本 建 築 学 会 研 究 報 告

・

九 州 支 部 第 31 号 〔1989 ）に発 表して い る

。

　拿 _{九 州 大 学　 助 手}

・

_工博 　 　 〔1989年5月IO日原 塙 受理

，

1989年9月7日採 用 決 定 ｝ に

，

直 接 剛 性 法を適 用し た耐震 壁のマ ト リック ス構 造 解 析 例を示し

，

本解析法の_有用 性 を 明らか にする。

　一

方

，

耐震 壁の弾性 解析に関 する解 析 的な ア _プロ

ー

チ につ い ては

，

坪井が

2

次元平面応力場とみ な せ る壁 板に フ

ー

リエ _{級 数 型}の_{応 力 関 数}を

，

付 帯ラ

ー

メ ン に は初 等 梁 理論をそ れ ぞれ適 用し

，

フ

ー

リエ級 数で表 示した壁 板と 付 帯ラ

ー

メ ン の境 界上の_各変位を等置して連 続 条 件 式 を 作 成 することによ り

，1

ス パ ン

1

_層耐震 壁の応 力 お よび 変 位を求め る方 法を提 案し た9 ♪

_。

_その後 ， 富 井らは坪 井 と基 本 的に同

一

の解析 法

，

す な わ ち境界条件や連 続 条 件 な ど を媒介に

，

各 要素の支配方 程 式の

一

般 解に含 まれ る 未 知 積 分 定 数を求め る解 析 的アプロ

ー

チ

，

い わ ゆ る古 典 的 な 解析 法によ り

，

種々 の_{耐 震 壁}の フ

ー

リエ 級数解を逐 次 整 理して い っ た1°1

・

IZL］S〕

，

19）。 この よ う な古 典 的な解 析 法で は_， 未 知 積 分 定 数を求め る連立

一

次 方 程 式を1スパ ン

1

層 耐 震 壁le｝

・

19）_{や2ス パ ン 1層 耐 震壁}12｝

・

直8｝_{な ど耐 震壁} が 異なるごとに

，

そ れ ぞ れ始 めか ら作成す る 必要が あ る

。

　 本論文で は同じ古 典 的 解析 法に基づ く板と梁の各フ

ー

リエ _{級 数 解}に_， マ トリック ス代 数と直接 剛性法を導入 す れ ば

，

古 典 的 解 析 法に基づ く精 度と同精 度で

，

し か も機 械 的に種々 の耐 震 壁の フ

ー

リエ _{級 数 解}が_{期 待}で き るこ と を明らか にする。 さ らに

，

富 井と著 者が提案し た荷重 項 モ デル14 ）を 用いな くて も

，

実用 解に対す る基準解の役割 を期 待で き る精 密 解とし て の耐 震壁の節点 剛性マ ト リッ クスが， 本 論 文の節 線 剛 性マ トリッ クスを用い て実用的 に得ら れる ことを示 す

。

な お

，

この よ う な節線剛性マ ト リックス とい う用 語は_， 節 線 力や節 線 変 位と と もに既に 同じ概 念の も とで， 帯 板 要 素 20）_{や 回 転 体モデル要素}21）_な ど有 限要素法でも広 く利 用 されて いる

。

　2

．

平面 応 力 を受ける長 方 形 板 要 素の節 線 剛 性マ トリッ 　 　 　クス 　板の弾 性 解 析は力 や 変 位 を板 要素の中心 を通る縦横軸 に関し て_， 対 称お よ び逆 対 称な各 基 本成 分に分類して行 う

。

こ れ らの基 本 成 分 を独 立な4個の基 本 型に次の よ う に分 類 する1°）

・

11）

_。

1

型成 分 ：縦 横 軸に関し

，

と もに逆 対称な成分

H

型 成 分 ：_縦横軸に_関し， と もに対称な成 分 恥 型成分 ：_縦軸に関し逆 対 称で， 横 軸に関し対 称な成 分

IV

型成分 ：縦軸に関 し対 称で

，

横 軸に関し逆 対 称な成 分

　 一

ヒ記の各 基本型ご とに提 案さ れ た応力関 数Lω_を

_，

_表

一

1に整 理する

。

これら の応 力 関 数に基づ い て

，

表

一2

に

一 103 一

表

一

1



板 要 素に関す る 各 基本型 ご との応 力 関数

，

節線力

，

節 線 変位 お よ び未 知 積 分定 数 応

　

力

　

関

　

数 節 　 線 　 力 節　 線 　 変 　 位 _{級 数 代 数 剛 体 変}未知積 分 定 数

1

型 　 　 　 　 l Fi Σ 　 　 　 　（49

■

si皿hη

隔

＋瓦

昂

η

馬

鄭 h　ワ

昌

，5in ‘

隔

　層（o｝c。shα

・

隔

　 　 　 　 1 ＋Σ 　 　 　 　〔みh　slnめ　ξ

骨

＋β

・

隔

ξ

r

　cosh　ξ

隔

，5in　恥 　昂（のcosh α ・

．

＋_ら

墨

_ξη 妬 ≒

_。

1

の輸 畆

・

_鴨 辱 悔 ・＋

。

も

，幅 ・ 嘶 馬 

1

。，駟 ・噺 悔・噛   ・  _｛ の悔 

・

… 駈

”

・ ≒

．

1

の

゜

嗣

’

叫 ”

・

≒°   。 

1

の 

・

じ゜8 

”

_ン 

₁

の〃脇

鷹

・二喝 、≒

”

_め・ 

1

の・脇・ …   ん

・

c、且　θ。 β

錦

ん

4

β

餉

H

型 　 　 　 　 1 F

＝

Σ

　 　 　 　 　　（C

．

哺

cosh す

陶

十D

・

喝

7

同

sin 』 η

勒

｝cosξ

・

　嗣f虚，cosh “

騙

　 　 　 　 1 ＋ Σ 　 　 　 　

．

（c

ゆ

．

匸

05hξ

噸

＋P

。

縄

_ξ

亀

s …囗h　ξJ　cos　仙 　陽rg丿co5h

寵

・

．

＋ぜ 曜

一

’・ら

・

＋c_謂 ・・齪 ・

｝

・

・

評 ・

｝

・_禄   残 ・ 

乱

，煽 ・叫  





・



” 弔 1

　

’

n

　

＋

躍

乙

丿

　

悔 躍

　

8 風n

　

  い  

．

・ 

歪

。， 

・

…    

・暫

〃 即

・

ξ 

乱

_、・ 彈 … 島 い

関

  ・ 

ゐ

_宀 ・…   賦   ・

’

η  

乱

、師

・

叫 レ ・ ・

、

・ 

ゐ

・ ・

．

・

・鴫 い _竺 ＋

ゐ

  ・跏 _噺 c

_。

_隅

Co2z ）

。

罰

c 加 ChC  0

。

・

C・o 皿型 ・

橘

蟲

＿

・・ _臨 ・・_{毎 臨 臨} 需、

纛

・鵡 蝋

・

・晶 蝋 ・隅 ＋c5_。〜＋c

，

_汐η

：

い 駕・ 

乙

、 

。

…   物

匿

物

，

r・  

乙

_陶

．

．

・・咄

剛

い

認

、 〃 …   ％ビ  _ち・  

函

_騙

尻…

％ い

鴕

  ・ 

島

  _・

…

  瞭 _嘱 ・

』

・   島、如

・

叫    

乙

、・、

．

・

…   勉 ≒   ・ 

島

、駟

・

・

噺 cl

_。

　 c

、

， μ。 ρ二

．

c 。。 Al

．

β

1

．

w

型 F

冨

Σ　　L

　　　　　　　P　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

’

