成
算經
大
巻之十八
病題定擬
巻之十八後集
病題定擬
關孝和
建部賢明
建部賢弘
編
二〇 一三年 小松彦三郎校勾 大成算經卷之十八 後集 病題定擬 凡題之病起於辭者或失起術之正或晦所爲之理 是以不論數而正其所言起於數者或亂答數之眞 或爲術式之煩是以不論辭而易其數皆全題原而 後施術也 轉題第一 題辭者隨象形有定限矣若其辭虧于限則不能施 法術也蓋有本所言不足而虧者有前後理不通而 辭也其添法雖本無定範視前後之題巧與本辭之 所言各察其正變同異而可添之只要無過不及之 差矣 如是形者本11畫故以11辭爲限今所言由虧 一辭不能施術故視後題辭和于而添一辭曰 如是形者本111畫故以三辭爲限今題中因虧
亭干若 反于 又云縱橫差 是添衹云辭之下也 假如有人買羅綾羅若干只云羅尺價多如綾尺 價陼間羅尺價 如是象者本四品做以四辭爲限今所言虧-! 辭故準本辭之所言而添-一辭曰 若干 是可添只云辭之上也 es@ m 假如有圓田一段直徑賃云周穿上廣 如是形者本雖爲六畫依徑與廣相通且應準 以四辭爲限今題辭雖應于限不菩高下, 故術 中無當承報之理而自似虧辭是以易舊辭之 名曰 是改舊 名也 假如有綾不知其數衹云每尺價銀二錢又云每 銀三錢換綾一尺五寸問綾數 如是象者以二品爲限今題辭雖應限所菩之 兩數其理同而相混爲一辭故添辭曰 是添衹云辭之上却削又云辭也
干若 而者本于題 題辭過于象形之定限者共用之則有起術數條也 其辭有本盈者有理遍通于諸數而自盈者皆隨其 之同異而大率不拘所言之難易可削最末之辭也 假如有平方積
斜,
,問方
如是形者本-畫故以一辭爲限今因題中言 其一據積得 11辭共用而施之則有起術11條 得式者並同是皆術中用 ! 辭而得方故徒術-辭也 辭 若 以宜削末 假如有人出銀, ,買米衹云每錢米與買米和共 又云買米取八分之三得數多於每錢米 買米 如是象者本11品故以11辭爲限今因言三辭 其一據銀與衹云數得式其11據 銀與又云數得式其三據衹云數 有起術111條 與又云數得式者並同皆用二 辭而得買米故題中衍一辭也 辭也 如是形者本三畫故以三辭爲限今題中因一言 其一據積與上方 和及下方高和 五辭共用之則有起術十條布共 故並數布施 相 者 又匹若和カ三ミ術 及與 式 之本 云 中是式 徒皆其 旁 畫 故 以 四 據得 積式 通 于 諸 式却 如 干若 問積 衍隱者多和高與其却 三據得 辭辭布式 以 丙二見並得及和少五 自 爲 方干若平 也用各其多少及積式 是隨十得如却與其 以其據式得多下四 宜題下其式得方據 得衹 衹 丙方 各 數絹數據 且及與得絹-削又 末云云其布若 云又數數二 一式 干若 八其 得式其二據積與上方高和及少如得式其111 據積與上方高和及却多得式其四據積與下 方高和及少如得式其五據積與下方高和及 却多得式其六據積與少如及却多得式其七 據上方高和與下方高和及少如得式其八據 上方高和與下方高和及却多得式其九據上 方高和與少如及却多得式其十據下方高和 與少如及却多得式者並同各隨其題中所據 之先後雖有術理之隱見皆用 三辭而得上方故徒衍11辭也듯レ 佾オ 云 一一辭也
甲方|
假如有甲 等只云甲 丙丁平方各一每方較 積和 隋丙丁積和, ,又 N R 1ERI
1云四方和 問甲方FR]
丙方 丁方 如是形者本四畫故以四辭爲限今題辭雖應 限依同差之理旁通于諸方自盈一辭若依舊 其一據甲 積和與丙丁積和 得式其二據甲乙積和與方和 得式其三據丙丁積和與方和得式者並m ii 以 同皆用三辭而得甲方故題中衍 一 辭也宜削末鷺也
假如有絹若干布若干衹云以絹換布以布換絹 共得若干又云換布少如換絹若干問對絹一匹 如是象者本四品故常以四辭爲限今所言雖 應限因相換之理乘除互相通自盈-辭若依 舊辭而施之則有起術四條其云數得與其及 據絹與布及又云數得式其三據絹與只云數 及又云數得式其四據布與只云數及又云數 得式者並同是皆用三辭而得 所問數故題中徒衍 -辭也 是以宜削 辭也是之 依而 數費 徒言 則 之共 得價改一乘之數故,,損之 問箇 干若 干復中之 舊數得巧 干復其數圓共 而却原 改爲則 辭術皆 丙 改數顯 其是故 價干得餘式法-損其匹兩若 也盡一得分爲者去 三 曰費其 馬 開無數乘數數之復 層題第三 題辭漫成諸技而却顯其巧者悉得全數于題中是 徒非無術理之用亦費所爲之功故各去其技而復 數于舊若題中以箇數相兼損益而言者損一次之
技故兩數相減依其餘難,
,
,,爲加爲一偏之數故各加一而如前得等數約之却各減一蕊,
,
方乘數,
,
nce
