• 石田信著「代数学入門」実教出版

代数学１ ( 東京理科大学の教育支援システム（ LETUS ）にて配布しています )

月曜 2 限 (10:40 ∼ 12:10) K601 担当教員 : 加塩 朋和 研究室 : 4 号館 3 階 E-mail : kashio [email protected]

教科書・参考書

群論・環論の教科書は数多くあります . いくつか手に取ってみて , 自分に合うものを見 つけるのが良いと思います. 以下は, 本講義の準備で参考にしたものです.

• 石田信著「代数学入門」実教出版

• 桂利行著「代数学 I 群と環」東京大学出版会

• 堀田良之著「代数入門 群と加群」裳華房

• 雪江明彦著「代数学 1 群論入門」「代数学 2 環と体とガロア理論」日本評論社

∗ 飯高茂著「群論 , これはおもしろい - トランプで学ぶ群」共立出版

∗ David Joyner 著 , 川辺治之訳「群論の味わい - 置換群で解き明かすルービックキュー

ブと 15 パズル」共立出版

目次 ( 予習の際の参考にしてください )

1 “ 群論 ” への導入 3

1.1 代数学と “ 演算 ” . . . . 3

1.2 “ 群 ” の定義と例 . . . . 4

1.3 参考 : “ 群論 ” の応用例 . . . . 5

1.3.1 演算 , 生成 . . . . 5

1.3.2 元の位数 . . . . 6

2 対称群 7 2.1 群の定義に関する補足 . . . . 7

2.2 対称群 . . . . 8

3 部分群, 交代群, 置換群 11 3.1 部分群 . . . . 12

3.2 交代群 , 置換群 . . . . 14

4 生成系 , 巡回群 , 元の位数 15 4.1 生成系 . . . . 15

4.2 巡回群 . . . . 18

4.3 元の位数 . . . . 18

5 有限群 , 群の直積 19 5.1 有限群 . . . . 19

5.2 群の直積 . . . . 22

6 剰余類分解 23 6.1 補足 ( 復習 ): 同値関係による非交和分解 . . . . 23 6.2 剰余類分解 . . . . 24 7 ラグランジュの定理 , 正規部分群 , 剰余群 27 7.1 ラグランジュの定理 . . . . 27 7.2 正規部分群 . . . . 28 7.3 剰余群 . . . . 29

8 前期中間テスト 31

8.1 略解 . . . . 33

9 補足 , 作用 35

9.1 補足 : 群の例 . . . . 35 9.2 補足 : 半群と群 . . . . 36 9.3 作用 . . . . 36

10 特別な部分群 , 共役 , 類等式 39

10.1 中心 , 中心化群 , 正規化群 . . . . 39 10.2 共役, 共役類 . . . . 39 10.3 類等式 . . . . 42

11 準同型写像, 同型写像 43

11.1 準同型写像 . . . . 43 11.2 同型写像 . . . . 45 11.3 補足：有限生成アーベル群の基本定理 . . . . 46

12 準同型定理, 直積分解 47

12.1 準同型定理 . . . . 47 12.2 直積分解 . . . . 49

13 シローの定理 51

13.1 シローの定理 . . . . 51

14 交換子 , 可解性 , 補足 55

14.1 交換子, 交換子群 . . . . 55 14.2 単純群 , 可解群 , 冪零群 . . . . 55 14.3 補足 : 半直積 . . . . 58

15 前期期末テスト 59

15.1 前期期末テストの略解 . . . . 61

1 “ ^群論 ” ^への導入

1.1 ^代数学と “ ^演算 ”

• 代数学 では “ 演算が定義されている集合 ” の性質を調べる .

• 集合 S ̸ = ∅ 上の 演算 ◦ とは “任意の二元 a, b ∈ S に対し a ◦ b ∈ S を定めるルー ル ” のことである . 言い換えると

定義 1. 写像 S × S → S, (a, b) 7→ a ◦ b を S 上の 演算 (operation) と呼ぶ .

練習問題 2 (“数のなす集合” 上の演算). 以下を確かめよ.

1. 自然数全体のなす集合 N := { 1, 2, 3, . . . } には二種類の演算 +, × が定まる .

