格 子 ボ ル ツ マ ン法 を用 い た移 動 物 体 周 りの 流 体 解 析

格 子 ボ ル ツ マ ン法 を用 い た移 動 物 体 周 りの 流 体 解 析

平 成30年(2018年)1月26日

首 都 大 学 東 京 大 学 院

シス テ ム デザ イ ン研 究 科 シ ス テ ムデ ザ イ ン専 攻 航 空 宇 宙 シ ステ ム工 学 域 博 士 前 期 課 程

16891505伊 藤 和 憲 指 導 教 員 田川 俊 夫

目次

第1章

1,1 1.2

1.3 1.4 1.5

緒言

は じめに

格 子 ボル ツマ ン法 研 究 目的

方程 式 の記述 法 につ い て 無 次元変 数 の定 義 につ いて

‑⊥り創ウ臼00̀4

DlD二D^PD晶

第2章 解 析 手 法

2.1空 間 の 離 散 化 2.2支 配 方 程 式

2.3衝 突 項 の 取 り扱 い 2.4並 進 ス テ ッ プ に つ い て 2.5境 界 条 件

2.6任 意 形 状 の 表 現 2.71BB境 界 条 件

2.8剛 体 の 運 動 方 程 式

2.9物 体 と 流 体 の 相 互 作 用 に つ い て

2.10計 算 手 順

Onり7‑ΩU‑占

DfD昌DlD︑ ーワ一〇りー■‑上‑■

D昌nrD̀ 51P ρORVlL{⊥

D岳D̀

第3章 妥 当性検証

3.1円 柱 周 りの流 れ解析 3.2回 転 円柱周 りの流 れ解析 3.3球 周 りの流 れ解 析

第4章 移 動 物 体 の 解 析 例

4.1水 平 投射 され た円柱周 りの流れ解 析 4.2竸 技 自転車 のホ イー一ル周 りの流 れ解析

第5章 結 言

ApPendixMRTモ デル にお け る変換 行列 の導 出

ApPendixAD2Qg AppendixBD3Q27

参 考 文 献 辮

P,18

P.21 P.28

P.39

P.43

P、51

P,52

P.56

P、67

P.69

記号表

%ら免D軌ん溜ゐ塩君馬抄g〜・ろー・晦砺晦嶋竺〃p90エ

般 影 面 積

:粒 子 速 度 ベ ク トル

=抵 抗 係 数 1揚 力 係 数 :代 表 長 さ :基 底 ベ ク トノレ

=粒 子 の 分 布 関 数 :局 所 平 衡 分 布 関 数

=力 の 参 照 量 :流 体 力

;外 力 項 :無 次 元 流 体 力 :Froude数 1重 力 加 速 度

:慣牲iモ ー メ ン トテ ン ソル :角運 動 量 ベ ク トル

=角運 動 量 参 照 量

:MRTモ デ ル に お け る物 理 量 :剛 体 質 量

:Maeh数

:無 次 元 剛 体 質 量 変 換 行 列

=係数 行 列

=無 次 元 圧 力

:正 規 化 さ れ た 境 界 と の 距 離 :粒 子 数

別︼Im﹂﹂弓弓m4弓‑﹁・NN 司課日醐瓢 司m・jN4㎏ヨヨ4↓4ヨ4

甜乃勧&鞍他亡歴恥恥uりw晦

:緩 和 係 数 行 列

=Strouhal数

=位 置 ベ ク トル 1重 心 の 位 置 ベ ク トル 無 次 元 位 置 ベ ク トル

:無 次 元 の 重 心 の 位 置 ベ ク トル

=Reynold8数 無 次 元 時 間 :無次 元 時 間 刻 み :代 表 速 度

無 次 元 速 度 ペ ク トル :無 次 元 κ方 向 速 度 成 分 無 次 元 ア 方 向 速 度 成 分 :無 次 元z方 向 速 度 成 分

1重み 関 数

514111甲11

ロリδ 配日りεψ・ρ角τvΩ砺

汐 ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ :エ デ ィ ン トン の イ プ シ ロ ン 1レ ベ ル セ ツ ト関 数

:無 次 元 密 度 1基 準 密 度 :緩 和 時 間 :動 粘 性 係 数 衝 突 項 無 次 元 角 速 度

卜1

{一]

卜]

卜]

[kg/m31 日 [m2/s]

卜}

〔]

第1章

緒 言

1.1は じ め に

CFD(ComputationalFluidDynamics)に よ る 物 体 周 りの 流 れ の シ ミュ レ ー シ ョ ン は 境 界 近 傍 の 流 速 や 圧 力 な ど の 物 理 量 が 任 意 の 場 所 で 取 得 で き 、 計 測 機 器 に よ る 影 響 を 受 け な い こ と か ら 、 工 業 的 な 利 点 が 大 き い 。 境 界 付 近 の 計 算 精 度 が 高 い 境 界 適 合 型 の 構 造 格 子 や 非 構 造 格 子 、カ ッ トセ ル 法 国 を 適 用 し た 直 交 格 子 な ど を 計 算 格 子 と して 解 析 が 行 わ れ 、 設 計 開 発 の 短 期 間 化 、 低 コ ス ト化 に 多 大 な 貢 献 を し て い る 。 具 体 的 な 適 用 例 と して は 、 航 空 機 や 船 舶 、 自 動 車 、 新 幹 線 な ど の 機 械 設 計 、 建 築 工 学 に お け る高 層 ビル の 風 圧 や 市 街 地 の 風 環 境 の 予 測 、 医 学 に お け る血 流 の 解 析 に よ る 人 工 血 管 や 術 式 の 改 良 、 自転 車 競 技 や 水 泳 、 ス キ ー ジ ャ ン プ の よ う な ス ポ ー ツ に お け る パ フ ォ ー マ ン ス の 向 上 な どが 挙 げ ら れ る。

ま た 、 近 年 で は 計 算 機 の 性 能 向 上 や ス ー パ ー一・・コ ン ピ ュ ー タ ー 、GPU(Graphics ProcessingUnit)を 代 表 と す る マ ル チ コ ア に よ る 並 列 計 算 の 普 及 に 伴 い 、よ り実 現 象 に 近 い 複 雑 形 状 の 物 体 や 、移 動 物 体 の 数 値 解 析 が 行 わ れ る よ う に な っ て き たe3,11以 来 、 津 波 や 竜 巻 、 集 中 豪 雨 に よ る 河 川 の 氾 濫 な ど の 自 然 災 害 の 被 害 予 測 や 、 ド ロ ー ン 、 MAV(MicroAirVehicles)の よ う な 小 型 の 飛 翔 体 の 開 発 は 災 害 対 策 の 観 点 か ら 重 要 で あ る 。 物 体 と 流 体 が 相 互 作 用 す る 連 成 問 題 の 計 算 に は 使 用 メ モ リ と格 子 生 成 の 負 荷 が 最 小 の 直 交 格 子 が 適 して い る た め 、 直 交 格 子 上 に 任 意 の 境 界 を 表 現 で き る 埋 め 込 み 境 界 法[2】(IBM;ImmersedBoundaryMethod>が 注 目 を 集 め て お り、 盛 ん に研 究 され て い る 。IBMは 境 界 隣 接 セ ル に お い て 境 界 条 件 を 満 た す よ う に仮 装 外 力 項 を 導 入 す る手 法 で あ る が 、 特 別 な 操 作 な しで は 精 度 が 低 い の が 欠 点 で あ る 。 非 圧 縮 流 れ の 解 析 に お い て 圧 力 のPoiss.on方 程 式 を解 く際 にIBMを 導 入 す る と 、 上 記 の 欠 点 に よ り圧 力 修 正 回 数 が 増 加 し、 膨 大 な 内 部 反 復 に よ る計 算 時 間 の 増 加 が お こ る 。 格 子 解 像 度 を 上 げ る こ と で 境 界 精 度 は 改 善 さ れ る が 、 格 子 点 数 が 増 え る こ と で 内 部 反 復 に よ り時 間 が か か っ て し ま う と い う課 題 が 存 在 す る 。