而後各宜改題辭也 益數餘者爲 若取數分繁者成乘除之累故卽依約分法得等數 而沿之若爲實所開之兩乘數重者倍得式之定乘 若實數 盡者無 自乘之技而爲開方-偏之乘數開數盡 者無開方之技而爲幾自乘一偏之數也 得實及開 舊而用之 假如有馬若干牛若干共價自乘得, ,干只云馬 牛匹價差爲實立方開之得, ,問馬匹價 如是題者開方數於術中無所用自乘數用之 則有倍定乘之患且兩技之巧自顯故還其原 開方數平方乘之則於題中得全數是皆費所爲之功也是以各去兩技//而改其辭曰
復數 干舊共價,
,只云馬牛匹價差,
,
據此辭可施術也 假如有圓內四斜衹云甲斜內減11箇 若一勺料 余力丁斜四因得菌圓徑
如是題者每斜所言以其數還原則皆得諸斜 之全數于最前故徒非失其巧却爲術首之煩是以各去加減乘除之技,
,而改辭曰
復數 干舊云假 上如 題重 若丁斛 據此辭可施術也 假如有圭積 只云長益八箇而損五 如是題者所言益而後損之技及術中求長而 益數即改辭曰 據此辭可施術也 假如有金銀不知其重只云金取一千六百五十 九分之四百七十四幷銀共重艾云銀取九百 八十七分之三百二十九并金共重闆金重 如是題者前後各分數繁而致術中乘除之累 乃至得式而法實各有七 萬七千九百七十三之過 故先金分母與分子 分母與分子互減得等數三百二約之得銀取 三分ㄗ 衹云金取七分之一-幷銀共重 又云銀取三分 據此等辭依舊各可施術也 與中廣自乘爲實三乘方開之得數相
實各 干若 干若 如是題者又云前後實與開方兩乘數各繁而 倍術式之乘數 至得式增於 故先前實乘數五 實六 得內各減一而實數餘-故爲一次自乘開數 盡故無開方之技又後實乘數-與開方乘數 卽改辭曰 又云上下廣自乘數與中廣爲實平方開之得數 據此辭可施術也 反題第四 題辭遺要旨者乖正理者皆晦術中當爲之理也凡 除者定異得商之法實減者本多少不具則必分餘 數之內外是皆自然之理也若誤而不一言其要不稱 其理則雖起術未知所爲之適從也是以宜定理之 所從而更其辭也 大頭 如是題者前辭兩頭己大小之形相具故不 多少而自宜稱差後辭大頭與長其形本無長 短之論今誤而不言兩數之多少故及術中求
不因 言言臺 若假 又如 云有可於頭及日 文若文 數 只 云 干若 干若 外數與 與臺術干若則干若多減 少而更辭曰長多大頭少則 若長少大頭多則 據此等辭可施術也 又云大頭多於長 如是題者臺高與上下徑其狀互多少不足今 先辭者因言總數術中當減之技自顧後辭者 因餘數不言內外不識孰多孰少故亦難辯加 羚力 減之理也是以定所減之內外而更辭曰以高 減下徑則 若高內減下徑則 據此等辭可施術也 又云高多於下徑 假如有錢若干買瓜桃不知其數瓜一箇價, ,干 如是題者商數誤而不言孰除之要故法實難 辯而不知商與果相乘之理也是以定其法實 而更辭曰瓜爲法桃爲實則
ilfi 可積爲如 施干若是方 理所故言 問假 圓如可長 徑有用得 衹云以瓜除桃得 兆寻若干 桃爲法瓜爲實則 若干 據此等辭可施術也 問平 如是題者誤而所除之法實與商名相牟盾故 未知孰是也是以定所從之理而更辭曰從法 實之理則 只云以長除平得小平, ,
若從商名則"
圆 徑 如是題者所言之數方大圓小而非錢形狀與 餘數不稱理故定所從之理而更辭曰以形名 爲是則 若以餘數爲是則 據此等辭可施術也背者 加 則各相爲於同級辭皆加自互 以相反限次異相無用多傍 主幷之視上相對之之少書應 書之 覆 數以與化 者數以 爲與 自 若 而異號至如上於餘數出其下則 數 虚題第五加辭 得式而後開除之無商者有負數者得數背者皆不 能得眞數故屬題辭之數亦加辭于術首而釋其 背限也是故先視眞術式傍書自得負數之後者却 實隅異名而傍書正負各1偏者定得正商故極數 無之或同名者或雖異名該反瞿之理者皆依數有 不得正商故定題中可者中乘數最卑者 擇前後各同號術 求極數也 盡方級法 據適 難據者據實級相反也得傍書式又據象 各承原式正負而求之. 形于極 亟依題辭難據以諸數之所化1帏諸數皆 輒難起術者 諸 若諸級傍書皆與前求式相同 者極數全等故以先所得式用 擬眞而依 虚術求之徉 之後求者 不用也 得傍書式 於是先用題數各爲諸級數而開除之得
乃極數却有背限各與題數相較之,
,
as FR 舊數多 極數 之中者不用也爲應己上爲背少則
數又以所者傍書商名自傍書式下級各如開出 法命之得變式於實級各加多少相反之辭若極數 極數己上爲應舊數少則互課應背之多少而其 數背則應者皆無2. 2諸商悉視變式餘 數之正負自下至上各同級相對而擇遍異名者於 其級又加一辭若諸級皆同異相交則先起於隅上 級視異名其餘同名者又於次上級視異名逐上如此以旁通于諸盟
