簡単なカオス回路を交差結合させたことにより発生する現象の調査

社団法人 電子情報通信学会

THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,

INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報

TECHNICAL REPORT OF IEICE.

簡単なカオス回路を交差結合させたことにより発生する現象の調査

内谷 友美子

西尾 芳文

†

徳島大学 〒

徳島市南常三島

あらまし

結合カオス回路における同期現象は様々な分野で広く研究されている。本研究では，簡単な回路構成であ る森・神力回路

つをインダクタにより交差結合させた回路を対象とし，コンピュータシミュレーション及び回路実 験により発生する現象の調査を行った.

キーワード

カオス回路，複雑系，同期現象

Investigation of Nonlinear Phenomenon in Cross-Coupled Chaotic Circuits

Yumiko UCHITANI

and Yoshifumi NISHIO

† Department of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University 2-1 Minami-Josanjima, Tokushima, 770–8506, Japan

E-mail: †{uchitani,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp

Abstract Studies on chaos synchronization in coupled chaotic circuits are extensively carried out in various fields.

In this study, two simple chaotic circuits cross-coupled by inductors are investigated. Interesting state transition phenomenon around chaos synchronization is observed by computer simulations and circuit experiments.

Key words chaos circuit, complex system, synchronization

1.

ま え が き

結合カオス回路における同期現象は自然科学の高次元非線形 現象のモデルであり，様々な分野で広く研究されている．カオ スの同期現象を調査することは将来，カオスを利用する工学分 野に活用出来るのではないかと考える．[1]- [9]

本研究では，簡単なカオス回路構成である森・神力回路[10] [11]

2つをインダクタにより交差結合させた回路を対象とし，コン ピュータシミュレーション及び回路実験により発生する現象を 観測し，詳細な調査を行った．

2.

回路モデル

回路モデルは図1に示される．この回路は2つの森・神力回 路をインダクタにより交差結合させている．以下の正規化を行 なうことにより，

図1 回 路 図

— 1 —



































 i11=

√C2

L1

V x1, v11=V y1, v12=V z1, i21=

√C2

L1

V x2, v21=V y2, v22=V z2, i12=

√C2

L1

V w1, i22=

√C2

L1

V w2, α= C2

C1

, β=

√ L1

C2

G, γ=

√ L1

C2

g, δ= L1

L2

, t=√

L1C2τ, “·”= d dτ

(1)

次式を得る．













































˙ x1=z1

˙ x2=z2

˙

y1=α{γy1−w1−βf(y1−z1)}

˙

y2=α{γy2−w2−βf(y2−z2)}

˙

z1=β f(y1−z1) +w2−x1

˙

z2=β f(y2−z2) +w1−x2

˙

w1=δ(y1−z2)

˙

w2=δ(y2−z1)

(2)

fは非線形抵抗の電流電圧特性を表しており次のような区分線 形関数によって近似する．

f(y1−z1) =









y1−z1−1 (y1−z1>1) 0 (|y1−z1|<= 1) y1−z1+ 1 (y1−z1<−1)

(3)

f(y2−z2) =









y2−z2−1 (y2−z2>1) 0 (|y2−z2|<= 1) y2−z2+ 1 (y2−z2<−1).

(4)

3.

状態推移現象

我々は図1で示す回路より興味深い状態推移現象を観測する ことが出来た．その現象の例を図2，3に示す．図2は式2を ルンゲクッタ法を用いての数値計算での結果を表しており，図 3は回路実験での結果を表している．この2つの回路により観 測されたカオスはy1-y2平面で第1象限と第3象限を行き来し ている事により同相同期に近い状態であると言える．このカオ スの振舞いの興味深いところは，y-z平面の解が(y, z)=(±1.2, 0)付近の固定点に収束しようとしているように見えるというこ とである．しかし，固定点に十分近づいたあと突然他方の固定 点へと移動する．このように1つの回路が正の領域から負の領 域へと，また負の領域から正の領域へと切り替わる．状態が切 り替わった後，また各領域で上記で示した振舞いをする．

4.

