Vol.36 , No.1(1987)076林 隆夫「バクシャーリー写本の未知数記号 ya」

印度 學 佛 教 學 研 究 第36巻 第1號 昭 和62年12月

バ ク シ ャ ー

リ ー 写 本 の 未 知 数 記 号yd

林

隆

夫

1.序。1881年Peshawarの

北 東 約80kmに

あ る小 村Bakhshaliで

発 見 さ れ た

数 学 写 本 は その 古 さ故 に 当初 か ら イ ン ド内 外 の 学 会 で 注 目を 集 め た。Hoernleの

後 を受 け て これ を 総 合 的 に 研 究 したKayeは

著 作, 写 本 共 に12世 紀 頃 の もの と し

鱗

やシャ 文化至上主義に基 つ く彼の偏敗

みちた研究 は多 くの イン ド人学

者 の 反 発 に 合 っ た。 特 にDattaはKayeの 出 版 し た 写 本 の 写 真 版 と ロ ー マ 字 転 写 と に 基 づ い て 独 自 の 研 究 を 発 表 し, 写 本 の 年 代 は と も か く著 作 年 代 は 「西 紀 の 最 初 の 数 世 紀 」 ま で 遡 る と し た。 こ の よ うに 対 照 的 な 二 人 だ が, Bakhshali Ms.に は 代 数 記 号 が 用 い られ て い な い, と い う見 解 で は 一 致 し て い る 〔Kaye 1927, 33; Datta 1929, 38〕。 し か し 実 際 は, 一 度 だ け だ が 未 知 数 記 号yaが 用 い ら れ て い 弓。 実 は Kayeも 最 初 の ロー マ 字 転 写 〔Kaye 1927, 145〕 で は そ れ を 正 し く 書 き 写 し て い る が, そ の 意 味 が 理 解 で き な か った の か, 馳再 編 テ キ ス ト 〔Kaye 1933, 162〕 で は 削 除 し て い る。 こ の 小 論 の 目的 はBakhshali Ms. でyaが 使 わ れ てい る こ と を 指 摘 し そ の 用 法 を 見 る こ と 及 び そ れ を イ ン ド数 学 史 の 中 に 位 置 づ け る こ と で あ る。 我 々 がx, y, 2等 を 使 う よ う に イ ン ドの 代 数 で は 未 知 数 を 表 わ す 記 号 と し て 決 ま っ て ya, ka, ni が 用 い られ た(イ ン ドの音 節 文 字 で は これ らは それ ぞ れ 一 文 字 で あ る)。 Bhaskara II(1150)は い う。ryavattavat(-だ け, そ れ だ け-), kalaka(黒), nilaka (青), ま た そ の 他, plta(黄), lohita(赤)な ど の 色(varna)が, 優 れ た師 た ち に よ り, 未 知 数(avyakta)の 計 算 を す るた め に, 未 知 数 を 指 す もの と して 設 定 され た, 」 〔BG 21〕 「こ こ(代 数)で は, 定 数(rupa)及 び未 知 数 に対 して は 目印 の た め に 第 一 音 節(adyak-sarapi)が 記 され る べ き で あ る。」 〔BG 5〕

2. テ キ ス ト。 テ キ ス ト は 〔Hayashi 1985, 270-272〕 でII 4(54v)-II 5(35#R) か ら成 る。 な おKayeは54Vと35#Rが 連 続 して い る こ と に 気 付 か ず, そ れ ら の 間 に35RVを 挿 入 す る。(諸 記 号, 音 韻 的 な い し文 法 的 不 規 則形, 及 び 英 訳 に つ い て は 〔Hayashi 1985, 253; 45-98; 448-450〕 参 照。)

〔Example 3 for Sutra N6〕

II 4(54V):1:〔 …〕XXrdha(ka)〔m〕

dvigunam ca tr=r=unam ca trtiyasya dhanam bhavetam

-445-バ ク シ ャ ー リ ー 写 本 の 未 知 数 記 ya(林) (38)

