複合指数乱数を用いた
新指数型進化的プログラミングの有効性について
谷口隆裕・片山謙吾＊・南原英生＊・成久洋之＊
岡山理科大学大学院工学研究科情報工学専攻
＊岡山理科大学工学部情報工学科
（2006年10月２日受付、2006年11月６日受理）
１まえがき
自然の進化と適応の概念を導入した計算手法を総称して進化的計算(EvolutionaryComputation)[1]と呼ばれて いる．従来の最適化計算手法では解けない大規模かつ複雑な問題を解くための強靭かつ効率的な計算法として，進化 的計算法の有効性が近年注目されている．その代表的なアルゴリズムとして，進化的戦略(EvolutionaryStrategies，
ES)，進化的プログラミング(EvolutionaryProgramming,ＥＰ)，遺伝的アルゴリズム(GeneticA1gorithms,ＧＡ）
と遺伝的プログラミング(GeneticProgramming,ＧＰ)などがある．
ＥＳは1965年に数値最適化手法としてRechenbergとSchwefblにより提案された．ＥＰはFbgelにより1965年 有限状態機械の人工知能的アプローチとして提案され，後に組合せ最適化や数値最適化手法に応用されるに至っ た．ＯＡは1975年にHollandにより適応型探索アルゴリズムとして提案された．ＧＰは1987年にＫｏｚａのＬIPS プログラムとして提案され，これは木構造染色体に対するＧＡの応用とみなすことができる．これらの手法はす
べて個体集団(population)を使用することと個体集団を構成する個体(individual)の間の情報交換によって，良
質な解探索を実現する．
本論文は進化的計算の中のＥＰについて記述する．ＥＰは有限個の解集合からなる個体集団に対し突然変異
(mutation)操作と選択操作により，より質の高い解をもつ個体集団を発生させようとする集団探索法である．これ
までに提案されているＥＰは主としてGaussianMutationによる標準進化的プログラミング(ClassicalEvolutionary Programming,CEP)とCauchyMutationによる高速進化的プログラミング(肋tEvolutionaryProgramming，
FEP)などがある[2][3][4][５１[6｝前者はガウス分布乱数を,後者はCauchy分布乱数をそれぞれ使用しているCauchy 分布はガウス分布と異なり，無限大の二次モーメントを持つために，ガウス分布よりも長い尾を持っている．この ために突然変異で生起する子孫は親と全く異なった解を発生することができ，解探索中に局所解に陥ることによる 収束の悪化を防ぎ得るので関数最適化問題に対してはＣＥＰよりＦＥＰの方が有効であるとされている[2｝しかし ながら，問題例によってはＣＥＰの方がより優れた収束特性を示すこともあり，さらに収束の状況によって結果は 異なる．そこで，Narihisaらは2002年に複合指数分布乱数を使用する指数型進化的プログラミング(Exponential EvolutionaryProgramming,EEP)を提案した[7][8Ⅱ9][10｝これは複合指数分布に従う乱数を使用するＥＰであ る．複合指数分布は，ガウス分布とCauchy分布の中間的な分布を持つ．そのために複合指数分布乱数をＥＰに 用いれば，ＣＥＰとＦＥＰの長所を取り入れた解探索を可能にすると考えられる．これまでの研究で，この複合指数 分布乱数を使用して従来のＥＰ手法よりも優れた性能を発揮するアルゴリズムを提案してきた[11Ⅱ12][13][14][151 しかし，戦略パラメータ値を計算する上で，従来のＥＰは各分布乱数を用いるのではなく，ガウス乱数のみを用い るのが一般的である．同様に，ＥＥＰにおいても戦略パラメータ値を計算する際には，ガウス乱数が使用されてい る．本論文では，ＥＥＰにおける戦略パラメータ値を計算する場合に，ガウス乱数を使用するのではなく，複合指 数乱数を使用する方法をＮｅｗＥＥＰ(NEP)として新たに提案し，数値実験を通して，ＮＥＰの有効性を示す．
