解決の進展を促すいくつかの活動 について

上越数学教育研究,第

号

上越教育大学数学教室,1

年

解決の進展を促すいくつかの活動 について

一解決者による行き詰ま, り箇所の考察をもとに‑

1 はじめに

｢ 問題場面の構造｣(

を視 点 とした解決過程 の記述 ･分析を目指 し､筆 者は同一被験者に対 し9回の問題解決を行っ てもらった｡そ してその第

回

,

､第

回(

､第

回

､第

回

､第

回 ( 布川,

､第

回 ( 布川,

についての分析 を行い､解決過程に関 してい くつかの知見を得てきた｡本稿ではこ の

回のセ ッシ ョンの うちの第

回目をとり あげ考察す る｡ このセ ッシ ョンでは解決の途 中までは成功的に行われていたが､場合分け された

つの場合の うち､

番 目の場合で解 決が行き詰まって しまった｡その行き詰ま り が生 じた原因を考察す る とともに､問題場面 の構造 を変化 させ るとい う立場や､他のセ ッ シ ョンか らの知見を参照 しなが ら､解決を促 進 させ る可能性のある活動について考察をし てい く｡

2

データの収集および解決の概要

データの収集

本稿で分析 される第

回の解決では次のよ うな問題が扱われた｡

問題 :(Xn),(Yn

)を次の式で定義される整数の 数列とする｡

Xo=1,Xl=1,Xn+1=Xn+2Xn‑1(n=1,2,3

, ･ ･ ･ )

, ‑)

布川 和彦

このとき､これらの数列の最初のいくつかの

X:1,1,3

,

,‑

Y:1,7,17,55,161,487

, ‑

となる｡この

つの数列両方に現れる数は､

1

以外にないことを証明せよ｡

( クラムキン

解決者にはこれを発話思考法で解いてもらい､

また解決後 にはどのよ うにして考えたかにつ いてのインタビューを行った｡それ らを

R と

m で記録 し､後にプ ロ トコルに変 換 した

｡

2.2

解決の概要

第

回のセ ッシ ョンでの解決は､おおよそ 以下のよ うな流れであった｡

( i ) 与えられた漸化式を

といった形 に直す ことを考え

と

の値 を求める｡求めた値に従 って

の方の 漸化式 を変形 しているが､ ｢ 解答のように書

くことに して｣ として､新 しい紙に変える｡

その後､先ほどの

Lと βの値に従い

の漸 化式 と与え られた初期値か ら､

=2n'1

ぉよび

Xn =(

)を導 く｡ さ らにこれ らを連立させて解き､

(1/3)(2n+1+(‑1)A‑1)

を得ている

を代入

の値が合わないことか ら式を見直 し､

xn=(1/3)(2n+1‑(

l

に修正をする｡修正 後

の場合を代入 してチェックを し､

｢ いいね､なってるね｣ として

の式を確

認 した｡

(ii)Yn

の式を求めても ｢ 本当に一致 しないの は

以外だってい うのを示すのは難 しいか な｣ としなが らも､

の場合 と同じように

して

の計算を始める｡Yn

=

およ び

=

を導いた後､これ らを 連立させて解き､

を求めてい る｡これについてもn =0

1

を代 入 して確かめをした｡

(iii)

｢ 何が分かったかってい うと

として求 めたxn とYn の式を上下にな らべて書いて四 角で囲った後､

かつn= 1でない

が存 在するか､ とい う形で問題を定式化 した｡そ の途中では､Xn

が増加することから

より大きければ

にな らないといっ た旨の発話が聞かれた｡

(iv)

求めた

の式が等 しい と置き､さ らに両辺に

をかけて､2n

式

‑3(‑1)n

とする｡左辺を移項 し､

を

と 読み替えて2n

となるか どうかを考えようとする｡ しか し

｢ 指数方程式解 くのは難 しそ うだか らグラフ で考えてみよう｣ として､それ以上の式の変 形は しない｡

(V)Xn=(2B)2n+(‑1)n

とし､

も改めて書 くが､何かのグラフをか くことは な く､Yn の方が増加率が大きいので ｢どん どん離れてい く

とすればよい と発話 した｡

その後､ ｢ 両方に現れる数ってことは､番号 が一致 しな くてもいい｣ ｢とい うことは条件 がきつい｣ ｢ 同じ番号 じゃな くてもいいって ところが ミソなんだ｣ と発話 した｡ここでは 両者の増加率より､同じ番号で一致 しないこ とは自明であ り､それ より番号が一致する必 要がない とい う題意が把握されてお り､問題 の難易度を見なが ら問題文の解釈を調整する 様子 (