式者爲限視變式傍書自上至 下各於所用之級加應背相反之辭皆以所之號 乘數最高者爲主而同名各相幷爲主數與其餘異 名相并數相减之增而應則以主數少者爲背損而平 應則以主數多者爲背也 無商者 假如有直積二百三十寸只云長平和三 尺間平
得平術用題數得式0-
"--開之無商
先以題兩名視各級傍書立天元一爲平。以減和餘爲長11以平相乘爲直積0E
積 和寄左列積與寄左相消得式|
1st |& 視諸級傍書據, ,適盡方級法則和 者術中有 自乘之技而乘數高故卽定眞而用舊數積, ,者 却乘數卑故新求極數也立天元一爲積。1又爲負實,
,
MM-以
廉相乘四之得。1寄左列和爲正方E
自之與寄左相消得式T
式負 又據平長于極則長平相等而其形爲方衹云數卽爲-画長平也
平于極者平盡而爲 一線形 求積則爲空故不能據之立天元一爲積01四之爲四段積01寄左
列和爲1 1箇長亦爲一画平E自之與寄左 相消得式EⅢ是與前全同故不用之 數 定和111尺而得積冰. 卞程二十五寸 術曰視前段式傍書和自乘得九百以四 除 無商者負商者雖得正商用其數驗之有負 數者得數背者極數無之若有變商者驗之實 。 . 面假者 與如無1 帮 11 -T 11Hi上。 實廉 商| llll 相半也和 書段-乘梭 冪積而者 段--1希 三廉隅目 又 位三相 相乘乘云此爲再數求適闊得之式 爲無少下 無商商有 冪+-數也空自。又盡式兩Ⅱ 共相四百倍後其乘1云 只 寸云 問積 負於商商相實個也 極如下則 數此無至 之以傍下分 主積書 入 己數商則多 己 又有主四日 也有 目以 故廉冪 無商者有負數者得數背者不用之應者皆用 之最少商己下有商則至次多商無商至亦次 多商有商最少商己下無商則至次多商有商 至亦次多商無商逐如此無商有商相交也 淂穨11佰11 十五寸爲 加辭
左,
商己上無商積,
,多於和冪
者無商也2. 5分也後傚此旧 術曰以積傍書而爲商 命傍書式正方四口 實而得l is L 積故於實級以積 正爲主與 和冪, 負相減之主數少而有商 變式〈
假如有半實云積加入闊共五寸又云
\ 面與闊相乘四寸問闊 如前傍書題中之 名而先得眞術 視式中傍書據方乘適盡方級法則乘數無高下 故以衹云數定眞而求又云極數也 立天元一爲又云數。1自之以減衹云數冪。1再自乘之以正隅-冪
雌 餘爲正實 當其級而乘者皆爲空其餘遍目毛二百五 省隅而用之故知此也後傚之木,十六段
空故 相乘ri。H
。目只云數倍之爲負方
自之以 六段相1-T寄 前得。 1ド11, -Ta: 乘又式一方平101左1式 左自數 術和 式式以 方實 自 段- 次與云 Ill- 分之左 00也云之後等兩也寄變相。之 式視 方三乘冪隅相乘1:計e-r方冪上廉再乘冪 與寄左相消得數遍下- 01-以一十六約之得式
T
又據閣長于極則闊與半長相等而其形爲半 方口45數卽爲闆與闊冪和又云數如舊以之輒 闊于極者 闊盡而爲 難得式故皆擬眞而立虛術于闇求之釪TE
一線形故兩數共爲 空是以不能據之 只云數有 又云數有立天元一爲闊011自之爲積00-加闊
。11寄左列只云數與寄左
爲只云數 十三 面冪0。1以闊冪相乘爲又云數冪。。
。。l
l寄左列又云數自之與寄左相消
得後式|
&。。。1以前式11次疊之變爲
前後同級妤式而後求換式得 ht-T菸是分寄消 30而起術也 TETEの 維乘 只巾一只 得八位以 11一式方乘一 中傍書兩名 11式實得 乘數各等故 三位傍書| ie1不論先後且 H| |ド同名相加 --隨前段之所 異名 相減 卽定眞也立天元一爲又云數。-三自乘,
。。。。
只云數三乘冪,
,-11位相幷共得!。。
段二 及實只曰 。 與11 式寄三又 相只三段四五寸 共數冪諸 三 得三段一級 又 百三乘相傍 不二。如至多者之其其疊二百只傍爲爲減 11IT"
Il
all冪數 萬冪井書 寸五段十百一云 正只十五五 段八 毫 段四 級次冪 六六一 空廉十二爲段十 闇 各 及千二也相乘81。。T"又云數冪
只11T T' 位相幷與寄 左相消得式 | 數 定只云數五寸而得又云數無商極四八强六釐 長于極四寸五分三 釐七毫八0四强 術曰視前段式諸級傍書只云數五乘冪. . g-t 六段 二十五萬。六 目キ旦 段木ヂ、谷-百二十五寸 負實空級衹云數三乘冪 段及1箇相幷共得! 叶與只云數冪11 仗次廉 級空 十四 四十 九 一一,TE爲負三 以一十六爲正隅五乘方開之得又云 廉 級空し 。六釐11 este 此數己上有 毫二。八强得!