２標準進化的プログラミング（ＣＥＰ）
ＢａｃｋとSchwefelのＣＥＰのアルゴリズム[1]は次の通りである．
Stepl:似個の個体からなる初期個体集団を生成する．各個体は実数ベクトルの対(鋤,⑪),Ｖｊｅ{1,2,…,似}，た だし，晩は変数ベクトル，ヮ`は戦略パラメータベクトルとする．
Step2:個体集団の各個体(鋤,ワi),Ｖｉｅ｛1,2,…,似}に対して適合度を計算する．
Step3:各個体(晩,ヶ`),ｉ＝1,…,似は単一の子孫(蝿,晩)を生成する．ノー1,2,…,ｎに対して
ぴi(j)＝⑩(小xp{fⅣ(0,1)＋７１Vﾌﾞ(0,1)｝ （２１）
鏑(j)＝z`(j)＋◎`(ｊＷ７(0,1） （2.2）
ただし，ｚｊ(j),ｺﾙ(j),び`(j),的(j)はベクトルｚ`,蝿,的,晩のﾉｰ成分を表わす．Ⅳ(0,1)は標準化された－次 元正規乱数で，その平均は０，標準偏差は１である．jVXO,1)は各ｊ毎に発生する正規乱数を示し，ｆ＝（,/回ﾏﾃﾃ)-1,γ＝(,/玩)-1とする．
Step4:各子孫(蝿,晩),Ｖに{1,2,…,似}の適合度を計算する．
Step5:９トーナメント選択を実施し，（⑩｡,⑩),(蝿,ゲガ)の中から似個選択し，次世代の親とする．
Step6：停止条件を満たせば停止，そうでなければﾙｰﾙ＋１としてStep3ヘ
３Cauchy乱数を用いた進化的プログラミング（FEP）
ＣＥＰがガウス分布に従う正規乱数Ⅳ(0,1)を使用した突然変異を考えたのに対して，FEP[２１ではCauchy分布
に従う乱数を使用する．原点を平均とする一次元Cauchy分布の確率密度関数は
ルル弄志,-…<+･･,`>･ （3.1）
であり，ｔはスケールパラメータである．これに対応するCauchy累積分布関数Ｆ(Ｚ,t)は次のようになる．
Ｆ(錘卜;+一…､(;）（32）
したがって，［0,1]区間の一様乱数をｇとすると，
”-t伽{ﾊﾟ,-;)｝（33）
となり，この乱数をＣ(0,t)で表わす.スケールパラメータｔ＝１とした乱数がＯ(0,1)であり，次のようになる．
ｏ(o卜伽{燕(｡-;)}’0≦｡≦Ⅱ （3.4）
ＦＥＰの処理アルゴリズムはＣＥＰのStep３における式(2.2)の代りに
⑳!(j)＝z`(j)＋ぴ`(j)ｑ(0,1）（35）
とする．
４指数型進化的プログラミング（ＥＥＰ）
EEP[7Ⅱ8][９１[101は複合指数分布に従う乱数Ｅ(0,入)を用いた突然変異を考慮する．分布パラメータ入の複合指 数分布の－次元の確率密度関数巾)は
巾)-3．叩{-入'鰯'ﾙｰ…<+oq心゜ （４１）
として与えられる．したがって，この分布において平均毎＝0,分散りα(⑳)＝急となる．ノ(⑳)に対応した累積
分布関数Ｆ(z)は
〃(昨(]_菫蝋,:ごＩ’４２’
として与えられる．したがって，［0,1]区間での一様乱数をｙとすると，
準{i照沁));二（4⑳
で発生させる乱数ｚはＥ(0,入)で表わされる．このことから，Ｅ(0,入)＝顎(0,1)となりＥ(0'1)を発生させるこ とができる．ＥＥｐではパラメータ入＝１として，ＣＥＰのStep3における式(2.2)の代りに
〃;(j)＝zj(7)＋び`(j)Ej(0,1） （4.4）
とする．
５複合指数乱数を用いた新進化的プログラミング（ＮＥＰ）
ＮＥＰはＥＥＰと同様に複合指数分布に従う乱数Ｅ(0,入)を用いた突然変異を考慮する．従来のＥＰ手法である CEP，ＦＥＰやＥＥＰは，戦略パラメータ値を計算するときにガウス分布に従う乱数Ⅳ(0,1)を使用している．そ こで新たに提案するＮＥＰでは，戦略パラメータ値を計算する場合にも複合指数分布に従う乱数Ｅ(0,入)を使用す る．ＮＥＰでは，複合指数分布のパラメータル１として，ＣＥＰのStep3における式(2,1)の代りに
(5.1）
｡;(j)＝◎バルxp[ん(γ'E(0,1)＋TEj(0,1))]，
さらに，式(2,2)の代りに
(5.2）
〃!(j)＝鋤(j)＋ぴ`(j)Ej(0,1）
