微分積分学 田口 雄一郎

微分積分学

田口 雄一郎

目次

1.

一変数の微分法

2.

二変数の微分法（偏微分）

3.

一変数の積分法と微分方程式

4.

二変数の積分法（重積分）

記号：この講義では一貫して次の記号を使ふ：

N :

自然数全体の集合（0 も含める）

Z :

整数全体の集合

Q :

有理数全体の集合

R :

実数全体の集合

C :

複素数全体の集合 区間の記号：

[a, b] = { x ∈ R| a ≦ x ≦ b } (a, b) = { x ∈ R| a ≦ x ≦ b } [a, b) = { x ∈ R| a ≦ x ≦ b } (a, b] = { x ∈ R| a ≦ x ≦ b }

1.

一変数の微分法

1.1.

実数の連続性. 有理数全体の集合

Q

は「連続」でない。例へば

x ² = 2

を満たす有理数

x

は存在しない、といふ様に、「穴だらけ」で ある。

√

2 ̸∈ Q

をもう少し詳しく言ふと、A

= { x ∈ Q| x ² < 2 } , B = { x ∈ Q| x ² > 2 } ,

とおくとき、

Q

を「上半分」

A

と「下半分」

B

にきつちり分けられる、即ち

Q = A ∪ B, A ∩ B = ∅

と書ける、が、その「境界」の

x = √

2

は

A

と

B

のどちらにも属さ ない、といふ事である。実数全体の集合

R

についてはこの様な事が起 こらない、といふ事を以て「R は連続である」と言つてゐる。即ち、

R

を「上半分」

A

と「下半分」

B

に分けて

R = A ∪ B, A ∩ B = ∅

書くとき、その「境界」となる一つの実数

x

が存在する、即ち、A

= ( −∞ , x]

かつ

B = (x, + ∞ )

となるか

A = ( −∞ , x)

かつ

B = [x, + ∞ )

となるか、どちらかである。

実数論を本格的にやれば、Q から

R

を構成して、上の様な

R

の性 質も証明出来るが、ここでは深入りせず、事実として認める事にする。

1

1.2.

連続函数

.

一般に、函数

¹ f (function)

とは、或る

“領域” X

の各 元

x ∈ X

に対し（実数や複素数等の）値

f(x)

を対応させる規則の事で ある。（より一般に、X と

Y

が集合であるとき、X から

Y

への 写像

(map, mapping) f : X → Y

とは、X の各元

x

に対して

Y

の元

f (x)

を対応させる規則の事である。）

f

が

X

上の実数値または複素数値の函数である事を記号で

f : X → R

または

f : X → C

と記す。この講義では主に実数値の場合を扱ふ。

上で、函数に付けられた「名前」は

f

であるが、「変数」として

x

といふ文字を使ふ事を明記するために「函数

f (x)」と書く事も多い。

例.

f(x)

が実数係数の多項式であるとき、X

= R

として、f

(x)

は

X

上の実数値函数を定める。（X

= C

とすると

f(x)

は

X

上の複素数値 函数を定める—この場合

f (x)

は複素数係数の多項式でよい。）

例

. f(x) = g(x)/h(x)

が実数係数の有理式（即ち

g(x), h(x)

は実数係 数の多項式で、h(x) は零多項式でない）であるとき、

X = { x ∈ R| h(x) ̸ = 0 }

とおくと、f(x) は

X

上の実数値函数を定める。

例.

f(x) = sin x, cos x, e ^x , log x

等は

X = R

上の実数値函数を定める。

例.

x ∈ R

に対し

[x]

により「xを超えない最小の整数」を表す。また、

⟨ x ⟩ = x − [x]

とおく。f

(x) = [x], g(x) = ⟨ x ⟩

はそれぞれ

X = R

上の 実数値函数を定める。

以下では主に

X

が

R

の区間である場合を扱ふ。区間

(interval) I

と は次の形の

R

の部分集合である：

[a, b] = { x ∈ R| a ≦ x ≦ b } , (a, b) = { x ∈ R| a ≦ x ≦ b } , [a, b) = { x ∈ R| a ≦ x ≦ b } , (a, b] = { x ∈ R| a ≦ x ≦ b } .