又視後段式諸級傍書只云數三乘冪 五百爲正實空級只云數冪, ,與只云數 11箇相幷共得 下廉 級空 一百四爲負上黑,
,以1爲
正隅三乘方 先依疊商術開出冪數 日 -無商 者負 对111(W / 開之 而視其變式之正負也 商者雖得正商用其數驗之無商者有負數者 得數背者極數無之若有變商者驗之無商者 有負數者得數背者不用之應者皆用之最少 商己下應則至次多商背之至亦次多商應之 最少商己下背則至次多商應之至 亦次多商背之逐如此應背相交也 得又云數 多一十一寸。一釐八毫五三五微弱 や少四寸五分11釐七毫八。四微强 驗之多數者背故不用之少數者應故用之爲冪冪 六一段八 段-. 只又數 云云冪冪段 段 數數又段四三數冪1,又 冪冪云又位三段-又云 段二段二數云相乘五云數 只三冪 冪云 至至以 宜 相 又應 而空 逐級 商而相也有并相書傍辭無空 箇四 段四冪 及數只段--商數少六一段十 箇 數位 又只 位云云并 數數數 孟三又又相 云云云 相數數數 三五三 闊長 于極數此數己上相背仍此數己下至 無商極己上宜又云數也 加辭
只云數三乘冪又云數冪相禿賀云數冪又
云數冪相乘二十ㄡ云數五乘冪た 計又云數111 乘冪队又云數冪 五位相并數少於只云數五 乘冪-) 衹云數三乘冪貫云數冪又云數111 乘冪相乘 三位相幷數者無商也 只云數三乘蕊又云數三乘驾 1 1位相幷數少於衹云數冪又云數冪相乘贺云數又云數
冪相乘趴又云數冪a n -11位相幷數者 又云數冪度多於只云數冪覧云數
及一箇三位相 e四十 十五 并數者長闊相背也 式以又云數ER
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||依無變商於實級加1
冪傍書而爲-of f-o ff- T-爵又云數故視又云 商如開出法一11噩傍書乘數最高者正五 自隅命之逐|T-
JE-莅相幷爲主與負三位
上至實又以下in
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商命隅逐至 方復命隅至1ド 廉而得變式一罪 又視後段傍書式亦夾空級故縮之爲平方式 以前商數一, ,自廉至實而逐如前命之得變式 而有商故以少者爲無 商也據 價 反米麥如 而正!
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in Tri,哪絲1x 1111! 價與 于寄 只價 云術和三負應爲名少負傍 數用 則負,,背相數 則相列 麥消共 米數 斛得價。 麥數錢五 得問 價式米 | 1滷 爲11麥1米1相麥米 *:" 色之數書11米1麥 之又依多并 主云餘而爲 ll lis-有變商而背故先於實級如前以又云 傍書乘數最高者正11位相并爲主與 lis T-一頁三位相幷者相減之主數多而應故 少者爲背 又視方級 依餘數異11
기 舊上 礻フ 幺 廉也 多商爲正 少商爲負功力 約之 一位爲主與負三位相幷者相減之主數少 方級 爲負 應故多則 有負數者 而 却背也 貝正去T 假如有米三斛麥五斛共價銀一百五十錢衹云 米麥斛價和六十錢問米斛價 得米斛價術用題數得式E1除之得米斛價H o 鈺反減衹云數得麥斛價: 斗覓負一十 五銭 十六 傍書題中之諸名而先得眞 ! ,求麥 是雖得負數于 E斛價1H 後却先求之也 此式本無適盡 方級法故 均者爲限而不及求式也無所求之先後故 又據米斛價于麥斛價極則1 1色價相等而只 云數卽爲-一箇米麥各斛價也 立天元一爲衹云數亦爲11箇米麥斛價。 以米相乘爲11段米價01列麥以二箇麥斛 價相乘爲二段麥價0 11位相幷爲11段共價。놋寄左列共價倍之園
賈涪ㄣˊ價米 與寄左相消得式 | |e 復據麥斛價于極則麥斛價盡而爲空只云數卽斛負 商名術於云云 下極錢三又也交 故者曰共數數 互數百視只 少位正視價米米加 相此得中云 者一眞段ニ相相辭只應數只段數 有爲術者乘乘 云己己-式錢五 負主斛求斛段-數 數下上數傍+ 數與價麥價只少 也相斛錢三書爲 商亦用之有無術價商米 書 式 乘立米 負多最商數者視極五斛 同11米1共元價 次負己負數者式七米斛 也負式相云 位-實背數 相級也麥 減 相 之只 乘 亦式1米只卽 故只左數米 用數列爲也 與價斛 背價五十以負 商少無者者得書五價價 有商負得極正以分 負己數數數商米麥百 云 亦價 此爲麥極 數米相數 己斛幷 上價數己 至于斛八上 負麥除有 商斛倍負無 極價共數 如有至者之其除 此負次不若數共 負數多用有驗價 數則商之變之十一 有至有應商無錢百 無次負者者商 相多至皆驗者 前與價 數數 二 多故位 反實左 | 老 乘 幷 正其 數 五 己 價也 傍得相 恭米 數 定米三斛麥五斛共價一百五十錢而得衹云數 負商極五十錢米斛價于麥 斛價極三十七錢五分 術曰視前段式傍書以米脂除共價+-顯五得 無商者負 者雖 有負數者 之無商者有負數者得數背者不用之應者皆 用之最少商己 次多商 十七 此數己下無負 數己上有負數 三百得 云數 極數 下互只云數也 加辭 云數米相乘數少於共價者有負數 只云數米 多於共價 衍, 求麥 斛價 名者 而得
