ｽﾗｲﾄﾞ ﾀｲﾄﾙなし

運動量交換

momentum coupling

運動量交換

momentum coupling

• 流体抵抗

Drag force

–

レイノルズ数

Reynolds number

–

希薄効果

rarefaction effect

–

流れ場の非一様性

Non-uniformity

–

乱れ

turbulence

–

粒子間距離

interparticle spacing

–

表面からの吹出し

blowing at surface

• 重力

Gravitational force

Faxen force : 流れ場の非一様性の影響 (effect of a nonuniform flow)

Faxen force : 流れ場の非一様性の影響 (effect of a nonuniform flow)

(

u

v

)

D

F

r

_D

=

3

πμ

_c

r

−

r

ストークス抵抗 (Stokes drag) 一様流中に球がある場合

(

u

v

)

D

u

D

F

r

_{D c}

r

r

_c 2

r

3

8

3

−

+

∇

=

πμ

μ

π

Happel & Brenner (1973) Faxen force : 非一様性の影響 2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈

l

D

F

F

Stokes Faxen ） （速度分布の曲率半径 関連する特性長さ 搬送流体の速度分布に : l

非定常抵抗 (Unsteady drag forces) :

low Re

非定常抵抗 (Unsteady drag forces) :

low Re

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∇

−

−

=

u

dt

d

D

v

u

V

F

_VM d

&r

&s

2

r

2 c

40

2

:

mass)

(virtual

仮想質量

項

ρ

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

₋

+

′

′

−

−

=

∫

t Basset

t

v

u

t

d

t

t

v

u

D

F

0 0 2

2

3

:

force

Basset

r

r

&r

&r

πρμ

）

バセット項（

非一様性の影響（曲率の影響） Maxey & Riley, 1983

初期速度(initial velocity)の影響

圧力勾配 (Pressure gradient) 圧力勾配 (Pressure gradient)

p

∫

−

=

cs p

p

n

dS

F

r

r

∫

−

∇

=

cv p

pdV

F

r

d p

pV

F

r

=

−∇

粒子の体積 : d V d c p

gV

F

=

ρ

const.

=

∇p

発散定理 divergence theorem z c

g

e

p

=

−

ρ

r

∇

静水圧 (hydrostatic pressure) 浮力 (buoyancy force)

Basset-Boussinesq-Oseen 方程式 (BBO 方程式) : low Re

_r

Basset-Boussinesq-Oseen 方程式 (BBO 方程式) : low Re

_r

単一球の運動方程式 （流れ場の曲率を無視）

(

)

(

)

( )

(

)

重量

バセット項

仮想質量項

外力

定常抵抗

2

3

2

3

0 0 2

g

m

t

v

u

t

d

t

t

v

u

D

v

u

V

p

V

v

u

D

dt

v

d

m

t c d c d

r

r

r

&r

&r

&r

&r

r

r

r

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

₋

+

′

′

−

−

+

−

+

∇

+

∇

−

+

−

=

∫

μ

πρ

ρ

τ

πμ

d

D

m

π

3

ρ

6

=

3

6

D

V

_d

=

π

BBO 方程式 BBO 方程式

(

)

(

)

(

)

1 2 9 2 1 1 1 2 1 1 0 0 2 1 g t v u t d t t v u u p v u dt v d t V d c d c d V d c r r r &r &r &r r r r + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ + ′ ′ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ∇ + ∇ − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

∫

τ ρ ρ π ρ ρ τ ρ τ ρ ρ μ ρ τ 18 2 D d V = 応答時間 : g Dt u D p _{c c} r r ρ ρ τ = − ∇ + ∇ −

(

)

1

(

)

1 2 9 2 3 1 2 1 1 0 0 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ + ′ ′ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

∫

d c t V d c d c V d c _g t v u t d t t v u u v u dt v d ρ ρ τ ρ ρ π ρ ρ τ ρ

ρ r _{r r &r} &r &r r r _r

1 << d c ρ ρ

(

u

v

)

g

dt

v

d

V

r

r

r

r

+

−

=

1

τ

(

)

(

)