が見 られる｡

勢の系列だけを ｢ 比べるよりほかない｣ と し､両方の数列に現れるとい うことを ｢

s

･

･

y'

と3

を比べるようにし､こ のとき

, (

だけは除くとした｡

しか し特にアイデアはな く ｢ 一般項求めた方 が有利だ と思ったけどそ うでもない｣ と発話 した｡3Xpと3

が ともに

の倍数になる ことに一旦疑問を感ずるが､ ｢とび とびだっ た らおんなじにな らない可能性ある

として 納得 した｡

(vi)3Xpと3Yq

が等 しい として式をたて､さ らに3Xp か ら3

を引いた ものが 0になる として矛盾を導こうとした｡その際

が ともに偶数の場合をまず考えようとした｡こ の場合に式を変形 し､2(

=0とし ( 計算 ミスを含む) ､2

1 が 0になるか を調べ ようとした｡その中で ｢ 偶奇性 くらい じやダメ

との発話があった｡

(vii)y=

2

1とy =

)のグラフを図

のよう にかき､矢印の部分を指 しなが ら

離れて いるかもしんない｣ので､ ｢ ダメだ｣ とした ( 2 Pと

)の差が

になるか､ とい うことと 混同 していると思われる) ｡

図

i i i )数学的帰納法を ｢ ダブルで使 う

として､ 2

を示そ うとするが､

｢ 正なった り負なった りする ｣ のでダメだ と す る｡さらに2

0および

=1 かどうかに言及するが､特に変形はしな かつた｡途中で今考えている式で

が とも に

のときの数値が合わないことに気づき､

そこか ら( Ⅵ)での計算 ミスに気づいた｡

( i x)

)でのミスを直 し､p,

数のときの式 として､2

を得て､

2

0を示せばよい とする｡このと きす ぐに 2

P ‑

と変形 し､

･

p‑

が 2を因数に合むのに対 し､

3

は 2 を因数に含まないことより､先の 式が 0にな らないことが証明できた とした｡

同様に

が奇数の場合にも

の式 か ら 2

の式を得て､これを

P

‑3.3q

と変形することで証明をしている｡さ らに

が奇数

が偶数の場合についても念 頭で予想 し､ ｢ 出来た｣ と琴話 した｡ しか し 実際に式を書いてみると､ 2

1とな り､

同様の変形ができないことに気づいた｡

(Ⅹ)