これらのうち

[a, b]

を 閉区間、

(a, b)

を 開区間、

[a, b)

と

(a, b]

を 半開区間 と呼ぶ。a, b が

−∞

や

+ ∞

のときは適宜解釈する。

f : I → R

が区間

I

上の函数であるとき、xy-平面内の「曲線」

Γ = { (x, y) | y = f(x) }

を函数

f (x)

の（または

y = f (x)

の）グラフ

(graph)

と言ふ。

f

が

a ∈ I

で 連続

(continuous)

とは、直観的には、y

= f (x)

のグ

ラフが点

(a, f (a))

の近傍で「途切れてゐない」事である。「途切れて

ゐる」といふのは、「x が

a

の近くにあるのに

f (x)

は

f (a)

の近くに ない」といふ事だから、f が

a

で連続であるとは、「x が

a

の近くに あるならば

f (x)

は

f (a)

の近くにある」といふ事である。しかし「近

1

関数と書く人もゐる。

くにある」といふ言ひ方は曖昧である。ここでは「f

(x)

を いくらでも

f (a)

に近付けられる」といふ事が重要である。これを式で表せば

「どんなに小さい実数

ε > 0

が与へられても（x が

a

に 十分近ければ）|

f(x) − f (a) | < ε

が成り立つ」

となる。「xが

a

に十分近ければ」も曖昧なので、ここも式で表せば

「（ε に応じて）うまく小さい実数

δ > 0

を取れば、

| x − a | < δ

を満たす全ての実数

x ∈ I

に対して」

といふ事である。纏めて言ひ直すと：

定義. 函数

f

が

a ∈ I

で連続 であるとは、どんな

ε > 0

に対しても 或る

δ > 0

をうまく取れば

| x − a | < δ

を満たす全ての

x ∈ I

に対し

| f (x) − f(a) | < ε

が成り立つ事である。

先程は「小さい」云々の修飾が入るてゐたが、それは「気分」を表すた めに書いただけで、論理的には必要ないので、上の定義では省略して ある。この定義に基いて函数の連続性を証明したりする議論を

ε-δ

論法 と呼ぶ。さらに：

定義. 函数

f

が

I

上で連続 であるとは、全ての

a ∈ I

に対し

f

は

a

で連続である事である。

例. 多項式

f(x)

の定める

I = R

上の函数

f

は

I

上で連続である。こ こでは例として

f (x) = x ²

が

a ∈ I

で連続である事を証明してみよう。

ε > 0

が与へられたとする。ここで

δ > 0

を「うまく取る」のだが、

その取り方は少し計算してからでないと分からないので保留しておき、

取り敢へず「|

x − a | < δ」といふ仮定の下で次の計算をする：

| f(x) − f (a) | = | x ² − a ² | = | x − a || x + a |

= | x − a || x − a + 2a | ≦ | x − a | ² + 2 | a(x − a) |

< δ ² + 2 | a | δ.

この最後の

δ ² + 2 | a | δ

が

ε

以下になればよいから、例へば

δ =

{

min( √

ε/2, ε/4 | a | ) (a ̸ = 0

のとき)

√ ε/2 (a = 0

のとき) とおけば

²

| x − a | < δ = ⇒ | f (x) − f (a) | < ε

が成り立つ。

例.

f (x) = [x]

とする。y

= f (x)

のグラフを見れば、f

(x)

は

a

が整数 でないとき

x = a

において連続、a が整数であるとき

x = a

において 不連続、である事が見て取れる。この後半を

ε-δ

論法で証明してみよ う。a を整数とする。

「どんな

ε > 0

に対しても或る

δ > 0

をうまく取れば○○が成り立つ」

の否定は

2

ここで

min(A, B)

は「A, B のうち小さい方」を表す。

「或る

ε > 0

に対してはどんな

δ > 0

を取つても○○が成り立たない」

である。ここで○○は

「|

x − a | < δ

を満たす全ての

x ∈ I

に対し

| f (x) − f(a) | < ε

が成り立 つ」

であり、これが成り立たないとは

「|

x − a | < δ

を満たすのに

| f (x) − f(a) | < ε

が成り立たない（即ち

| f (x) − f(a) | ≧ ε

が成り立つ）様な

x ∈ I

が存在する」

である。今の場合「或る

ε」として 1

を取り、次を示せば十分である：

「どんな

δ > 0

を取つても、

| x − a | < δ

を満たすのに

| [x] − [a] | ≧ 1

と なる様な

x ∈ R

が存在する。」

実際、どんな

δ > 0

に対しても

a − δ < x < a

を満たす

x ∈ R

が存在 するが、今

a

は整数だから

[x] ≦ a − 1 = [a] − 1,

従つて

| [x] − [a] | ≧ 1

である。

問.

R

上の函数

f(x)

を次の様に定義する：

f (x) = {

x (x

が有理数のとき)

0 (x

が無理数のとき).

(1) y = f(x)

のグラフを描け。

(2) f(x)

が（各

a ∈ R

で）連続かどうかを判定せよ。

ε-δ

論法を使ふと次の命題が証明出来る：

命題.