CX: 2: X X X X X) X s ca ya X s cai kila samyutam /

ekavimsatibhiq krito dinarais to narai X X C/

:3: X X X X X) X yd yatudamsam prthag vama=h //

karanam // yasya padam na jnayate (ta) X: 4: CX X X X X X) X X X dinarai //

yd 1 // etat p (ra) thamasya dhanam

II

5 (35

R): 1: (51RF1) (patya

se(sa) CX X X X X X)

(drsya 21//:

2 uttaram)

bhajyato hitva / tatrottara

1-/ 1/

yutam 2 (bhajyamj

(21)

(atah:

3: sodhita) rp

(1) 9

(1)

(0)

C1)

1111

11:

11,

11,

c 41 1

(2) 3

eesaf (51RFI, 35RF) purusabhajita / (35 RF) purusah

1 1 3 3

4 2 1

esa sadrse yu (tim

4: bhajita) m (4)

dhanam 19 / anena gunitam jatam 4 esa prathamasya

(19)

1

(na) rn / (tattrayardham):

5: dvigunam 12 dviyutam / 14 eta dvitiya Csya dhanam /:

6: tryardha)gunam

21 dvigunam

42 tryunam

39 esah nyasah

pratya(ya) (s

trairasikena:

7: ya) d Ci) samagravrndanam

caturdasa

ekonacatvarimsa

/ tat

padardhatrbhagan

(a) m (kim iti): 8:

〔1〕4 1 pha 4 〔1〕〔1〕 4 1 (1) (14) (1) (pha 7) 〔1〕 〔1〕 〔2〕 〔1〕 〔1〕 〔39〕 〔1〕 〔pha 13〕 〔1〕 〔1〕 〔3〕 〔1〕

evam di 21 /

esa prasnaetair di (yat) e C...I

(54V): 1: bhavetam>bhavet.:3:

yatudamsam>yat

tadamsam;

vama>vada.

(35 $ RI: 6': esah nyasah>esa

trtiyasya dhanam / nyasah 4 / 14 / 39.:

7:

dasa>catugcaturdaga.:8:

pha 4>pha 1.

3.解 説。Sutra N 6そ の も の を 述 べ た 箇 所 は 散 逸 し た が, 例 題 の 解 で 部 分 的 に 引 用 さ れ て お り, そ の 数 学 規 則 は 復 原 可 能 で あ る。 例 題 は 最 底9題 の 存 在 が 確 認 ざ れ, そ の 内7題 は 少 な く と も そ の 数 値 を 復 原 で き る 〔Hayashi 1985, 613-618〕。 Sutra N 6が 前 提 す る 問 題 は 多 元 連 立 一 次 方 程 式 の 一 種 で, 一 般 的 な 形 に 復 原 す る と 次 の よ うに な る。 「あ る物 のp量 がn部 分 に分 割 され(bhajya), 更 に各 部 分x2は ai人(purusa)に 等 量 つ づ 配 分 され る。 この とき 各分 配 後 の残 り=差(uttara)はb;, で あ り, 全 て の 人 が 同 量(xa)を 受 け と る。xi(i=0, 1, 2, …, n)を 求 め よ。」即 ち,

(39) バ ク シ ャ ー リ ー 写 太 の 夫 知 数 記 号 惚 ζ林)

xi=aixo+bi

n)

(1)

xl+x2...+x=p

(2)

こ れ に 対 し, 復 原 さ れ たSutra N 6は い う。 uttaram bhajyato hitva sesaf purusasbhajitah.

