ニューラルネットワークの組合せ最適化への応用

(1)

ニューラノレネッ

組合せ最適化

トワークの

への応用

武藤佳恭

11川11川11川11川11川11川11川1111川11川|川|川|川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川|川|川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川|川|川11川11川11川11川11川11川11川11川11川111川11川11川11川l川|川11川111川11川11川11川11川11川11川11川11川11川|川|川|川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川l川|川|川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川1111川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11附111川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11川111111川11川11川11川11川11川11川11川11川l川111111川11川11川11川11川11川11川11川11川11川1刊1111川11川11川11川11川11川11川11川11川11川11111川11川11川11川11川11川11川11川11川11川1111川I川11川I川l山11川11川11川11111川l川I川11川11川11附11川111111川l川11川11川11川111 まえがき McCulloch と Pitts 等[1 J が動物や人間の頭脳 (神経回路網)の数学モデルを 1943 年に発表して以来， Hebb [2 J, Widrow [3 J, Rosenblatt [4 J 等によ

って 1960 年代にニューラノレ・コンピューティング研究

は最初の全盛期を迎える.ところがニューラル・コンピ

ューティングの研究者であった Minsky 等 [5 J は， Rosenblatt の提案する Perceptrons モデルをきびし

く非難したため， 1970年代と 1980年代前半には Amari. Cooper. Fukushima. Grossberg. Anderson..Ko・

honen 等は研究規模において衰退期を迎える. 1985 年に Hopfield 等 [6， 7J が組合せ最適化へのニューラル・ネットワークを示し，多くの若手研究者を生み出すが， Wilson [8

J,

Paielli [9 J 等は Hopfield モデルをきびしく非難したため，米国政府は組合せ最適化へのユューラル・コンピューティングの研究費を完全に削除した.本論文の筆者は政府の取り決め以前に 7 万ドル

の研究費を NSF (National Science Foundation) か

ら運良く受賞したが，筆者の知る限り，組合せ最適化への米国政府研究費は現在もゼロである.ニューラル・コンピューティングの NSF の総研究費は年間 100 万ドルにすぎな L バ.したがって本論文では筆者等の研究成果を中心に報告する. これまでに取り組んできた最適化および組合せ理論問題には，四色および K 色問題 [10J ，グラブの平面性判定および平面埋め込み問題 [11 ， 12J ，タイル問題 [13J. ソートおよび文字列のパターンマッチ問題 [14， 15J, +ークル・グラフの最大独立集合問題 [16J ， RNA の 2 次構造予測問題 [16， 17], クロスパ・スイッチ・スケジュール問題 [18J ，凡長配置問題 [19J ， TDM クロスパ・スイッチ・システムのタイム・スロット・配属問題 [20J ，チャネル配線問題 [21J ，スルー・ホール最小

たけふじよしやす Case Western Reserve Uniｭ versity ，慶応義塾大学 324 化問題 [22J ，最大クリーク問題 [23， 24J, 2 部グラフ問題 [25J ，最大グラフ切断問題 [26J ，グラフ分割問題 [27J ，モジュール・オリエンテーション問題 [28J ， N' クイーン問題 [29J ， Hip ゲーム問題 [30J ，蜂の巣問題 [31J, BIBD 問題 [32J ，巡回騎士問題 [33J ，ジョブ・ショップ問題 [34J 等がある.これらの問題は，グラフ理論，ゲーム理論，離散数学，コンピュータ・サイエンス，分子生物学， VLSI CAD ，信頼性工学，マネージメント・サイエンス，コンピュータ通信工学等の幅広い分野に属する.本論文では，ニューラル・コンピューテイングの原理を簡単に紹介し，紙面の許す限りいくつかの問題例を具体的に説明する. ニューラル・コンビューティングの原理脳の研究は長年にわたってかなり行なわれているが，脳の動作原理についてはほとんど解析されていない. われわれの脳は約 1011_{個のニューロン(プロセッサ)と} 1015_{個のシナプス・リンクから成り立っている.実際に} は多種類のニューロンが存在するが‘本論文で述べる人工エューラル・ネットワークは1 種類の多ニューロンがシナプス・リンクを介して接続されていると単純に考える.組合せあるいは最適化問題を解くにあたって重要なことは，ニューロンをどのように使って問題を表現するかである.学習とはニューロン聞のシナプス・リンクの強さを決定することである.最適化問題では，あらかじめシナプス・リンクの接続を固定したニューラル・ネットワークを用いる.つまり，与えられた問題を解くにあたってユューラル表現を決定することは，ニューロン間のシナプス・リンクを決定することに等しい.ニューラル・ネットワーグあるいはニューラル表現は一般にニユーロン動作式で与えられる. ニューロン iの出力 Vi は入力 U_i の関数である. Vi=f( U;) *米国では研究費が出ないテーマは研究しづらい環境にある.