2. 整数全体のなす集合 Z := { 0, ± 1, ± 2, ± 3, . . . } には三種類の演算 +, − , × が定まる . 3. 有理数全体のなす集合 Q := {

| m, n ∈ Z , n ̸ = 0 } には三種類の演算 +, − , × が

定まる . 実数全体のなす集合 R や , 複素数全体のなす集合 C も同様 . 4. N には演算 − は定義されていない .

略解 . 4. 例えば 2, 3 ∈ / N だが 2 − 3 ∈ / N .

練習問題 3 (“数のなす集合” 以外の演算の例). X を任意の集合とする. 以下を確かめよ.

1. Map(X, X ) := { f : X → X | f は写像 } には , 合成 ◦ : Map(X, X) × Map(X, X ) → Map(X, X ), (f, g) 7→ f ◦ g が定義される.

2. Bij(X, X ) := { f ∈ Map(X, X ) | f は全単射 } でも “合成” が定義される.

略解 . 2. 全射と全射の合成は全射 . 単射も同様 .

定義 4. 問題 3-2 の特別な場合 (X := { 1, 2, . . . , n } ) は n 次対称群 (symmetric group) と呼ばれ S

で表される . すなわち

S

:= Bij( { 1, 2, . . . , n } , { 1, 2, . . . , n } ) = { σ : { 1, 2, . . . , n } → { 1, 2, . . . , n } | σ は全単射 } S

の元 σ は n 次の置換 (permutation) と呼ばれ , いくつかの表記法がある :

• 各 1, . . . , n の下にその像 σ(1), . . . , σ(n) を並べて σ = (

σ(1)σ(2)... σ(n)

) と表す .

• いくつかの数字が σ(j

) = j

, σ(j

) = j

, . . . , σ(j

) = j

, σ(j

) = j

というように

“ 巡回 ” し , その他の数字は動かないとき σ = (j

j

. . . j

) で表し 巡回置換 (cyclic permutation) と呼ぶ.

• 特に σ = (j

j

) は j

, j

を “ 互いに入れ換える ” 置換であり 互換 (transposition)

と呼ばれる.

例えば S

の元として考えるとき

(

) = “1, 2, 3 をそれぞれ 3, 2, 1 へ移す写像”, (1 2) = “1, 2, 3 をそれぞれ 2, 1, 3 へ移す写像 ” となる.

1.2 “ 群 ” の定義と例

定義 5. 空でない集合 G に , 以下を満たす演算 ◦ が定義されているとき “(G, ◦ ) が 群 (group) である ”, “ 集合 G は演算 ◦ に関して群になる ”, または単に “G は群である ” な どという :

1. 結合法則 : ∀ a, b, c ∈ G, (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).

2. 単位元の存在 : ∃ e ∈ G s.t. ∀ a ∈ G, a ◦ e = e ◦ a = a.

3. 逆元の存在: ∀ a ∈ G, ∃ a

∈ G s.t. a ◦ a

= a

◦ a = e.

2 を満たす元 e ∈ G を G の 単位元 (identity element), 3 を満たす元 a

を a の 逆元 (inverse element) と呼ぶ . 群 G がさらに

4. 可換性: ∀ a, b ∈ G, a ◦ b = b ◦ a.

を満たすとき, G は 可換群 (commutative group), または アーベル群 (abelian group), そうでないとき 非可換群 (non-commutative group), または 非アーベル群 (non- Abelian group) と呼ぶ .

練習問題 6. ( Z , +) が群であることを確かめよ . またアーベル群かどうか答えよ . 基本問題 7. Q

:= { x ∈ Q | x ̸ = 0 } とおく . ( Q

, × ) がアーベル群であることを示せ . 略解. x, y ∈ Q , x, y ̸ = 0 ⇒ xy ∈ Q , xy ̸ = 0 より × は Q

上の演算. あとは単位元を 1,

m

n

の逆元を

m

として , アーベル群の定義を満たすことを言えばよい . 基本問題 8. ( Q , × ) が群かどうか答えよ .