先の式について､ ｢ 2

1が3 で割れるか｣

を考える｡その際にフェルマーの小定理に言 及するが､具体的に適用することはなかった｡

p=3

のとき 2

1が

で割れることに気づき､

3

で割れるか とい う ｢ 条件が強すぎ｣ と発話 した｡その後､ 2

1を 2

､

と変形 し( 正 しくは 2 P

､ す ぐに ｢ これゼ ロじゃない｣ として

が奇数 で

が偶数の場合ができた とした

が偶数 で

が奇数の場合にも

qか ら得 られ る 2

の式を

と変形

し､これがゼ ロにな らない として証明を終え た｡ここまでで約

分であった｡

(

Ⅹ i )ここでインタビュアーか ら被験者に自分 の解決を説明するよう求めた

の箇所を 説明する途中で､その場合には ｢ かたっばは

3

の因数だけを含む

とい う議論が使えない ことに気づき､ ｢ 早 とち りでこれはダメ

と した｡その後

分過ぎか ら被験者の方か ら 解決を再開 した｡

(Ⅹ益) ｢2

の

乗たす

が

を因数に含まないっ てことが言えりやいい｣ と言ってす ぐに ｢ 言 えない｣ と発話 した｡その後

奇数

が偶 数の場合を計算 し､再び 2

1 = 0を得 るが､次に指数

とおいて変形 をし

=0 とした｡その後

と

が ともに偶数の場合､および ともに奇数

の場合を見直 した｡さらに〆 の範囲を気に するが､ ｢ 整数にする範囲な らいい｣

は いい｣ として

x i i )前半で書いた式にバツをつ ける｡

( x i i i )2

1が

)と書けないことが言えれば いいとした後で､フェルマーの小定理に言及 しこれを書き下す｡しかし ｢ 使えそ うもない｣

として､特に適用することはなかった｡

2

1の式のあた りを指 しなが ら ｢3 の累乗 にこの形がな りそ うもねえ｣ と発話 した｡こ の時点でインタビュアーが介入 し､解決を終 了させた｡所要時間は約

扮

0秒であった｡

2.3

解決過程における問題場面の構造の変化

回のセ ッションの問題における問題場 面は､与えられた漸化式で定義 される二つの 数列である｡この場面の中に解決者が見てい る要素､要素間の関係､それ らに対 して解決 者が与えている意味が､ここでの問題場面の 構造 となる

｡

(a)

解決の概要の ( i )と( i i )では､問題文の字 義通 りの構造､つま り与えられた漸化式によ

り定義される数列､というところか ら出発し､

一般項がそれぞれ

､

となる数列 とい う構造‑ と変 化 している｡

(b)

基本的には

と同じだが､二つの数列 が増加する

が大きい ときには

とい う値 には戻 らない とい う情報が付加されている｡

(C)(iv)

では､二つの数列の

倍どうしの差 である

)とい う 要素が付加されている｡またグラフ‑の言及

より､

を

の関数 として意味づけてい る｡

(d)(V)

ではそれぞれの数列の増加率 とい う要 素が付加され､

の方が増加率が大きい､

それ故両者は ｢どんどん離れてい く ｣ とい う 情報が付加されている｡また

はと

もに3 の倍数であるが､互いに ｢とび とび｣

になっているとい う情報 も付加 されいてる｡

(e)(

v i)では､それぞれの数列の

倍の差の 計算 より､ 2

1とい う要素を付加 して いる｡計算の途 中での(

y'や (

の扱い か ら､問題場面に対 して

の偶数､奇数に 応 じた場合分けが考慮 されるようになってい る｡

(

で現れた 2

1の式の うち､( vi i ) では 2

1と

の部分が要素 として取 り出 され､さらにそれ らが関数 として意味づけら れている｡それ らの関数について

が実 数を動 くときには､値の差が

になる箇所が 存在するとい う情報が付加 されている｡

(g)

( v ii i )では数学的帰納法を二重に使 うこと より

に関 しての配列が

てきている｡つま り､特定の

に対 して全部 の

を考えるような配列になっている｡

(h)(ix)

では､数列の

倍の差を 2

b

は偶数)と意味づけ､さらにその中か ら

P ‑

と

この前者は

を因数に合むが後者は

を因数 に含まない とい う情報が付加 されいてる｡同 様に 2

は奇数)とい う意味づけ をし､この中か ら

p ‑

と3

の要素 を得ている｡ さらに 2

は偶数)とい う意味づけを与えている｡ この ようにこの段階では､問題場面はpとq が奇 数か偶数かで場合分けされて捉えられている｡

(

では先の式か ら 2

1とい う要素が得 ら れ､これが

で割 り切れるとい う情報が付加

されている｡また 2

1の

"を

と意味づけ､そこか ら今の式に対 して

とい う意味づけを与え､

2(2P+2)

と

とい う要素を得ている｡ こ の とき後者について

だけを因数に合む とい う( 誤った)情報が付加 されていた と思われ る

同様 に､ 2

1( pは偶数

は奇数)