(1) f (x), g(x)

が

I

上の函数であり、ともに

a ∈ I

で連続である とき、函数の和

f (x) + g(x),

差

f (x) − g(x),

積

f(x)g(x),

定数倍

cf (x) (c ∈ R )

もまた

a

で連続である。また、g が

I

で

0

にならないならば 商

f (x)/g(x)

も

a

で連続である。

(2) f (x), g(x)

が（適当な区間で定義された）函数であり、g

(x)

が

a

で 連続かつ

f (x)

が

g(a)

で連続ならば、合成函数

f (g (x))

は

a

で連続で ある。

連続函数についての重要な定理として次がある：

中間値の定理. 閉区間

[a, b]

で定義された連続函数

f (x)

は

f(a)

と

f(b)

の間の全ての値を（少なくとも一度は）取る。

[より詳しく述べると： f(x)

を閉 区間

[a, b]

で定義された連続函数とし、

p

を

f (a) ≦ p ≦ f (b) (または f (a) ≧ p ≧ f (b))

なる実数とする。このとき、a

≦ c ≦ b

なる実数

c

であつて

f (c) = p

を満たすもの が存在する。]

ここでは簡単のため

f(x)

は

R

全体で定義された 単調増加 な連続 函数であると仮定して、f

(x)

が全ての実数値を取る事を証明してみよ う。実数

p

が与へられたとする。これに対し

A = { x ∈ R| f(x) ≦ p } , B = { x ∈ R| f(x) > p }

とおく。すると

R = A ∪ B

かつ

A ∩ B = ∅

が成り立つ。「実数の連続性」(

§ 1.1)

により、或る実数

c

に対して

A = ( −∞ , c]

かつ

B = (c, + ∞ )

または

A = ( −∞ , c)

かつ

B = [c, + ∞ )

となる。ここで実は

f (c) = p

が成り立つ（従つて上の二つのうち最初 の方が成り立つ）事を示す。実際、もし

f(c) < p

と仮定すると、ε

= p − f (c) (> 0)

とおくとき、どんな

δ > 0

に対しても

c − δ < x < c

となる

x

が存在するが、この

x

に対し

| f (x) − f (c) | = f(c) − f (x) ≦ f (c) − p = ε

となり、これは

f (x)

が

c

で連続である事に反する。f(c)

> p

と仮定 しても同様にして矛盾が生じるから、f(c) =

p

でなければならない。

1.3.

極限と微分. まづ函数の極限を定義する：

定義.

I

を開区間とし、a

∈ I

とする。f(x) を

I

（の

a

以外の点）

で定義された函数とする。実数

b

が、x が

a

に近づくときの

f(x)

の 極限

(limit)

であるとは、「x を

a

に近づければ

f (x)

はいくらでも

b

に近づく」事、即ち（ε-δ式に書けば）どんな

ε > 0

に対しても或る

δ > 0

をうまく取れば

0 < | x − a | < δ

を満たす全ての

x ∈ I

に対し

| f (x) − b | < ε

が成り立つ事である。

この事を記号で

x lim → a f(x) = b

または

x → a

のとき

f(x) → b

等と記す。

連続性の定義を思ひ出すと、（f

(x)

が

x = a

でも定義されてゐると して）「f

(x)

が

a

で連続」とは

x lim → a f(x) = f (a)

と同値である事が分かる。

極限については次の公式が成り立つ事が

ε-δ

論法を用ゐて容易に証 明出来る：

命題.

x lim → a (f(x) ± g(x)) = lim

x → a f(x) ± lim

x → a g(x), lim

x → a (f (x)g(x)) = lim

x → a f (x) lim

x → a g(x).

さらに、lim

x → a g(x) ̸ = 0

なら

x→a lim f(x)

g(x) = lim _{x → a} f(x) lim _{x → a} g(x) .

f (x)

は開区間

I

で定義された函数とし、

a ∈ I

とする。f(x)の

a

に 於ける微分係数

f ^′ (a)

とは、直観的に言へば、y

= f (x)

のグラフの点

(a, f (a))

に於ける接線の傾きである。それは

f(x) − f(a)

x − a

の

x → a

としたときの極限であるから、次の様に定義する：

定義. 極限値

x lim → a

f (x) − f(a) x − a

が存在するとき、その値を

f ^′ (a)

と記し、函数

f(x)

の

a

に於ける 微分係数 と言ふ。f

(x)

が

a

で 微分可能 とは

f ^′ (a)

が存在する事であ る。函数

f(x)

が

I

で 微分可能 とは、全ての

a ∈ I

に於いて

f(x)

が 微分可能である事である。このとき、各

a

に対し

f ^′ (a)

を対応させる 規則は

I

上の函数であり、この函数を

f ^′ (x)

と記し、f(x)の 導函数 と 呼ぶ。

例

. f (x) = x ⁿ (n

は自然数) のとき

f ^′ (x) = nx ^{n − 1} .

命題.

(1) f, g

が開区間

I

で微分可能であるとき

(f + g) ^′ = f ^′ + g ^′ , (f g) ^′ = f ^′ g + f g ^′ , (cf ) ^′ = cf ^′ (c ∈ R ).

また、g(x)

̸ = 0

である限り

(f /g) ^′ = (f ^′ g − f g ^′ )/g ² .