略解 . 群だとして e ∈ Q を単位元とする . このとき e = 1 × e

^は単位元 = 1. よって 0 ∈ Q の 逆元 0

は 0 × a

= a

× 0 = e = 1 を満たすが , そのような元 0

∈ Q は存在しない . 注意 9. 1. 群 (G, ◦ ) の演算の記号を省略し (ab := a ◦ b), 単位元を e

や 1

( または e,

1) で表す事が多い. このとき元 a ∈ G の逆元は a

で表される.

2. G がアーベル群の場合には, 演算を + で表すことも多い. この場合 加法群 (additive group) と呼ばれ , 単位元を 0

( または 0), a ∈ G の逆元を − a で表す . さらに a − b := a + ( − b) と略記する .

基本問題 10. (S

, ◦ ) が群であることを示せ . またアーベル群かどうか答えよ . 略解 . 単位元 e

は恒等写像 id, σ = (

j1 j2 ... jn

) の逆元は逆写像 σ

= (

1 j2 ... jn

1 2 ... n

) を取

れば定義を満たす . 証明は次の節で与える . なお n ≥ 3 ならアーベル群にならない .

1.3 ^参考 : “ ^群論 ” ^の応用例

1.3.1 演算 , 生成

15 ゲーム : 4 × 4 = 16 マスに 15 枚のパネルがおいてあり , 繰り返しパネルを空白へス

ライドさせて , 絵などを完成させるゲーム . 絵の代わりに 1 ∼ 15 の数字を使うと

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15

12

を下へ

⇒

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 13 14 15 12

11

を右へ

⇒

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11

13 14 15 12

10

を右へ

⇒

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11

13 14 15 12

⇒ · · ·

簡単のため , ここでは “3 ゲーム ” を考える . (a) 1 2

3 ⇒ · · · ⇒ 3 1

2 とできるか？ (b) 1 2

3 ⇒ · · · ⇒ 2 1

3 とできるか？

実際にやってみると (a) は簡単である : 1 2

3

2

を下へ

⇒ 1

3 2

1

を右へ

⇒ 1

3 2

3

を上へ

⇒ 3 1

2

2

を左へ

⇒ 3 1

2   — (♯)

これを “ 論理的 ” に考えてみよう . パネルのスライドという操作には『二つの操作を続け て行う』という『演算』が定義できる. よって代数学, とくに “群論” が使える. 便宜上, 空白を 4 のマスだと思えば , 上記のパネルの入れ替えは置換 ∈ S

だと思える . 例えば

(a) の操作 ⇔ (

) = (1 3 2),

パネルを空白へスライド ⇔ 互換 (1 4),(2 4),(3 4) のどれか と表記できる . このとき , 操作 (♯) は以下のようにかける :

1 2 3 4

(2 4)

⇒ 1 4 3 2

(1 4)

⇒ 4 1 3 2

(3 4)

⇒ 3 1 4 2

(2 4)

⇒ 3 1 2 4 . そして , これが (a) の解になるのは , 以下のように “ 計算可能 ” である :

(2 4) ◦ (3 4) ◦ (1 4) ◦ (2 4) = (1 3 2).

参考問題 11. 1. S

の元で , 互換 (1 4),(2 4),(3 4) を使って表せる元全体のなす集合を H

とおく (H

は (1 4), (2 4), (3 4) で 生成される部分群 と呼ばれる ). すなわち

H

:= { σ

◦ σ

◦ · · · ◦ σ

∈ S

| n ∈ N , σ

= (1 4), (2 4), (3 4) } .

このとき “3 ゲーム ” で許されている操作は , すべて H

の元であることを説明せよ . 2. マスを色分けして考える: . パネルを一度スライドさせると, 空白マスの位置が

“ 網掛けマス ⇔ 網掛けなしのマス ” を交互に行き来することに注意 . このとき , (a) や (b) のように “ 空白マスが右下に戻る ” 操作は

H

:= { σ

◦ σ

◦ · · · ◦ σ

∈ S

| n は偶数 , σ

= (1 4), (2 4), (3 4) } . の元であることを説明せよ.

3. (b) の操作が可能であれば (1 2) ∈ H

であることを説明せよ .

4. H

の元はすべて 偶置換 であることに注意し , (b) の操作が不可能であることを示せ .