とする．ただし，調整変数ＩＤ＝２とする．
６数値実験と結果 6.1数値実験方法
新たに提案したＮＥＰと従来のＥＰ手法であるCEP，FEp，ＥＥｐとを比較検討するために，関数最適化問題で よく知られたベンチマーク問題[5]を用いて,数値実験を行なった．本実験で使用するベンチマーク問題を表１に 示す.ハーハ3は高次元関数であり，ノ14～た3は低次元関数である．また，各ベンチマーク問題において，表，に
おけるｓは変数ｍｊの範囲であり’んi”は厳密解の値を示す．
数値実験における各ＥＰのパラメータは次のように設定した．個体集団の大きさ〃＝１００，トーナメントサイズ ｑ＝'０，計算世代数Ｃ＝50001戦略パラメータの初期値α(j)は[０，１]区間の一様乱数，戦略パラメータ◎の下限
はＥ＝１０~４とした．ただし，ＥＥｐとＮＥｐにおける複合指数分布のパラメータ値は入＝，とする．
本実験では，各世代毎において試行回数を１００とした関数値の平均を評価値とし，これを適合度とする．ここ では関数最適化問題を取り扱うために，算出された関数値(適合度)が小さい程望ましい状態といえる．進化の過 程で，戦略パラメータワ(j)は新しい解を決定する場合の変異巾に関与するが，｜ぴ(j)|＝Ｏは進化の停止を意味す る.そこで,進化の停止を避けるために，｜ひ(j)|の下限をＥとする．｜ぴ(j)|＜Ｅであれば，強制的に|び(j)|＝Ｅと
して進化を続行させる．
ＥＰの計算では，戦略パラメータワの下限ｅの値が変化する度に，収束特性が異なる．したがって，各ＥＰを 適用するときにＥに影響を受けることなく計算する必要がある.そのために’戦略パラメータ◎の下限Ｅの値は 10~４に固定して実験を行なう．
全ての数値実験は，HPxw430OWOrkstation(Intel(R)Pentium4CpU34GHz,3.5ＧＢＲＡＭ)上で実行した．
各ＥＰのアルゴリズムはＣ++でコード化して，VisualＣ++によってコンパイルした．
６２実験結果とその考察
実験結果を表２，表３に示す．表２はＣＥＰ・ＦＥＰ・ＥＥＰ・ＮＥＰのそれぞれの手法によって算出された最終世代 における解の適合度を示し，関数最小化問題を扱うために，その適合度が小さい程，良質な解を得ていることを 表す．表３は各ＥＰを適用したときの最終世代までの計算時間(秒)をそれぞれ示す.従来のＥＰ手法であるCEP，
FEP，ＥＥＰは，戦略パラメータ値を決定するときにガウス乱数のみを用いていたが，ＮＥＰは複合指数乱数を戦略 パラメータ値の計算にも適用した．その結果，表２から，ＣＥＰが全２３問中８問の最良解を得ており，ＦＥＰが１１ 問，ＥＥＰが７問，ＮＥＰが１５問で，ＮＥＰが最も多くの最良解を得ていることがわかる．これらのことから，関数 最適化問題にＥＰを適用する場合に，複合指数分布に従う乱数が効果的であると考えられる．
表３では，NEP，EEP，FEP，ＣＥＰの順に計算効率がよいことがわかる．CEP，FEP，ＥＥＰでは，戦略パラ メータ値の計算にガウス乱数のみを用いているために，ＮＥＰより余分に時間がかかっている．これは，ガウス乱 数を使用する度に，中心極限定理により１２個の一様乱数が必要になるからである．ＣＥＰは，戦略パラメータ値 と関数値の計算の両方にガウス乱数を用いるため，最も計算効率が悪いしかし，ＮＥＰは，正規乱数を全く用い ないために従来のＥＰより計算効率が良くなっている．
これまでの研究は，複合指数分布のパラメータ値である入のみに注目して，様々な解探索を実現してきた．しか し，入の設定方法は適用する問題例によって異なり，今のところ経験値によって決定する方法はないと思われる．
そこで，すべてのパラメータ値を固定して使用できるＮＥＰを最適化問題に適用すると，パラメータ値の設定にお ける問題が少なくなり，さらに，従来のＥＰ手法よりも優れた解探索を実現できた．以上のことから，新たに提案
したＮＥＰは，従来のＥＰ手法よりも有効なＥＰ手法といえる．
７むすび