(2) f

が

I

上微分可能、g が

J

上微分可能で、g の値が

I

に属する時、

合成函数

f ◦ g

も

J

上微分可能であり、(f

◦ g) ^′ (x) = f ^′ (g(x))g ^′ (x).

上の例と命題により、多項式や有理式が微分可能であり、さらに導 函数も容易に計算出来る事が分かる。

問. 次の函数の導函数を求めよ。

f (x) = x ³ + 3x ² + 6x + 1, g(x) = x ³ + 3x x ² + 1 .

次の命題も（定義に基いて）容易に証明出来る。

命題

.

微分可能な函数は連続である。

函数

f

は連続でも微分可能とは限らない。一回微分出来ても、その 導函数

f ^′

が連続とは限らない。それが連続でも微分可能とは限らな い。微分可能な場合、これを微分したもの、即ち

f

を二回微分したも のを、f

^′

と記す。一般に

f

が

n

回微分出来るとき、n回微分したもの を

f ⁽ⁿ⁾

と記し、f の

n

次導函数と呼ぶ。

1.4.

導函数と不等式

.

この節でも函数

f (x)

は開区間

I

で定義された ものとする。

定義.

f (x)

が区間

I

に於いて 単調増加 であるとは、任意の

s, t ∈ I

に 対し

s < t = ⇒ f (s) < f (t)

が成り立つ事である。上の「f

(s) < f (t)」の代りに「f (s) ≦ f (t)」と

したものを 単調弱増加 とか 広義単調増加 等と呼ぶ。「単調減少」等も 同様に定義する。

定理.

f(x)

が

I

で微分可能であり、常に

f ^′ (x) > 0

ならば、f

(x)

は

I

で単調増加である。

[この定理で、仮定を「f

^′

(x) ≧ 0

ならば」と変へれば結論を「f

(x)

は単調弱増加」と

して同様の定理が成り立つ。]

証明：s < t かつ

f(s) ≧ f (t)

となる

s, t

があつたとする。

p(x) =

{ f (x) − f(s)

x − s (x ̸ = s) f ^′ (s) (x = s)

とおくと、これは

I

上の連続函数で、p(s) =

f ^′ (s) > 0

かつ

p(t) < 0

だから、中間値の定理 により或る

c ∈ (s, t)

に対し

p(c) = 0

となる。

この様な

c

の中で実は最小のものがある

(cf. [斎藤],

定理

1.2.5.2)。c

をその最小のものとすると、x

∈ [s, c)

のとき

p(x) > 0,

従つて

f (x) = f (s) + p(x)(x − s) ≧ f(s) = f(c),

故に

f(x) − f (c)

x − c ≦ 0,

x

を下から

c

に近付けると

f ^′ (c) ≦ 0

を得る。ところが

f ^′ (c) > 0

とい

ふ仮定だつたから、矛盾。

□

次の命題は上の定理から容易に導かれるが、函数の値を「評価」す るときに便利である：

命題

.

函数

f (x), g(x)

は閉区間

[a, b]

で定義され開区間

(a, b)

で微分 可能とする。さらに

(a, b)

で

f ^′ (x) ≦ g ^′ (x)

と仮定する。このとき、

s, t ∈ [a, b]

に対し

s ≦ t = ⇒ f (t) − f(s) ≦ g(t) − g(s)

が成り立つ。

次に述べる幾つかの定理は重要であるが、ここでは証明は略する。

Rolle

の定理. 函数

f (x)

は閉区間

[a, b]

で連続かつ開区間

(a, b)

で 微分可能とする。このとき、f

(a) = f (b)

ならば

f ^′ (c) = 0

を満たす

c ∈ (a, b)

が存在する。

平均値の定理. 函数

f (x)

は閉区間

[a, b]

で連続かつ開区間

(a, b)

で微 分可能とする。このとき、

f ^′ (c) = f(b) − f (a) b − a

を満たす

c ∈ (a, b)

が存在する。

[これの f (a) = f (b)

の場合が

Rolle

の定理。]

Cauchy

の平均値の定理

.

函数

f(x), g(x)

は閉区間

[a, b]

で連続かつ 開区間

(a, b)

で微分可能とする。このとき、g(a)

̸ = g(b)

かつ

g ^′ (x) ̸ = 0 (x ∈ (a, b))

ならば

f ^′ (c)

g ^′ (c) = f (b) − f (a) g(b) − g(a)

を満たす

c ∈ (a, b)

が存在する。

[これの g(x) = x

の場合が平均値の定理。]

de l’Hˆ opital

の定理. 函数

f(x), g(x)

は

a

を含む開区間

I

で定義され てゐて微分可能であるとする。

(1) lim _{x → a} f(x) = lim _{x → a} g(x) = 0

かつ極限値

lim _{x → a} ^f _g

^′_′

^(x) _(x)

が存在する ならば

x lim → a

f (x)

g(x) = lim

x → a

f ^′ (x) g ^′ (x) .

