今後の講義スケジュール

今後の講義スケジュー

　　　　　オーム社 ル

9.1

　二端子対網

9.2

　アドミタンス行列

　インピーダンス行 列

9.4

　縦続行列

9.7

　諸行列間の関係

変換

10.1

　二端子対網におけ 　　　る入力、出力、及 び 　　　伝達インピーダン ス

10.2

　伝送量

　円線図 日程　　　　　　内容

11/17

　二端子対網、　

行 列、 　　　　　

行列

11/24

　　縦続行列

12/1

　諸行列間の関係、

変換

12/2

　二端子対網の伝送的 　　　　　性質

12/8

　円線図

　　　朝倉書店

　二端子対網

6.3

　アドミタンス行 列

6.2

　インピーダンス 行列

6.4

　縦続行列

6.6

　諸行列間の関係

変換

6.8

　伝送的性質

3.5c

　フェーザ軌跡

二端子対 網

I₁

内部には電源を含まないものとする 2

2’

1

1’

Black Box V₂

V₁

I₂

I₂ I₁

入力端 出力端

まず、端子 2-2’ を短絡し、端子 1-1’ のみに電圧 V₁ をかける I₁ = y₁₁ V₁ I₂ = y₂₁ V₁ V₂ = 0

y₁₁: 短絡駆動点アドミタンス y₂₁: 短絡伝達アドミタンス 次に、端子 1-1’ を短絡し、端子 2-2’ のみに電圧 V₂ をかける

I₁ = y₁₂ V₂ I₂ = y₂₂ V₂ V₁ = 0

y₂₂: 短絡駆動点アドミタンス y₁₂: 短絡伝達アドミタンス V₂ =0

V₁=0V₁ V₂

アドミタンス

I₁

行列

2’

1

1’

Black Box V₂

V₁

I₂

I₂ I₁

I₁ = y₁₁ V₁ I₂ = y₂₁ V₁ V₂ = 0

I₁ = y₁₂ V₂ I₂ = y₂₂ V₂ V₁ = 0

端子 1-1’ を短絡して V₂ のみ印加した場合 端子 2-2’ を短絡して V₁ のみ印加した場合

重ね合わせの原理より、

I₁ = y₁₁ V₁ + y₁₂ V₂ I₂ = y₂₁ V₁ + y₂₂ V₂ 相反回路ならば、 y₁₂ = y₂₁

y₁₁, y₂₂, y₁₂ , y₂₁ はアドミタンスパラメータ

　　　　　　 ( または、 Y パラメータ )

もし、 y₁₁ = y₂₂ なら、二端子対網は対称 



 







 



 



 





2 1 22 21

12 11

2 1

V V y

y

y y

I I

アドミタンス行列　 (Y 行列 ) つまり、入力と出力を逆にしても回

路は同じように働く

I = YV Y = ^tY 転置行列 相反回路なら

インピーダンス行

I₁

列

2’

1

1’

Black Box V₂

V₁

I₂

I₂ I₁

V₁ = z₁₁ I₁ V₂ = z₂₁ I₁ I₂ = 0

V₁ = z₁₂ I₂ V₂ = z₂₂ I₂ I₁ = 0

端子 1-1’ を開放して I₂ のみ流した場合 端子 2-2’ を開放して I₁ のみ流した場合

重ね合わせの原理より、

V₁ = z₁₁ I₁ + z₁₂ I₂ V₂ = z₂₁ I₁ + z₂₂ I₂

相反回路ならば、 z₁₂ = z₂₁

z₁₁, z₂₂, z₁₂ , z₂₁ はインピーダンスパラメータ

　　　　　　 ( または、 Z パラメータ )

もし、 z₁₁ = z₂₂ なら、二端子対網は対称



 







 



 



 





2 1 22 21

12 11

2 1

I I z

z

z z

V V

インピーダンス行列　 (Z 行列 ) I₁

I₂=0 I₁=0

I₂ V₂

z₁₁, z₂₂: 開放駆動点インピーダンス z₁₂, z₂₁: 開放伝達インピーダンス

V = ZI Z = ^tZ 転置行列 相反回路なら



 