次 項 で は 、 上 記 の 問 題 を 回 避 す る た め に 、 本 研 究 で 流 体 の 解 析 手 法 と し て 用 い た 格 子 ボ ル ツ マ ン法(LBM;LatticeBoltzmannMethod)の 特 徴 に つ い て 述 べ る 。

1.2格 子 ボ ル ツ マ ン 法[3][4][5]

LBMは 流 体 を有 限個 の 微視 的 な 粒 子集 合 で 表 現 し、そ の衝 突 と並 進 を解 く こ とで時 間進 行 す る解 析 手 法 であ る。Boltzmann方 程 式 の 速 度 空 間 を有 限 個 の離 散 速 度 で表 す こ とで 式 (1.1)が得 られ る。数 値 計 算 方法 は2章 で 詳 し く述 べ る。

讐 ・')+譜 舞 ・')=亀(切(・∫ ・)

LBMの 利 点 は 完 全 陽 解 法 で あ る た め 内 部 反 復 が 不 必 要 な 点 、 任 意 の 境 界 に 対 して 高 精 度 な 境 界 条 件(IBB;Int,erpolatedBounce‑Back)を 与 え ら れ る点 、 流 体 力 算 出 が 容 易 な 点 、 時 間 積 分 の 際 に 格 子 点 ご と の 独 立 性 が 高 く、 隣 接 格 子 へ の ア ク セ ス が ほ と ん ど な い た め 並 列 化 と相 性 が 良 い 点 が 挙 げ ら れ る 。IBBに つ い て は2.7で 詳 し く述 べ る 。 上 記 の メ リ ッ トは Navier・Stokes(NS)方 程 式 を 解 く際 に 必 要 な 圧 力 のPoisson方 程 式 の 内 部 反 復 を 回 避 す る と

と も に 、IBMの デ メ リ ッ トも 補 っ て い る こ と が わ か る 。

一 方 で、欠 点 と して は 、格 子 内 に あ る 粒 子 の 数 だ け 速 度 分 布 関 数 を用 意 す る 必 要 が あ り、

結 果 と して 使 用 メ モ リが 増 え 、NS方 程 式 の 解 析 と比 べ る と は る か に 多 くの メ モ リ を 消 費 し て し ま う点 、 最 も ス タ ン ダ ー'一ドなBGKモ デ ル だ と計 算 が 不 安 定 で あ る 点 が 挙 げ ら れ る 。 BGKモ デ ル に つ い て は2.3で 述 べ る。

ま た 、 本 研 究 で はLBMの 特 徴 を活 か す た め に 画 面 描 画 用 のGPUを 用 い た 並 列 化 処 理 を 行 っ て い る。 プ ロ グ ラ ミン グ 言 語 と し てC++AMPIを 用 い る。C++AMPはMicros⑪ft社 と AMD社 が 中 心 と な っ て 開 発 し たGPGPU(GeneralPurposeonGPU)向 け の プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 で 使 用 対 象 のGPUを 選 ば な い た め 汎 用 性 に 優 れ 、並 列 化 の た め の コ ー デ ィ ン グ が 直 感 的 で あ る と い う書 き や す さ に 大 き な メ リ ッ トで あ る。

1.3研 究 目 的

本研 究 で は以 下 の3点 を目 的 とす る。

・LBMを 用 い て 物 体 周 りの 流 れ 解 析 が 可 能 な 計 算 コ ー・・一一ドの 開 発 を 行 う。

・コ ー ドの 妥 当 性 を 検 証 す る.

・移 動 物 体 を 対 象 に 解 栃 を 行 う。

本 研 究 で取 ゆ扱 う流 体 は等 温 場 の非 圧 縮 性Newton流 体 、 物体 は剛 体 を仮 定 す る。解 析 手法 と してLBMを 用 い る こ とか ら計 算 格 子 は等 間 隔直 交 格 子 とな る。 ま た、物 体 の 表現 方 法 に は2.6節 で延 べ る符 号 付 距 離 関 数 で あ るLevelSet関 数 を用 い る。

lhttp://mSdn .microsoft.com/ja・jp/library/hh265136.aspx

1.4方 程 式 の 記 述 法 に つ い て

本 論 文 で は 基 本 的 に 方 程 式 中 の ベ ク トル 、 テ ン ソル等 は ア イ ン シ ュ タ イ ンの 縮 約 記 法 に 基 づ い て 記 述 す る。方 程 式 を離 散 化 した際 に現 れ る下 付 き文 字(̀,ノ,のや 粒 子 数 の α と混 同 し や す い の で あ らか じめ こ こで 説 明 す る。

・ベ ク ト ル、 テ ン ソ ル の 表 記

ベ ク トル 、 テ ン ソル は そ れ ぞ れ 基 底 ベ ク トル を 用 い て 次 の よ う に 表 す 。

「;「lel+「2e2+「3e3 う

累Σ 脇

'=里

jr=写1嬬 ⑭ 葛+雪2葛 ⑭ ら+713葛 ⑭63 +う ら ⑭ 盈+ろ2ら ⑭62+7}3ら ⑭ 高 +環1嬬 ⑭ 司+る 彦3⑭ ら+ち 彦3⑭ 彦3

き う

=Σ Σ η葛⑭￠

'=1 .i=1

添 え 字表 記 で は総 和 記 号 と基 底 ベ ク トル を省 略 して 戸二 弓

(1.2)

(1,3)

(1.4)

TニT,

と な る。 同 様 に ナ ブ ラ演 算 子 は 次 の よ うに 表 す 。

一 ̲∂̲∂ ∂

▽ ニβ・可+ε ・瓦+亀 菰

=無 一表

二 ∂,

(15)

(1.6)

・添 え字演 算

ま ず 添 え 字 演 算 で 用 い る 演 算 子 に つ い て 説 明 す る 。 演 算 子6rii,εiikはそ れ ぞ れ ク ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ 、 エ デ ィ ン ト ン の イ プ シ ロ ン で あ り、 次 の よ う に 定 義 さ れ る 。