に対 して2(

とい う意味づけを 与え､そ こか ら

と

とい う要素

を得ている

X i )での問題場面の構造は

と同じもの と考えられる｡

O')(

x i i )では 2

1とい う要素が考えられてい るが､これについての情報は特に付加されて いない｡また

が奇数

が偶数の場合の式に

=0とい う意味づけが与えられ ている｡( x i i i )でも､ 2

1と

)とい う要素 が考えられているが､特に情報は付加されて いない｡

以上より､第

回のセ ッシ ョンでは､基 本的には､数列が一般項の式により与えられ るとい う情報､お よびそれ らの差 とい う要素 が付加された構造が問題場面に与えられてい る｡ これに他の付加的情報が加わって､各時 点での問題場面の構造が構成されている｡

3

既有の解法に対する操作 ･修正に基 づく解決促進の可能性

3.1

解決の可能性 と文脈の影響

本稿で取 り上げた事例では､解決者は二つ の数列の奇数番 目の項､偶数番 目の項の組み 合わせにより4 つの場合を区別 し､その うち の二つの場合については､適当な式変形によ りその証明を構成 している｡その部分の発話 を見ると､示すべき式を書いた後､3 0 秒ほど 黙って何 もせずにいた後､ ｢ 出来たあ

とし てす ぐに証明を完成 させている｡ これ より､

ここでは､示すべき式 2

る

カ所の

を括ることで証明が得 られた も の と考えられる｡

p

と

の一方が奇数で他方が偶数の場合は この方法が使えず､結局証明は完了 していな い｡ しか し､クラムキン (

による解答 を参考にす るな らば､彼 の解答を次のように 続けることにより､証明を完了させることが できる｡まず

が奇数､q が偶数の場合に被 験者は､

1

q +(

･

p ‑

6･3q+2=2

(

)とし､ 2

1が

0になるかを詞べ ようとして行き詰まってい

る｡ この とき､ 2 P =

( ただ し

の とき)であること使 えば､● 先の式が 0にな らない ことがわかる｡

同様 に､pが偶数､q が寄 数の場合 も､ 2

3q‑

1が 0にな らない ことが示 され､証明が 完成する｡

さらに彼 の解決過程 を見る と､この考え方 に彼が気づ くことのできた契機があった こと がわかる｡解決過程の

x i i )ではp が奇数､

が偶数 とい う条件を式の中に取 り入れ るため に

を代入 し

･ 4

=

0としている｡一方

i i i )では 2

≠O

の中の

Pと

)をそれぞれ指 して

の 倍数

の倍数

と発話 してお り､また ( i x)で は､ 2

P ‑

の中の

P ‑

が

を因数に合むのに対 し

が

を因数 に含まない ことに言及 している｡

この議論 を

. 4

=0の式に適用す れば､ ｢4の倍数 9の倍数

を考え､ この式 のある部分は

を因数 に合むが､残 りの部分 は

を因数 に含まない ことを示そ うとす るこ

とになる｡ これはち ょうど上で示 した

に着 目した解決にな り､ この意味で､本稿の 被験者は解決を完遂す る可能性 を持 っていた

と言える｡

布川 (

の事例では､解決を完遂する だけの情報や論理の進め方が被験者自身によっ て言及されていなが ら､その時点で解決者が

目指 していた下位 目標 により作 られる文脈の 影響で､それ らが適切 に組み合わされず､解 決に到達できない とい う過程が示されていた｡

ここでの考察によれば､本稿の事例において も､同様 のことが生 じていた ことになる｡で は今の事例で､適切な組み合わせを阻害 した 原因はどこに求め られ るであろ うか｡