 



 



 





2 1 22 21

12 11

2 1

I I z

z

z z

V V

V = ZI



 







 



 



 





2 1 22 21

12 11

2 1

V V y

y

y y

I I

I = YV

I Y V V Z I

Z = Y^-1

Y

行列と

行列との 関係

Y 行列の求め方

Z 行列の求め方

まず、出力端短絡 (V₂ = 0) で、 V₁ を印加した場合の I₁ と I₂ を求める

次に、入力端短絡 (V₁ = 0) で、 V₂ を印加した場合の I₁ と I₂ を求める

まず、出力端開放 (I₂ = 0) で、 I₁ を流した場合の V₁ と V₂ を求める

次に、入力端開放 (I₁ = 0) で、 I₂ を流した場合の V₁ と V₂ を求める y₁₁ = I₁ / V₁ y₂₁ = I₂ / V₁

y₁₂ = I₁ / V₂ y₂₂ = I₂ / V₂ 相反回路なら、 y₁₂ = y₂₁ となるはず

z₁₁ = V₁ / I₁ z₂₁ = V₂ / I₁

z₁₂ = V₁ / I₂ z₂₂ = V₂ / I₂ 相反回路なら、 z₁₂ = z₂₁ となるはず

21 12 22

11

11 21

12 22

22 21

12

11 1

y y y

y

y y

y y

z z

z z









 









 



 





π

型回路の

行 列



 











 

3 2 2

2 2

Y 1

Y Y Y

Y Y

Y

次の π 型回路の Y 行列を求めよ。 ( 例題 9.2)

まず、出力端短絡 (V₂ = 0) で、 V₁ を印加した場合、

次に、入力端短絡 (V₁ = 0) で、 V₂ を印加した場合、

y₁₂ = y₂₁ だから、相反回路

V₁ V₂

I₁ I₂

Y₁ Y₃

Y₂

V₂ = 0

 _{1 2} ₁

1 Y Y V

I   _{1 2}

1 1

11 Y Y

V

y  I  



1 2 1

2 1

2

2 I Y V

Y Y

I Y  

 

 ₂

1 2

21 Y

V

y  I  

 V₁ = 0

2 2 2

3 2

2

1 I Y V

Y Y

I Y  

 

 ₂

2 1

12 Y

V

y  I  



 _{2 3} ₂

2 Y Y V

I   _{2 3}

2 2

22 Y Y

V

y  I  

 従って、 Y 行列は、

別の求め方として、 Y₂ の両端の電圧を図のように V₃ と置くと、

V₃

) 1

3 (

2

1 V V 

V   I₁ Y₁V₁ Y₂V₃ (2) I₂ Y₃V₂ Y₂V₃ (3) 式 (1) を式 (2), (3) に代入して整理すると、

 _{1 2}  _{1 2} _{1 2 2} ⁽⁴⁾

2 1 1

1 YV Y V V Y Y V Y V 

I      

 _{1 2} _{2 1}  _{2 3} ₂ ⁽⁵⁾

2 2 3

2 YV Y V V Y V Y Y V 

I       

従って、 Y 行列は、



 











 

3 2 2

2 2

Y 1

Y Y Y

Y Y

Y

T

型回路の

行 列



 







 

3 2

2

2 2

Z 1

Z Z

Z

Z Z

Z

次の T 型回路の Z 行列を求めよ。 ( 例題 9.6)