6・J・={1鴇(1・7)

8ijk一い1耀ll潔1) (1.8)

添 え 字 演 算 で は 総 和 の 規 約 に よ り、 例 え ば 式(1.8)の よ う に 同 じ添 え 字 が 出 て き た ら 、 そ の 添 え 字 に つ い て1か ら3ま で 和 を と る 。

αノわゴ=aibi+α ユゐ2+α 姦 (L9)

以 上 の 規 則 を も と に 添 え 字 表 記 に よ る ベ ク トル の 演 算 は 以 下 の よ う に な る 。

・内 積

∂ ・ゐ=δ 珍α,々ノ ニ αノ々 ノ ニ α,わ, (1.10)

ε醒 ・itニ δije、"t'ノ ニeiatt, (Lll)

・外 積

∂ ×ゐ=ε 採 αノ軌 (1,12)

・勾 配

▽φ÷ ◎φ

τ

(1」3)

・発 散

一 ∂u

▽.痘=」 ニ ∂t,a

κノ ノ 」

(1」4)

・回 転

'〈7・ii一 磯 一 ε批∂ノlk _(1.正5)

1.5無 次 元 変 数 の 定 義 に つ い て

2章 に お け る 無 次 元 変 数 を 稲 室[8]に 倣 い 以 下 の よ う に 定 義 す る 。 変 数 は す べ て 、 代 表 長 さ D、 代 表 粒 子 速 さCo、 代 表 時 間to=DIUo(Uo=代 表 速 度)、 基 準 密 度 ρoを 用 い て 無 次 元 化 し て い る 。‡の つ い た も の が 無 次 元 変 数 で あ る。 た だ し、 本 文 で は*を 省 略 し て い る。 式(A.16)

に 粒 子 速 度 ベ ク トルCi、 位 置 ベ ク トルXi、 時 間t、 分 布 関 数fa、 密 度 ρ、 速 度 ベ ク トルUi、

内 部 エ ネ ル ギ ー‑ei、 圧 力pの 無 次 元 化 の 定 義 を 示 すe

c.=c,/eた _orala

Xi=x,・ID   t=〃' _o

躍=f。/ρ 。

ρ=ρ/ρ 。

z,.=u./c o"

  つ

e=ε/cδ

P=P/(ρ 。cg)

(1.16)

第2章

解析 手 法

2.1空 間 の 離 散 化

LBMで は 流 体 を 有 限 個 の 微 視 的 な 粒 子 の 集 合 と し て 考 え る た め 、 計 算 格 子 内 に 粒 子 の 分 布 関 数 と そ の 速 度 ベ ク トル を 定 義 す る 。 速 度 や 密 度 、 圧 力 は 格 子 点 上 で 定 義 さ れ る 。 Fig2,1(a),(b)は そ れ ぞ れ2次 元9速 度 モ デ ル(D2Qg)、3次 元27速 度 モ デ ル(D3Q27)で あ る 。 取 り扱 う流 体 に よ っ て 粒 子 の 個 数 や 大 き さ が 異 な る 。 本 研 究 で は 等 温 場 の 非 圧 縮 性 流 体 を 解 析 対 象 と し て い る た め 、 こ の2つ の モ デ ル を 用 い る 。

(a)D2Q9(b)D3Q27

Fig.2.1DiseretevelocitymedelofthesquregridlaUiceBoltzmannmethod.

IlD巳X,レ

Z

ユ1

ユ2

7 22

20 23

//25/︑/

グ＼㌧＼/ 1/

︑＼ ∠野/＼/26 ノん/︑/ノ2

24 19

21

Fig.22Numberofthepartielesanddistributionfunction

粒 子 番 号 の 順 番 は 自 由 で あ り、通 常 はFig.22の よ う に 分 け て 順 番 を 付 け る 。 さ ら に 、 向

か い 合 う粒 子 の 番 号 を 連 番 に す る こ と で 境 界 条 件 の 設 定 す る 際 の コ ー デ ィ ン グ が 非 常 に 楽 に な る た め 、 本 研 究 で はTable2.1,2.2の よ う に 粒 子 の 速 度 成 分 を 定 義 して い る。

Table2.1Vbl㏄ityv㏄torcompon、ent80fD2Qgmodel

粒子番丹 ^C

ー

a=0 ̀o(0,0) ⁰

a=1・"4 c、(1,0),̀2(‑1,0),̀3(O,1),c4(0,‑1) 1

a=5〜8 ̀5(1,1),c6(‑1,‑1),c7(‑1,1),c8(1,‑1) ^》2

肥able22VelocityvectorcomponenbsofD3Q27model

粒子番号 1 ^C

α=0 Co(O,O) ⁰

α=1"・6 ̀、(1,0,0),c2(‑1,0,0),c3(O,1,0)、c4(。,‑1,0),c5(O,O,・‑1),c6(O,O,一 一1)1

σ7(1,1,0),σ8(‑1,‑1ρ),cg(‑1,1,0),̀、 。(1,‑1,0),̀、 、(O,1ユ),

erニ7'‑18、 、、 〔O,‑1,‑1),c、3(。,‑1,1),・ 、4〔O,1,‑1),・ 、、(1,0,1),c、6(‑1ρ,‑1),》2

̀、7(1,0,‑1),σ 、8(‑1,0,1)

α=19〜26

̀19(1,1,1),c20(一 一1,‑1,‑1),c21(1,1,一 一1),c22(‑1,‑1、1),c23(‑1,1,1)・v

3

̀24(1,‑1,‑1),c2s(1,‑1,1),σ2白(‑1,1,‑1)

2.2支 配 方 程 式

本 数 値 計 算 で 用 い る 流 体 の 支 配 方 程 式 は 格 子 ボ ル ツ マ ン 方 程 式(LBE=Lattice BoltzmannEquation)で あ り、 離 散 化 し た も の を 式(2.1)に 示 す 。 粒 子 の 分 布 関 数 と 巨 視 的

な 物 理 量 で あ る密 度 と 運 動 量 、圧 力 の 関 係 式 が 式(2.2)〜 式(2.4)で 定 義 され る 。速 度 は 式(2,3) を 変 形 し て 式(2.5)の よ うに 求 ま る。

fa(Xt+c、a△t,t+△')‑fa(x、,t)÷ Ω 。(x、,t)(2ユ)

ρ=Σ ん (22}

Pt'、 一 Σ ・、。fa(2 .3) α

2

P=一 ρ￠(2.4>D din

ui=1Σcicf.(2.5) ρ 富

Ωαは 衝 突 に 関 す る式 で あ り、 次 項 で 詳 し く述 べ る 。Dditnは 空 間 次 元 数 、eは 内 部 エ ネ ル ギ ー で あ り、 次 式 か ら 求 ま る 。

ε=蕩(%一 軌 ⑳

本 研 究 は 等 温 モ デ ル を 扱 うた めe=Daim/6と な る こ とか ら圧 力 は 以 下 の 定 義 し な お す こ とが で き る13】。