　 　 　 　〔A

。

4si

曲 _歹

隔

＋F

匿

隔

甲

鬮

CosL 写

鱒

）cosξ

・

　

掃

ω c

 

h

α

・

昂

 

磊

，

纛

・・∴臨 ・ ・_{二・ 蝋} ，_蛎 ＋c

。

₃り

墨

＋c

趾

ξ， 穿 押

＝

_≒匚 　 　 　 　帽

．

躍

5i

鴨

％ 　 　 見‘の 殉

匚

鳳 ゜  

｝

の幅 … 鴨 〜≒_指

．

・ 

蓋

。

_，  ・

…

    悔  ・

・

‘ 

乙

_、・ 即 ・叫 “_・≒

。

1

。

｝  ・

日

叫 ”

・

_≒”   ・ 

1

の り  

・

蟷財  ％≒・ ，

，

・ 

乙

_、 

，

・・

叫 触 ≒  ・

’

い 。

乱

、

髱

・… 臨 ハ：

。

c，、 ％ 疏 　c_。， 砿 o‘

，

備 考 ・

一

芸

…

一

_{穿 ・}

偽

．

一

砧

・

・

一

_告・

も

一

鳩 氏 蝋 い

_多・

ヘ

ー

2 ”（o〕

諧

　　蹴（o）

冨

1

，

　3

，

　5

，

　

，

，

．

，

　　　　　　　注 ｝節線 変位につ い_{て 下 線 で 示 した成分は解析解そ}

跏 ・

％

＝

晶

・

　

η

＝

号・

　

駈

＝

え轟

　

脂

＝

飢

r

η

　　　

_{のもの であ り}

，

_{板 要 素 隅 角 部} で原 関数 値 を と る

．

　 　 　 ” 

＝

跏【ε）

富

2

，

4

，

6

，，

．

示す板要素周 辺の_応力および変位で ある節 線 力と節 線 変 位をフ

ー

リエ _{級 数}で表 示し

．

表

一

1に示 す

。

節 線 力に は 板要素周 辺に 沿っ た単 位 長 さ当た りの合 応 力 Nx

，

　

Ny，

Nxy，

　

N

_，，，を_{採 用}す る_。 表

一

1より

，

節 線 力と節線 変 位は お 互い に同

一

形 式の フ

ー

リエ_{級 数}で表 示し， し か も 同数 のフ

ー

リエ _{級 数 展 開}係_数で構 成さ れ

，

そ の数は独 立な未 知 積分定数の 数に_等しい こと が わか る

。

表

一

1

，

2に示 し た 4個の独 立な基 本 型の う ち， 最 も重要な

1

型 （曲げ せ ん断 型 ）に関し て

，

理 論の定 式 化 とその数 値 計算例を 示す

。

な お

，

  型 （純 曲げ型）に関し て も本理 論の妥 当 性 と有 効 性は既に検 証されている15〕

_。

　表

一

1に示し た

1

型の応 力 関 数に基づい て計算さ れ た 板要素の節 線 力および節 線 変 位は

，

フ

ー

リエ _{級 数型}の_解 析 解と して （1＞

，

（2）式の よ うに整 理さ れ る

。

OI

型の

_節

線 力に関する板要素の _{解 析 解}

　

　

　

Nx 一

_暴

、　C。S

晝

。。

儲

　 　 　 　t 表

一

2　板 要 素に関 する各 基 本 型 ごとの_{節線 力}と節線 変 位 笛 線 　 力 節 　線 変　位 垂直 成 分 接態 成分 弾性 変 形 成分 閉 体変 位 成 分 1型 ” り 　 　 　　

　 ゆ

　　 　〃＝   _{：　 　 　 ；}物 　 ↓　 　 　　 　　 　 　

争

　　　噸

　

◎

　

　

　

噂

勉  

．

−

7 　厂ノ  

　

卩

　 　　 　 ’ ｛

一

，

，一

　 り_苫 广

、

　θo

〔コ

・ 　 　

「

魎

’ 刀 型

・

驀

（

 

i

・

噛

＿曹

．

・

・

）

’

皿塰

1

〔ユ

、 　 　 　

_prr

■

　

，

【

「

　　　　　　　　ll 　 　 ｝

．

辱

_、

　 　　　　 　

’

　 　

腎

亀

・

一

ノ 　 　 　 ” o

．

［

［ ユ

｝

w型

　　　　ら

‡　 　 ， →　　 　　 　 　　 　

辱

＋　 　 　 停

り

　

　

　

　

　

　

↑

，

1

・

”，

一

一

 

「 丶　 　 　 　

，

「

　、　　　 　 ！

　　

虚●

一

．

　

一

一

9

・

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−，

）

21（

Aan

・・

B

− ）・

i

・

h

・

。

＋

B 。

m・lm・ ・sh 副 （

一

・

愕

一

羂

。 。sh 。。

（

nπ 2b

）

2 （・・ …

h

噸 ・ ・幽 ・ ・sh ・。 ）… en

N

・y

− 一

蠹

。 。s

伝

儲 ）

 

（・・ ＋・

Ul

・・sh ・ ・＋・・・・ …

h

・。 ｝・ ・sh・_・n

一

ま

、　ci，

N

・

一一

磊

_石 。s

盖

。。

（

m π 2a

）

2 （・一 ・

1

・・

h

・。 ・ ・。 ・。 ・ ・sh ・

。

）…

9

．

・

羂

。。s

蓋

。。

（

ππ 2b

）

ti （

A

・n＋ ・

B

・… nh・

e

．・B、。

en

・ ・sh・

f

。

1

（

− 1

）

S

ユ 帽

一一

_磊

，c。s

音

。_。

（

m π 2α

）

2 ｝（婦 ・一 … sh 砺

・

＋ ・一 ・。 ・… 。 ｝・ ・sh ・

9m

一

ま

、　

Cll

……・

…・

……・

_（1）

一

₁₀₄

　

一

OI

型の節 線 変 位に関する板 要 素の解 析 解

　

　　

砺

一

去匡

一

羂

。 。s

磁

器

［ ・・（1＋ v｝・・sh … ＋

B

・ ・

1

（・

−

1）・ ・sh ・・

　

　　　　

　　

・（

1

＋・）…

i

・

h

・a・。

1

］・・… ＋

去

1

−

_{｛i＋・）・} ・＋θ

t

・

］

　

　　

・・

一

壱

』

_c 。s

蓋

。。

器

［

A

… （

1

＋・）・・sh ・_…

B

_・・

1

（v

−

・｝・・sh…

　　　

　

・（・＋の・…

h

・・

1

］←

1re 一

需

。 。s

玉

。

講

［釦 ・の…

h

・ ・

　　　

　

・・b、、

i

・・  ・蜥 ・（・＋・）・… sh ・ ・

i

］・ ・s…

一

去

1

（

1

＋・）… ＋ ・｝

］

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ゐ匪

一

暴

1。 。s

藍

。。

器

［・一 （・＋・）・ ・sh ・一 ・・−

1

（・

一

・）・・sh ・一

　　　　