1.3.2 元の位数

6 枚のカード: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 に対し, 以下のシャッフルを考える.

(c) 一枚目のカードを最後に回す : 1 2 3 4 5 6 ⇒ 2 3 4 5 6 1 .

(d) カードを二山に分け , 交互に並べる :

1 2 3

| {z } 4 5 6

| {z }

↓ ↓

1 2 3 , 4 5 6

−−→ −−−−→ ←−−−− −−−−−−−→ −−−− ←−−− −−

←−− −

4 1 5 2 6 3

↷ ↷

これらのシャッフルは, それぞれ置換 ∈ S

だと思える:

(c) のシャッフル ⇔ (

2 3 4 5 6 1

), (d) のシャッフル ⇔ (

).

(c) のシャッフルは 6 回繰り返すことで , 初めてもとに戻る :

1 2 3 4 5 6 ⇒ 2 3 4 5 6 1 ⇒ 3 4 5 6 1 2 ⇒ 4 5 6 1 2 3

⇒ 5 6 1 2 3 4 ⇒ 6 1 2 3 4 5 ⇒ 1 2 3 4 5 6 .

これを , 群 S

の言葉で言えば (

2 3 4 5 6 1

) ̸ = id, (

2 3 4 5 6 1

)

= (

2 3 4 5 6 1

) ◦ (

2 3 4 5 6 1

) = (

3 4 5 6 1 2

) ̸ = id, .. .

(

2 3 4 5 6 1

)

= (

) ̸ = id (

2 3 4 5 6 1

)

= id

となる . 一方で (d) のシャッフルを繰り返すと 1 2 3

| {z } 4 5 6

| {z }

↓ ↓

1 2 3 , 4 5 6

−−→ −−−−→ −−−−−−−→

←−−−− −−−− ←−−− −−

←−− −

4 1 5 2 6 3

↷ ↷ ^{4 1 5} _{| {z }} ^{2 6 3} _{| {z }}

↓ ↓

4 1 5 , 2 6 3

−−→ −−−−→ ←−−−− −−−−−−−→ −−−− ←−−− −−

←−− −

2 4 6 1 3 5

↷ ↷ ^{2 4 6} _{| {z }} ^{1 3 5} _{| {z }}

↓ ↓

2 4 6 , 1 3 5

−−→ −−−−→ ←−−−− −−−−−−−→ −−−− ←−−− −−

←−− −

1 2 3 4 5 6

↷ ↷

となり, 最少で 3 回で元に戻る. これは, 群 S

の言葉で言えば (

4 1 5 2 6 3

) ̸ = id, (

4 1 5 2 6 3

)

= (

2 4 6 1 3 5

) ̸ = id, (

4 1 5 2 6 3

)

= id

となる. 一般に, 群 G の元 g に対し, g を “最少” で何回掛け合わせたら単位元になるか は , その元の重要な性質の一つである . これを 元 g の位数 (order) と呼ぶ . 上の例では , (1 2 3 4 5 6) の位数が 6 で , (

4 1 5 2 6 3

) の位数が 3 であることを計算で求めたことになる .

練習問題 12. (e) n 枚のカードで “一枚目のカードを最後に回すシャッフル” を考える. (e) は最少何回繰り返せば元に戻るか計算せよ .

参考問題 13. (f) n 枚のカードで “ カードを二山に分け , 交互に並べるシャッフル ” を考え

る . どうすれば “(f) は最少何回繰り返せば元に戻るか ” を計算できるか考えてみよ .

2 ^対称群

2.1 ^{群の定義に関する補足}

命題 14. G を群とする . このとき 1. 単位元はただ一つ存在する .

2. 任意の元 a ∈ G に対しその逆元はただ一つ存在する .

証明 . 1. 示すべきは『 e, e

∈ G, ∀ a ∈ G, ae = ea = a – (♯), ae

= e

a = a – (♭) ⇒ e = e

』 . 実際 e

^に

=

^を代入 e

e

^に

=

^を代入 e.