即 ち, 「被 除 数(p)か ら差Cb2)を 引 き, 残 り を 人 〔数 〕(ai)〔 の 和 〕 で 割 る。」 xa={p-(b1+b2+…+-bn)}/(al+a2+…-an) (3) 上 のslokaの 失 わ れ た 後 半 は こ のxか ら(1)式 に よ っ て 各x2 Ci=1, 2, …, n)を 計 算 す る よ う指 示 し て い た と 思 わ れ る。 こ のSutra N 6に 対 す る例 題3の 内 容 は, 問 題(韻 文)と 解(散 文)の 現 存 部 分 か ら 次 の よ うに 復 原 で き る。 「三 人 の 男が 共 同 出 資 して あ る物 を21 dinarasで 買 う。最 初 の 男 は 自分 の財 の四 分 の一 を, 二 番 目 は半 分 を, 三 番 目は三 分 の 一 を 出 す。 た だ し二 番 目の 男 の 財(x2)は 一 番 目の そ れ(x1)の 三 倍 の半 分 の二 倍 よ り2 dinarasだ け多 く, 三 番 目の それ(x3)は 二 番 目の そ れ の三 倍 の半 分 の二 倍 よ り3 dinaras少 な い。 各 人 の財 及 び(又 は)出 資 額 は い く らか。」

xl-xo,

x2-2

(3/2)xi+2,

X3-2

(3/2)X2-3

(4)

y1-x1/4,

y2-x2/2,

y3-x3/3

(5)

Y1+y2+y3-21

dinaras

(6)

勿 論 この 例 題 は この ま まの 形 で はSutra N 6の 規 則 を適 用 で き な い。 そ こで与 え

られ た 関 係 式 を規 則 が 適 用 で き る形 へ と導 くた め に未 知 数 記 号yaが

利 用 され る。

即 ち, テ キ ス ト(II 4)末 尾 で 第 一 の 男 の 財(x1)-ya 1(こ の1は 係 数1/1=1)と お き, こ のyaを 用 い て(5)式 を 書 き 変 え る。 こ の プ ロ セ ス が(II 4)末 尾 か ら (II 5)の 初 め に か け て 述 べ ら れ て い た は ず だ が 残 念 な が ら 散 逸 し て い る。yaの 代 わ りに 今 風 のxoを 使 え ば, (5)式 は

yl=(1/4)xo, y2=(3/2)xo+1, y3=3xo-1 (7)

と な る。 テ キ ス ト(II 5)冒 頭 の 数 表 は こ の(7)式 の 右 辺 の 係 数 の み を 表 に す る。 ま た そ の 数 表 の 右 に 書 か れ た"drsya 21"(顕 現 数21)は(6)式 を 意 図 す る。(6)式 と(7)式 は(2)式 と(1)式 に 対 応 す る か ら, あ と はSutra N 6の 規 則, 即 ち(3)式 を 機 械 的 に 適 用 し て, xo={21-(1+1)}/(1/4+3/2+3)=19/(19/4)=4, が 得 ら れ, 更 に(4)式 を 順 次 用 い れ ば, x=x=4 dinaras; x2=2(3/2)4+2=14 dinaras;, x3 2(3/2)14-3=39dinaras. 以 下 テ キ ス トで は 検 算(pratyaya)と 称 し て, 三 量 法 (trairasika)を 利 用 し てy1, y2, y3を 計 算 し, 最 後 に(6)式 が 成 り立 つ, こ と を 確 認 す

る。 そ の 三 量 法 は テ キ ス ト(II 5)末 尾 の 数 表 で 表 現 さ れ て い る が, これ は(5)式 の 計 算 に 相 当 す る。

バ ク シ ャー リー 写本 の未 知 数 記 号yd(林) (40)