ＥＰにおいて，ガウス乱数Ⅳ(0,1)を使用するＣＥＰは局地的な探索を可能にし，Cauchy乱数Ｏ(0,1)を使用す るＦＥＰは広範囲の探索を可能にする．また，複合指数分布はガウス分布とCauchy分布の中間的な分布と持つた めに，複合指数乱数Ｅ(0,入)を使用するＥＥＰは，大域的探索と局地的探索を可能にするものとして期待されてい る．これまでの研究で，ＥＰに複合指数乱数を適用することによって，優れた解探索を実現してきた，従来のＥＰ 手法であるCEP，FEP，ＥＥＰは，適合度の計算にそれぞれ異なる分布乱数を使用しているが，戦略パラメータ値 の計算には，どのＥＰ手法もガウス乱数のみを使用していた．本実験結果より，ＥＰの関数最適化において，適合 度の計算だけでなく，戦略パラメータ値の計算にも複合指数乱数を使用するＮＥＰの有効性が示された．今後の課 題としては，複合指数分布のパラメータ値入の決定方法やＥＰ以外の進化的計算法にも複合指数乱数を用いる方
法を検討することなどが挙げられる．
参考文献［ｌｌＴＢａｃｋａｎｄＨ.Ｐ,Schwefel,“Anoverviewofevolutionaryalgorithmsfbrparameteroptimization，，,Evolutionary
Computation,１(1),ppl23,１９９３
［2lXYao,ＹＬｉｕ,``脇tEvolutionaryProgramming，，,Procofthe5thAnnualConferenceonEvolutionaryProgram-
ming，MITPress1pp451-460,1996．
［３１KHLiang,Ｘ・Yao,ＹＬｉｕ,Ｃ,NewtonandDHofTman,``AnExperimentalInvestigationofSelfadaptationinEvolutionaryProgramming，，，Procofthe7thAnnualConferenceonEvolutionaryProgramming,Springer-Verlag，
ｐｐ,291-300,1998．
［4]KChellapilla,“CombiningMutationOperatorsinEvolutionmyProgramming，，,IEEEIYansactionsonEvolution‐
aryComputation,２(3),ｐp91-96,1998．
［５１ＸＹａｏ,Ｙ,Liu,ＧＬｉ､,``EvolutionaryProgrammingMadeHMer，，,IEEEnanscationsonEvolutionaryComputa-
tion,３(2),ｐp82-102,1999．
［６１OYLeeandY,Song,``EvolutionaryProgrammingusingtheLevyprobabilityDistribution，，,ProcofGeneticand
EvolutionaryComputationConference(GECC0,99),MorganKaufinan,ｐｐ､886-893,1999．
［7]Ｈ,NaJEihisa,Ｋ,Kohmoto,KKatayama,“EvolutionaryProgrammingwithDoubleExponentialProbabnityDis-tribution，，，Proc、oftheSecondlASTEDInternationalConferenceonArtificiallntelligenceAndApplications，
September9-12,Spain,pp358-363,2002.
[8]Ｋ・Kohmoto,HNarihisaandKKatayama,"EvolutionaryProgrammingUsingExponentialMutation，，,Proc・ofthe６thWOrldMulticonferenceonSystematics,Oyberneticsandlnfbrmatics,ｖｏＬ１１，ComputerScience2,ｐｐ､405-410,
2002.