2. 示すべきは『 a

, a

∈ G, aa

= a

a = e – ( ♠ ), aa

= a

a = e – ( ♡ ) ⇒ a

= a

』 . 実際 a

^{単位元の定義} = a

e

=

a

(aa

) ^結合法則 = (a

a)a

=

ea

^{単位元の定義} = a

.

注意 15. 群の定義 (定義 5) において, ∃ , ∀ の順序に注意. 単位元は『群の中でただ一つ』 , 逆元は『元 a に対してただ一つ』 .

命題 16. (G, ◦ ) を群とする . このとき

1. a

, a

, . . . , a

∈ G に対し , それらの積は演算の順序によらない . たとえば n = 4 なら ((a

◦ a

) ◦ a

) ◦ a

= (a

◦ a

) ◦ (a

◦ a

) = (a

◦ (a

◦ a

)) ◦ a

= a

◦ ((a

◦ a

) ◦ a

) = . . . . よってこれらの積を ∏

i=1

a

, または a

a

· · · a

で表す . また , さらに G が可換群で あれば , これらの積は元の並びの順序にもよらない .

2. a

, a

, . . . , a

∈ G に対し, それらの積 a

a

· · · a

の逆元は a

· · · a

a

となる.

3. a ∈ G の逆元 a

の逆元 (a

)

は a と一致する .

4. a ∈ G, n ∈ Z に対し a

:=

 

 

 



aa · · · a (n 個 ) (n > 0)

e (n = 0)

a

a

· · · a

( | n | 個) (n < 0)

と定義する. このと

き “ 指数法則 ” a

a

= a

が成り立つ .

5. a, b ∈ G が ab = e, または ba = e を満たすとき , b は a の逆元である . 証明 . 1. それぞれ帰納法で示せる .

2. 逆元の定義を満たすことを言えばよい . 実際 (a

· · · a

a

)(a

a

· · · a

)

結合法則 = (a

· · · a

)(a

a

)(a

· · · a

) = (a

· · · a

)e(a

· · · a

) = (a

· · · a

)(a

· · · a

)

= · · · = e. 逆も同様 .

3. a が a

の逆元の定義を満たすことを言えばよい. 実際 a

a = aa

= e.

4. 帰納法や場合分けで示せる .

5. 『 ab = e ⇒ b = a

』 , 『 ba = e ⇒ b = a

』を言えばよい . 前者なら ab = e に左から

a

をかければよい.

注意 17. 加法群 (演算が + で表される) の場合は, 上の記号 ∏

i=1

a

, a

a

· · · a

, a

はそ れぞれ ∑

i=1

a

, a

+ a

+ · · · + a

, na で表される . 基本問題 18. 以下が群でないことを示せ .

1. 集合 N 上で , 演算を m ◦ n := m

と定めたもの . 2. 集合 N 上で , 演算を m ◦ n := m + n と定めたもの .

3. Map( { 1, 2 } , { 1, 2 } ) 上で, 演算を f ◦ g := f ◦ g (写像の合成) と定めたもの.

略解. 1. 結合法則を満たさない, e.g., (2 ◦ 1) ◦ 3 = (2

)

= 8 ̸ = 2 = 2

= 2 ◦ (1 ◦ 3).

2. 単位元が存在しない , e.g., m ◦ e = m + e = m ( ∀ m ∈ N ) となる e は 0 だが 0 ∈ / N . 3. 逆元が必ずしも存在しない , e.g., f (1) = f(2) = 1 と定めたとき f ∈ Map( { 1, 2 } , { 1, 2 } ) だが f ◦ g = e

= id となる g が存在しない.

2.2 対称群

対称群 S

が群である ( 問題 10) を , より一般の形で証明しておく . すなわち

命題 19. 任意の集合 X ( ̸ = ∅ ) に対し , X から X への全単射写像全体のなす集合 Bij(X, X) は , 合成 ◦ に関して群になる .

証明 . 0. f, g ∈ Bij(X, X) ⇒ f ◦ g ∈ Bij(X, X ). ∵ 単射と単射の合成は単射 , 全射と全 射の合成は全射 .