まず、出力端開放 (I₂ = 0) で、電流 I₁ を流した場合、

次に、入力端開放 (I₁ = 0) で、電流 I₂ を流した場合、

z₁₂ = z₂₁ だから、相反回路

V₁ V₂

I₁ II₂₂ = 0

 _{1 2} ₁

1 Z Z I

V   _{1 2}

1 1

11 Z Z

I

z  V  



1 2 1

2 1

2

2 V Z I

Z Z

V Z 

  ₂

1 2

21 Z

I z  V 

 I₁ = 0

2 2 2

3 2

2

1 V Z I

Z Z

V Z 

  ₂

2 1

12 Z

I z  V 



 _{2 3} ₂

2 Z Z I

V   _{2 3}

2 2

22 Z Z

I

z  V  

 従って、 Z 行列は、

別の求め方として、 Z₂ に流れる電流を図のように I₃ と置くと、

I₃

) 1

2 (

1

3 I I 

I   V₁  Z₁I₁  Z₂I₃ (2) V₂  Z₃I₂  Z₂I₃ (3) 式 (1) を式 (2), (3) に代入して整理すると、

 _{1 2}  _{1 2} _{1 2 2} ⁽⁴⁾

2 1

1

1 Z I Z I I Z Z I Z I 

V      

 _{1 2} _{2 1}  _{2 3} ₂ ⁽⁵⁾

2 2

3

2 Z I Z I I Z I Z Z I 

V      

従って、 Z 行列は、

Z₂

Z₁ Z₃



 







 

3 2

2

2 2

Z 1

Z Z

Z

Z Z

Z

出席レポート問題

1. 右の回路の Y 行列を求めよ。

　　　また Z 行列は求まるか ?

2. 右の回路の Z 行列を求めよ 　　　また Y 行列は求まるか ?

1: n Z

1: n

Z

※ 次回の講義 (11/24) 前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと

二端子対網の並列接 続



 







 



 



 





2 1 22

21

12 11

2 1

V' V' y'

y'

y' y'

I' I'



 







 



 



 





2 1 22

21

12 11

2 1

V"

V"

y"

y"

y"

y"

I"

I"

y’₁₂ y’₁₁

y’₂₁ y’₂₂ V’₁

I’₁

I’₁

V’₂ I’₂

I’₂ y”₁₂

y”₁₁

y”₂₁ y”₂₂ V”₁

I”₁

I”₁

V”₂ I”₂

I”₂

y’₁₂ y’₁₁

y’₂₁ y’₂₂ V’₁

I’₁

I’₁

V’₂ I’₂

I’₂ y”₁₂

y”₁₁

y”₂₁ y”₂₂ V”₁

I”₁

I”₁

V”₂ I”₂

I”₂ I₁

I₁ V₁

I₂

I₂ V₂ 並列接続

I₁ = I’₁ + I”₁ I₂ = I’₂ + I”₂ V₁ = V’₁ = V”₁ V₂ = V’₂ = V”₂



 







 











 



 







 



 





2 1 22 22

21 21

12 12

11 11

2 2

1 1

2 1

V V y"

y' y"

y'

y"

y' y"

y' I"

I'

I"

I' I

I

二端子対網を並列接続した回路の Y 行列 は、各二端子対網の Y 行列を足したもの になる

直列接続

二端子対網の直列接 続



 







 



 



 





2 1 22 21

12 11

2 1

I' I' z'

z'

z' z'

V' V'



 







 



 



 





2 1 22

21

12 11

2 1

I"

I"

z"

z"

z"

z"

V"

V"

z’₁₂ z’₁₁

z’₂₁ z’₂₂ V’₁

I’₁

I’₁

V’₂ I’₂

I’₂ z”₁₂

z”₁₁

z”₂₁ z”₂₂ V”₁

I”₁

I”₁

V”₂ I”₂

I”₂

V₁ = V’₁ + V”₁ V₂ = V’₂ + V”₂ I₁ = I’₁ = I”₁ I₂ = I’₂ = I”₂



 







 











 



 







 



 





2 1 22 22

21 21

12 12

11 11

2 2

1 1

2 1

I I z"

z' z"

z'

z"

z' z"

z'

V"

V'

V"