・_（1＋ _の・_一 …

h

・。 ｝］…

8m

一

舌

i

（・＋の

C11

＋

el

ξ

］

晦 一

古匹

一

磊

1c 。s

蓋

。。

器

［・一 （

1

＋・｝…

h

・一 ・ ・−

1

・・血 ・・

一

・（1＋の・一 ・ ・sh ・ ame］・ ・s　

em

一

暴

。 。

9

，。

誘

M

・の・ ・sh・

en

・B・。

1

（・

−

1）・ ・sh ・

en

・（1・・〕

9n

・  瑚 （

一

1

俣

＋⊥

i

−

（1＋、）

C

。 ＋θ

1

　 　 　 　 α

］

　 （

1

）

，

（

2

） 式で与え られ た

1

型の 節 線 力 と節 線 変 位 に関す る板要素のフ

ー

リエ _{級 数 型}の各 解 析 解の う ち

，

さ ら にフ

ー

リエ_{級 数 展 開}すべ き もの は フ

ー

リエ _{級 数 展 開} し， フ

ー

リエ級 数表示で表

一1

に示し た。 た だ し

，

節 線 力の接線成分

N

．

，N

＝s は （

1

）式に見ら れ る ご と くフ

ー

リエ級 数 その もの で表 さ れているので

，

そ のま ま解析 解 と し て用い る

。

　表

一1

に示し た節線 力の垂 直 成 分

Nx

，　

Nv

は， （1 ）式 で与え た解 析 解 をさ らに基 底 関 数で ある sin 関 数で フ

ー

リエ級数展 開 して いるので， 無限の フ

ー

リエ 級 数展 開 項数を採用し ない_限り，

Nx，

凡 に よ る フ

ー

リエ級 数 展 開後の 板要 素全体の モ

ー

メン トがフ

ー

リエ級数 展 開前 の原 関 数に よ るモ

ー

メ ン トに

一

致し ない

。

これ らの モ

ー

メン トが恒等 的に

一

致す る よ う に， フ

ー

リエ級数 展 開係 数

Nx．

n

，

　

Ny，

m （表

一

1参照）を （3 ）式の よ う に補 正す る

。

Nx

と凡 との関係は x

−

y交 換 則を適用 すれ ば容易に_求 め ら れ るので， 以後の記述は

Nx

につ いての み示す

。

　 　 　ハ』≒Σ】Nx

，

nsi 皿 η

陀

　 　 　 rUe） 　 　 　　

−

Nx≒Σ 嗾 。＋

AN 。

，

。）sin　za 　 　 　 tUo） 　 　 　

一 ・

・

・

・

…………・

………

（3） （

3

）式の

ANx ．

n は

，

（4 ）式を満 足 するよ うに求める

。

　　　

∬

・

_磊

・_晦 ・

in

・

−

f

_．

’ ・N．

dy

　　　

　　　

　　　　

　　

−

∬

嘯

晦 ・・… 　 　 　

・

・

…阜

一・

・

・

・

・

・

…

　

r…

　

r…

　

r・

・

・

・

・

・

・

…

　（4） 　た だ し

，

凡 は解 析 解

，

すな わち （1）式に示 す よ う に原関 数で表さ れ た節 線力の垂直成 分で ある

。

そ う すれ ば

，

節 線 力に よ る板要素全体の モ

ー

メ ン トに関するつ り

……・

……一 …・

……・

_{（2 ）} …合いが恒等的に_満足 され る

。

な お_{， 伸縮}型の_{基 本 型}であ …る

ll

型は恒等的に力のつ り合い条件を 満た し

，

純 曲げ型

i

の基本型で あ る 皿

，W

型で は表

一1

に 示 す 応 力関 数を採 用する_限り， フ

ー

リエ 級 数展開後も恒 等的に力のつ り合 い を満た し ていること が明ら かに さ れ てい るls）

_。

この よ うに して 求め た節 線 力に関 す るフ

ー

リエ 係 数 （表

一

1参 照）と

，

（1 ）式に含まれ る未知積分定数の_間に （5 ） 式に示す よ う な関係が存 在す る1°）

_。

NyxloN

“x

，

mNs

，

mNx 。

，

。

Nry，

n ハ

lx

_，

n

÷

・・ 砿 妬 砺 恥 α θ

・

…・

……・

…………

_（5） 　従 来の_{耐 震}壁の古 典 的 解 析1°）112 ）

，

】s｝

・

19 ） で は

，

連 続 条 件 と し てフ

ー

リエ _{級数展 開後}の_板要素に該 当 する壁 板 全 体 のモ

ー

メン トのつ り_合いは満足 さ れて い ない

。

さらに_， 板 要 素全体の モ

ー

メ ン トの つ り合い を満足 し な い節 線 剛 性マ ト リッ クス を用い た耐 震 壁のマ ト リッ クス構 造 解 析 の精 度も

，

（

5

）式を利用し た本 法の精度と全く遜 色 が ない こ と を 既 に確認 してい る］7 ）

_。

これ は

，

付 帯ラ

ー

メ ン 全 体が力のつ _り合いを満 足して いる か らである

。

　 （

1

）

，

（

2

＞式で与え ら れ た原 関 数を表

一

1に示す よ うにフ

ー

リエ級数展 開 す る 場合

，

原 関 数 が奇 関 数であ れ ばsin 関 数で_， 原 関 数が偶 関 数で あ れば cos 関 数でそ れぞれフ

ー

リエ _{級 数 展 開}しな け れ ばな らな い ことは表

一

3を見れ ば明ら かであ る。 板 要 素 内で定 義さ れ た関 数を 板 要素外の仮 想 空 間に周 期 関 数 と して拡 大 す る際に

，

板 要素隅角 部で対 称ま た は逆 対 称に関数 を折り 返 え す かに

一

一

表

一

3　フ

ー

リエ _{級数展 開}に おける基 底 関 数と 展開 項との関 係 奇 数項のフ

ー

_リエ展開 麟（o ）

＝

1

，

3

・

・

偶 数項の フ

ー

リエ展開 繭（e ）

＝

2

，

4

，

．

s川 関数 （s1鯉

_墾

_晋

κ ） 　 　 　 y り cos関 数 （c。s

_黷

xl 　 　 　 　y y よっ て

，

フ

ー

リエ 級 数 展 開 項が奇 数 また は偶 数に な る

。

板 要素にお ける

1

型の弾 性 挙 動 を 少ないフ

ー

リエ_級数展 開 項 数で精 度良 く表す た め に_， 応 力 関 数を表

一

1に_{示 す} ように奇 数 項 展 開の フ

ー

リエ 級 数で定 義し たの で

，

そ れ か ら求まる応 力お よ び変 位は

，

（1 ）

，

（2）式に そ れ ぞ れ示 すように奇 数 項 展 開の フ

ー

リエ _{級 数 型}の解 析解で し か与え られ な い。 これら の解 析 解 をさ らに フ

ー

リエ級 数 展 開する場 合に は

，

で き るだけ少な い フ

ー

リエ _{級 数展 開} 項 数で

，

し かもできるだ け精 度 良く原 関 数が近 似で きる よ うに フ

ー

リエ_{級 数 展 開 す}ること が重 要である。 特に

，

変 位に関する板 要 素 隅 角 部の原 関 数に基づ く有限値を 正 確に お さえ る こと が_， 古 典 的 解 法の別 解 法と して重要で あっ た ごと く16）