1. f, g, h ∈ Bij(X, X ) ⇒ (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h). ∵ 合成写像の定義 : (F ◦ G)(a) :=

F (G(a)) より ∀ x ∈ X,

{ ((f ◦ g) ◦ h)(x) := (f ◦ g)(h(x)) := f (g(h(x))), (f ◦ (g ◦ h))(x) := f ((g ◦ h)(x)) := f (g(h(x))).

よって一致 . 2. id

は Bij(X, X ) の元で, ∀ f ∈ Bij(X, X ), f ◦ id

= id

◦ f = f を満たす.

3. f ∈ Bij(X, X ) ならその逆写像 f

が存在し , f

∈ Bij(X, X ), f ◦ f

= f

◦ f = id

を満たす.

以上により Bij(X, X ) は群である . とくに S

= Bij( { 1, . . . , n } , { 1, . . . , n } ) も群 .   定義 20. 対称群 S

の元に対し , 以下の記号 , 用語を用いる .

1. 元 (

σ ∈

S

に対して

, 各数字 j ∈ { 1, 2, . . . , n } の下にその像 σ(j) を並べて σ =

σ(1)σ(2)... σ(n)

) のように表す .

2. r 個からなる部分集合 { j

, j

, . . . , j

} ⊂ { 1, 2, . . . , n } が存在して

σ(j) =

 

 

 



j

(1 ≤ ∃ i ≤ r − 1 s.t. j = j

) j

(j = j

)

j (j / ∈ { j

, j

, . . . , j

} )

となるとき, σ を 長さ r の巡回置換 (cycle of length r) と呼び, σ = (j

j

. . . j

) で 表す . この表記はスライドさせても同じ : (j

j

. . . j

) = (j

j

. . . j

j

j

. . . j

) になる . また j ∈ { j

, j

, . . . , j

} に対して σ = (j σ(j ) . . . σ

(j)) とも表せる . 3. 長さ 2 の巡回置換 ( 二つの元を入れ替える置換 ) を 互換 (transposition) と呼ぶ . 4. 二つの巡回置換 (j

j

. . . j

), (k

k

. . . k

) が { j

, j

, . . . , j

} ∩ { k

, k

, . . . , k

} = ∅

を満たすとき , これらは 互いに素な巡回置換 (disjoint cycles) である , という . 命題 21. n ≥ 3 なら S

は非可換群である ,

証明 . n ≥ 3 なら (1 2), (2 3) ∈ S

であり , (1 2)(2 3) = (1 2 3) ̸ = (1 3 2) = (2 3)(1 2).

参考問題 22. 1. 互いに素な巡回置換 σ, τ は互いに可換 (i.e., στ = τ σ) である . 2. 任意の巡回置換はいくつかの互換の積で表せる .

3. 任意の置換はいくつかの互いに素な巡回置換の積で表せる.

4. 任意の置換はいくつかの互換の積で表せる.

略解 . 1. 示すべきは『 ∀ j ∈ { 1, 2, . . . , n } , (στ )(j ) = (τ σ)(j) 』 . σ = (j

j

. . . j

), τ = (k

k

. . . k

) とおく. 互いに素より

{ 1, 2, . . . , n } = { j

, j

, . . . , j

} ⨿

{ k

, k

, . . . , k

} ⨿

{ j

, h

以外 } と分解できる. この分解に沿って以下の場合分けができる:

j = j

( ∃ i) のとき . στ (j

) = σ(j

) = { j

j

, τ σ(j

) =

{ τ(j

) = j

(i < r) τ(j

) = j

(i = r) . j = k

( ∃ i) のとき . στ (k

) =

{ σ(k

) = k

σ(k

) = k

, τ σ(k

) = τ(k

) =

{ k

(i < s) k

(i = s) . j ̸ = j

, k

( ∀ i) のとき . στ (j) = σ(j ) = j, τ σ(j) = σ(j ) = j.

よってすべての場合で題意を示せた .

2. (j

j

. . . j

) = (j

j

)(j

. . . j

). 繰り返せば (j

j

. . . j

) = (j

j

)(j

j

) . . . (j

j

).

3. { 1, 2, . . . , n } を以下の手順で分解する :

• j

:= 1 に対し , 部分集合 { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } ⊂ { 1, 2, . . . , n } を考える .