(2)

ここで f は非線形増加関数である. たとえば McCu・ lloch-Pitts ニューロンの入出力関数(図 1 参照)は Vi=1 if U

,

>O

,

0 otherwise シグモイド・ニューロンの入出力関数(図 2 参照)は V_i=I/2(tanh( ん Utl+l) ここでんはゲイン定数. 振動現象を軽減するヒステリシス・ McCulloch-Pitts ニューロン [18J の入出力関数(図 3 参照)は

Vi=1 if Ui

>

UTP, 0 if Ui<LTP, unchange otherwise. マキシマム・ユユーロン [25J の入出力関数は

V mi=l if_Umi=maX{Umi

,

…,

Umn},

o

otherwise. ユユーロンの一般動作式は次式で表現される. dUi E dt Vi ここで E=E(VhV2,

…

, Vn) はエネルギ一関数と呼ばれ，最適化の目標は，問題の制約条件を満たしながら E を最小化することである .f が非線形連続増加関数の場合(図 2), エネルギー関数 E が常に減少か増加しないことを次に示す .f が非線形非連続増加関数の場合に関しては参考文献 [35J を参照せよ. E ~ dVi E ~ dUi Vi E 一一 γ 一一一一一一òt 一 7: dt V_i

-

7 :

dt U_{i Vi} ここでニューロン動作方程式を導入すると ~I E¥ Vi òE 可 I E

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Vi =L: I 一一一:-\・一一一・一一一=-L:(--;;一一 l ・一一一 ζ0

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Vi ) - Ui òV_i γ_\ _Vi_{) òU}

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証明終了. 組合せ最適化問題を解くにあたって，いちばん重要なことは，いかにして正しいニューロン動作式を導出するかである.専門家の中でもエネルギ一関数 E を示さないと納得しない人が L 、るが，ニューロン動作式はニューラル表現およびニューロン間のシナプス・リンク結合情報もすべて含んでいる.ニューロン動作式からエネルギー図 4 9-領域問題ト V;. 。。 Ui 図 1 McCulloch-Pitts ニューロン入出力関数 Vi Vi 。。

o

Ui 図 2 シグモイドニューロン入出力関数、日 Lτ'p 0 J 、 uτ'p Ui 図 3 ヒステリシス McCulloch-Pitts ニューロン入出力関数ーーー

r

_

("òU, 関数 E は簡単に導びける • E=¥ E=-¥ -

_r-

_J:;_t:'òViつまり動作式を òVi に関して積分してやればよい. 組合せ理論問題例 3 色問題 (NP (Nondeterminiｭ stic Polynomial time) 問題)，地図の 3 色塗り問題とは 3 色だけを使って互いに隣接する領域が同色にならないように塗り分ける問題である.図 4 に 9 領域から成る地図問題を示す. まず 3 色のどの色を塗るかを表現するために 100， 010, 001 をそれぞれ赤色，黄色，青色塗りとすると，この問題を解くのに 9x3=27 個のニューロンを使えばよい. 図 5 において領域 1 を黄色に塗ると，隣接領域 2, 3, 4, 5 は黄色を塗ることはできない. 図 S の 3 色塗りの解は図 5 のシステム状態に対応している.ニュー

3

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(3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

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図 5 9x3 ニューラル表現ラル・ネットワークの行なう仕事は 2 つでつは各領域に 1 つの色を塗る作業，もう 1 つは隣接する領域どうしが同色にならないようにする作業である .X領域の i 番目の色ニューロンの動作式は次式のようになる. dUxー I.! \9 ーヲ:-'_a.

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V Xi ー 1)-_・ノ _y=l

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dxy・VYi YキX ここで dxy は隣接行列を表わし， dxy=1 とは X 領域と Y 領域は隣接することを示す.たとえば X領域に色が塗られていないと第 1 項は +1 となり Uれを増加させ， UXi が UXi>O となると Vxi=1 となり，ニューロン X_i が発火したと呼ぶ.X 領域に 2 色を使っていると，第 1 項はー 1 となり UXi を減少させる .X 領域と Y 領域が隣接して同色 i を塗った場合は UXiを減少させる. 先ほどの動作式を正規化すると n領域3 色問題は次式で簡単に解決できることが実験的に知られている. d lJ〓 I.!.. __ . ¥..l! !!