，

こ こでも極め て重 要である

。

　以 上の観 点か ら， 表

一

_{1に示し た}

₁

_{型の節 線 変 位の} 接 線成分 Vx と Uy は COS 関 数に よる_{奇数 項 展 開}で あ る た め

，

表

一

3か ら も 分 か る よ うに板 要素隅 角部の_{原 関 数}に 基づ く有限値をフ

ー

リエ 級数展 開後に零 と置くことにな る。 こ の ことをさ ける ために， フ

ー

リエ級 数を用い た古 典的 解法9い ω

・

lz｝ で は

，

　Vx と Uy にか わっ て そ れ らの

1

次 微係 数で あ る 垂直ひずみ を 採 用 し た わ けであ る

。

そ う す れば

，

偶 関 数が奇関 数に な り， sin 関数に よ る奇数 項 展 開が可能と な り

，

表

一3

に示す よ う に板要素隅角 部の有 限 値が零に な ること を さ け ること ができ

，

しか もフ

ー

リ エ _{級 数 展 開 項 数}に比例してその_解析精度を高め るこ と が で き る

。

しか し

，

直接 剛 性 法 を意図 し て板要素の節線剛 性マ _{ト リ}ッ クスを定式化す る 必要が あ る本法で は 垂直ひ y

一

2α

＿

a 　 　 　 σ 　 、 Uya2 α 　 　 x

コ

／

『

a2b 図

一

1　節 線 変 位の接線成分Uy に おけ るcos 関 数と定 数 項の_構 　 　 　 成 概 念

一

₁₀₆

一

ずみ を採 用す る わ けに は い かず

，

剛 体 変 位 を含ん だ変 位， すな わ ち Vx と Uy を必 要とする

。

こ れ を 実 現す る た め に は

，

フ

ー

リエ _{級 数 展 開す る}前_に

，

_図

一1

に示 す よ うに 偶 関 数で あ る Vx と Uy の原 関 数 値が板 要 素 隅 角 部で零 にな る よ うに その _値を定 数 項と して差し引く。その結 果

，

板要 素隅角部で零に なっ た原 関 数をCOS 関 数で奇 数 項 の フ

ー

リエ _{級数展 開}し

，

先の_{定 数項}と組み合わせ る

。

そ う す れば

_，

_{板 要 素 隅 角 部}の_{原 関 数 値}を厳 密にお さ え るこ と が で き る

。

　以 上のこと を

，

Us につ い て式で表 示 すれ ば （6）式 の よ うに な る

。

す な わ ち

，

COS 関 数で奇 数 項の フ

ー

リ エ_{級 数 展 開}の_{対 象}と な る原 関 数が

，

板 要 素 隅 角 部で零の 値 をもつ よ う に_{原 関 数}を変_形す る

。

Vx につ い て も （6｝ 式の よ うに変形 し たうえで フ

ー

リエ _{級 数 展 開 を行う}

。

Uy

＝

Uy

−

Uylx

＿

α＋Uylx

＿

α 　 　

一一

厂

 

一一

1

−

　

≒_{Σ妬 寵}COS ξ皿十Uy

，

o

…・

…・

………・

……

（6） 　 　 m［0 ） 　こ の よ うな_操作は_{文献 16 ）}で_古典 的な解 法の別 解 法 と して

，

垂 直ひずみ _{εx， εy} と 隅角部の_変位u

，

v を連 続 条 件に用い る方 法 を 提 案 し たが

，

これ ら と表

一

1に示し た接 線 変 位 成 分 v

＝

_，Uy は_等価関係にあ る と解 釈す るこ と がで き る。 こ の よ うに し て求め た節線変位に関す る表

一

_{1の フ}

ー

_リエ _{係 数 と} ， （2 ）式に含ま れ る未知 積 分 定 数の間に （7 ）式に示す よ う な関係が存 在 する】ω 。 Uy

_．

aUylmVy

、

mVr

，

OVx

，

nu

＝

，

n 　 1

＝

Ea

　iFw 砺 縣 砺 恥

q

θ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（7） 　 （7 ）式の逆マ ト リッ ク スを （5 ）式に代入 し， 未知 積分定 数を消 去す る と，節線 力と節線 変 位の関 係と し て， 板要素に関す る節線剛性マ トリッ クスが （

8

）式の よう に_求め ら れ る。 A1，却

NyxlmN

瞬 眺从oNi 。

，

。 亙。

，

。 　

Et

＝

aiKw Uy

_，

oUy

、

廻 1ん

、

挽

v

コ

_らoVx

，

nUx

．

n

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（8） 　（5 ）式お よ び （7 ＞式はそれ ぞれ_{応 力 境 界 条 件 式}と 変 位 境 界 条 件 式に関するマ ト リッ クス表 示の

一

一

_{般 式}で あ る

。

し たがっ て

，

板 要 素の み の弾 性 解 析を従 来の古典 的 方 法で行 う場 合には

，

該 当 す る 境 界条 件 式を （5）式お よ び （7 ）式か ら末 知 積分定数の数 と 同 じ独 立 な行 数だ け 選択し

，

未 知 積 分 定 数を未 知 数とする連 立

・

一

・

次 方 程 式 を構 成す ればよい

。

ゆえ に

，

（7 _）式の逆マ _{ト リ}ッ ク ス

を計算する ことは_{， 変位境界 条 件 式}のみ で与 えら れ た連 立

一

次 方程 式を解くこ と に相 当 する。 　

3．

梁要素の剛性マ ト リックス 　梁のた わみ に関 する支 配 方 程 式は_， せん断変形を考慮 し た チモ シェ ンコ_梁が

一

_般に広く利 用 され てい る

。

し か し

，

こ こで は_板要素と長 方 形 断 面を有す る梁 要 素の結合 を考え てい るの で

，

モ

ー

メ ン ト勾 配を伴 うせん断 力に よ る せ ん断変形に は， その形状係 数κ

＝1．2

を採 用し

，

モ

ー

メ ン ト勾 配 を伴わ ない純せ ん断 力に よ る せ ん断 変 形に は z＝ 1

．

0_を採_{用 し た}富井

・

_{平 石}の _{梁 理 論}5〕繊 1°〕_{を 用い る}

_。

その支 配 方 程 式 を （

9

）式に示す

。

　

　　

E

・・’”一 _・

一

・w”・

書

（ ，q ・

一

，・

’

）

一

聲

（、・

〃一

，q

・

’

） 　　 　　　 　　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9 ） こ こ ・ _〆 一

器

_・一

齢

_（・

−

1

．

2_） 　　 　

E

∬

一

曲 げ剛性，　

GAz

せ ん断 剛 性

一

_方

_，

_{材 軸の伸 縮 変 位 u}

_。

_{に関す る} 支配方程 式に は （10）式を採 用する

。

　　　