(2) lim x → a f (x) = lim x → a g(x) = ∞

かつ極限値

lim x → a f

^′

(x)

g

^′

(x)

が存在す るならば

x lim → a

f (x)

g(x) = lim

x → a

f ^′ (x) g ^′ (x) .

問

.

ロピタルの定理を用ゐて極限値

lim _{x → 0} ^e

^2x

⁻ _x ^{cos x}

を求めよ。

f (x)

は開区間

I

で定義された函数とする。f の

I

に於ける 最大値

(maximum)、最小値 (minimum)

については周知であらう。

³

ここでは

極大値と極小値を定義する。大雑把に言へば、極大値とは「局所的な 最大値」、極小値とは「局所的な最小値」の事である：

定義.

f

が

c ∈ I

に於いて 極大値

(local maximum)

を取るとは、c を 含む或る十分小さい開区間

(c − δ, c + δ)

があつて、

f

をここに制限して 考へると、f は

c

で最大値を取る事である。さらに、x

∈ (c − δ, c + δ)

に対し、x

= c

を除き

f(c) > f (x)

であるとき、f は

c

で 強極大値

(strict local maximum)

を取ると言ふ。極小値

(local minimum)、強極小値 (strict local minimum)

についても同様。極大値と極小値の両方を合せ て 極値

(local extremum)

と呼ぶ。

命題

. f

は

I

で微分可能とし、c

∈ I

とする。

(1) f

が

c

で極値を取るならば

f ^′ (c) = 0.

(2) f

は

I

で

2

回連続微分可能

⁴

であり、かつ

f ^′ (c) = 0

と仮定する。

このとき、

f ^′′ (c) > 0

ならば

f

は

c

で強極小値を取り、

f ^′′ (c) < 0

ならば

f

は

c

で強極大値を取る。

f (x)

は区間

I

で定義された微分可能な函数とする。y

= f (x)

のグ ラフは平面内の曲線

C

となる。C 上の点

P(c, f (c))

に於ける

C

の接 線を

L

とする：

L : y − f(c) = f ^′ (c)(x − c).

C

が（または

f (x)

が）P に於いて（または

c

に於いて）下に凸 であ るとは、P の十分近くで、P 以外の点に於いては

C

が

L

よりも上に ある事である。C が（または

f(x)

が）区間

I

で 下に凸 であるとは、

全ての

c ∈ O

に於いて

C

が下に凸である事である。「上に凸」も同様 に定義する。また、点

P

の前後で曲線

C

と接線

L

の上下が逆転する とき、P は曲線

C

の（または函数

f (x)

の）変曲点 であると言ふ。

問. 上で、「上・下に凸」「変曲点」等の定義を直観的に述べたが、これ らを不等式を使つて厳密に定義せよ。

3

ここでは弱い意味で解釈する。即ち、f が

c ∈ I

に於いて最大値を取るとは、全 ての

x ∈ I

に対し

f (c) ≧ f (x)

である事。

4 2

階導函数

f

^′′ が存在してそれが連続である事。

問

.

次の曲線の極値、凹凸、変曲点を調べ、その概形を描け。

(1) y = 2x ² √

x − 5x ² , (2) y = log x

x .

1.5.

逆函数.

f

を区間

I

で定義された函数とし、

J = { f(x) | x ∈ I }

とおく。もし 各

y ∈ J

に対し

f(x) = y

となる

x ∈ I

が 唯一つ 存在す るならば、yにこの

x

を対応させる事により

J

で定義された函数が得 られる。これを

f

の逆函数と言ひ、f

^{− 1}

で表す（従つて

y = f(x)

なら ば

x = f ^{− 1} (y)

である）。f の逆函数は常に存在するとは限らない。然 し次が成り立つ：

命題.

f

が区間

I

で定義された単調増加（または単調減少）な連続函 数ならば、その逆函数

f ^{− 1}

が存在する。

実際、I は閉区間

[a, b]

としてよく、このとき単調増加性と連続性と

中間値の定理により

f

の値域は

J = [f (a), f (b)]

になる。各

y ∈ J

に

対し

f (x) = y

となる

x ∈ I

が唯一つである事も単調増加性より明らか

である。

□

また、命題の条件の下、f が単調増加（単調減少）なら

f ^{− 1}

も単調 増加（単調減少）である事も（少し議論すると）分かる。

逆函数の意味を考へると、y

= f ^{− 1} (x)

のグラフは

y = f(x)

のグラ フを直線

y = x

に関して折り返したものになつてゐる事が分かる。

問.