• 差集合 { 1, 2, . . . , n } − { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } の最小限を j

とおき , 部分集合 { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } ⊂ { 1, 2, . . . , n } を考える.

• 差集合 { 1, 2, . . . , n } − { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } − { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } の最小限を j

とおき, 部分集合 { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } ⊂ { 1, 2, . . . , n } を考える.

• 同様に { 1, 2, . . . , n }−{ j

, σ(j

), σ

(j

), . . . }−· · ·−{ j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } が空集合に なるまで続ければ { 1, 2, . . . , n } = { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . }∪· · ·∪{ j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } . このとき次が分かる:

(a) 各 i = 1, 2, . . . , r に対し n

:= |{ j

, σ(j

), σ

(j

), . . . }| とおけば { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . }

= { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . , σ

(j

) } , σ

(j

) = j

. とくに σ

(j

) = σ

(j

).

∵ { j

} ⊊ { j

, σ(j

) } ⊊ · · · ⊊ { j

, σ(j

), . . . , σ

(j

) } = { j

, σ(j

), . . . , σ

(j

) } — (♯) となる最少の m を考える. このとき σ

(j

) = σ

(j

) (0 ≤ ∃ k ≤ m − 1), すなわ ち σ

(j

) = σ

(σ

(j

)) = σ

(σ

(j

)) = id(j

) = j

. もし m

:= m − k < m なら { j

, σ(j

), . . . , σ

(j

) } = { j

, σ(j

), . . . , σ

(j

)(= j

) } となり , m の最少性 に矛盾. よって m − k ≥ m, すなわち k = 0, σ

(j

) = j

. これと (♯) より { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } = { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . , σ

(j

) } , n

= m を得る .

(b) i ̸ = i

なら { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . , σ

(j

) } ∩ { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . , σ

(j

) } = ∅ .

∵ もし空集合でなければ , ∃ k, l s.t. σ

(j

) = σ

(j

). 簡単のため i < i

, k ≥ l とす る. このとき j

= σ

(j

) ∈ { j

, σ(j

), σ

(j

), . . . } となり, j

の取り方に矛盾.

以上より , 分解

{ 1, 2, . . . , n } = { j

, σ(j

), . . . , σ

(j

) } ⨿

· · · ⨿

{ j

, σ(j

), . . . , σ

(j

) } — (♭) を得る. 以下 σ = σ

· · · σ

(σ

:= (j

σ(j

) . . . σ

(j

))) を示す. 示すべきは『 ∀ j ∈ { 1, 2, . . . , n } , σ(j ) = (σ

· · · σ

)(j ) 』である . これを (♭) を使った場合分けと , 等式

σ

(σ

(j

)) =

 



(j

σ(j

) . . . σ

(j

))(σ

(j

))

= σ

(j

) (i = i

) — ( ♠ ) (j

σ(j

) . . . σ

(j

))(σ

(j

))

= σ

(j

) (i ̸ = i

) — ( ♡ ) . を使って示す. 実際,

j = σ

(j

) ( ∃ k) のとき. σ(j) = σ(σ

(j

)) = σ

(j

),

(σ

· · · σ

)(j) = (σ

· · · σ

)(σ

(j

))

=

σ

(σ

(j

))

=

σ

(j

).

j = σ

(j

) ( ∃ k) のとき. σ(j) = σ(σ

(j

)) = σ

(j

),

(σ

· · · σ

)(j) = (σ

· · · σ

)(σ

(j

))

= (σ

σ

)(σ

(j

))

=

σ

(σ

(j

))

=

σ

(j

).

.. .

よって 3 が示せた.

4. 2,3 より従う .

定義 23. σ ∈ S

の 符号 (sign) sgn σ を次で定める . sgn σ = 1 のとき 偶置換 (even permutation), − 1 のとき 奇置換 (odd permutation) と呼ぶ .

sgn σ :=

∏

1≤i<j≤n

(σ(j ) − σ(i))

∏

1≤i<j≤n

(j − i) = ( − 1)

.

|{ (i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n, σ(i) > σ(j) }| を 反転数 (number of inversions) と呼ぶ.