・乞

一一

_，

壱

_声

・・q）

・

一 ・

一 ……・

一 ・

…・

（1・） こ こ に_， E

、

4 ：｛申縮 剛 性 　板 要 素の節 線 力をフ

ー

リエ _{級 数}で表し た の で （表

一

1， 3参 照 ）

，

梁 要 素の 中 間 荷 重 もフ

ー

リエ _{級 数}で （11 ）式 の よ うに与えな けれ ばな らない

。

離

飄 ト

川 　 　 　 　 縦ol 　梁要素の_節線変 位も板要素の_{節線 変位}に な らっ て

，

フ

ー

リエ _{級数で （}

12

_）式の よ う に与え な け ればな ら ない。

躍飄

一

_一 　 　 　 　 mfo ）

　

フ

ー

リエ_級数は基 底 関 数に採 用し た梁 要 素の_{節線剛 性} マ トリッ クス は

，

板要 素に合わせ て図

一

2に示し た 逆 対 称モ

ー

ドに_関し て の み_定式化す るe な お

，

対 称モ

ー

ドに

tim

・

iVig

． 　 　 t9 → ” 一 一 → → →

↓

i

街

D

工

　 → → → 　　

一

レ

■

tゆ e 　 　 bq　　　　　　　 ρ 　 　 　 　 　y 　 　 節線 力と材 端 力 図

一

2 　 　 　よ び変 位の定義

甲

齒

幽 μ 亡 、 　

、

、

、

　

一

隣

　

_「

■

」 r 、 　 　 　

唱

「 　 　 　

鞠

＿

−

J 　 　 　 y　 　bU 節 隷 変位 と材 端 変 位

Jti

逆 対 称 系の_{梁 要 素}に おける座 標 系

，

中 間 荷 重

，

材端 力お 関して も同様に取り扱え る］5〕

_。

_{梁要素は板 要素と異な り} ， 節 線 力が 三角 関 数で与え られ た中 間荷 重で あ り

，

節点 力 が解 析 解とし て そ の ま ま利用 する こと がで き るので

，

梁 要 素にお け る平衡条件を恒 等的に満足 して いる。しか し

，

梁 要 素の材 軸に沿っ た上 端お よび下端の 各接線変位成分 tU

，

　bU （図

一

2参照）をフ

ー

リエ級 数 展 開 す る と

，

梁要 素 材 端 隅角 部で の原 関 数にお け る有限値が， 板 要素と 同 様に零にな る。 そこ で板 要 素 と 同 様に

，

（6）式の よ う な操 作を行 うとフ

ー

リエ _{級 数 表 示し}た tU

，

　bU にお け る 定 数 項eUo

，

　 bUo は原 関数で表されたことにな り， そ れ は 原 関 数で表さ れた節 点 変 位u と θ か ら求 まる材 端 隅 角 部の接 線変位 成 分 （材 軸 方 向 変 位）と完 全に

一

致す る

。

この ことは_， （7 ）式に相 当す る節線 変位

・

節点変位と 中 間荷 重

・

未 知 積 分 定 数の関 係 を表すマ ト リックス （

15

式 参 照 ）に従属な関係が発生するこ と を 意 味 し

，

その逆 マ _トリックスが 計 算で き な く な る

。

すなわ ち

，

tU。

，

　bU 。 は u

，

θで表 される こと を意 味してい る

。

し か し

，

板 要 素で は梁 要 素の材 端に該 当する辺 で， 節 線変位の垂直成 分に関し て sin 関 数に よ るフ

ー

リエ _{級数 展 開}を行っ て いるの で （表

一

1参 照 ）

，

（

7

）式に は従属な関係が存在 し な い

。

ゆえ に_， （7 ）式で は逆マ ト リックスが計 算で きる わ け である

。

こ の こと は， （

7

）式で示し た左 辺の 各 節 線 変 位 成 分に 関す るフ

ー

リエ _{級数展 開係数}を未 知 積 分 定 数と 同数だ け独 立に_{定 義}す るこ と が

，

逆マ ト リッ ク ス を計算す る上で極め て重要であ るこ と を示 唆して い る

。

　し た がっ て， 材 端隅角部で節 線 変位の 接 線 成 分tU ， bU に関す る原 関 数 値 （微 小な値 ） と， その COS 級 数 展 開値 （フ

ー

リエ の定理 よ り零）の間に微 小な差 を生じ さ せ_， しか も近似 解とし て十 分 許 容で き る範 囲 内にお さ ま る よ うに原 関 数 を変 形する

。

す なわ ち

，

梁 要 素に関して （13）式の よ うな原関数の変 形 を行っ た後

，

cos 級 数 展開を 実行する

。

なお_， tU に関し て の み示 すが

，

　 bU も 同様に取り扱 う

。

　　　tza； tU

−

tUlx

＿

α

一AtUlx＿

a＋ tUlx

＿

a＋

AtUlx＿

α

一

7

　　　 　≒Σ］tUmcos 驫十tUo

………・

…

　

…・

・

…・

・

…

（

13

） 　 　 　 側Ol 　以上の_方法で節 線変位を求め

，

板要素の _{（5 ｝， （7 ＞} 式に相 当す る梁 要素に お け る関係式 を

，

（

14

）

，

（

15

）式 にそ れ ぞ れ 示 す6 ）

・

le ）

_。

　 　 　 　 　tqo 　 　 　 tqo 診q融 bqob9

躍

　 　 　 ； _ASg

．

一

瓶 一

Q

／α M ／α2N ／α tq岡 bqobqn 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

…

　（14 ）

．

．

望

璽

．

一

．

Cl

／α

C3

／α3C2 ／α2

tUotUmbUebUza

馳

か ω 　a3D

；

耐『・

1

％ 藍σo 醴

q

皿 bqob α鷹 　　　 　_ZVmCl

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（15 ） ／α

c3

／α3C2 ／α2 　フ

ー

リエ級 数に基づ く梁 要索の _{節 線 剛 性}マ トリックス に関す る以後の_取り扱い は板 要 素と同じで ある

。

（

1・

5

） 式の逆マ トリックスを計算して

，

そ れ を （14）式に代入 す る と梁 要素の剛性マ ト リッ ク スが逆 対 称 系 （図

一

3 参 照）に関し て （

16

＞式で_与え ら れ る。 tqDt9

擢

bqo りq招

．

鰻

．

．

Q

／aM ／a2N ／α 　

El

 

『

ガ

κ・ tUOtUnbUobUm

勉

η 叨

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

…

（16 ） 　

4．

直接剛性 法に よ る耐震壁 のマ トリックス構 造 解 析 　 　 例 　（16） 式で定義 し た 逆 対 称系の _{梁 要 素}の剛 性マ トリ ッ クスを， 柱梁接 合部を剛と仮定し た耐 震 壁の 解 析に利 用 す る た めには

，

図

一3

にasす よ う に 剛域を考 慮し

，

板 要 素と 同 じマ トリックス 変位 法にお け る 基準座標 系に座標 変 換 を行う 必要が ある

。

その うえ で

，

（16） 式で与えた 梁要 素の剛性マ ト リックス を付帯ラ

ー

メンの柱および梁 にそれ ぞ れ 適 用 し

，

（

8

＞式で与 え た板 要 素の節 線 剛性 マ

5

リッ クス と と もに

，

直 接 剛 性 法で重ね合わ せ て ゆ け ば

，

対 称な

1

形 断 面を有し

，

しか も せ ん断 型の外 力 （

1

型）を 受 け

，

剛 な 柱梁接合 部を有す る 1ス パ ン1層 耐 震 壁の_{弾性 解 析}をマ ト リッ クス_{変 位 法}で容 易に行 うこと が でき る

。

この よ う に し て求め た耐震 壁の剛 性マ ト リッ ク スを 記 号で （17）式の よ うに表す

。

　