(1) n

を自然数

≧ 1

とする。区間

[0, ∞ )

に於いて連続函数

f(x) = x ⁿ

は単調増加であるから逆函数を持つ。これを

g(x) = √

ⁿ

x

と書く。

y = g(x)

のグラフを描け。

(2)

連続函数

f (x) = sin x

は区間

[ − π/2, π/2]

に於いて単調増加である から、逆函数

g (x)

を持つ。y

= g(x)

のグラフを描け。cos

x, tan x

に ついても同様に逆函数のグラフを描け（単調増加となる区間が異なる ので注意せよ）。

方程式の近似解を求める方法として次の

Newton

法 がある：

命題.

f (x)

閉区間

[a, b]

で定義された

2

回微分可能な函数で、次の条

件を満たすと仮定する：

(1) f(a) < 0, f (b) > 0,

(2) f ^′ (x) > 0, f ^′′ (x) > 0 (x ∈ [a, b]).

このとき方程式

f(x) = 0

は（連続性、単調増加性と中間値の定理によ り）区間

[a, b]

に唯一つの解

α

を持つ。数列

(c _n ) _{n ∈N}

を

c ₀ = b, c _n+1 = c _n − f (c n ) f ^′ (c _n )

により定義すると、(c

n ) _{n ∈N}

は単調減少であり、α に収束する。

これは曲線

y = f(x)

の点

(c _n , f (c _n ))

に於ける接線を考へると分か る。この命題は他の（区間

[a, b]

で

f ^′ , f ^′′

の符号が一定である様な）状 況でも成り立つ。

問

. f (x) = x ² − 3, a = 1, b = 2

の場合に

Newton

法を適用して（上の 記号で）c

3

まで計算し

√

3

の近似値を求めよ。

1.6. Taylor

の定理

. a

を含む閉区間

I

で定義された

n

回微分可能な

函数

f (x)

を

(n − 1)

次多項式で近似するものとして、次の

Taylor

の 定理がある：

Taylor

の定理

.

上の仮定の下、各

x ∈ I

に対し、次を満たす

c ∈ I

が

a

と

x

の間に存在する：

f (x) = f (a)+f ^′ (a)(x − a)+ f ^′′ (a)

2! (x − a) ² + · · · + f ^{(n − 1)} (a)

(n − 1)! (x − a) ^{n − 1} + f ⁽ⁿ⁾ (c)

n! (x − a) ⁿ .

この右辺の最後の項は、もし

f ⁽ⁿ⁾ (x)

が連続ならば、次の様な表示も出

来る：

∫ _x

a

f ⁽ⁿ⁾ (t) (x − t) ^{n − 1} (n − 1)! dt.

もし

f

が無限回微分可能で、f

⁽ⁿ⁾

が

a

を中心とする半径

r

の開区 間

(即ち | x − a | < r

の範囲) で、n に依らず或る連続函数

g

により

| f ⁽ⁿ⁾ (x) | ≦ g(x)

と押さへられてゐるならば、Taylor 展開

f (x) = f (a) + f ^′ (a)(x − 1) + f ^′′ (a)

2! (x − a) ² + · · · + f ⁽ⁿ⁾ (a)

n! (x − a) ⁿ + · · ·

が成り立つ。

□

1.7.

初等函数

.

有名な初等函数として三角函数、指数函数およびそれ らの逆函数を説明すべき所だが、時間の都合で指数函数と（その逆函 数である）対数函数についてのみごく簡単に解説するに止める。

先づ、正の実数

a >

と任意の実数

x

に対し

a ^x (a

の

x

乗) を定義 する。x が整数のときは

a ^x

の定義はよく知られてゐる通りである

(x

が正の整数のときは

a ^x

＝「a を

x

回かけたもの」 、x

= 0

のときは

a ⁰ = 1, a

が負の整数のときは

a ^x = 1/a ^−x ). x

が有理数

p/q (p, q

は整 数で

q > 0)

のときは

a ^x = √

^q

a ^p

と定義する。問題は

x

が無理数のとき である。このとき、x に収束する有理数列

x ₀ , x ₁ , x ₂ , . . .

を選び、

a ^x = lim

n →∞ a ^x

ⁿ

と定義する（勿論この極限がちやんと存在する事やその値が有理数列

(x _n )

の選び方に依らない事等確認する必要あり）。

この函数

a ^x

を（a を 底 とする）指数函数 と呼ぶ。指数函数は次の 性質を持つ：

命題.

(1)

指数函数

a ^x

は

R

上連続である。

(2) a ^x

は、a >

1

のとき単調増加、a <

1

のとき単調減少、a

= 1

のと き恒等的に

1 ^x = 1

である。

(3) a ^x+y = a ^x a ^y .

(4) a ^xy = (a ^x ) ^y .

(5) (ab) ^x = a ^x b ^x .