先にも述べたよ うに､( i x )で

と

が とも に偶数の ときの証明を書 く際には､

｢2(2

P ‑

+

は

を因数に含む

は

を因数に含 まない

としていた｡ ところが

X i )で解決を説明 して もらう際には､次のよ

うに発話 している｡

[86:51】‑･2

の倍数引く

の倍数､って形になるか らこれは絶対にならない､ああ3 の倍数って いうよりももっと､もっと言えば

の､倍､

2

の倍数引く､

の何とか乗､だからかたっ ばは

の､

を因数に含むんですけど､かたっ ばは

に因数に含む､

を､

だけを因数に 含む､だからこれイコールになるはずない､

ここでは

が単に

を因数に含 まない とい うことだけにとどま らず､それが ｢3だ けを因数に含む

とい う言い方に移行 してい る｡確かに ｢3だけを因数に含む｣ ことは

を因数に含まない ことの理由にな っている｡

しか し

)で解決を再開 した後では､

2 P‑

が

を因数に含まない ことを示そ う とし､す ぐに 2 P

が

^{を因数に含み うる} ことに気づき､この試みを止めている｡さら に( x i i i )では､ 2

1が

) の形 に書けない と い う言い方に変わ り､終了直前には

の累 乗にこの形 【 2

1のあた りを指 しなが ら】が な りそ うもねえもんな｣ とい う発話 もなされ ている｡

つま りここには､式の一部がある特定の因 数 を含 ま● ない とい う条件か ら､式の一部が特 定の数を底 とす る累乗の形に書けない とい う 条件‑の移行が見 られる｡このために､

の 累乗や

の累乗の形 に書けるか とい う探求‑

と移行す ることとな り､ 4や 9といった 2と

以外の因数に関 してそれを合むか､ とい う 方向‑探求が向か うことが妨げ られた と考え

られる｡

さらに先に示 した解答 と比べた ときに､示 された解答では

は偶数)が

を因 数に含 まない とい う性質を用いていたのに対

し､本稿の解決者は

1の式を 2

1と

‑3q+

1とい う組み合わせで考察 している｡ こ れは､pとq が ともに偶数の ときの証明で､

2

の式の 2

を‑ま とま りとし､こ

れ と

を対比させ ることで証明が成功 した

ことによるもの と思われる｡つま り､以前の

成功 した証明のや り方によ り文脈が作 られ､

それが後の問題場面の意味づけの仕方を固定 して しまっている｡

3.2

既有の解法 に対する操作

この文脈か ら逃れることは､新 しい視点で 眺めることで構 えをブレイクす る ( 今井,

こととは異なる と思われる｡それは､

当該の式を二つの部分にわけ､それ らに共通 には含まれない因数があることを示す､ とい う解決者が採 っていた方針は､前項で示 し元 よ うに妥当性を持 っているか らである｡ しか し一方で､ 2

1牲p=

の ときは

の倍数に なって しま うので､ 2

1をひ とまとま りと

して調べ､ これが

を因数に含 まない とい う ことは言えず､‑3.

1をひ とま とま りに し て考えるよ うに式の捉 え方 を変 える必要があ り､上述のよ うな文脈 の中で考えていること は不適切である｡

ところで

は類似 した一連 の問題に対す る二人の解決者の活動を調べ る ことによ り､解決活動の三つの水準を見出 し ている｡それは､課題の類似性 を認識 し適切 な行為の とれ る水準､その適切な行為を新た な場面に適用 した際の困難点が予想できる水 準､そ して予想 される行為 に対 して操作 を施 しそ こか ら推論を導 くことのできる水準 ( 棉 造的抽象)である｡

本稿での事例 において

つの場合のそれぞ れの証明を一連の問題 と見な した とき､

番

目の場合の証明を考えるにあた り､解決の ( i x)では実行す る以前 に適 当な行為を ( 誤 り なが らも)念頭で予想 した り､あるいは

においては､2

1を2

一 山 と読 み替えることを行 ってお り､構造的抽象の水 準を解決者は示 している｡ ここではむ しろ､

構造的抽象の水準で､ どの程度 自由な操作が 可能であったかが､問題 となる と考 えられる｡

すなわち､式の 2

1と3･

qのそれぞれの部 分が

や

を因数 に合むかを考 えることに留

ま らず､式の他のまとめ方を した り､調べる 因数 として他の数を選ぶな どの修正を､

番 目､

番 目の場合の証明か ら抽 出されていた と思われる解決活動に施す必要があった｡解 法を全 くブレイクす る必要はないが､ しか し そ こに十分な操作が施 される必要はあった と い うことである｡