最諸 麥52 1米531 故傍 1米1 十 不則式與七二 爲只 ,,乂 云極 數數適眞| 亦也盡術| | 反1 1干1冪乘寄上負相 又云多爲於 | IET | 得1 八百 二廉 再段ニ實乘ス 實技兩法11 11 加減背負視 冪 。上相 | 自 | | | 云 -一寸 llll!'乘相。隅箇 二十餘 主數 又以衹云數爲商命中段傍書式下級加實而
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the只云數故於實級視傍書ロ 45乘數 變i --M正一 一位相幷爲主與負一位相減之主 式啧一一數少而應故多者爲背也 假如有方壔衹云積內減四十八箇高餘 , 一百八十四寸又云高加入方冪共二十 區 六寸間方 得方術用題數得式H il1-T
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以正隅 冪 數正方嚷又云數爲負上唯實方冪上廉隅 相乘+-0雕實上廉三乘冪相乘た 針。 ㄒㄧ三位相。, ,。目寄左 實冪上廉冪隅相 而用之木 、十六段 1 共得 乘+-冪隅相乘, 1iF方冪上廉再乘冪相乘
111位相幷與寄 左相消得式 十八段 四嘿 又據方于極則只云數反爲負據高于極則衹云 數爲空故各不能據之 數 極 定又云數11十六寸箇數四十得只云數 負商 九寸式變得之命 又再加上 云乘 爲內減 商負之餘二爲+-冪又數 數之少隅段二段十數乘 有負寸方百八千,數七-二 再十二 故驗得八千六十乘五一 用之又寸五十一十一萬千 件, 加依故故者正云下 冪冪段ー 段一七二只 , 二視少相三數級 遍先 式無 視 術曰視傍書式諸級又云數再乘冪箇數冪相 二十余一千八百六十 段能五萬三千一百 八十 四寸 一百四 十四段
爲正實又云數箇數冪相严皕細,
TE
爲負廉以 各驗之多數者無又云數三乘,
計餘千五
一十余一百三十一萬 百六十寸 四爲負方又云數冪.
VE 得 六千五 二百五十六爲正隅立方開之得又云數11件 多三百五十二寸少九寸兩k h 十八段徟百二十八寸 數各註變式餘數之正負也 正商故不用之少數者有正商故用之爲極數 此數己下無負 商己上有負商 加辭 衹云數再乘冪+2 -R A只云數又云數三乘冪相 乘-計又云數再乘冪箇數冪相乘翾三位相幷 二百五 六段 十九 數少於只云數冪又云數冪相乘AT賀云數
又云數箇數冪相乘+-皕齧數三乘冪に計111 位相幷數者 只云數!盼多於又云數冪, 者有 十八段 泪兵一百四 負商也 術曰以只云數爲商如前自傍書式下級如開 出 THE FF旧�於實級加-辭只云數故視迭-pe
74干
只云傍書乘數最高者正三位相 爲主與負111位相幷者相減之 之一干H il 賣級主數多而有正商故少者無 正商也 變多商件背故視變式 依二級皆 贾名於廉級不用者亦加一辭, , 53巾又 문 XR J礞巾方廉餘數:
少商者各負術前 闊求 闊 ill1 1鬧上只得 外, 以一百二 十八約之D , 以只云乘數 爲主與負 相減 之廉級主數少而習正商故多則EA却有負 商也 得數背者
や
1假如有簫上闊1尺11寸內斜一尺五寸 嚁 長 ayi 只云1 1箇外斜與下闊和1一尺三寸間下 得下闊術用題數得式I H111開之得下聞,
,, IITE 二分八釐七以減只云數餘半之
11寸三 得外斜分五釐 六毫三 ㄗ / 五弱 止 111此數却少上下半闊差 先如前傍書而 re得眞恋下式,
,
視實級傍書異名相交是依數之多少自有正負 相反之理 無商極也 實反而與廉同名故據適盡方級法求 立天元一爲只云數。1自之內減四段, 内斜冪餘爲正實01以正廉相乘得
寄左列只云數內減倍上闊餘爲半段負方 ー11自之與寄左相佣| 消遍以四約之得式 肉 -内巾 又據上闊下闊于極則上下闊相等而爲倒形 之直外斜卽爲長衹云數卽爲11箇長與上闊和 立天元一爲衹云數。1內減上闊餘爲11箇相內1元-斜于TIA 11h1 1 11左 ! 叫 得四入爲上下則1 式之倍只闊半 數內 爲斜 與之云差闊 111内114上數也和 二一 四二 寸尺 四加 極得 數內 上上爲負減也得與己己尺三爲內商有之冪 汭上 斜闊 11上爲 云 數 卽 上 只 下己之 得也 -冪 數冪 云 十 幷 闊上 左下 箇 長11自之加入四段上闊冪爲四段, 内斜冪 11上
1-1寄左列內斜自之得數四之與寄左
得式,
,
又據長于極則長盡而爲一線形故上下半闊差 卽爲外斜上下半闊和爲內斜只云數卽爲一1箇
下闊與1箇上闊差也 立天元一爲只云數0-加入上闊爲11箇下闊1
1加入倍之上闊爲四箇內斜肚-寄左
列內斜四之與 寄左相消得式 ijn 數 定上闊1尺11寸汭斜一尺五寸而得只云數 下闊于極三尺 長于極11尺四寸 術曰先視前段式傍書上闊冪與內斜冪相 三百六頄扐以上闊1.