3 ^部分群 , ^交代群 , ^置換群

補題 24. 1. 集合 S := { (i, j) | 1 ≤ i, j ≤ n, i ̸ = j } と, その部分集合 A ⊂ S で

各 (k, l) ∈ S に対し (k, l) ∈ A か (l, k) ∈ A のどちらかただ一つが成り立つ — (⋆) を満たすものを考える . A は S の “ 半分の集合 ” である . このとき σ ∈ S

の符号 sgn σ の定義を sgn σ :=

∏(i,j)∈A(σ(j)−σ(i))

∏

(i,j)∈A(j−i)

と変えても , 値は変わらない .

2. τ ∈ S

とし A

:= { (i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n } とおく. このとき τ (A

) = { (τ(i), τ (j )) | 1 ≤ i < j ≤ n } も (⋆) を満たす .

証明. 1. A

:= { (i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n } とおく. これは (⋆) を満たす集合で, sgn σ のも ともとの定義は sgn σ =

∏

(i,j)∈A0(σ(j)−σ(i))

∏

(i,j)∈A0(j−i)

とかける . A

を , (⋆) を満たす別の集合 A に取

り換えても, 値が変わらないことを言えばよい. そのため 1 ≤ k < l ≤ n を一組固定して A

:= (A

− { (k, l) } ) ∪ { (l, k) } (i.e., A

から (k, l) だけ (l, k) に取り換えた集合 ) とおき

∏

(i,j)∈A0

(σ(j ) − σ(i))

∏

(i,j)∈A0

(j − i) =

∏

(i,j)∈A1

(σ(j ) − σ(i))

∏

(i,j)∈A1

(j − i)

を言えばよい (∵ 帰納法 ). 両辺を比べると, 異なる項は (i, j) = (k, l), (l, k) だけだから

σ(k)−σ(l)

k−l

=

に帰着される . これは分母分子に ( − 1) を掛けることで得られる . 2. (k, l) ∈ S を固定する . τ (i) = k, τ (j) = l を満たす (i, j) がただ一組存在する ( ∵ τ は全単射). i < j のとき (i, j) ∈ A

, (j, i) ∈ / A

より (k, l) = (τ (i), τ (j)) ∈ τ (A

), (l, k) = (τ (j), τ (k)) ∈ / τ(A

). i > j のとき も同様 . どちらの場合も (⋆) を満たす .

命題 25. 1. σ, τ ∈ S

に対し sgn(στ ) = sgn σ · sgn τ.

2. 互換は奇置換.

3. σ ∈ S

が偶置換 ⇔ σ は偶数個の互換の積で表せる . ( すなわち , σ ∈ S

が奇置換

⇔ σ は奇数個の互換の積で表せる.)

証明 . 1. 定義より

sgnτ

=

∏

1≤i<j≤n(στ(j)−στ(i))

∏1≤i<j≤n(τ(j)−τ(i))

. さらに補題 24 中の記号を使うと =

∏(i,j)∈A0(στ(j)−στ(i))

∏

(i,j)∈A0(τ(j)−τ(i))

=

∏(i,j)∈τ(A0)(σ(j)−σ(i))

∏

(i,j)∈τ(A0)(j−i)

. 補題 24 より , これは sgn σ と一致する .

2. σ = (k l) (k < l) の反転数を数える . “ 反転 ” (i < j だが σ(i) > σ(j )) する可能性のあ る (i, j) は i または j が k または l の場合のみ. i または j が k の場合 を表にする:

(i, j) = (1, k) (2, k) . . . (k−1, k) (k, k+ 1) (k, k+ 2) . . . (σ(i), σ(j)) = (1, l) (2, l) . . . (k−1, l) (l, k+ 1) (l, k+ 2) . . .

. . . (k, l−1) (k, l) (k, l+ 1) . . . (k, n−1) (k, n) . . . (l, l−1) (l, k) (l, l+ 1) . . . (l, n−1) (l, n)

“反転” しているのはの網掛けマスの部分で l − k 個. i または j が l の場合 も同じく l − k 個 . 両方の場合で『 (i, j) = (k, l) 』が重複しているので計 2(l − k) − 1 個である . よって 符号は ( − 1) ^奇数 = − 1.

3. 1, 2 と問題 22-4 より.