詳細な調査

本研究では，上で述べた状態推移現象を詳細に調査する．ま ず我々は結合係数であるδの値を変化させ状態を観測した．そ の結果を図4に示す．結合係数δの値が増加すると滞在時間が

(a) (b)

0 2.5

-2.5 0 2.5-2.5 0 2.5

y1

y2

3.0

-3.0 0

0 -3.0 3.0

0 (c) τ ³⁰⁰

図2 数値計算による状態推移現象α = 1.5, β = 5.0, γ = 0.2, δ= 0.005. (a)y1−z1平面でのアトラクタ．(b)y1−y2平面 でのアトラクタ．(c)時間波形

(a) (b)

(c)

図3 回路実験による状態推移現象L1 = 9.93mH, L2 = 800mH, C1=32.8nF, andC2=49.5nF,g=683mS. (a)v11−v12平面 でのアトラクタ.横軸及び縦軸: 1 V/div. (b)v11−v21平面で のアトラクタ. 横軸及び縦軸: 1 V/div. (c)v11とv21の時間 波形.横軸: 1.0 ms/div,縦軸: 2 V/div.

減少するということがわかる．同様の現象の回路実験結果を図 5に示す．これよりこの現象を数値計算，回路実験と両方から 観測することが出来た．次にどのように各変数が変化している かを図6に示す．x，zはそれぞれLC回路の電流と電圧に対応 している．それ故x，zは時間が立つにつれて0に収束しよう とする．一方，yは負性抵抗側のキャパシタの電圧を表してい るので値は不安定で±1.2付近の固定点で収束する傾向にある．

LC回路の電流xと電圧zの振幅が0に近づくと，電圧yが突 然他方の固定点へと移動する．この推移現象のメカニズムを説 明することは難しいが発振が止まったときに結合インダクタは インピーダンスが0になり短絡状態になる，言いかえると結合 インダクタはスイッチの役割をしているのではないのかと考え ている．

— 2 —

0 2.5

-2.5 0 2.5 -2.5 0 2.5

2.0 0

0 -2.0 2.0

-2.0

y1

y2

0 (a) τ 1000

0 2.5

-2.5 0 2.5 -2.5 0 2.5

2.0 0

0 -2.0 2.0

-2.0

y1

y2

0 (b) τ 1000

0 2.5

-2.5 0 2.5 -2.5 0 2.5

2.0 0

0 -2.0 2.0

-2.0

y1

y2

0 (c) τ 1000

図4 結合係数δを変化させたときの状態推移現象(数値計算結果).

α= 1.5,β= 5.0,γ= 0.2,δ= (a) 0.001, (b) 0.003, (c) 0.008.

図7は電圧yの時間波形を拡大したものである．この図を見て 分かる通りy1とy2はスイッチングが起こるタイミングでは同 相で同期しているが推移の小さい振幅では逆相で同期している．

5.

逆相での状態推移

次に，逆相同期の状態推移現象を図8，9に示す．同相同期 と同様に結合係数であるδの値が増加すると滞在時間が減少 する．

6. 4

相での状態推移

我々はまた興味深い90度位相ずれでの状態推移を観測する ことが出来た．図10に数値計算での結果を，図11に回路実験 での結果を示す．この状態ではy1-y2平面で解が第1象限から 第4象限へと順番に移動する．

7.

ま と め

本研究では，2つの森・神力回路をインダクタで交差結合さ せたことにより興味深い現象を観測することが出来た．発生の メカニズムを詳細に説明する事と同様に，この現象の状態の共 存の調査や統計分析を出す事が今後の我々の課題である．

文 献

[1] N. Platt, E.A. Spiegel and C. Tresser, “On-Off Inter- mittency: A Mechanism for Bursting,” Phys. Rev. Lett., vol. 70, no. 3, pp. 279-282, 1993.

[2] P. Ashwin, J. Buescu and I. Stewart, “Bubbling of At-

(1a) (1b)

(1c)

(2a) (2b)

(2c)

図5 結合係数δを変化させたときの状態推移現象(回路実験結果).

L1 = 9.93mH,C1=32.8nF, C2=49.5nF. (1)L2 = 800mH, g=626mS. (2)L2 = 1.2H,g=495mS. (a)v11−v12平面での アトラクタ.横軸と縦軸: 1 V/div. (b)v11−v21平面でのアト ラクタ. 横軸と縦軸: 1 V/div. (c)v11とv21の時間波形. 横 軸: 0.5 ms/div (1) 1.0 ms/div (2),縦軸: 2 V/div.

2.0 0

0

0

0

0

0 -2.0

0 -2.0 2.0

-2.0 2.0

-2.0 2.0

-2.0 2.0

-2.0 2.0

x1 y1

z1

x2

y2

z2

τ 1000

図6 電流，電圧の状態推移.α= 1.5,β= 5.0,γ= 0.2,δ= 0.005.

tractors and Synchronization of Chaotic Oscillators,” Phys.