1

」ワ=一 ρ(2.7)3

ま た 、τは 粒 子 が 平 衡 状 態 に 至 る ま で の 衝 突 回 数 を 表 す 緩 和 時 間 で 、Navie‑Stokes方 程 式 に お け る 拡 散 項 に か か る動 粘 性 係 数 と以 下 の 関 係 に あ る。

レ=1〔1τ 一 一

2〕c2△'(28)

こ こ でc△t=△x,△x=D△x,Ma=Uo/c,ReニUoD/vよ り、 式(2.8)は 以 下 の よ う に 変 形 で き る 。

Ma +0.5(2,9) τ=3

Re△x

Maは マ ッ ハ 数 、u⑪は 代 表 速 度 、△Xは 無 次 元 の 格 子 幅 を 表 し て い る 。緩 和 時 間 はO,5<τ<2 を 満 た す よ う に 各 無 次 元 数 を 与 え る 必 要 が あ る 。 圏

2.3衝 突 項 の 取 り扱 い

衝 突 項 は 分 布 関 数fの 非 線 形 の 関 数 で あ る 。BGK(Bhat,nagar'Gross・Krook)モ デ ル{71を用 い て 簡 単 化 す る こ と に よ り以 下 の 式 で 書 き 表 さ れ る 。

Ω。一一⊥蝋 切 一∬ ・㊥)]伽 ・)

τ

こ こ で 、 がqは 局 所 平 衡 分 布 関 数 で あ る 。

ノ泡 ρ〔1+3c・.ui+塞(Cior・t・)2‑9tt」 り(2・ ・)

waは 重 み 関 数 で あ り 、D2Qgモ デ ル の と き は 式(2,12)[81、D3Q27モ デ ル の と き は 式(2.13)[9]

を 用 い る 。

 /撫 ≡塾8

8/27(α=0}

2/27(α ニ ト6)

w・=

1/54(α 一7‑18) 1/216(α=重9〜27)

(2.12)

(2.13)

式(2,10)は 粒 子 分 布 が 単 一 の 時 間 に 平 衡 状 態 に 緩 和 す る と 仮 定 し て い るSRT(Single RelaxationTime)モ デ ル で あ る 。SRTは コ ー デ4ン グ が 容 易 で あ り、 並 列 化 計 算 に 向 い て

い る が 、 高Eθ 数 に お い て 計 算 が 不 安 定 に な る と い う欠 点 が あ る 。 ま た 低 いRetwで も 収 束 性 が 悪 い 。 こ れ に 対 し て 、 粒 子 の 分 布 関 数 を 物 理 量(モ ー メ ン ト)に 変 換 し、 そ れ ぞ れ の 物 理 量 に 対 し異 な る 緩 和 時 間 を 設 け るMRT(MultiRelaxationTime)モ デ ル は 高 帰θ数 で も 安 定

し て 計 算 を 行 う こ とが で き るfs1【1。】。MRTモ デ ル は 以 下 の 式 で 表 さ れ る。

Ω 。 ニ ーM"s[m.(,x、,t)‑ma"(κ ノ)] (2.14)

こ こ でMは 変 換 行 列 、Sは 各 物 理 量 に 対 す る緩 和 時 間 の 対 角 行 列 、晦 とm島qは そ れ ぞ れ 、 変 換 さ れ た 物 理 量 と そ の 平 衡 状 態 量 で あ り、D2Q9モ デ ル で は 式(2.15)〜 式(2.18)で 表 さ れ

る 。 変 換 行 列 の 導 出 とD3Q27モ デ ル のMRTLに つ い て はApPendixを 参 照 さ れ た い 。 変 換 行 列 の 全 て の 行 ベ ク トル は 互 い に 直 交 して い る た め 、 変 換 に よ り得 ら れ た 物 理 量 の 衝 突 は 独 立 な も の と し て 捉 え る こ とが で き る 。 そ の た め 各 物 理 量 に 対 して 任 意 の 緩 和 時 間

を 与 え る こ と が で き る 。

ldη00d240

‑d400‑4qO

l﹂.4d20010

ーハ∠ワ畠‑一一1一〇〇10

144000000

=M      お   12111一一〇一

で       に121一一l10一

   こま   121一一一一〇l

121111101

(2.15)

川。=ル 観 (2ユ6)

nlg̀,ニ ルσ 潔 (2.17)

S・ ・diag(S。,Sl,sユ,sa .,s4,ss,s6,s7,ss) (2.18)

各物 理 量 の定 義 を式(2.19)に 示 す 。

m‑(P,L))e,ゐ,qx,み,侮,P。T,編 γ(2.19)

pは 密 度 、 θは エ ネ ル ギ ー 、 εは エ ネ ル ギ ー の2乗 、ixはx方 向 の 運 動 量 、qxは.Y方 向 の 熱 流 束 、∫ッはy方 向 の 運 動 量 、qyはy方 向 の 熱 流 束 、Pxx、Pxyは そ れ ぞ れ 応 力 テ ン ソル の 対 角 成 分 と非 対 角 成 分 を 表 して い る。

ま た 、 式(2.18)に お い てNavier・Stokes方 程 式 を 満 足 す る た め にs7とs8を 以 下 の よ う に 定 義 す る 、

LSI,=s,=1/τ (2.20)

残 りの7つ の 緩 和 時 間 に つ い て は 、 保 存 量 は 衝 突 に影 響 を 与 え ず 、 非 保 存 量 の み が 衝 突 に 影 響 を 与 え る圖。 密 度 お よ び 各 方 向 の 運 動 量 は 保 存 料 で あ る た め 緩 和 時 聞 は 式(2.21)の よ う に0で 与 え ら れ る 。 衝 突 に影 響 が な い た めA.Fakharietal.[ii】 やE.Aslanetal.E12]の よ う に1と 与 え て も 計 算 結 果 に ほ と ん ど 差 異 は 生 じな い 。

s。 ニs .1=35=0 (221)

そ の他4つ の緩 和 時 間 は任 意 に設 定 す る こ とが で きる。

2.4並 進 ス テ ッ プ に つ い て

並進 過 程 は支 配 方 程 式 の左 辺 で表 され 、粒 子 の 分 布 関 数fを 粒 子 の速 度 の 向 き に1格 子 分 移動 させ る。

fa(x,+c,。 △t,'+△')=プ 』(x,,t)(2,22)

上 式 の 左 辺 はn+1ス テ ッ プ の 分 布 関 数 で あ り、 右 辺 はnス テ ッ プ の 衝 突 直 後 の 分 布 関 数 を 表 し て い る 。 こ の 式 も 全 て の 格 子 の 全 て の 分 布 関 数 に 対 し て 場 合 分 け な し で 記 述 で き る た め 並 列 計 算 と非 常 に 相 性 が 良 い 。

例 え ば 、だ+1をn+1ス テ ッ プ で の 分 布 関 数 、Cx、r、Cyaをそ れ ぞ れ 粒 子 速 度 の.Y成 分 、.y成 分 と して 、 擢+1[i+Cxa][j+Cya]=fan[i]b"]の よ う に 記 述 す る こ と で 、 す べ て の 格 子 に お け