子.!.=-(:E Vxr-I)-

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，，， EE 、、 ιH 十ここで第 3 項は hill-c 1imbing 項と呼ばれ，システム状態を常に解に導びいてくれる • h(X)=1 if X=O,

o

otherwise.K 色塗り問題の解は常に E=O となる. 3 3 2 7 5 図 7 8一節点、 17辺グラフ 4 図 8 三色塗りの解エネルギ一関数 E に興味のある読者は動作方程式を積分して算出せよ. 答えは参考文献 [35J を参照せよ. 最適化問題例:最大クリーク問題 (NP 問題) グラフ G(V， E) と正整数 J云 IVI が与えられた時， G には大きさ J 以上のクリークが存在するか，すなわち V'ç二 V， IV'I~ よかっ V' のどの節点も E の辺で結ばれているような V' が存在するか? たとえば図 7 に示すグラフ G は 8 節点 17辺から成る. 図 8 と図 S に 2 つの最大クリークを示す.本論文では最大クリークあるいは最大クリークに近い解を得るためのニューラル表現を 2 つ紹介する. 二ューラル表現 1 : McCul10ch -Pi tts ニューロンを用いて n 節点グラフ問題を解くには n 個のニューロンを使えば必要十分である.つまりそれぞれのニューロンは各節点がクリークに所属するかしな L 、かを単純に示す. たとえば Vi=l と L 、うのは節点 i がクリーク・グラフに所属し， Vi=O は所属しないものとする.最大クリーク問題 (n 節点グラフ)のニューロン動作式は次式で与えられる.われわれの実験結果では従来の最善方式に比べて 1000倍以上の高速化が可能となった. dU，匁/丘\ っ子=

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l-dij)V j 十円) “ ι j=1 'j=1

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7 7 4 6 ムマシキマのク 7 一図リク命"“ 図図 S 図 7 のマキシマム・クリーク

(4)

? 8 _? ₈ 5 10 ₅ ₁₀ ヨ 2 ヨ 2 図 10 10節点 34辺グラフ G 図 11 図 10 のグラフ G の補グラフここで，節点 i と j が辺で結ばれていると dij=1 となり，それ以外は dij=O となる. また dij=dj;， djj =1 は常に満たされる.係数 B は定数で次式によりあらかじめ導出しておく. て説明する. 10節点 34辺グラフ問題を図 10 に示す.まず最初にやる作業は補グラフを構築する.図 11 に図 10の補グラフを示す.次に持O 節点を補グラフに加える. (図 12参照) B ー隣接している節点の数 n X (グラフ密度) h(X) は hill-climbing 項で h(X)=1 ifX=O, 0 otherwise. 次にウエイト・マトリックスを計算する.このウエイト・マトリックスは先ほどのニューロン動作式の係数である.計算法は

Wtj=W

Jt

=士 qtj

ニューラル表現 2: マキシマム・ニューロンを用いるとクリーク問題のエネルギ一関数 E は次式で表現される.

WOi=WiO=士C~l qijー 1) for 住 1

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し Tミカ:って， dC人目。E 旦一一止土=ー』一一一=ーす;_dt _i_JV W(X,

Y)V

Yi Xi Y'-::，。ここで補グラフで i と j 節点聞に辺が存在すると qij =1 それ以外は qij=O とする.たとえば Wz， =0.25. このようにして計算したウエイト・マトリクスを図 13に示す. for i=1 or 2 となる. ニューロン動作式を使って得られたクリークを図 14に示す. このモデルには物理学上の Ising モデルを用いており，むずかしい理論を説明するかわりに次の例題を使っ組合せ最適化のためのニョーラルネ''lトワーク・シミュレータの作り方 6 5 図 12 1992 年 7 月号 8 。ヨ 2 グラフ G_M

o

2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 ₁₀_.₀₀₀_.₂₅₀_.₂₅₀_.₂₅₀_.₅₀₀_.₅₀₀_.₂₅₀_.₂₅₀_.₅₀₀_.₀₀₀_.₂₅ 0.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.25 0.25 0.00 0.00

z

0.25 0.00 0.00 0.00 0.25 0.00 0.25 0.00 0.00 0 目00 0.00 3 O M O~ O~ O~ O.~ O M O M O~ O~ O~ O~ 4 0.50 0.00 0.25 0.00 0 目 00 0 目 25 0.00 0.00 0.00 0.25 0 目。。 5 0.50 0.00 0.00 0.25 0.25 0.00 0.00 0.00 0.25 0.00 0 目。。 6 O~ O~ O~ O~ O~ O~ O~ O M O M O~ O~ 7 0.25 0.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.25