1帆除之得只云數:
三尺 得 分五爲無商極數 此數己下有 又視中段式傍書內斜冪詍, 5%上闊冪旺餘 十百八爲負實倍上闇 爲負方以1爲正 十寸 廉平方翻法開之得只云數, に爲上闇下闊 于殛數 此數己下兩闊相應己上相背也於是 卡 髮視無商極數在背限己上而雖得正商 相背故 不用之 復視後段式傍書内斜四之得內減四之上閣 此數己上得 柯寠長己下不得 四寸皀拜段四 書方 偏1 111積11別 而1 1401, 1帮1數式 寸積不負加後與又 此數己上至上闊下闊于極己下宜 只云數也 加辭 上闊冪胚只云數冪d el l位相幷數多於內斜冪 EL E上闊只云數相乘d el 1位相幷數者兩闇相背
只云數,
與上,
相幷數少於內斜
者不得 長也 術曰以只云數爲商自中式傍書式下級如開 出法u m , H -11依無變商於實級加一辭只云 之 藪故視傍書乘數高者正11位相 得變 | |拜爲主與負11位相幷者相減之 式|-|
| |主數少而應故多者爲背也 二十二 變ㄒㄧ菸實級又加辭視衹云傍書正-一位相式タ
一并爲主與負一位相減之主數多而得 長故少者不得長也 假如有方臺積二百五十四寸只云上下 方和一尺三寸又云上方多如高一寸問 高 上方 七得上方術用題數得式l
ki--開之得上方
以減和得下方 此數却少上方 先如前傍書血ー|
得眞術求 lte 視式中傍書負-偏而無實級反覆之理故不依Te | T1爲 減積 數之多少而得正商是以不及求極數也 又據上方下方于極則上下方相等而其形爲 復據高于極 則及求積而 方壔故只云數卽爲11箇上下方也 爲空故不 能據之 乃視題中若求于衹云數則係 術中之技而爲再乘式其餘兩 立天元一爲積 數者各級數卑而得撞 除式是故先求積也 1寄左列和卽爲11箇下方亦爲11箇上方 八之爲八段積。
E內減倍之多E以11箇髣冪相牌與寄左
如餘爲11箇高 乘亦爲八段積 相消得式鄅Ⅲ
數 二十三 上方下方于 定和一尺三寸多如一寸而得積 寸三分七 釐五毫 術曰視實級傍書和--U R 內減多如冪相乘得,
以 餘以和 八除之得積11 ,二百三十 七釐 尌爲上方下方于極,
,201
五毫 相應己上相背也 加辭 積队和冪多如相乘 权-一位相幷數多於和再乘 冪者上下方相背也 術曰以積爲商命傍書式下級加實而得變式 E-積故實級負一 一位相幷爲主與正一位 11--租減之主數少而應故多者爲背也而書名先同是以變別不得題 上隅遍 辭 變至如上異數得之于應者易加 極求 極依數 以求隻級 而辭背 同 爲也視上異級得也數答 開出商得數件者各隨問旨驗之或有負數者或得 數背者不爲變應者難別眞假故若用舊數則定答 數之眞別加辭于題尾而使變數反其眞若易舊數 則或使變數無之或雖有變背之皆依時宜用之也 是故先以分術得式傍書商名如開出法盡實而得 變式於是用舊數者各註變式餘數之正負擇諸級 中眞假同級遍異名者於其級加辭若每級皆同異 相錯則先於隅上級視異名其餘同名者又於次上 級視異名逐上如此以旁通于諸變式者爲限背視 變式傍書從下至上各於其級加多少相反之辭也 易舊數而爲無變者或變式各級爲空或帶數而爲 二十四 無商是皆斷後商也有變而爲背數者於變式中得 一件商而後至再變或各級爲空或帶數而爲無商 是皆斷再商也是故爲無變者各級爲空則視所言 諸數之名 皆爲傍書 式故直起術而求 一 數變商11件者盡11級而得11 凡題中帶數者悉以號之如象形本具名 及取諸分乘段數之屬各有增損之理故
之號也,
隨變商件數定所盡之級,
,
件者盡 而求三數也累上傚此術自方級逐下至其級各均 求難數者依數無交雙級者方級爲空作隻級而後 數爲背者據象形于極者依數無難據以眞 一級而得一條 條式故以一次虚術求兩數變商三件者盡三級而 正負兩數// 各級爲無商則變式隻級者便據適盡方級法 若級中正負一偏具 無 自盡之理故不能得者無而得式求極數 直起 得一式又據方級正負等數得 一式而後以虚術求兩數也拜 得式求極數變方閣闊右消與餘得。尺尺內111 左右--而式左長以以寸寸求 九 式後以 商 數察得商于超術之前 兜ㄧ�ㄣㄧㄙ刂若難察者先假立于商擇題 月中所爲速而乘數最卑者別 得次之式, , SE後至再變各級爲空則術中假爲 一次之虚術也 據極者變數多眞數少而定得正商 1111 ..n T據于極者變數少眞數多而定得負商 是又每一級 得式故累虛 變式諸級而 是故變式諸級皆隨得商之参豕, 日刊 正負或依舊或反而用之也 術者 據開出法 mat 得式求極數再變爲無商則變式雙級者於最 上一級得商故便據適盡方級法法得式式而開出 兩數求隻級者於上二級互得商故一級爲空而後 虛術 得一式又一級自盡而得一式復據 法得1式以之累11次虚術而求三數 開出得式 求極數也 假如有半梯外斜一尺六寸內斜一尺九 寸只云左右闊和-尺八寸問右闊 二十五 得右闊術用題數得式Al lTⅢ開之得右闊 以 前五寸 右� 左闊一尺一寸 分術曰立天元一爲右闊。1以減和餘爲左