る 全 て の 粒 子 の 並 進 過 程 を 表 す こ と が で き る。

2.5境 界 条 件

LBMの 境 界 条 件 は 式(22)〜 式(2.4)に よ っ て 求 ま る密 度 と速 度 、圧 力 が 、 境 界 で 満 足 さ れ る よ う に 粒 子 の 分 布 関 数 を 求 め る 。Fig.2.3に お い て 、 点 線 は 並 進 ス テ ッ プ を 経 て 計 算 領 域 の 外 側 か ら 内 側 に 進 む 未 知 の 分 布 関 数 で あ り、 こ れ を境 界 条 件 と して 定 義 す る必 要 が あ る。

・Bo㎜ce‑BackBC(滑 りな し条 件)

ゐみ'ゐ

==二五論晶

ー

(2.23)

' …… ズ …… 澱

即

… ー

…

茜

㌧鍔 …

out欄

2

β

ノ'

!

!

ノ1、

1、 、

1

Ψ

、

、

篭

濯 ^響

m

兀 五 ム

F㎏.2.3Sche血aticofu皿k皿ow血distribu七ionfU血ctionontheboundary.

・滑 り条 件

ゐゐ∬ム

==二五ゐム

ー

(2.24)

境 界 条 件 に 速 度 を 与 え た い と き や 、 ボ ア ズ イ ユ 流 れ の よ う に 流 入 面 と 流 出 面 で 圧 力 差 が 存 在 す る場 合 は 以 下 の 式 で 定 義 す る 。

・Zou‑HeveloCityandPressureBC(Zouetal ,11a1) 2

f・=f3一 写ρv

f6‑fs+圭(f・‑f2)一 ρ〔壱v+圭u〕iZ・25)

f・=f's(f・‑f2)一 ρ(きv一 圭 ・)

・局 所 平 衡 分 布 関数 に よる外 挿15】

境 界上 の 格 子 点 で の粒 子 分 布 は局 所 的 な平 衡 状 態 に達 して お り、 境 界 上 の 巨 視 的 変 数 を 用 い て式(2,11)に よ り未 知 の 粒 子 分 布 を決 定 す る。 本研 究 で は この 手 法 を用 い て 計 算 を行 っ

て い る。

2.6任 意 形 状 の 表 現

本 研 究 で は 、物 体 の境 界 面 を 符 号 付 距 離 関 数 で あ るLevelSet関 数 に よ っ て 表 現 し て い る。

LevelSet関 数 は 計 算 空 間 全 体 で 式(2.26)を 満 た す 。物 体 の 内 側 を 負 、外 側 を 正 と し て お り、

求 ま っ た 境 界 面 と の 距 離 は 次 項 で 述 べ るIBB境 界 条 件 を適 用 す る 際 に用 い る 。

1=d

岬▽

(2.26)

ま た.レ ベ ル セ ッ ト関 数 が も つ 式(2.27)の 性 質 を 利 用 して 、 点 と直 線 の 距 離 な ど の 定 理 か らFig.2.4の よ うな 任 意 形 状 の 物 体 を表 現 す る こ と が 可 能 で あ る 。

{P=min@1,q,,勾 (227>

Fig.2.4LevelSetfU皿ction

2.71BB境 界 条 件1141

直 交 格 子 上 の 任 意 形 状 の 物 体 周 り 境 界 条 件 と し てLBMで はIBB(lnterpolated Bounce‑Back>境 界 条 件 を 用 い る こ と が で き る。常 に2次 精 度 を 保 ち 、外 挿 を 行 わ な い 補 聞

で あ る こ と か ら 計 算 が 不 安 定 に な りに くい 利 点 が あ る 。 粒 子 は 物 体 を 通 り抜 け る こ と は な い た め 、 並 進 ス テ ッ プ で 隣 接 セ ル に お い て 物 体 セ ル か ら進 ん で く る 向 き の 粒 子 の 分 布 関 数 を 新 た に 定 義 す る必 要 が あ る。 ま ず は 静 止 して い る 境 界 に 対 す るIBBに つ い て 説 明 す る。

以 下 の3つ の モ デ ル は 同 様 の 結 果 が 得 られ るe[11]

(1)Filippova‑Hanelmodel{i5]

fa‑(x,,t+N)一(1‑z)fa(,x、,t)+瑳6げ,t) こ こで 、ん は以 下 の式 で 表 され る。

孟 転,')=〃(x、,t)+PMI。C,a(u、b‑Ui)

砺 は σの 値 に よ って場 合 分 け を行 う。

z・・.1・,zr一 習 ・f・r・ ≦q<圭 ltib=

19‑12q‑l qu・ ・xニr・for5≦e<l

qは 格 子 幅 で 正 規 化 さ れ た 境 界 と の 距 離 で 以 下 の 式 か ら求 め る。

d eニ1 c。1A・:

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31>

(2>Bouzidi‑Firdaousg.'Lallemandmodel〔141[161

榊 髄1;塒 鵬;ll二1 ^(2.32>

(1)の モ デ ル と 比 較 す る と と て も シ ン プ ル で あ る 。 本 研 究 で は こ の モ デ ル を 用 い て い る 。 Fig.2.5、Fig.2.6は そ の 概 略 図 で あ る 。並 進 ス テ ッ プ 後 の 隣 接 セ ル に お け るfa一を 求 め た い 。 qが0.5未 満 の と き は 、 隣 接 セ ル と 流 体 セ ル の 並 進 ス テ ッ プ 前 のfa(物 体 セ ル に 向 か っ て い く向 き の 分 布 関 数)を 用 い て 赤 い 点 に お け る 分 布 関 数 を 補 間 す る 。 これ を 並 進 ス テ ッ プ に お い て1格 子 分 移 動 させ る と、 赤 い 点 線 の よ う に 動 き 隣 接 セ ル に た ど り着 く。 即 ち 、 補 間 に よ り求 め た 赤 い 点 の 分 布 関 数 が 求 め る べ き姦 一と な る 。