これらはいづれも指数

x, y

が有理数のときは容易に確かめられ、一 般の場合は「連続性により」それに帰着出来る。

指数函数

f (x) = a ^x

の微分を考へる。定義に依り、極限

lim

h → 0

a ^x+h − a ^x h

の値が存在するとき

a ^x

は

x

で微分可能と言ふのだつた。少し考へる と、0

< h < 1

に対し

a ^h < 1 + h(a − 1)

が示せ、これを使つて（さら に少し考へると）y

= a ^x

のグラフは下に凸である事もわかる。従つて

a > 1, 0 < h < 1

のとき

a ^x+h − a ^x

h = a ^x a ^h − 1 h

は

h

に関して単調増加で、上の極限値が存在する事もわかる。特に

lim _{h → 0} (a ^h − 1)/h = f ^′ (0)

だから、一般の

x

に対して

(1.1) f ^′ (x) = a ^x f ^′ (0)

である。f

^′ (0)

の値は

a

によつて定まるので、これを

log a

と書く：

定義

.

実数

a > 0

に対し、指数函数

a ^x

の

x = 0

での微分係数を

a

の 自然対数 と呼び、log

a

と記す。

この定義と上の等式

(1.1)

より

(1.2) (a ^x ) ^′ = a ^x log a

が成り立つ。

問

. a > 0, b > 0

とする。

R

で定義された函数

a ^bx

² を

x

で

2

回微分 せよ。

a

を動かして

log a

を

a

の函数と思つたもの（変数を

x

に置き換へ て

log x

とも書く） を 対数函数 と呼ぶ。対数函数の性質を以下に纏め ておく（証明については

[斎藤], § 2.2

を参照）。

命題.

(1)

対数函数

log x

は

x > 0

で定義された単調増加な連続函数で あり、lim

x → +0 log x = −∞ , lim _{x →∞} = ∞ .

(2) log 1 = 0.

(3) log(xy) = log x + log y.

(4) log a ^b = (log a)b.

(5) log x

は微分可能であり、その導函数は

1/x

である。

問.

a > 0

とする。開区間

(0, ∞ )

で定義された函数

xlog(1 + a/x)

を

x

で

2

回微分せよ。

定義

. log e = 1

を満たす実数

e

が唯一つ存在するが、これを 自然対数の底 と呼ぶ。Napier の数 とも呼ばれる。

e = 2.71828182845904523536028747135...

である。[斎藤] では

e

は

e = 2 ^{1/ log 2}

と 定義 してゐる（勿論上の定義と同じ値になる）。

等式

(1.2)

より

(1.3) (e ^x ) ^′ = e ^x

が成り立つ。

命題.

(1) log x

は

e ^x

の逆函数である。

(2) e ^x = lim _{n →∞} (1 + ^x _n ) ⁿ .

複利計算について：お金を借りて、一定期間後に

100x%

の利子を付け て返済する事にすると、返す額は元の額の

(1 + x)

倍である。もしこ の期間の半分に分け、前半期に

(100x/2)%

の利子を付け、後半期にも

(100x/2)%

の利子を付けるとすると、返す額は元の額の

(1 + x/2) ²

倍 である。期間を

n

等分して同様にすると、返す額は元の額の

(1 + x/n) ⁿ

倍である。この値は

n

に関して単調増加

⁵

なので、この方式で利子を 取るならばなるべく細かく分割した方が得であるが、いくら細かく分 割しても上限は

e ^x

倍である。

5

記号を変へて

f (x) = (1 + a/x)

^x

(a, x > 0)

とおき、F

(x) = log f(x) = x log(1 +

a/x)

の増減を調べる。F^′

(x) = log(1 + a/x) − (a/x)/(1 + (a/x)). G(y) = log(1 +

y) − y/(1 + y)

とおくと

G(0) = 0, G

^′

(y) = y/(1 + y)

²

> 0 if y > 0,

だから、a, x >

0

ならば

F

^′

(x) > 0

である。

2.

二変数の微分法

この章では

X

を

“xy-平面” R ² = { (x, y) | x, y ∈ R}

内の領域

⁶

とし、

f (x, y)

は

X

で定義された二変数函数とする。

2.1.

二変数函数と連続性

.

二変数函数

f (x, y)

が点

(a, b) ∈ X

である といふ事を定義したい。一変数函数

f (x)

の場合は「f

(x)

が

a

で連 続」とは「x を

a

に十分近づければ

f (x)

が

f (a)

にいくらでも近く 出来る」即ち「

| x − a |

を十分小さくすれば

| f (x) − f (a) |

をいくらで も小さく出来る」事であつた。二変数函数でも値は一つの実数だから

| f (x, y) − f (a, b) |

は意味を持つ。一方「点

(x, y)

を

(a, b)

に十分近づ ければ」は平面上の距離

| (x, y) − (a, b) | = √

(x − a) ² + (y − b) ²

を使つて定義すればよい。

定義.