V' V

V V₁

z’₁₂ z’₁₁

z’₂₁ z’₂₂ V’₁

I’₁

I’₁

V’₂ I’₂

I’₂ z”₁₂

z”₁₁

z”₂₁ z”₂₂ V”₁

I”₁

I”₁

V”₂ I”₂

I”₂ I₁

I₁

I₂

I₂

V₂

二端子対網を直列接続した回路の Z 行列 は、各二端子対網の Z 行列を足したもの になる

並列接続と直列接

例題 9.4

続

Y’ y₂ y₁ y’₁₁ y’₁₂

y’₂₂ y’₂₁

以下の回路の Y 行列を求めよ

並列接続と考える



 



 

22 21

12 11

y' y'

y' Y' y'

Y’

y₂

y₁ Y”



 



 

2 1

0 0 y Y" y



 







 



 





2 1 22

21

12 11

0 0 y y y'

y'

y' Y" y'

Y' Y

よって、

以下の回路の Z 行列を求めよ Z’

z₁ z’₁₁ z’₁₂ z₂ z’₂₂

z’₂₁

直列接続と考える

Z’

z₂

z₁ Z”



 



 

22 21

12 11

z' z'

z'

Z' z' 



 



 

2 1

0 0 z Z" z



 







 



 





2 1 22

21

12 11

0 0 z z z'

z'

z' Z" z'

Z' Z

よって、

並列接続と直列接

π 型回路の Y 行列を並列接続により求めよ

続

以下の 2 つの回路 の並列接続と考え る



 







 

2 2

2 2

Y Y

Y Y' Y



 



 

3 1

0 0 Y Y" Y



 











 



 







 







 





3 2 2

2 2

1

3 1 2

2

2 2

0 0

Y Y Y

Y Y

Y

Y Y Y

Y

Y Y" Y

Y' よって、Y

T 型回路の Z 行列を直列接続により求めよ

以下の 2 つの回路 の直列接続と考え る



 



 

2 2

2 2

Z Z

Z Z" Z



 



 

3 1

0

0 Z Z' Z



 







 



 







 



 





3 2

2

2 2

1

2 2

2 2

3 1

0

0

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z Z

Z Z" Z

Z' よって、Z

Y₁ Y₃

Y₂

Y₂

Z₂

Z₁ Z₃

Z₂ Z₁ Z₃

Y₁ Y₃

演習問 題

演習問題 (9.2)

N n : 1

二端子対回路網 N 式 Z 行列 (Y 行列 ) が既知である とき、全体の二端子対回路網の Z 行列 (Y 行列 ) を 求めよ

V₂ V₁

I₁ I₂

V’₂ I’₂ V’₁

I’₁

まず、既知の回路網 N の両端の端子電圧と電流、 Z パラメータを以下のように与える。

V₁ = z₁₁ I₁ + z₁₂ I₂ V₂ = z₂₁ I₁ + z₂₂ I₂

次に、回路全体としての端子電圧と電流と、既知回路網 N の端子電圧と電流とを関係 V₁ = V’₁ / n I₁ = n I’₁ V₂ = V’₂ I₂ = I’₂ 付ける。

従って、上の式から、 V’₁ = n²z₁₁ I’₁ + n z₁₂ I’₂

V’₂ = n z₂₁ I’₁ + z₂₂ I’₂ 



 







 



 



 





2 1 22

21

12 11

2

2 1

I' I' z

nz

nz z

n V'

V'

Y 行列の場合も同様に考えて、

I₁ = y₁₁ V₁ + y₁₂ V₂ I₂ = y₂₁ V₁ + y₂₂ V₂ I₁ = n I’₁ V₁ = V’₁ / n I₂ = I’₂ V₂ = V’₂より I’₁ = y₁₁ / n² V’₁ + y₁₂ / n V’₂

I’₂ = y₂₁ / n V’₁ + y₂₂ V’₂ 



 







 



 



 





2 1 22

21

12 2

11 2

1

/

/ /

V' V' y

n y

n y n

y I'

I'

z₁₁ z₁₂ z₂₁ z₂₂ y₁₁ y₁₂ y₂₁ y₂₂