Lett. A,193, pp. 126-139, 1994.

[3] E. Ott and J.C. Sommerer, “Blowout Bifurcations: the Occurrence of Riddled Basins and On-Off Intermittency,”

Phys. Lett. A,199, pp. 39-47, 1994.

— 3 —

2.0 0

0 -2.0 2.0

-2.0

y1

y2

0 τ 250

図7 時間波形の拡大図.α= 1.5,β= 5.0,γ= 0.2,δ= 0.003.

0 2.5

-2.5 0 2.5 -2.5 0 2.5

2.0 0

0 -2.0 2.0

-2.0

y1

y2

0 (a) τ 1000

0 2.5

-2.5 0 2.5 -2.5 0 2.5

2.0 0

0 -2.0 2.0

-2.0

y1

y2

0 (b) τ 1000

0 2.5

-2.5 0 2.5 -2.5 0 2.5

2.0 0

0 -2.0 2.0

-2.0

y1

y2

0 (c) τ 1000

図 8 逆 相 同 期 (数 値 計 算 結 果). α = 2.0, β = 4.0, γ = 0.1, (a)δ= 0.0005, (b)δ= 0.0008, (c)δ= 0.0014.

(a) (b)

図 9 逆 相 同 期 (回 路 実 験 結 果). L1 = 9.93mH, L2 = 1.2H, C1=32.8nF,C2=49.5nF, g=495mS. (a)v11−v21平面での アトラクタ. 横軸と縦軸: 1 V/div. (b)v11とv21の時間波形.

横軸: 1.0 ms/div,縦軸: 2 V/div.

[4] Y. Nishio and A. Ushida, “Spatio-Temporal Chaos in Sim- ple Coupled Chaotic Circuits,” IEEE Trans. Circuits Syst.

I, vol. 42, no. 10, pp. 678-686, 1995.

[5] N.F. Rul’kov and M.M. Sushchik, “Robustness of Synchro- nized Chaotic Oscillations,” Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 7, no. 3, pp. 625-643, 1997.

0 2.5

-2.5 0 2.5 -2.5 0 2.5

2.0 0

0 -2.0 2.0

-2.0

y1

y2

0 (a) τ 1000

0 2.5

-2.5 0 2.5 -2.5 0 2.5

2.0 0

0 -2.0 2.0

-2.0

y1

y2

0 (c) τ 1000

図 10 4相 同期(数値計算結果). α = 2.0, β = 4.0, γ = 0.1, (a)δ= 0.0004, (b)δ= 0.0014.

(a) (b)

図 11 4 相 同 期(回 路 実 験 結 果). L1 = 9.93mH, L2 = 1.2H, C1=32.8nF, C2=49.5nF, g=495mS. (a)v11−v21平面で のアトラクタ.横軸と縦軸: 1 V/div. (b)v11とv21の時間波 形. 横軸: 1.0 ms/div,縦軸: 2 V/div.

[6] M. Wada, Y. Nishio and A. Ushida, “Analysis of Bifurca- tion Phenomena in Two Chaotic Circuits Coupled by an Inductor,” IEICE Trans. Fundamentals, vol. E80-A, no. 5, pp. 869-875, 1997.

[7] Y. Nishio and A. Ushida, “Chaotic Wandering and its Anal- ysis in Simple Coupled Chaotic Circuits,” IEICE Trans.

Fundamentals, vol. E85-A, no. 1, pp. 248-255, 2002.

[8] G. Abramson,V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “Analytic Solutions for Nonlinear Waves in Coupled Reacting Sys- tems,” Physica A: Statistical Mecanics and its Applications, vol. 305, no. 3-4, pp. 427-436, 2002.

[9] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Syn- chronization and Graph Topology,” Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 15, no. 11, pp. 3423-3433, 2005.

[10] M. Shinriki, M. Yamamoto and S. Mori, “Multimode Os- cillations in a Modified van der Pol Oscillator Containing a Positive Nonlinear Conductance,” Proc. IEEE, vol. 69, pp. 394-395, 1981.

[11] N. Inaba, T. Saito and S. Mori, “Chaotic Phenomena in a Circuit with a Negative Resistance and an Ideal Switch of Diodes,” Trans. of IEICE, vol. E70, no. 8, pp. 744–754, 1987.

— 4 —