闊11內減右-自之得數以減外,
,
lis ill|&闊餘|
&斜冪餘爲長冪怍i
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寄左列左闊自ー11與寄左相嘺
lli得數以減內斜-は
冪餘亦爲長冪 命負廉111異減正方得 實恰盡復以商命廉同加方得 消得式 右闊而爲商| c以之 右,,-11又命
左閣正11 右闍負四 變式 力 拜左闊正11形商 前 外變 多數闊 極級 于負 斷 無 故書 若 于雖 負 正而倍也異倍 方反之 名 加右 故右 辭闊 於闊 法 是變 商定過 故 後 1010 二寸五 悉以 以 乖商定無有此闊 爲數 也而餘下半 極號 則無三兩者題極
11又以前後商各註
lis 變式餘數之正負 加辭用舊數者 前一。EA後,
AA
前數爲眞則 左闊多於倍之右視變式方級餘數,
,異名故於傍書式方級
前正 後負 遍以11口辛正多而反 約之 力隱于後負方-加辭 後數爲眞則 左闊少於倍之右闊 是又如前於方級預杉ef i版加辭也29 Ⅲ於問 之下分註 之也後 傚此 易數無變者 是變式斷商之法方級爲空者均正負而求之變 故定兩 題中雖 曰四號其兩斜 商一件而形名三皆本于長故爲一理也 二十六 數之眞而求一數之極也得據此法求者亦同之 數者隨變商件數盡各級故以眞變共件數與題 之諸號數相等者爲限是故若此題變商11件者 不拘于變式級數之多少定一 眞數盡11級而兩 極數是雖有餘數而得商各背之故不爲變也111 件己上者眞商共則其數皆過於題之諸號故無 定眞之物而不能起術若强定-眞而求極數則 變式自有餘數之級而得變商故極 數無之佗題皆準此例而可知之矣定左闊一尺而得舫,
,自右闊!
術曰視變式方級傍書左1,
正右,
負而
兩數均則相消自盡故 置左闊R -折半之 約之 此數上下皆 方級自盡極數有1級餘數 乃長及內外兩斜各於變式中無其號而 不係術理故極數無之是以別定其數也 易數有變而背者 是變式得商而後變再斷之法以其商求變數則長與 于左歸以餘 則相式廉負元而 變背:0三方-得以則爲 長故1相-。爲于變 眞變變 盡極上乘 ll右極右 而數實亦寄闊闊 爲無下爲左。右 闇極寸ニ亦 少之之無與正正一得 商有 而以闊爲 商餘 左右左右商 闊闊闊閣有 減盡于 變 之而極逐 爲其數 下數 無者者商 減之二云 之 于闊 之法負1闊 而方列四尺背 線 則數數 至背背得 次者者正式 寸二 右爲己數無 闇勾 己變 亦股有有至十商用數用llll亦內 爲只變無變 故得11闊 相左 隨闊 是變 有之無其上 變應 爲 減 爲此相商 據開出法求之若變數據左闊于右闊極則變 兩闊等而其形爲直衹云數卽爲一画變左右� 以之減倍眞左闊餘爲11箇方級商也, ,醴鱐 是變右闊 而多則 眞右闊自少而以商加之故爲正變左闊于而少 則眞左闊自多而以商減之故爲負皆隨眞術之 所得而定術中 得商之正負也 an d 右 變右闊
定左闊-尺而得
術曰立天元一爲右闊01倍之以減左闊餘四之爲二段正方,
,寄左列左闊內減右
闊餘爲11箇正商。1以負廉1:1相乘亦爲11段正方。l
l與寄左相消得歸除式-o
-上實 或無商或負商或雖得正商用其數 驗之有負數者得數背者極數無之 有變商者驗之有負數者得數背者不用之應 者皆用之最少商己下無變則至次多商有變 下法而一 二十七 至亦次多商無變最少商己下有變則至次多 商無變至亦次多商有變逐如此無變有變相 也 右闊 左闇于rea
極數
己 得右闊+-,爲變 變己 有變 又據右闊于極則變右闊盡而其形爲勾股只云 數卽爲變左閣以眞左闇減之為眞右闇亦爲方 級商也 定左闊一尺而得變極闊右闊-術曰立天元1爲右闊01四之得內減倍之
左闊餘爲負方。l
l寄左列右闊卽爲負商
。1以負廉-相乘亦爲負方。Ⅲ與寄左相
消得歸除式。1上實下法而一得右闊!此
數與左闊相背故極數無之 復據長于極則變長盡而爲-線形故内斜卽爲舊式再 羅數 至 爲闊 | 件二 各斜寸七一, π右寄數減右而闊 係雖爲得111闊位-11内闊得爲 其變變右與餘餘內斜。于變方 乘數式前錢錢共-111價 故中 寸五 負 右餘之 羅 綾 1 T 變。左 八也臨得數斜歸以再爲右1111闊 寸七 變左闊外斜卽爲變 闊差是故以外斜减內斜 爲變右闆以之減眞右閣爲方級商也 定內斜九寸外斜六寸而得瓒颧右闊幢左 變長
術曰立天元一爲眞右闊01四之得01寄
位列外斜,
,想以減內斜m
al餘爲變右閣