1

1

2

9

2

1

1

2

1

0 0 2 1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

₋

+

′

′

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

+

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

∫

d c t V d c B d c VM V d c VM

g

t

v

u

t

d

t

t

v

u

C

u

C

v

u

dt

v

d

C

ρ

ρ

τ

ρ

ρ

π

ρ

ρ

τ

ρ

ρ

r

r

r

&r

&r

&r

r

r

r

BBO 方程式 : large Re BBO 方程式 : large Re

( )

u v V Fr_VM = d &r − &s 2 : ρc 仮想質量項

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ + ′ ′ − − =

∫

t Basset t v u t d t t v u D F 0 0 2 2 3 : r r &r &r r πρμ バセット項

( )

u v V C Fr_VM = _VM d &r− &s 2 : ρc 仮想質量項

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ + ′ ′ − − =

∫

t B Basset t v u t d t t v u D C F 0 0 2 2 3 : r r &r &r r πρμ バセット項

(

u v

)

D Fr_D = 3πμ_c r − r

_F

_f

_D

(

_u

_v

)

c D

r

r

r

−

×

=

3

πμ

流体球 (fluid sphere) 流体球 (fluid sphere)

σ

σ

+

+

×

=

1

3

2

1

0 D D

F

F

inner outer

μ

μ

σ

=

外部流体の粘度

viscosity of outer fluid

内部流体の粘度

viscosity of inner fluid

剛体球

rigid sphere:

μ

inner

→

∞

σ

→

0

F

D

→

F

D0

液中の気泡

gas bubble in a liquid :

μ

outer

>>

μ

inner

σ

→

∞

3

0

2

D D

F

F

→

注： 液体が余り清浄でない場合

F

_D

→

F

_D0 Rybczynski (1911), Hadamard (1911) ストークス抵抗 (Stokes drag)

diameter) (particle path) free (mean 粒径 平均自由行程 = = D K_n

λ

希薄効果 (rarefied flow effects)

希薄効果 (rarefied flow effects)

c c

ρ

μ

λ

≈ D c K c n

ρ

μ

≈ ∴ c cD

ν

1 = c U UD c ⋅ =

ν

1 Re M = 10 : flow) molecular (free 10 25 . 0 : flow) nal (transitio 25 . 0 10 : flow) (slip 10 : ) (continuum 3 -3 > < < < < < − n n n n K K K K 自由分子流 遷移流 滑り流れ 連続体

λ

ρ

μ

≈ c _c 粘度 音速

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − × = 2 0 1 2 23490 . 0 50000 . 0 01619 . 1 1 k K K k F F_{D D} ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + × = n n D D K K F F 74 . 1 exp 84 . 0 49 . 2 1 1 0

希薄効果

希薄効果

Millikan (1923) , 経験式 (empirical) n K k 2

π

= s g k k K =

気体の熱伝導度 (thermal conductivity of gas)

固体の熱伝導度 (thermal conductivity of solid)

吹出しの影響 (blowing effects)

吹出しの影響 (blowing effects)

燃焼する液滴または蒸発する液滴 Burning or evaporating droplet

B C C_D D + = 1 0 Eisenklam (1967) L p h T c B = Δ 気体の定圧比熱

specific heat of gas at constant pressure

液滴と周囲の雰囲気との温度差

temperature difference between the droplet and the surroundings

蒸発潜熱：液体が液相から気相へ相変 化する際に単位質量当たりに 必要とさ れる熱量 latent heat of vaporization

nr w

u

r

v

r

D

B C C_D D + = 1 0 燃焼する液滴 Burning droplets : L O p h s H x T c B = Δ + 2 酸素濃度 (oxygen concentration) heat of combustion 理論混合比

(stochiometric rate for oxygen)

標準抵抗曲線（抵抗係数 vs Re数）においてRe数を修正

Yuen and Chen (1976)

燃焼する液滴 Burning droplets :

( )

Re f C_D =

μ

ρ

Du_r = Re

( )

T g =

μ

(

_{c d}

)

d f T T T T = + − 3 1

燃焼する液滴または蒸発する液滴

(

)

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + = _c n D b C Re 1 Re 03 . 0 1 Re 1 . 0 Re 0545 . 0 1 Re 24 2 1 Law (1982)

Annamalai & Ryan (1992)

Re 4 . 0 077 . 0 09 . 0 + − = e b c = 0.4 + 0.77e−0.04Re

ν

Dw n = Re ν v u D r − r = Re Re 4 . 0 077 . 0 06 . 0 + − = e b Nakamura et al. (2005) nr w

u

r

v

r

D

蒸気の速度 vapor velocity

揚力

const.