4.結 語。 上 の 解 で の 未 知 数 記 号yaの 用 法 は 限 ら れ て い る。 即 ち, ビ ー ジ ャ ガー タ(bijaganita, 未 知 数 に文 字 を用 い る方 程 式論)で は 未 知 数 記 号ya(必 要 な らka, naも)を 用 い て 方 程 式 を 作 り, 同 値 変 形 に よ っ て 未 知 数 の 値 を 求 め る が, 上 の 例 題 で のyaは(5)式 を 書 き 変 え て(7)式 を 導 くた め の 補 助 と し て の み 用 い ら れ, い っ た ん(7)式 が 得 られ る とyaは 捨 て ら れ, あ と はSutra N 6の 規 則 が 機 械 的 に 適 用 さ れ て 答 に 至 る。 一 方 も う 一 つ の 分 野 パ ー テ ィ ー(pats, パ ター ン化 され た種 々 の問 題 に対 す る解 の アル ゴ リズ ム か ち成 り, 未 知 数 記 号 は用 い な い)で も 註 釈 書 の 中 で は し ば し ば 未 知 数 記 号 が 用 い ら れ る が, そ れ ら は 私 の 知 る 限 り, ア ル ゴ リ ズ ム の 導 出 の た め に 用 い ら れ る も の で あ り, こ の 例 題 で の 如 く 問 題 を 解 く た め の 補 助 と し て 用 い ら れ る こ と は な い。 従 っ てBakhshali Ms.は 勿 論 ビ ー ジ ャ ガ ニ タ に は 属 さ な い が, パ ー テ ィ ー に も 含 め 難 い。 こ の こ と は ま た 同 写 本 が 多 くの ト ピ ッ ク を パ ー テ ィ ー と 共 通 に 持 ち な が ら, パ ー テ ィー の 特 徴 で あ る 基 本 演 算(parikar-mani)と8つ の 実 用 算(vyavaharah)の カ テ ゴ リー 区 分 を 持 た な い こ と か ら も い え る。 イ ン ド数 学 が パ ー テ ィ ー と ビ ー ジ ャ ガ ニ タ の 二 大 分 野 に 分 か れ た の は Brahmagupta(b.598)か らsridhara(ca.750)に か け て の 時 代 で あ り, 以 後 こ の 分 け 方 が 伝 統 的 に 主 流 と な る。 従 っ てBakhshali Ms.は こ の 二 大 分 野 が 確 立 す る 以 前 に 著 わ さ れ た か, 或 は そ れ 以 後 に そ の 伝 統 の 外 で 著 わ さ れ た か の い ず れ か で あ る。 し か し他 の 特 徴 も考 慮 す る と 前 者 の 可 能 性 が 大 き い。 特 に 術 語 や 著 述 形 式 の 点 でBakhshali Ms.はAryabhatiya(499)に 対 す るBhaskara IのBhaSya(629)

に 極 め て 近 い 〔Hayashi 1985, 248-250〕。

未 知 数 記 号 に 話 を 戻 す と, 現 存 文 献 の 中 でyavattavatが 明 ら か に 未 知 数 の 意 味 で 用 い られ て い る最 古 の 例 は 上 記Bhaskara IのBhasyaに あ る。Aryabhata自 身 はyavattavatで は な くgulika(団 子 ・小 球 ・ビ ーズ)な る語 を 用 い て 一 元 一 次 方 程 式 の 解 法 を 教 え る。 「二 人 の 男 のgulikaの 差 でrupakaの 差 を割 るが よい。 商 はgulika

の値 段 で あ る, も し財 産 化(換 金)し た も の が 等 し い な ら。」 〔Abh 2.30〕 即 ち, xを gulikaの 値 段, aとcをgulikaの 個 数bとdをrupaka(コ イ ン)の 個i数 と し, ax+b=cx+dが 成 り立 つ な ら, x=(d-b)/(a-c)で あ る こ と を こ の 詩 節 は 教 え る。 こ の 規 則 に 対 し てBhaskara Iは5例 題 を 与 え る が, 馬 の 値 段 及 び サ フ ラ ン の 値 段 に つ い て の 例 題 を 解 い た 後, 第 三 例 を 次 の よ う に 導 入 す る。 「これ ら gulikahは その 値 が 未 知(ajnatapramanah)で あ りyavattavatと 〔も 〕呼 ばれ る。rupaka

〔な る術 語 〕 は そ の場 合 も 〔同 じで あ る〕。yavattavatな る術 語 に よ って も 例 題 が 述 べ ら れ る。 例 え ば 7つ のyavattavatと7つ のrupakaが2つ のyavattavatと12のrupaka