このことは､

番 目と

番 目の場合の証明 方法‑の意味づけの仕方にも関係 してい よう｡

これ らの証明を､式を二つの部分 に分け､あ る因数が一方には含まれ るが他方には含まれ ないことを示 した､として意味づけるな らば､

証明方法に対 して柔軟に操作 を施 し､二つの わけ方を変えた り､別の因数で試みるな どの 修正の余地があろ う｡ しか し証 明方法 を､式 を 2 P+定数 と

qに分け､後者が

の累乗 であることより前者 と一致 しない ことを示 し た､ として意味づけるな らば､前者が

や

を因数に含み うることよ り､前者が後者

と同 じ

の累乗の形 にな らない ことを示す こ とが 目指 さ̲ れることになる｡つま り､式の一 定のわけ方や累乗 とい う観点の制約 の下での 解法の修正 となって しま う｡

このことは単にモニタ リングの欠如に帰着 させることはできない｡本稿 の被験者である 解決者は､他のセ ッシ ョンで も適度にモニタ リングを行っている ( 例 えば布

が､

この第

回のセ ッシ ョンでも､解決の

i )で の計算 ミスについて､( v ii i )ではわか ってい る項の数値 と対比させ ることで 自分の ミスを 見つけている｡また､解決の

x i i )の

分過 ぎの ところで､

番 目の場合の証明に行き詰 まった際に､

番 目お よび

番 目の証明を振

り返ることを実行 している｡

この

)での振 り返 りは､上で述べた証 明方法‑の新たな意味づ けの機会 とな りうる

ものであった

しか し､その振 り返 りの

中で確認 している事項は､必ず しも適切 とは

青いがたい｡振 り返 りの中では例 えば次のよ

うな発話があった ; ｢ 分数にな っちやった ら

意味ねえ｣ ｢ 整数になるときだけ

｢ 整数な るよね､そ､だか らいいんだ｣

ダッシュ の範囲を考える､‑整数にする範囲だった ら いいのか｣｡これ らより､この振 り返 りにお いては､解決者は式の指数の範囲､特に指数 が負にな らないような範囲に注意を向けてい る｡その結果､

番 目および

番目の証明の 方針やそのアイデアを反省することは行われ ていない｡

なお

で解決を再開 し ,

分ほどして､

p

が奇数

が偶数の場合の式を計算 しなお しているが､これはこの場合にも以前の証明 方法が適用できるとい う期待を表す ものであ り､反駁が証明方法ではな く､むしろ式の方 に向けられたものと考えることができよう｡

これ も､証明方法 自体を反省の対象 としてい ないことの現れ と考えることができる｡

第

回のセ ッションでは､以前の解決‑の 不適切な意味づけか ら出発 しながらも､問題 場面の表面的な特徴により､意味づけの移行 が起 こっていた

｡本稿の 事例でも

で示 したように､この振 り返

りの時点で扱われていた

=0 の式の表面的な特徴に着 目すれば､

や

な どの因数に新たな意味づけ‑ と移行できた可 能性はある｡ しか し振 り返 りの際の解決者の 注意がこの式の指数にのみ向けられていたこ とが､意味づけの移行を妨げた と思われる｡

3.1

で示 したような文脈

ら逃れるためには､

既有の解法を振 り返 りの対象にするなど､モ ニタリングの内容が問題 となるが､既有の解 決にどの程度一般的な意味づけをするかの判 断は､実際には容易ではない と予想される｡