Ｈ・Narihisa，Ｋ・ＫｏｈｍｏｔｏａｎｄＫ・Katayama，“EvolutionaryProgrammingwithDoubleExponentialProbability Distribution，，,ProcofTheSecondlnternationalAssociationofScienceandT℃chnologyfbrDevelopment(IASTED）
InternationalConferenceonArtificiallntelligenceandApplications(AIA2002),ｐｐ､358-363,2002
[9］
[10]KKohmoto,HNamhisaandK・Katayama,``PerfOrmanceofEvolutionmyprogrammingusingExponentialMuta‐
tion，，,Proc,ofThe4thAsia-PacificConfbrenceonSimulatedEvolutionAndLearning(SEAL2002),vol,２，pp454-
458,2002．
[11]Ｈ・Narihisa,KKohmoto,Ｔ・KumonandK・Katayama,"PerfbrmanceofExponentialEvolutionaryProgramming，，，Procofthe7thlASTEDInternationalConferenceonArtificiallntelligenceandSoftComputing(ASC2003),pp､243-
248,2003．
[12]HNarihisa,Ｋ・Kohmoto,Ｍ・TsudaandK・Katayama,``ConvergenceChaJacteristicsofExponentialEvolutionary Programmi､９，，，Proc・ofthe8thlASTEDInternationalConferenceonArtificiallntelligenceandSoftComputing
（ASC2004),ｐp426-431,2004．
[13]HNarihisa,TTaniguchi,Ｍ,TsudaandKKatayama,"EfTiciencyofParallelExponentialEvolutionaryProgram- ming，，，Proc・ofthe20051nternationalconferenceonParallelProcessingWOrkshops,ｐｐ､585-595,2005．
[14]Ｈ・Narihisa,TTnniguchi,MOhtaandKKatayama,``EvolutionaryProgrammingwithExponentialMutation，，，ProcoftheNinthlASTEDInternationalConfbrenceonArtificiallntelligenceandSoftComputing(ASC2005)，
ｐｐ,55-60,2005．
[15]Ｈ・Namhisa,TTaniguchi,Ｍ､OhtaandKKatayama,“ExponentialEvolutionaryProgrammingwithoutusing StrategyParameter，,，ProcoflEEEWOrldCongressonComputationallntelligence（WCCI2006)，２００６１EEE CongressonEvolutionaryComputations(CEC2006),ｐp2559-2566,2006
[161Ｈ,Narihisa,Ｔ,Thniguchi,KKohmoto,MOhtaandK,Katayama,``ExponentialEvolutionaryProgrammingwith onlyusingExponentialMutation，，，Proc・oflEEEWOrldCongressonComputationallnteUigence(WCCI2006)，
20061EEECongressonEvolutionaryComputations(CEC2006),ｐp2567-2574,2006.
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⑪ ０．１
３ ０．１ 3 １ ２ ３ ４
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０．４６９９０．４３８７０７４７ ０．１０９１０．８７３２０．５５４７ ０．０３８１５０．５７４３０．８８２８
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ｊ く１
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２
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九たん３ ００ －－ １ [0,10］ ４ －１０
表１２ベンチマーク悶鞘
鰹0）
ブ ＣＥＰ FＥＰ ＥＥＰ ＮＥＰ
たたんたんたん
０．０００１７３ ０．０３９６４９ '6.077523 83.742784 57.130000 2973897 0055805 106.932949 16.483508 0.116142 0.976792 0.085567 ０．２５８１００0.123545
0.000955 0.094420 2.777489 0.321552 89.361463 12406gSOO 0.057958
0.000420 0.06295ｓ 2.1ｇＥｉｇ８３ 0．０３２９８３ 5８．７０１８９９
19.382500 ０．０５２６１８
たん
０１２３
八八八人
-7169.636378 12.960261 1.576152 0.189287 0.775792 0.032647