ー

0.50 0.25 0.00 0.00 0.00 0.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.25 9 O~ O~ O M O~ O~ O~ O~ O~ O~ O~ O~ 10 0.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.25 0.25 0.00 0.00 図 13 グラフ G_Mのウェイト・マトリッグス

3

2

7

(5)

6

•

5 ・

。 4 7 8 9 • 10 3 2 図 14 図 10のグラフのマキシマム・クリークニューロン動作式を導出することができれば，シミュレータは簡単に構築でき次 Euler 法を用いて数値解析できる. Ui(t+ 1)=叫 (t) 十ム U_t" ム t

f

o

r

i=l

,

…,

n n 個のニューロンを用いるニューラル・ネットワークのシミュレータは n 個の動作式を持つ.ム t=1 とすれば

Ui(t+1 )=Ui(t)+ ム Ui

f

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r

i=I,"',n

ここでム Ui はニューロン iの動作式を示す. 入力 U_i を変更した後出力 V_i を計算する. Vi=f( Utl シミュレータには逐次式と並列式が考えられる. 図 15に逐次式シミュレータ，図 16 に並列式シミュレ F を示す. 今までに， 30以上のアプリケーション問題をわれわれは解いているが，すべて整数計算のみでシミュレータは構築されており， Macintosh と Unix コンピュータ上で稼働する. 質問があれば下記の住所か Emai1で連絡してくださ

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end 帥ホl 図 15 逐次式シミュレータ

3

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L 、. 干 252 藤沢市遠藤 5322 慶応義塾大学環境情報学部武藤佳恭 (takefuji

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今後の展望エンジニアリング問題ばかりでなく，数学上あるいは物理学上の未解決問題を近い将来においてニューラル・コンピューティング技術は解く可能性を持っている. ニューラル・コンピューティングは将来において並列計算手法の主流となるであろう*. アルゴリズムばかりでなく，ニューラルネットワークのハードウェア・デパイス技術のプレイクスルーが今後期待される. *従来の並列計算アルゴリズムで要求されるむずかしい同期機構をいっさい必要としないのがニューヲル・コンピューティングの特長である.従来の並列計算アルゴリズムでは，どこをどう並列化するかが重要であるが，ニューラル・コンピューティングではニューラル表現を考えることが並列化の表現である. [感謝] この論文を書く機会を与えてくださった安西教授に感謝する.われわれのプロジェクトは NSF (MIP-8902819) ，住友金属，富士電機，

AIWARE

(OHIO) の支援による.

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図 16 並列j式シミュレータ

(6)

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queen problems in NeuraZ Network Parallel [35J Takefuji Y. パ 1992) ， Neural Network

Para-Computing, Kluwer Academic Publishers. llel Computing, Kluwer Academic Publishers.

平成 4 年度役員・支部長名簿理事会長伊理正夫(東京大学) ピス紛)

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IJIj会長斎藤嘉博(武蔵野美術大学)

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栗原宏文(東燃システム研究所)

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高井英造(三菱石油紛)

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藤井進(神戸大学)

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権藤元(近畿大学)

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伏見正則(東京大学)

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庶務小池清(日本アイ・ピー・エム脚) 監事三平武男 υ" 鉄システム開発制)

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田口東(中央大学)

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高橋磐郎(日本大学)

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メ4に与お計山田郁夫(三菱電機紛) 支部長

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研究普及中野文平(東京工業大学) 北海道支部関口恭毅(北海道大学)

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香田正人(日本アイ・ピー・エム紛) 東北支部中津博司(東北電力紛)

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編集若山邦紘(法政大学) 中部支部田中庸平(中部電力)

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茨木俊秀(京都大学) 関西支部藤井進(神戸大学)

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同 |祭腰塚武志、(筑波大学) 中国・四国支部尾崎俊治(広島大学)

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1!\Ii任所山本保(東北コンピュータ・サー九州支部岩本誠『・(九州大学) ...・・・山・・・・...・・m ・・・・・・・・・・・・・m・...・・・・...•