Xi ̲1

物 体セル

境界 ^{κ ゴ}

隣 接セル

Fig,2.5SchematicofIBBforo≦qく1/2

Xi+1 流 体 セ ル

qbSO,5以 上 の と き は 、並 進 ス テ ッ プ を 経 た 後 の 分 布 関 数 を用 い てfa一を 補 問 す る。即 ち 、 も と も と隣 接 セ ル に あ っ たfaとfa一 を そ れ ぞ れ1格 子 進 め る と、faは 物 体 境 界 に ぶ つ か っ て 跳 ね 返 り、 左 側 の 赤 い 点 の 位 置 ま で 進 み 、 ル ーは 隣 の 流 体 セ ル 赤 い 点 ま で 進 む 。 補 間 に 用 い る 点 は こ の 赤 い2点 で あ る。 ま た 、 補 問 の 際 、 左 側 の 赤 い 点 と隣 接 セ ル と の 距 離 を 知 る 必 要 が あ る 。 左 側 の 赤 い 点 と境 界 ま で の 距 離 は 境 界 と物 体 セ ル ま で の 距 離 と等 し い た め2(1‑

q)と な る 。 した が っ て 左 側 の 赤 い 点 と隣 接 セ ル の 距 離 は2q‑1と 求 ま る 。

Xi ̲1境 界 物 体 セ ル

←

r劇 幽 ■id・ 囎 隅 鱈

←ノ

づ

一 一 旧 葡 噛繭 醐 脚 ・一 ■ ■一一 旧 →●

κ,

隣 接セル

Flg.2.6Schematic。flllBfor1/2≦q<1

・Xi+1 流 体 セ ル

(3)Yu・Mei‑ShyyrnodelIユ7】

こ の モ デ ル は 場 合 分 け を 必 要 と し な い 。q=1/2に お い て よ く 用 い ら れ るmid‑way bounce‑backを 満 足 し な い 点 に 注 意 さ れ た い

fa‑(Xi,t+At)「 駆 回+礁')]+静(x・ ・1・t)(2・33)

境 界 が 速 度Uw、xuiを 持 っ て い る場 合 は 以 下 の 式 を 用 い る。

2蝋 切+(1‑2の 礁P')+6・ ・a脳11戸 姻 ≦9f<圭

fa.(x、,t+△')=

毒(綱+(2q‑1)細)+6… 勧  ・f・・ 圭≦q〈1(2・34)

2.8剛 体 の 運 動 方 程 式[18】[191

剛 体 は 質 量 分 布 を持 って い る た め、 並 進 運 動 の ほ か に 回転 運 動 も考 慮 に 入 れ な けれ ば な らな い。3次 元 で は、 並 進3方 向 、 回転3軸 、 計6自 由 度 とな る。 なお こ の項 にお い て はt を有 次 元 時 間 、Tを 無 次 元 時 間 とす る。

亭 一ガ ㈱

留 一黒繍 一伽(236)

1,=∬ ザω ゴ (2.37)

・ij一ン/∫ 母 態 レ 〔1〕=怖 (2.38)

rgiは 重 心 、ffikは 流 体 力 を 表 す 。liは 角 運 動 量 と呼 ば れ 、Iijは 慣 性 モ ー一一一メ ン ト テ ン ソル と 呼 ば れ る。it∫を 計 算 中 に 毎 ス テ ッ プ 求 め な お す の は 非 効 率 な の で 座 標 返 還 に よ っ て 求 め る 。 物 体 が 剛 体 回 転 に よ っ て の み 変 形 され る場 合 、 そ の 変 換 行 列Pi∫は 正 規 直 交 基 底 か ら な る 直 交 行 列 で あ り、初 期 座 標 か ら み た 慣 性 モ ー メ ン トテ ン ソ ル をJòゴ、角 運 動 量 、角 速 度 を̀。̀,ω。!

とす れ ば 、

1。iニ1。 り ω 。ノ (2,39)

lt=ろ!。 、 (2.40)

上 式 と 式(2,37)を 連 立 す る と 、

ω 、=君1ω 。,

Rvi.,=1。,ノ ㍉ ω 」

(2.41)

(2.42)

と な り、 最 終 的 に 次 の 関 係 式 が 導 き 出 せ る。

1,ニP,iil。 ∫。1㍉ ω ノ (2.43)

∫ジ 君111,。馬

ま た 、 式(2.35)に お い て 外 力 を 流 体 力 と 重 力 に 分 け る と以 下 の よ うに 書 け る 。

つ

學 一あ+㎎ ら

(2.44)

(2.45)

こ こ でm=D3ρ 。Mb、r=DR,Ft・t=ρoc2,t=TD/u。,9=90G、Frニu。/V95万 を 上 式 に 代

入すると、

袴 券 一㌦+誓 減(2・46)

と な る 。 さ ら に トル ク を 乃 と し て 、

Σ ε詮,一'葱 ン 海 一 男(2.47) ゐo的'

よ り式(2.36>は 以 下 の よ うに 書 き換 え る こ と が で き る 。

告 一T,(2・48)

2.9物 体 と流 体 の 相 互 作 用 に つ い て

物 体 と流 体 の 連 成 問 題 に お い て 、 流 体 か ら物 体 へ 、 物 体 か ら 流 体 へ 、 そ れ ぞ れ 与 え る 力 を どの よ う に 取 り出 す か が 重 要 と な る。

物 体 が 流 体 に 与 え る 力 はIBB境 界 条 件 に よ り考 慮 さ れ る。2,7で 説 明 し た よ う に 、IBB は 並 進 ス テ ッ プ に お い て 粒 子 が 境 界 で 跳 ね 返 る こ と を 意 味 して い る 。

流 体 が 物 体 に 及 ぼ す 力 はME(Moment,umExehange)[2。 】[21][22]を用 い て 算 出 す る 。 物 体 境 界 で 跳 ね 返 っ た 粒 子 の 運 動 量 変 化 か ら 流 体 力 の 算 出 を 行 う。Fiは1粒 子 が 物 体 に 与 え る 力 で 、

こ れ を 全 隣 接 セ ル で 足 し 合 わ せ る こ と で 流 体 力Ffliが 求 ま る。

F、 一 一c、a(fa(x、,t+△t)+fa.(t、,t))(2.49)

.11/,,一一 Σ%(塩(Xi,1+△t)+fa‑(x、,t)) bOitnda!li'

(2.50)

2.10計 算 手 順

LBMの 計 算 フ ロ ー をFig.2.7に 示 す 。

粒 子 の分 布 関 数 の 初期 条 件 は 密度 と速 度 の初 期 条 件 を用 い て局 所 平 衡 分 布 関 数 を与 え る。

粒 子 の 衝 突 と並進 はLBEに よ り計 算 し、 物 体 の移 動 は運 動 方 程 式 に よ り計 算 して い るe 物 体 の 移 動 と粒 子 の並 進 が 終 わ り次 第 、IBBを 用 い て隣 接 セ ル の 分 布 関 数 を定 義 し直 し、

MEに よ り流 体 力 を求 め る。 そ して、計 算 領 域 の端 に境 界 条 件 を与 え 、最 後 に 巨 視 的 物 理 量 の 算 出 を行 い、 次 の 時 間 ス テ ッ プ に移 行 す る。

実 際 に プ ロ グ ラム を書 く場 合 は富 山 大 学 の瀬 田研 究 室2、OpenLB3に サ ン プル コー一ドが あ るの で 参 考 に され た い。

▼

↓

サ 粒子の衝突

体の移動 1

粒子の並進

i

↓

IBB、 流 体 力 の 算 出

↓ 境界条件

↓

速度,圧 力,密度 の 算 出

Hg.2.7FlowchartofCalcUlation

2httpl〃www3 .u‑toyama,ac.jplsetaf 3httP:〃optilb .org/openlb1

第3章

妥 当性検 証

3.1円 柱 周 りの 流 れ 解 析

本研 究 で 作 成 し た 計 算 コ ー ドの 妥 当 性 を 検 証 す る た め に 一 様 流 中 に 置 か れ た 円 柱 周 り の 流 れ の2次 元 計 算 を 行 っ た 。計 算 モ デ ル をFig.3.1に 示 す 。円 柱 を(8D,8、0)の 位 置 に 配 置 し、