　

　警

一

［

Kmm

Km

　　

Kmi

K

，，

］

21

……一 ・

一 ・

……

_（17） 　 　 　 　 y αα 2a aa 一 　 　 解 析座 標 系

磆

駆 　 　 9

→→→

　　→ → →

〈

_↓

　　

→

寅

→→→“

→ 　

7

ア

優

巫 　

｝

一

マ ト リックス変 位法の基 準 座潔 系 図

一

3　剛 域 を 有 す る逆 対 称 系の梁要 素に おける座 標 系

，

中間荷 　 　 　 重およ び材 端 力の定義

一 108 ．

一

　こ こ に

，

Pm ：節 線 外 力　　

P

，：節 点 外 力 　 　　　 　Om ：節 線 変 位　　

a，

：_節点変 位

　

（17）式 か ら耐 震壁の節 点剛性マ ト リッ クス を誘導す るた めに は， 節 線 外 力 Pm が零で あ るこ とに注 目し

，

轟 とδ，の 関 係 を求め れば

，

耐 震 壁の節 点剛 性マ トリック ス である

P

，と

Si

の関 係が （18｝式で与え ら れ る

。

　　　P

，

＝

（

K

，一

KimK

−

kKmi

）

O，

・

…・

一 ・

…………

（18 ＞

　

（

18

） 式は基 準 座 標 系に関し て代表節 点である節点

1

で （図

一

4参 照 ）

，

し か も壁 板の_中心 を通る縦 横 軸に関 し て逆対称系の応 力 場 お よ び変 位 場の も とで定 義さ れ た もの で あ る ゆ えに_， 剛体回転を拘 束し

，

両 辺 を4倍す れ ば _（

18

_）式か ら直 接

，

1

型の基本節点 剛性マ ト リッ クス ，

Kri3

］ が （

19

）式の ように求め られ る

。

4

絆 4畔 4韓 ／

h

ず

誹

：

：

lii

］

嵯vfh θ著

・

・

9・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



t・

・

・

・

…

_｛19）

　

図

一

4に示す標準 型 の

1

ス パ ン 1層 耐 震 壁に_関す る （19）式の数 値 計算例を

，

各フ

ー

リエ_{級 数 展 開 項 数}ごと に表

一

4に示す

。

表

一4

よ り

，

本 解における最 初の 2行 2列か ら なる部分マ ト リッ クス は

，

富 井

・

平石の フ

ー

リ エ _{級 数 解}か ら求め た，

K7

に

，

フ

ー

リエ 級 数 展 開 項 数の h y O

．

S83X → ↓ ↑

_＿

も 工 2 3 4 工 　亡 ← 　　　↓ ←

蕩

_冒

　 　　　 　　 　　　

H

　bb

←

エbe

ト

ー−

　

z



− 一

_→

垂

λ

・

s

−

・

・

… 　 　 貼

■

T

・

O

・

Vl

　　

・

爵

・

2

．

・ 　

殉

　　 Pe 　 　％

°

T ．

o

・

17ユ

　　

β。

・

≒

・

3

，

・・3 図

一

4標 準 型の耐 震 壁の形 状と逆対称 系の_{節点争力 （}

1

_{型 ）} 表

一

4　 慓 準型の 1ス パ ン1層 耐 震壁の

1

型の基 本 節 点 剛性マ ト 　 　 　リック ス

，

Kf の数値 計算例に関 す る 比 較 本 　解 富 井

・

平 石の解 n

＝

14 喧 4Y_肇

畠

．

一

一

一

」

4畷’た

騨

匪

　

　　

　

　　

　，

2

．

986　L餔6：

−

0

．

253

　

　　

　

　　

　層

ユ

．

4ロ o

．

397；o

．

。37 　

…

　 　

幽

・

　 　

幽

一

1

・

…

　

．

・

一

。

．

246 。

．

。50io

．

166 嘘 り芒

凾

．

・

圏

畷

儂ト

［

：

：

：

：

：：

：

1

：

1

圓

n

＝

3

！

i

攤

iliiiil

飃 調

n

雷

5

隰

鑿

翻

膿 調

n

置

lo

［

i

攤

躔

瞭

調

0

．

05810

．

182 n

昌

20

［

i

；

盤

i

；

翻

膿 調

注 ｝n はフ

ー

リエ級 数 展 開 項 数 を 示 す

．

L

苦

ー

_O 　　　　　　O

．

2　　　　0

．

4　　　　0

．

6　　　　 0

．

8 ＿ 王 　 　 　 a 工

．

0　　1

．

11　 L2Z 図

一

5　柱 梁 接 合 部 を剛 と仮 定した 1スパ ン 1層 耐 震 壁の変 位 と 　 　 　 変 形 図に関する本 解と富 井

・

平 石の解の比較 （XIEt ） 1

．

41 ユ

．

2ZLO o

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6

考

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4

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2 上 段 ；本

　

解 ，

　

下段：富 井

・

平 石 の 解 O　　　　　 O

．

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．

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．

6　　　　0

．

8　　　　工

．

0　 　1

．

11　1

．

22 一 _吾 図

一

6 柱 梁接 合 部を 剛 と仮 定し た1スパン1層 耐 震 壁の せん断 　　 　応力 τ（X／th）と付 帯ラ

ー

メ ン のせ ん断 力

Q

（X）に関 　　 　 す る本 解と富 井

・

平 石の解の比較 1

．

41L211

．

O O

．

B o

．

6 上段 ；本　解 _， 下 段；富井

・

平石の解

苦

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4

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一

　

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0，

8　　　

1

　　　　　　

ξ

＃

_E

図

一

8 壁板のせ ん断 応 力 tTszaと梁の分布 接 線 荷 重 妣 との間の 　　 　連 続 条 件に関する収束 状況 （本 解 と富 井

・

平 石の解 も解 　　 　析 解を用いている の で連 続 条 件 が 完 全に満 足さ れ てい 　　 　 る）

0．

40

．

］

0．

20

．

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，

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．

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．

3 　 　 　 0

，

20

，

10 　　（a ）　 フ

ー

リエ展 開項数n

霊

5 0

，

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．

50

．

20

，

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・

WyO

・

9 （

誉

_{） ・}

_．

₃

　 　 　 0

．

2 図

一

7　柱 梁 接 合部を剛と仮定し た1ス パ ン 1層 耐 震 壁の垂 直応　 　図

一

9 　　　 力 σ（X／th） と付 帯ラ

ー

メ ン の曲 げモ

ー

メン トM （Xh） 　　　 に関 す る本 解と富 井

・

平 石の解の比較 0

．

正 0 　0　　　0

．

2　　　0

．

4　　　

0．

5

　　　0

．

8

　　　　　　　　

ξ

＝

_i

　　