X

で定義された函数

f (x, y)

が点

(a, b) ∈ X

で 連続 であると は、どんな実数

ε > 0

に対しても或る実数

δ > 0

を上手く取れば全て の

(x, y) ∈ X

に対し

| (x, y) − (a, b) | < δ = ⇒ | f (x, y) − f (a, b) | < ε

が成り立つ事である。

f (x, y)

が

X

で連続 であるとは、全ての

(a, b) ∈ X

に対し

f (x, y )

は

(a, b)

で連続である事である。

例

.

二変数の多項式は

xy-平面全体で連続な函数を定義する。

例

. c

を実数として、xy-平面上の函数

f(x, y)

を

f (x, y) =

{ 2xy

x

²

+y

²

((x, y) ̸ = (0, 0)

のとき)

c ((x, y) = (0, 0)

のとき)

と定義すると、

f (x, y)

は原点

(0, 0)

以外では連続であるが、原点では不 連続である。原点で不連続である事は次の様にして分かる：原点を通る 直線

y = tx (t

は定数)上を点

(x, y) ̸ = (0, 0)

が原点に近づいて行く状況 を考へる。

y = tx

を

f(x, y)

の定義式に代入すると

f(x, y) = 2t/(1 + t ² )

となり、これは

(x, y)

には依らず、直線の傾き

t

のみ依存する一定値 である（因みに

t = tan(θ/2)

とおくと

2t/(1 + t ² ) = sin θ

であるから、

これは

− 1

から

1

までの任意の値を取る）。従つて、2t/(1 +

t ² ) ̸ = c

な る

t

の方向から

(x, y)

が原点に近づく時、f

(x, y)

の極限は

̸ = c

なの

で、f

(x, y)

は原点で不連続である。

f (x, y)

が二変数函数のとき、z

= f (x, y)

のグラフは

xyz-空間内の

曲面 となる。

問. 上の例の

f (x, y)

に対し、z

= f(x, y)

のグラフがどんな曲面にな るか考察せよ。

6

ここでは開部分集合の事としておく。

2.2.

二変数函数の微分

.

二変数函数

f(x, y)

の微分を考へる。まづは

f

を「x方向」「y方向」にそれぞれ微分する事が考へられる。二つの変数の うち一方、例へば

y

を

y = b

と固定する。

x

の函数

f (x, b)

が

x = a

で微 分可能であるとき、f(x, y)は

(a, b)

で

x

に関して偏微分可能 であると 言ひ、その微分係数を

f (x, y)

の

(a, b)

に於ける

x

に関する偏微分係数 と呼び、

^∂f _∂x (a, b)

または

f _x (a, b)

で表す。

x

を固定した場合も同様に、「y に関して偏微分可能」「yに関する偏微分係数」「

^∂f _∂y (a, b)」

「f

y (a, b)」が定

義される。

x, y

の両方に関して偏微分可能であるとき、単に 偏微分可能 と言ふ。また、

a, b

を動かして、偏導函数

^∂f _∂x (x, y ) = f _x (x, y), ^∂f _∂y (x, y) = f _y (x, y)

を考へる。

例.

f (x, y) = sin x + cos y

のとき

∂f

∂x (x, y) = cos x, ∂f

∂y (x, y) = − sin y.

例.

f (x, y) =

{ 2xy

x

²

+y

²

((x, y) ̸ = (0, 0)

のとき)

c ((x, y) = (0, 0)

のとき) のとき

∂f

∂x (x, y) =

{ − 2y _(x ^x

2²

+y ^{− y}

²²

)

²

((x, y) ̸ = (0, 0)

のとき)

0 ((x, y) = (0, 0)

のとき)

,

∂f

∂y (x, y) = {

2x _(x ^x

2²

+y ^{− y}

²²

)

²

((x, y ) ̸ = (0, 0)

のとき)

0 ((x, y ) = (0, 0)

のとき)

.

二変数函数の微分としては

x, y

両方に関して偏微分可能といふだけ では十分ではない。

⁷

一変数函数

f (x)

の場合、x

= a

に於ける微分係 数

f ^′ (a)

とは幾何的には

y = f (x)

のグラフの点

(a, f(a))

に於ける接 線の傾きであつた。二変数函数

y = f(x, y)

の場合、z

= f (x, y)

のグ ラフは

3

次元空間内の曲面になるから、接線ではなく、点

(a, b, f (a, b))

に於ける 接平面 を考へる事になる。与へられた点を通る平面は法線ベ クトルで決まるから、微分係数

f ^′ (a, b)

は（一つの数ではなく）ベクト ルになる。点

(a, b, f (a, b))

を通る平面（で「垂直」でないもの）の方 程式は一般に

z = f(a, b) + p(x − a) + q(y − b) (p, q

は実数)

の形である。これが

z = f(x, y)

のグラフの接平面であるとは

f (x, y)

が上の等式の右辺で近似される事であるから、次の様に定義する：

7

例へば、両方に関して偏微分可能だが、その点で連続ですらない函数は存在する。

§ 2.1

の例を参照。