4

発見法に基づく解決促進の可能性

. 3のO)か らわかるように

)で解決 が再開されて以降､そこで問題 となっている 2

q

とい う式に関 して､ 2

1とい う部 分が取 り出される他は､特に新 しい情報は付 加されていない｡そこで､ここで解決を促進

するために､この式についての新たな情報を 得るべくその探求を行 うことが考えられるが､

｢ 考え方｣ としてのス トラテジーを試みるこ とは､問題場面の構造の変化を促す可能性が ある( 布川

｡

今の式の中には整数のパラメータが含まれ ていることから､このパラメータに値を代入 して､そこからパタンを見つけるといった発 見法

を採用することが考 えられる｡実際､本稿の解決者は第

回のセ ッ ションでは､一般式を扱って解決が進展 しな い場合に､このような発見法を( 成功的 とは 言えないなが らも)用いていた ( 布川 , 1

97) ｡

例えば､解決者が最後のところで行き詰まっ た箇所で考えていた 2

1と

について､

p(

奇数)と

偶数)にい くつかの値を入れて みると次のようになる

｡

2

, ･ ･ ･

,･ ･ ･ これを見ると､共通の

(これは

1

の場合で除外されている)以外は､前者は

の倍数 より

大きく､後者は

の倍数より

小さい数であることがわかる｡ しかも後者が

4

の倍数より1 小さい数であることも､数学 的帰納法により証明することができる

｡ また､ここで両者が

の倍数により特徴づけ

られていることか ら､ ｢4の倍数｣を問題場 面の重要な要素 として捉え､それが現れるよ うな式変形を試みる

な らば､例えば､

2･4P'‑3･9qr+1

=

･ 4

とすることで､この式を4 で割った ときの余 りが常に

になることを示す ことができる｡

つま り､具体的な値を生成 しパタンを見つけ ることは､当該の場面において重要な要素に ついての情報を与え､式変形の方向性を示す 可能性 も持っていた と言える｡

もしも‑

の部分を考えることができ

たな らば､パタンは一層見やす くなる｡今､

3.3qll

の値をい くつか具体的に求めてみると 次のようになる｡

3･3q‑1:2,26,242,2186,19682,.･･

これを見ると

が奇数になるこ とがわか り､ 2の累乗の形にはな らないこと がわかるとともに､その

の位が

と3 の繰 り返 しになることにも気づ く｡さらに､これ が

の

の位が

の繰 り返 しになる ことによることがわか り､解決に至ることが できる｡

2P+

1をまとまりと見るか

1をまと ま りと見るか ( あるいは2 Pや

だけで見 るか)により､数値の間のパタンの見出 し易 さには差が出て くる｡またこうしたパタンを 必ず兄いだせるとい うわけではないが､ しか し上述のことより､第

回のセ ッシ ョンにお いて解決者が行き詰まった際に､整数のパラ l ‑ メータに億を代入 し､数列を具体的に書いて パタンを探す ことは､解決を促進できた可能 性を持っていた と言えよう｡またそれ らのパ タンは､式による証明 とは別の証明を与える だけでな く､解決者が考えていた式の変形の 方針をも示 しうるもt のであることがわかる｡

5

問題場面の探求 による解決促進 の可 能性

本稿の事例では､二つの数列の一般式の差 がゼ ロにならないことを示すという下位目榛､

さらには差がゼ ロにな らないことを示すため に､式を二つの部分に分け因数の含み方の違 いを示す とい う下位 目榛で解決を進め､行き 詰ま りを見せている｡布川 (

によ れば､こうした場合､問題場面 自体の探求に 戻ってみること､あるいは大局的再構成を生 じさせることが行き詰ま りの解消になる可能 性がある｡そこで､本稿の事例についてもそ の可能性を考えてみる｡

2. 3で述べた ように､第

回のセ ッション の問題の問題場面は､与えられた漸化式で定

義 される二つの数列である｡ これについて､

それぞれの数列の一般項が求められている｡

一般項の式は問題場面に解決者が働きかけて 得 られた新たな情報であるが､これは自然に 問題場面自体を構成する原理 としても機能す るようになると考えられる｡また､一般項の 差を調べる中で､(

の項の扱いなどか ら､

項数が偶数か奇数かで二つの数列の関係に違 いがあることが､見出されてきていた｡特に､

行き詰ま りが生じていた時点では､

が奇 数番 目､

が偶数番 目の場合が問題になっ ていた｡そこで､一般項に基づき､かつ項が 奇数番 目か偶数番 目かに依 りなが ら､数列を 生成することは､解決の中で場面について得 られた情報を､逆に構成原理 として用いて問 題場面を再構成することになると考えられる｡