（b ｝



フ

ー

リエ_展開項数n

＝20

1 壁板の垂直応 力 tavと梁の 分布垂直 荷重 ω

。

との間の連 続 条 件に関 する収 束 状 況

いか んに か か わ らず_， よ く

一

致し て い る こ と が わ か る

。

　 標 準 型の 1ス パ ン1層 耐 震 壁に境 界 条 件 として節 点 回 転 角

，

お よ び壁 板 中心の水 平

，

鉛 直変 位をい つ れ も零に お き， 図

一

_{4に示す よ うな逆 対 称 外 力 を作 用させ た場合} の数 値 計 算 例 を， 本 理 論の妥 当性の検 証 例 として示す

。

本 法に よる耐 震 壁の応 力およ び変 形は図

一

5か ら 図

一

7 に示 す よ うに

，

古 典 的フ

ー

リエ _{級 数 解}に基づ く_富井

・

_平 石の解廟_{に極 めて よ く}

一

_{致し てい る}

_。

_そこで ， 壁 板の応 力と付 帯ラ

ー

メ ン の分 布 荷 重と の間の連 続 条 件に関 す る 収 束 状況 を子 細に検 証す る た め に_， そ の拡 大図 を壁板と 梁に関して図

一

8

，

9に示 す

。

なお_， これ らの関 係は壁 板と柱に関し て も 同じ傾 向 を 示すの で割 愛す る

。

これ ら の連続 条 件が満足 さ れ れ ば さ れる ほど_{， 解}の_精度は_向上 して いることを意 味 する。 　フ

ー

リエ級 数 を 使っ た富 井

・

平石の 古 典 的 解 法’°）_で は_， 壁 板と付 帯ラ

ー

メ ンの境 界に お い て_， 付 帯ラ

ー

メ ン の分 布 荷 重 として壁 板のせん断 応 力 を原 関 数のま ま 与え て い る

。

こ の ことは

，

本 法で も （1）式お よ び表

一

1に 示す よ うに壁 板に関して は_， せ ん断 応 力 を原 関 数の ま ま 取り扱っ てい ること と 同じ である

。

図

一8

に示す よ うに

，

せ ん断 応 力の収 束 傾 向に関し て は両 者の間に若 干の差 異 が見ら れ るが， フ

ー

リエ 展 開 項 数が n

−

20に な ると両 者の解は

一

致して くる

。

　 壁 板の垂 直応 力に関して は そ の応 力と付 帯ラ

ー

メ ンの 材 軸に垂直な分布 荷重 をそ れ ぞ れ フ

ー

リエ _{級数展 開}し_， そ れ らの フ

ー

リエ係 数 を 等 置す ることによっ て

，

壁 板と 付 帯ラ

ー

メ ンの間の応 力に関 する連 続 条 件 式を

，

富 井

・

平 石の古 典 的 解 法で は構 成 して い る

。

本 法で はそれ を， 直 接 剛性 法に よる平 衡 条 件 式 として取り扱っ て い る。 こ れ らの連 続 条 件は

，

図

一

9に示す よ うに

，

本 解が富 井

・

平 石の解よ り若 干 収 束が よいよ うである

。

こ のよ うに本 法は耐 震 壁の応 力 解 析におい ても

，

従 来の古 典 的解 法と 同 程 度か

，

そ れ以 上の精 度を有し て い る こと がわ かっ た

。

　

一

方， 図

一

_{4に示す耐 震 壁に関し て は} ， 同

一

_{の境 界 条} 件お よ び外力条件の も とで

，

藤谷

，

末岡

，

花 井らによっ て開発さ れ た有限 要素の数値解 析 精 度に関する検 証が す で に行わ れ たz2〕

・

z3〕

_。

_{これ らの検 証におい て は古 典 的 解 法} に基づ く富井

・

平 石の フ

ー

リエ _{級 数 解}1°｝_がメ

ー

_{トル原 器} の役 割を は た し た

。

　

5．

結 　論 　 本 論で は

，

板 要 素と梁 要 素に関し てそれ ぞれ フ

ー

リェ 級 数を用い た新しい剛 性マ トリッ クス の定 式 化を明ら か に し た

。

つ い で

，

これ らの剛性マ _{ト リ}ッ ク スを用い た直 接 剛性法による_耐震 壁の基本節 点剛性マ ト リックス の_作 成 法と

，

耐 震 壁の応 力 解 析 法を提 案し たe 本 解 法は支配 方程 式の フ

ー

リエ_級数解に 基づ き

，

境 界 条 件 式を連 立 1 次 方程 式と し て そ の未 知 積分定 数を求める従来の古 典 的 解 法の

一

般 化と見な す こと ができる

。

一

_llO

一

　謝 　辞 　本研究に関して親し く ご指導を賜る と ともに

，

貴 重 な ご助言 を頂い た青 木建 設 （株 ）取締 役 副社 長

・

研 究所長， 九州大学名誉教授

・

富井政英先 生に謹んで厚 くお礼 を申 し上 げま す。 ま た

，

本解析例の

一

部に ご協 力 頂い た大 林 組 （株）

・

萩尾浩也 氏 （九州大学

・

元 大 学 院 学 生）に_謝 意を表し ま す

。

参 考文 献 1） 真瀬伸治

・

山川 哲 雄：解 析 解による原子炉 建屋の弾性解 　 　 析

，

そ の 1

，

そ の2

，

そ の 3

，

日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 　 　梗 概 集，　1979，　1981，　1982 2） 真 瀬 伸 治

・

山川 哲 雄：円 形 基 礎 版と弾性 地 盤の_静的相互 　 　作 用

，

日本建 築 学会大会講 演梗 概 集

，

1980 3） 真瀬伸治

・

川井 喜大 ：解 析 解を用いたマ トリッ ク ス変位 　 　法によ る軸 対称 連 続 体の弾 性 解析 システム （ANASUP ）

，

　 　日 本 建 築 学 会 電 子 計 算 機 利 用シンポ ジウム論 文集

，

　 　Vol

．

6

，

　pp

．

151

−

156

，

　1986 4_）皆 川 洋

一・

長 曽我部 誠 ：_線節点 を有す る壁体の_{剛 性}マ ト 　 　 リックス の誘 導と壁 体が付 加さ れた フ レ

ー

ム の解 析へ の 　 　 応用

，

日本建築 学 会 研 究 報 告九州 支 部

，

第28号

，

1985 5）　山 川 哲 雄

・

富 井 政 英 ： ル ジャン ドルの多 項 式を用いた平 　 　面 応 力を受け る長 方 形 板と はりの剛 性マ _トリッ クス

，

構 　 　 造工学に お け る数値解析法シンポ ジ ウ ム論 文 集

，

第10巻

，

　 　 pp

．

128

−

133

_，

　1986 6） 山 川 哲 雄

・

富 井 政 英 ： ル ジャ ン ドル の直 交 多 項 式を 用い 　 　た耐震壁の マ ト リッ クス構 造解 析

，

構造工学 論 文 集

，

　 　Vol

．

33　B

，

　pp

．

17

−

26

，

1987 7＞　山 川 哲 雄

・

富 井 政 英 ： ル ジャ ン ドル の_多項式を用いた平 　 　 面応 力 を受け る 長 方形 板 要 素の剛 性マ ト リッ ク ス

ー

代 数 　 　関数 型 応 力関数 を 多用 し た 場合

一，

構造 工学にお ける数 　 　値 解 析 法シ ンポ ジ ウム論 文 集

，

第11巻

，

pp

．

135

−

140

，

　 　 19878

〕 R

．

V

．

　Churchill

・J．

W

．

　Brown _：Fourier　

Se

【ies　and 　 　Boundary　Value　Problems

，

　McGraw

−

Hill

，

1978

9） 坪井善勝 ：

“

耐震 壁 の 応 力解 析

”