(41) バ ク シ ャ ー リ ー 写 本 の 未 知 数 記 号ya(林)

にご等 し い。yavattavatあ 値 にまい く ら か 離(nyasa)7 2 7 12危 計 算 法(karapa)。 前 の

如 くgulikaの, 〔即 ち〕yavattavatの 差 は 上 か ら引 い て5。 下 か ら引 け ばrupakaの 差5。 yavattavatの 差 〔5〕でropakaの 差 〔5〕を割 っ た商 がyavattavatの 値1で あ る。」 〔Bhasya

28〕。こ こ で 「書 置 」 の 表 記 灘 臆 し た い。 後 世 な ら 間 違 い な くya 7ru 7 ya 2 ru 12 と 書 く所 で あ る が, 『Bhaskara Iは こ の 例 だ け で な く他 の4例 も全 てta, ruな し に 数 値 の み を 上 下 に 並 べ て 方 程 式 を 表 現 す る ご こ の こ と は 彼 の 時 代 に は ま だya, ru を 用 い た 方 程 式 表 現 が な か っ た か 少 な く と も 定 着 し て い な か っ た こ と を 物 語 る と 思 わ れ る。 と す れ ば 未 知 数 記 号 舛 を 限 定 的 に と は い え 用 い るBakhshali Ms.は Bhaskara Iの 時 代 か ら余 り遡 れ な い こ と に な ろ う。 と こ ろ で, 通 常 団 子 ・小 球 ・ ビ ー ズ な ど を 意 味 す る 語gulikaをAryabhataが 方 程 式の 中 の 未 知 量 の 意 味 で 用 い た の は 何 故 か。 こ れ は ま だ 憶 測 の 域 を 出 な い が, 彼 の 時 代 に は 未 知 数1個 を ビ ー ズ や そ れ に 類 す る も の1個 で 表 わ し て 実 際 に 方 程 式 を 「下 に 置 い 」(nyasa)た の で は あ る ま い か。 そ の 際 定 数 項 を 何 で 表 わ し た か は 分 ら な い が, 憶 測 の つ い で に 想 像 を た く ま し くす れ ば, 文 字 通 りrapaka(コ イ ン)を 置 い た 可 能 性 は 少 な い と し て も, 貨 幣 と し て 用 ら れ る こ と も あ っ た 貝 殻 (varataka等)を 使 った の か も し れ な い。 或 は そ れ は 色 の 異 る ビ ー ズ だ っ た か も し れ な い。 因 み にBhaskara Iと 同 時 代 のBrahmagupta(628)は 語yavattavatも gulikaも 用 い ず, 未 知 数 を 文 字 通 りavyakta(不 明 ・見 え な い ・未 定)と 呼 ぶ が, 二 種 以 上 の 未 知 数 を 同 時 に 扱 う時 は そ れ ら を 「色 」varpaと 呼 ぶ 〔BSS 18.2, 42, 51, 62, 63〕。彼 自 身 は 具 体 的 な 色 名 に 言 及 し な い が, や が て 舛 と共 にkalaka等 の 色 名 の 第 一 音 節 が 未 知 数 記 号 と し て 用 い られ る よ う に な る の は 初 め に 見 た 通 り で あ る。 5.文 献

Datta, B. [19297 The Bakhshali Mathematics. Bulletin of the Calcutta Mathematical

Society 21, 1-60.

Hayashi, T. (1985] The Bakhshali Manuscript, a Ph. D. dissertation

submitted to

Brown Univ., Ann Arbor: University Microfilms International.

Kaye, G. R. (1927/337 The Bakhshali Manuscript: A Study in Medieval Mathematics,

Archaeological Survey of India, New Imperial Series 43. Parts 1 and 2: Calcutta

1927. Part 3: Delhi 1933.

〈キ ー ワー ド〉 数 学, 写 本, 記 号

(同 志 社 大 学 講 師 ・Ph. D.)