初 期 条 件 と して 計 算 領 域 全 域 に 密 度Pi、 運 度Ui=(O,1,0)を 与 え た 。 境 界 条 件 はx=0の 面 でZti=(o.1,0)の 一 様 流 入 、x=32Dの 位 置 で 自 然 流 出 、 他 の 面 は速 度IUi=(o.1,0)の 滑 り 条 件 と して 、(式2ユ1)の 局 所 平 衡 分 布 関 数 を 用 い て 与 え た 。

Ma=O.1

32D

16D

Outflow

F!ig.3.1SchematicofcomputationalmOdel

抵 抗 係 数 、 揚 力 係 数 の 箕 出 に は 式(3.1)を 用 い た 。 円 柱 に 加 わ る 力 は 式(2.49)、 式(2.50)に よ り求 め た 。 ま た 、MRTモ デ ル の 緩 和 時 聞 はP.Lallmandetal.[8}に 倣 い 式(32)の よ う に 設 定 した 。 逆 行 列 の 計 算 に はC+÷ の テ ン ブ レ ー トラ イ ブ ラ リで あ るEigenl2a]を 用 い た 。

2F

ら 二粛 ・オ

CLニ2盈

ρ 物 』/歪

(3.1>

8二 伽9(s。,51,・ 、,5、,・、,3,,5、,s,,5,) 一 伽9(OJ .64,L64,0,1.54,0,1・54,1/・,1/τ)

(32>

Re=100の と き の 渦 度 並 び に 、抵 抗 係 数 と揚 力 係 数 の 時 問 推 移 をA.Fakharietal.〔111と 比 較 し た 。Fig.32、Fig.3.3は そ れ ぞ れ 渦 度 の ス ナ ッ プ シ ョ ッ ト と 抵 抗 係 数 、 揚 力 係 数 の 時 間 推 移 で あ り、 共 に よ く一 致 し て い る こ と が 分 か る。Table3.1に は 計 算 に 用 い た 条 件 を 示 し て い るeさ ら に 、Table3.2に 抵 抗 係 数 と揚 力 係 数 の ピ ー ク値 の 比 較 を 示 す 。 抵 抗 係 数 の 値 は5%ほ ど大 き い が 、 概 ね 一一一]$(して い る。

丁琶ble3.1Computationalco血dition

Numberofgrid・ 配eCollisiont・errn

640×320 100 MRT

=バ」Ooo 叫 ・ ^1り

、ニーノ 〈i Oo

】lig.32SnapshotofvorticitydistributioロatRe=100,left:A.Fakharietal.tllJ,1ight:

present

15

盲α︒o.げ

の 昏

弼掘 細

瓶̲̲̲/一 …

1

り哩 邸

皿

一〇,s.

Fig.3.31hransientresponseofCDandCLatRe=100,lefヒ;AFaltharieta1.(n],right:

present

Ttable3.2ComparisonofCp,CLandCLkmbWithothercomputationalstudy

Numberof 9壷d

CDCLPeajtS3t

256×128 1.377 ±324 0ユ70

A.Fakharietal.[11] 512x256 1.400 ^±3,48 O.172

1024>く512 1.408 ^±3、55 0.172

640x32e 1.410 ^±3,40 0.172

Present 960x480 1、412 ±3.48 O.172

1280x640 1,414 ^±3.52 0ユ72

ま た 、SRTモ デ ル とMRTモ デ ル そ れ ぞ れ の 計 算 結 果 とC.Wieselsbergeriz5】 の 実 験 値 と の 比 較 をFig.3.4に 示 す 。 横 軸 に.磁 数 、 縦 軸 に 抵 抗 係 数 の 常 用 対 数 を と っ て い る 。SRTモ デ ル で はRe=400ま で 、MRTモ デ ル で はRe=1500ま でTable3.1に 示 した 格 子 数 で 発 散 せ ず に 計 算 を 行 え た 。MRTモ デ ル の 方 が よ り高 い.eeで も計 算 が 行 え て い る こ と が 分 か る。

Reが20⑪ を 超 え る と3次 元 的 な 流 れ が 発 生 す る こ と か ら実 験 値 と計 算 結 果 は 一 致 し な く な る、 抵 抗 係 数 の 値 は 全 体 的 に 実 験 値 よ り も 高 くな っ た 。

10

δ

1

O,1

1,0E・1 LOE+0 L⑪E+1 LOE+2LOE+3R

e ^{1.OE+4 1.OE+5 1.OE+6}

Fig.3.4CommonlogarithmgraphofCp・Re

3.2回 転 円 柱 周 りの 流 れ 解 析

移 動 境 界 に 対 す るIBB境 界 条 件(式(2.34>)の 検 証 と し て 一一様 流 中 に 置 か れ た 回 転 円 柱 周 り の 流 れ 解 析 を 行 っ た 。計 算 モ デ ル は3.1で 用 い た 円 柱 に 時 計 回 りの 角 速 度 を 与 え た 。衝 突 項 に はMRTモ デ ル を 使 用 し、 緩 和 時 間 行 列 は 式(32)を 用 い て い る。

Reニ100の と き、 角 速 度 を ὼ=(O,O,O)か らcoi=(O,O、0,1π)ま で0、025π ず つ 増 や して 円 柱 後 方 の カ ル マ ン渦 の 変 化 を 調 べ た 。

無 次 元 の 角 速 度 は 式(3.3)を ωo=c/D、to=DIUoを 用 い て 無 次 元 化 を 行 う と 式(3.4)の よ う に 求 ま る 。 な お 、T"は 無 次 元 の 周 期 、Nは 無 次 元 時 間1あ た り の 回 転 数 を 表 し、N=1/T' の 関 係 に あ る 。

2π (O=一(3.3)

T ω ωb=.2π

t。プ

(3.4) ω ニN‑=」.2π 〉・Ma・2π

toCt}e

従 っ て 、 ω=0.1π の と き 円 柱 は 無 次 元 時 間1あ た りO.5回 転 す る。

な お 、 角 速 度 を 与 え た 場 合 、 格 子 数 は640×320で は 境 界 付 近 の 速 度 場 、 圧 力 場 が 計 算 で き な か っ た た め1280×640に 変 更 して 計 算 を 行 っ た 。 ま た 、Fig.3.5か らFig.3.9に 流 線 と 渦 度 の 可 視 化 結 果 を ま と め た 。 渦 度 に は 絶 対 値 で 色 付 け し た 速 度 ペ ク トル を 合 わ せ て 表 示

し た 。 流 線 の 背 景 は 圧 力 場 で あ る 、 時 計 回 りの 回 転 の 影 響 を 受 け 、 本 来 真 後 ろ に で き る は ず の カ ル マ ン 渦 が 上 に そ れ て 形 成 さ れ て い る の が 見 て 取 れ る 。 回 転 速 度 が 速 く な れ ば な る ほ ど後 流 の 振 動 が 減 少 し て い く様 子 は 野 地 ら 圏 の 先 行 研 究 の 計 算 結 果 と定 性 的 に 一 致 して い る 。Fig.3,10に 野 地 らが 非 構 造 格・子 で 行 っ た 回 転 円 柱 周 りの 流 速 場 を 示 す 。ま た 、Table3.3 に そ れ ぞ れ の 回 転 数 に お け る 抵 抗 係 数 と揚 力 係 数 を ま と め た 。

t=0

窪

Figa5Stream工ineandvorticityatangularvelocityrm(0,0,0)

,=ol

賜一 甲一一一

藪 t=3!