実際に､

と

‑(

の式を元に､

の奇数番 目の項､

Yn

の偶数番 目の項を生成 してみると次のよ うになる｡

Xn‑･.1,5,21,85,341,1365,･･･

Yn :1,17,161,1457,13121,･･･

これを見ると､例えば､いずれの数列も

の 倍数 よりも

だけ大きくなっていることに気 づ く｡両者は一致する項がないことか ら､

の倍数の位置に違いがあると考え､それぞれ どのような

の倍数に

を加えた ものかを探 ると､

の方が

奇数) +

の形である のに対 し､

の方は

偶数) +

の形で ある( 4 ) ことがわか り､これは数学的帰納法 により証明される｡

と

がある数の倍 数 と同じ関係を持ちなが ら､かつその系列の

中で同じ位置には出現 しない とい うことは､

解決の

で

bと

が ともに3 の倍数 と な りなが ら､ ｢とび とび｣に現れるので一致 しない と考えたことにより､支持 され うるで あろ う｡同様に､

の偶数番 目の項 と

の 奇数番 目の項についても､前者が

奇数)

‑1

､後者が

偶数)

の形 となること

がわかる｡なお､言 うべき主張を数学的帰納

法で示す とい うアイデアは､2.

の( v ii i )にお いて解決者 自身によっても言及されている｡

なお上のことに従えば､Xn,

はそれぞれ

,

と書け､さらにこれは

となることか ら､註

に示すクラ

ムキン(

による一つの解決に見える

とい う数が現れることがわかる｡ この

によっ て解決者が考えていた

とい う 式を見直す と､

=8

‑3(8+1)q''

l などの新たな変形の方針を考え ることもできる｡つま り式変形の仕方そのも のを示 しうるわけではないが､第

節の場合 と同様､

の倍数｣を重要な要素 として示 唆 しうると言えよ う｡

上で示 した再構成された問題場面を探求す ることによる解決は､見つけたパタンを数学 的帰納法で証明す るとい う同じ方針をもった 前節での解決に比べ､そのパタンが見出 しに くいことは否定できない｡特に､二つの数列 を

の倍数 との関係だけで見た場合には､い ずれ も

の倍数 より

だけ大きい数になって お り､両者の違いを見出す には､それ らが

｢とび とび

になっていると予想 し､両者が

の倍数 +

の系列の中でどのような位置 に ( 奇数番 目､偶数番 目)出るかまで､注意 を向けなければな らない｡ しか しともか くも､

それまでの解決により得 られた情報をもとに 問題場面を再構成 し､問題場面 自体を探求す ＼ ることが､解決に至 りうる情報を提供 しうる ことを､本節の議論は示 している｡

数列自体か らパタンを見出 し数学的帰納法 で証明するのであれば､一般項を求める必要 はないようにも見える｡実際､註

で示 した クラムキン(

による解答では一般項の 式は必要ない｡ しか し､本節で示 した解答に おいては問題場面である数列全体を奇数番 目 の項および偶数番 目の項 とい う点か ら組織化 することが必要であったが､本稿で考察 した 解決過程 においては､そ うした観点は一般項 の式の中に現れる( ‑

とい う項の扱いか ら

生 じてきたものであることを想起すれば､一 般項の式を求めたことは､パタンを数学的帰 納法で証明するや り方に対 しても､有用な情 報を与えていた と言えるであろ う｡

6 おわ りに

本稿では解決者が行き詰まった箇所を中心 に考察を行い､その行き詰ま りを解消 し解決 を促進する可能性を持つ と思われる三つのア プローチ､すなわち既有の解法に対する操作 ･ 修正､発見法の適用､お よび問題場面の探求 への回帰を考えてきた ( 図

｡解決者に よる解決を完成させるには､当該の式のある 部分が

を因数に合むかを考えることが一つ のポイン トであったが､第‑のものはこれま での解決の中に暗に含まれていたこのアイデ アを､既有の解法の新たな意味づけにより探 り出す可能性を示 していた｡ この場合､それ までの流れを継来 しなが ら､かつある部分で はその文脈か ら逃れる､ とい うことをしなけ ればな らない｡

これに対 し第三のアプローチでは､問題場 面 自体を探求することで､それまでの文脈か ら逃れる代わ りに､暗に含まれていた ｢4 と い う因数

とい うアイデアも放棄することと な り､これを数列自体か ら見出さねばな らな かった

今の文脈か ら逃れる代わ りに､

それまでの " 資産Mも放棄することにな りかね