，

日本建築 学 会 論 文 報 告

　 　集

，

第46号

，

pp

．

53

−

59

，

1953

10〕 富 井 政 英

・

平石 久 廣 ；Elastic　Anaiy_ミis　of　Framed　Shear

　 　Walls　

by

　

Considering

　Shearing　Deformation　of　the

　 　 Beams　and 　Columns　of　Their　Boundary　Frames

，

　Part

　 　

I一

皿，日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第273号

一

第275号

，

　 　pp

．

25

−

31

，

　pp

．

75

−

83

，

　pp

．

45

−

53

，

　1978

〜

1979

11） 富 井 政 英

・

山 川 哲 雄 ：Relatlons　Beしween 　the　Noda且Ex

．

　 　temai　Forces　and　the　Nodal　Displacements　on　the 　 　BQundary　Frames　of 　Rectangular　Elastic　Frarned　Shear

　 　 Walls

，

　Part　

I − V ，

_{日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集}

，

_第237_号

　 　

一

第 241号

，

pp

．

45

−

57

，

　pp

．

37

−

46

，

　pp

．

35

〜

42

，

　pp

，

63 　 　

−

70

，

　pp

，

79

−

89

_，

　1975

〜

1976

12） 富 井政英

・

佐 藤 典 美

・

井 上 正 文 ：Elastic　Analysis　of

　 　TwQ

・

Story　or 　Two

・

Bay　Duplex　Fra皿ed 　Shear　Walls

　 　Subjected　tQ　Antisymmetrical　Loads　with　Respect　to

　 　 the　 Axes　 of　the　 Intermediate　 Membe 【s　of　 Their

　 　Frames

，

日本 建 築 学 会 論 文 報告集

，

第297号

，

　pp

．

35

−

48

_，

　 　 1980

　 　Matrices　 of 　3

−

Continuedand 　Infinite且y　

Continued

　 　Framed　Shear　Walls

，

_{日本 建}

築学会構造系論 文報告集

，

　 　第374号

，

pp

．

98

−

111_， 1987

14） 富 井 政 英

・

山 川 哲 雄 ；Nodal　Stiffness　Matrix　of　Con

−

　 　tinued 　Framed 　Shear　Wall

，

_{日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報}

　 　告 集

，

第385号

，

pp

．

79

−

92

，

1988 15_{）　 山川 哲 雄}

・

_{萩 尾 浩 也}

・

_{富 井 政 英} ：板 と梁の

“

フ

ー

リエ級 　 　数に基づ く 限定 的な節線 弾性剛性マ ト リッ クス

”

を用い 　 　 た耐 震壁の解 析

，

そ の 4

，

そ の 5

，

日本 建 築学会大会学 術 　 　講 演梗概集

，

1989 16）　山川 哲 雄

・

富 井 政 英 ：フ

ー

リエ _級数を_用いた耐震 壁の弾 　 　性 解 析 法に関 する総 括， 日本 建 築 学 会 九 州支部研究報告

，

　 　 第31_号

_，

1989 17） 山川 哲 雄

・

富 井政英 ：板と梁の

“

フ

ー

リエ _{級 数}に基づ く 　 　 限 定 的な節 線 弾 性 剛 性マ ト リッ クス

”

を 用い た 耐 震 壁 の 　　解析

，

その 1

，

その2

，

日本 建 築 学 会 九 州 支 部研究 報 告

，

　 　第30号

，

1988 18）　富 井 政 英

・

井

一

ヒ正文

・

栗山公典 ：Elastic　

Analysis

　of

　 　 Two

・

Story　or　Two

−

Bay　Dup且ex　Ftamed　Shear　Walls

　　

Subjected

　to　

Symmetrical

　

Loads

　with　

Respect

　te　the

　　 Axes　of 　the　Intermediate　Members　of 　Their　Frames

，

日 　　 本建築学会論文報告 集

，

第299号

，

pp

．

69

−

82

，

1981 19_{） 井}上 正文

・

沢田研 自

・

富井 政 英 ；Elastic　Analysis　of

　 　 Framed　Shear　Walls　Whose　Right　and　Left　Coiumns

　 　 Have　Different　Sections

，

日本建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第 　　 322号

，

PP

．

64

−

75

_，

1982 20） 鷲 津 久

一

郎ら ほ か 4名 ：有 限 要 素ハ ン ドブック

1 ・

基 礎 　　 編

，

培風館

，

1981 21） 川 股 重也 ：コ ン ピュ

ー

タに よ る構 造工学 講座

H−

6

−

A

・

　　 シェ ル構造解析

，

培風館

，

1975 22）藤 谷義 信

・

末 岡禎佑

・

花 井 正 実 ：変 位関数 定義 域の拡 張 　　 によ る有 限 要 素モデル

，

日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第 　 　 322号

，

pp

．

20

〜

26

_，

1982 23）末岡禎 佑

・

花井正実ら ほ か 2名 ：Hellinger

・

Reissnerの 　 　 原理 に基 礎を お く直 接剛性 法に よ る単 独 耐 震 壁の弾 性 解 　 　 析 法

，

日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集

，

第390号

，

　 　 pp

．

70

〜

78

，

　1988

SYNOPSIS

UDC ：681

．

3

．

04 ：69

．

02 ：624

．

042

．

7

　　　　　　　　

MATRIX

　

STRUCTURAL

　

ANALYSIS

　

OF

　

FRAMED

　

SHEAR

　

WALLS

　　 　 　　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　　 　 　

US

置

NG

　

FOURIER

　

SER

_置

ES

by　Dr

、

　TETSUO 　YAMAKAWA

，

　Research　Associate

，

　 Kyllshu　University

，

　Member　of　A

．

1

．

J

．

　

It　is　

difficult

　to　analyze complex _{structures 　using}the　_general　solutions　of 　the　

differential

　equations 　of　_the struc 加_{ral 　elements}

，

_wherethe_{constants 　of}

integration

_are

determined



from

the　

boundary

　conditions

_，

　the　equilib

．

rium 　equa 色ions

，

　and 　so　on

．

　

On

　the　other　

hand，

　the　matrix 　displacement　method 　

has

　

been

　widely 　used 　

in

　_the

analyses 　of 　

frame

　structures 　and 　continua

，　owing 　to　the　

development

　of　

digital

　computers

．

　

In

　this　paper

、

　the　stiffness 　matrices 　which 　express 　the　relation 　

between

　stresses　and 　

displacements

　along 　_the

edges 　of　a　p正ane　stress 　rectangular 　elemen ヒ and 　

beam

　are　

formulated

　by　expanding 出e　complementary 　solutions

in

　

Fourier

　series

．

　The　numerical _{results 　of 　a}one

−bay

　one

−

story 　

framed

　shear　wall 　_given　

by

　using 　matrix 　

displace

．

ment 　method 　agree 　well 　with 　the　general　solutions 　expressed 　in　

Fourier

　series

，

　

The

　proposed 　method 　is　consid

−