盤 財=50

t=100

 一

灘一

一

1fig.3,6Streamlineandvorticityatarigularvelocity=(0,0,0,025π)

Li‑.̲‑t=0

難

F1ig.3.7Streamlineandvorticityatangularvelocity=(0,0,0.05π)

t=0

 仁蓮

藪 繹 嚢

Eg.3.8Streamlineandv・rticityatangularvelocity=(O,O,0.075π)

0ニ'

tニ5

霧.

…一藝馨無 ∫ニ100

Fil箏3.9Streamli血eandvorticitya七angularvdbcity=(0,0,0.1π)

謁♂

僻∴,︑︑.藷こナ.'ノ.∴﹂,ミ￡

〒

.一一,﹁.∵﹂

ン守ノ",

﹁一一ヤ﹄‑・.凸哩,甲

=}.ユ'二

榊

榊

H圃一曲一皿

}} 白一一ぬ} ⁝ {

}﹁一 一  ⁝一

腎  ⁝一 ⁝=;雲讐

凸 /.U︾U︑︑・

.﹃引露鷲

一

一琴}一 .一.・

⁝・﹃

7 ,

■

一沸ぺ﹂謄‑幕愚.↑

・.甑満淋鳳.∩

﹂‑冨∴門﹃一{・㌧.バ

凱︑噂七.ジ勇'3.(

︹.二

デ h 塾.

' 一呼

⁝ 一一 一一}⁝一

} ...・

二⁝

一=

︻⁝}

一

一

¶ '●_●

8 馬 ︑う

h︑凱,巳層﹂冒 内噸

漕■

]iig.3.10VelocityfieldcomputedbyN(埴i

Table3.3Computationalresultofeachangロ1arvelocityatRe=100

Angu}arvel。,ityNumbe・ 。fgridCDCLC、Peaks

ὼ=(O,O,O) 640>く320 1.410 0 ^±3,40

ὼ=(O,O,O.025冗) 1280×640 1.296 ^一1 .93 ±3.88

ωi墨(O,O,O、05π) 1280>(640 0,936 ^{一4,07 ±3.90}

ὼ=(O,O,O.075π) 1280×640 0.468 ^一6.72

ὼ=(O,O,O.1π) 1280x640 0.339 ^一10 .57

3.3球 周 りの 流 れ 解 析

3次 元 解 析 の 妥 当 性 検 証 と し て 一 様 流 中 に 置 か れ た 球 周 りの 流 れ 解 析 を 行 い 、妥 当 性 の 検 証 を行 っ た 。 本 項 で は 抵 抗 係 数 と渦 構 造 を 先 行 研 究 と 比 較 す るe抵 抗 係 数 はMEに よ る流 体 力 算 出 と 式(3.1)か ら 求 め る。 渦 構 造 の 可 視 化 に はJ.Jeongetal[291に よ っ て 開 発 され た λ2 法 を 用 い た 。 速 度 勾 配 テ ン ソル の 対 称 成 分 か ら な る ひ ず み 速 度 テ ン ソ ル5り と 非 対 称 成 分 か ら な る 渦 度 テ ン ソル Ωijを用 い て 表 さ れ る式(3.3)の 固 有 値 を 求 め て 降 順 にZl≧ λ2≧ λ3と 並 べ た と き 、A2が 負 で あ れ ば そ の 点 が 渦 領 域 と判 別 で き る 。 詳 し くは 佐 藤[27]、 ま た は 埴 田 [3。1の文 献 を 参 考 に さ れ た い 。

固 有 値 の 算 出 に は ヤ コ ビ法 な ど が 考 え られ る が 、 本 研 究 で はC++の 行 列 テ ン プ レ ー ト ラ イ ブ ラ リ で あ るEigen[28]を 用 い た 。

ド,2+Ω,,2i(3.5)

Fig.3.11にSakamoto&Haniuに よ る 球 周 りの 流 れ の 実 験 囲 の 画 像 お よ び ス ケ ッチ を 示 す 。 ま た 、 佐 藤[27]は 球 周 りの 流 れ の 状 態 を 、磁 数 に 応 じ て 分 類 し、Table3.4の よ う に ま

と め た 。 本 研 究 は そ れ を も と に 定 性 的 な 評 価 を 行 う。

・!闘 、̲ノ へ .

侮},鱒 くRec.aeや

α 訊̲。 魅

SOEYEvv

̀d4皇o{渦 虚{働

{e,Re}eoo

一一

御 岬〜 ノ ・〜ヌ

鋤爵一 ・

回噂'

零

、"

い 「

ー爆で

F!ig.3.11Pattemsofvortexsheddinginwakeateachregio皿bySakamoto,etal,lef』=

sChematicrepreSentation,right:experimentalphOtograph

Re

Table3.4 Stateofflowaroundasphere 流 れ の 状 態

Re≒24 球 後 方 か らの 剥 離

24くRe<210 軸対称な定常渦

210<.1〜 θ く270 非 軸 対 称 な 定 常 渦 、 直 線double・filamentwake

270<」 配e<300 波 状 のdouble・ 丘lamentwake

300く 」配e<420 周 期 的 な 鎖 状 のvortexloops(hairpinvortices>の 放 出

420くReく800 不 規 則 なvortexloops(hairpinvortices)の 放 出

800<Re<3×10s小 さ なvortextubeが 複 雑 に 絡 み 合 う、 長 江 後 方 の 軸 を 中 心 に 回 転

計 算 モ デ ル と 計 算 条 件 を そ れ ぞ れFig.3、12、Table3.5に 示 す 。 球 を(3、D,3D,4.5.o)の 位 置 に 配 置 し 、 初 期 条 件 と し て 計 算 領 域 全 域 に 密 度Pi、 速 度Ui=(0.1、O,O)を 与 え た 。 境 界 条 件 はx=Oの 面 でUi=(0.1,0,0)の 一 様 流 入 、x=18Dの 位 置 で 自 然 流 出 、 他 の 面 は 速 度Ui=

(O、1,0,0)の 滑 り 条 件 と し て 、(式2,11)の 局 所 平 衡 分 布 関 数 を 用 い て 与 え た 。

11ig.3.12SchematicofSphereflowmodel