2

1

2

1

_{2 2}

=

+

=

+

v

p

_∞

V

p

ρ

ρ

V

V

∞

p

∞

p

ベルヌーイの定理

p : 小さい

p : 大きい

v :

大きい

v :

小さい

揚力

(lift forces)

揚力

(lift forces)

粒子回転 (particle rotation)

の原因

流体の速度勾配

velocity gradient of fluid

粒子間衝突、粒子と壁の衝突 サフマン揚力 ₍₁₉₆₅₎ G Saff D u v F =1.61

μ

r − r Re _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = Ω = dy du D D G ν ν 2 2 Re r v u ur_r = r − r y Saff F 揚力 D F 抵抗 条件 1 Re = − << c r v u D ν r r 1 Re_G << G r Re Re <<

(

)

c c c Saff v u D F

ω

ω

μρ

r r_r r r _{= 2} − × 61 . 1 r c u r r _{= ∇×}

ω

サフマン揚力

Saffman lift force

マグナス力

サフマン揚力 の拡張 (Extension of Saffman lift force)

サフマン揚力 の拡張 (Extension of Saffman lift force)

条件 1 Re = − << c r v u D ν r r 1 Re_G << G r Re Re << 条件 1 Re = − > c r v u D ν r r 1 Re_G > G r Re Re > 40 Re Re 0524 . 0 40 Re 3314 . 0 10 Re exp 3314 . 0 1 2 1 2 1 > = ≤ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = r r r r Saff L F F

β

β

β

4 . 0 005 . 0 , 2 − < < = ω β β v u D _c r r r Mei (1992) McLaughlin (1991), Dandy & Dwyer (1990)

v u ur_r = r − r y Saff F 揚力 D F 抵抗 マグナス力 (Magnus force) マグナス力 (Magnus force) サフマン揚力 v u ur_r = r − r y Saff F 揚力 D F 抵抗 マグナス力 粒子の回転 = 流体の回転 粒子の回転 ≠ 流体の回転 u c d r r r _{= = ∇×} 2 1 ω ω r_d ≠ r_c = ∇×ur 2 1 ω ω

マグナス力 Magnus force マグナス力 Magnus force u d r r r r _{= − ∇×} 2 1 ω ω

(

_{r r}

)

c Mag

D

u

F

r

=

π

3

ρ

r

×

ω

r

8

v

u

u

r

_r

=

r

−

r

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ×

=

r r r r c LR Mag

u

u

A

C

F

ω

ω

ρ

r

r

_r

r

r

2

1

) ( 4 2 _投影面積 D A =

π

揚力係数の定義

Low Re: Rubinow & Keller (1961)

( )

Ω

= f

C

_LR r d u D r r ω 2 velocity) l (equatoria parameter) (Spin = = Ω = 粒子流体相対速度 周速度 スピンパラメータ

Ω

= 2

LR

C

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = Ω = dy du D D G ν ν 2 2 Re r 140 Re = − < c r v u D ν r r

揚力係数 (lift coefficient)

揚力係数

(lift coefficient)

Oesterle and Bui Dinh (1998) Experients in Fluids, Vol.2, pp.16-22

[

0

.

5

,

0

.

5

]

min

Ω

=

LR

C

Tsuji et al.(1990)

Ω

= 2

LR

C

[

0

.

5

,

0

.

5

]

min

Ω

=

LR

C

r d u D r r ω 2 = Ω

(

0.4 0.3

)

Re

Re

05684

.

0

exp

45

.

0

Re

Re

45

.

0

_{G r} r G LR

C

_⎟⎟

−

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

Ω

= 2

LR

C

Rer <1

トルク

粘性流体中で回転する球 に働くトルク 粘性流体中で回転する球 に働くトルク r

D

T

πμ

ω

ω

:

3

Re

low

=

−

a

D

=

2

r d

u

r

×

∇

−

=

2

1

ω

ω

Happel & Brenner (1973)

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

=

ω ω ω

ρ

ω

Re

Re

2

1

:

Re

high

T

_c

a

5 _r2

C

1

C

2 20 Re 10< _ω < 50 Re 20 < _ω < 100 Re 50 < _ω < ω Re C₁ C₂ 32 . 5 44 . 6 45 . 6 2 . 37 2 . 32 1 . 32 Takagi 32 Re_ω < 1000 Re 2 3 < _ω < ω Re C₁ C₂ 0 9 . 12 π 64 4 . 128 Dennis et al.(1980)