－１２４６１．７３２２６５ 27.895934 0347716 0.019015 0．００１８１４
0.019506
-7284.349316 5.049242 0.209975 0.086234 0.217400 0.044806
-7408.367498 ４．０１３２８４ ０．０１５８５８ ０．０１４４２８ 0.105999 ０．０１８６４０
４
ノ１
八八５６
７
ノ１
８９０１２３
たたんん九九
4.635629 0．０５１７４３
－１．０３１６２８ ０．３Ｗ8８７ ３．００００００
－３．８６２７８２
－３．００１１０６ -7.706159 -8.383138 -8.738863
1．６０１７２６ ０．０５１７４３
－１．０３１６２８ 0.397887 ３.ＯＯＯＯＯＯ
－３．８６２７８２
－３．００１１０６ -7298319
－８．７０２０５４ -8.751793
4.804193 0．０５１７４３
－１．０３１６２８ 0．３９７８８７ ３．００００００
－３．８６２７８２
－３．００１１０６
－８．１１３ｇｇｇ -8.383138 -9117418
3.487417 ０．０５１７４３
－１．０３１６２８ 0.397887 3.ＯＯＯＯＯＯ
－３．８６２７８２
－３．００１１０６ -7604199 -8542596
－９．１８４４２８
秀，．名、Ｐに上る解の滴合･度
牛ＩＧＰの胃十強ヨ［
' ＣＥＰ ＦＥＰ ＥＥＰ ＮＥＰ
たたんたたんん
1１４１ 1107 997 898 891 8８４ ８９８ 1109 1063 855 848 943 840 853 １０８０ 1044 924 836 828 8２１ ８３４７７９７７８９ ４６６８０６２ １２３２２１７
たたんんんん
1079 1022 1004 1022 1047 1051 1004 1030 Ｗ0 953 971 998 1015 958 g40 g62 985 g88 ８５１ ８３２ ８５４ ８７６ ９０８ ８８０４５６７８９０１２３
ｈ人力ｈたたんたたん ９９８８８９９９９９ ４１７８７３４３４５ ８０４４７７６７１２
8S3 922 867 874 874 837 839 S43 907 gO6 ８ ８ ８８ ６ ７２３５４４９ １１１７８５ ８８８ｓ８８
４ ６ ５８ ８４７４０３０６７４５６ ７７７７７７７７７７ ８０５７９３４７３４
表３:各ＥＰの計算時間（単位：秒）
Efficiencyoだ、ewexponentialevolutionaryprogrａｍｍｉｎｇ ｕｓｉｎｇｄｏｕｂｌｅｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｒａnｄｏｍｎｕｍｂｅｒｓ
TnkahiroTANIGUCHLKengoKATAYAMA*,HideoMINAMIHARA*
andHiroyukiNARIHISA＊
G7MuqteSchoolqfEn9jnee7WL9，
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(ReceivedOctober2,2006;acceptedNovember6,2006）
EvolutionaryprogrammingisoneofmainbranchofevolutionarycomputationwhiChmimicbiologicalevolu- tionandnaturalselections・Themainfeatureofevolutionaryprogrammingisthatevolutionprocessusesonly mutationoperator・Thispropertycanbeconsideredtobeeasilyapplicabletomiscellaneoustypeoptimization problemsTheindividualofpopulationinstandardselfadaptiveEPiscomposedofapairofobjectivevariable andstr帥egyparameter､TherefOre,EPevolvesbothobjectivevariableandstrategyparameter・Inclassicalevo- lutionaryprogramming(CEP),theseevolutionsareimplementedbymutationbasedononlyGaussianrandom numberOntheotherhand,fastevolutionaryprogramming(FEP)usesCauchyrandomnumberfbrevolution ofObjectivevariable,andexponentialevolutionaryprogramming(EEP)usesexponentialrandomnumberfbr evolutionofobjectivevariableHowever,alloftheseEPs(CEP,FEPandEEP)commonlyuseGaussianrandom
numberfbrevolutionofstrategyparameter，
Inthispaper,weproposenewEEPalgorithm(NEP)whichusesdoubleexponentialrandomnumberfOr evolutionsofobjectivevariableandstrategyparameter・TheexperimentalresultsshowthatNEPoutperfbrms
ｔｈｅＣＥＰａｎｄＦＥＰａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．
Keywords：evolutionaryprogramming;objectivevariable;strategyparameter、