卽變 余左闊 卽變 加入内斜爲只云數 內減眞右闇餘爲眞 左闊11倍之以減寄位餘爲負方〒T1再寄 列眞右闊內減變右闊餘爲負商11以負 廉111相乘亦爲負方 與再寄相消得歸除 式訓Ⅲ上實下法而-得右闊 加入外斜以 得長 減倍內斜餘得左門爲變長于極數此數長 不 ,是內外兩斜雖變式中無其號臨求 己 得長 變數之期各係其技故却定眞也 二十八 假如有羅綾共一十五尺羅價三十六錢綾價六 錢只云兩尺價和五銭問各尺價 得羅尺價術用題數得式_- 11-11開之得罹尺價,以減和得綾尺價,
'皆適于共數也
罹尺價 綾尺價11錢四錢
得分術式傍書商名羅尺如前命之勸鷜n ie 賈 女1月 羅數則化 綾 羅 爲羅 價也 前一0一負一正 餘數後一0一正一正 方而得變式 一下下一 加辭用舊數者 前數爲填則 尺價相乘數 羅與綾尺價相乘數多於綾與羅術錢二羅 視 尺 負多而反 が 力紓于後正方 餘數異名故於方級 羅與綾尺價相乘數少於綾與羅 正多而反加辭也 視前後變式 加辭也 後數爲眞則 尺價相乘數 于前 易數無變者 變式爲空者方級均正負而求之變商一件而題 中象名四品故互定11眞而得一數之極也 綾羅尺價相乘正 兩數 均者爲限故以羅尺價. .乘綾
得.ll
︷以羅 二十九 上下皆 有餘數也 易數有變而背者 至再變而盡渚開盡方級求之若據變數羅尺價 于綾尺價極則變罹變綫各尺價相等故只云 爲一画方級商也 綾尺價負 變羅尺價于 斧綾尺價極 術曰立天元一爲綾尺價01以減羅尺價餘 -羅與綾尺價相乘數餘倍之爲二段正方方平 TA 件二
寄左列幷羅綾爲正廉
以11箇負商相乘 亦爲11段正方-IT與寄左相消得歸除式 上實下法而一得綾尺價錢1. 1故極數無之 又變數據綾尺價于極則變綾尺價空故只云數 卽爲變羅尺價以眞羅尺價减之爲眞綾尺價亦 爲方級商也 變綾尺 定羅五尺綾八尺羅尺價三錢而得體談綾 負 術曰立天元一爲綾尺價01以羅相乘得內 減綾與羅尺價相乘數餘爲負方 寄左 列綾尺價卽爲正商。丨以羅綾相并數 相乘與寄左相消得歸除式〒1上實下法而 卽正 三十 一得綾尺價錢八故亦極數無之651大,
得大方術用-TT to1開之得大方 假如有大平方小立方各一共積四 百四十九寸只云大小方和11尺三 寸問大方 以減和餘 皆適于共積也 得式--li
得小方 其餘雖得一件之最多商 驗之則背故不爲變也八寸
五寸小方11
大方k
二尺一寸 得分術式而後傍書商名, ,如前盡實而得變 方刻 變式前一。AEA 餘數後一0一正一正一負也法 數之爲應者無方則 而號 得而 視下則用 驗無與寄目 箇二 極廉 故有此得負方 數商 者或 得雖歸三相 數得除之 背正式加四 者商ell人之 冪 方反 高用欠數同 正而 前數爲眞則 大方 少於小方冪 視前後下廉級, ,各同名而無反覆之理故不
用之又視方級前後異名故於方級12
版 加辭也 負多而反大方,
多於小方冪
及正多而反加醉也 後數爲眞則 易數無變者 變式爲空者自盡方級而求之有變商一件而 形二名互應于限故 雖得商不爲變也若有變商-一件則依題中欠 ! 數無定眞之號而不能方廉一般盡之故不用此 而無自盡之理且有餘數而,,定眞一數而得!數之極也,
,
騬數高 乃小方 高 三十一 方級自 術曰視變式方級傍書大方故兩數相均者爲 限列小方に自之亦三之得數折半之得大方 11箇正小方冪三 亟缴此數上下皆 柆舆u 有方級餘數ㄝ 爲變式方級自盡極數 ,, 又變式爲無商者三級帶數故據適盡方級法求 之也歊 又術中小方乘數 高故卽定眞也定小方七寸而得,
,大方1.
1寸
無變術曰立天元一爲大方。1倍之以減三之小
方冪餘爲負方11以負隅1相乘四之爲正
廉自乘數--寄左列小方三之加入一箇
爲正廉-l自之與寄左相消得歸除式el lT上
或無商或負商或雖得正商用其 數驗之有負數者得數背者極數 實下法而一負爲小 尺 變多變商 式商最己 無有少下 商變商無 極逐己 數如下則 無此此有至 變數無變次 己己變則多 上下有至 方方 大 爲變眞小小大1變111餘1爲再得共 乘1大小等大等 四方空 爲六。 方爲 也爲 上下大再得 無之有變商者驗之有負數者得數背者不用 之應者皆用之最少商己下無變則至次多商 有變至亦次多商無變最少商己下有變則至 次多商無變至亦次多商有變逐如此無變有 變相 交也 雖有變至11尺 ! 寸己上者皆背形 챘\得大方一, ,爲變式無商極數 此數己下 婁無變己上 ,, 三寸 易數有變而背者 再變而盡者開盡方一級而求之若變數據大方 于小方極則變大小方相等, 故衹云數卽爲一 ! 箇變大小方以眞小方减眞大方餘爲1画方級 大小方各術中乘數相等而雖無先 後之異隨前所定而以小方爲眞也 變大方于 定小方五分而得慢 黺桁大方; 忖 11一寸八分011 術曰立天元一爲大方。-內減小方餘爲一1
箇負商-o-以負隅
相乘得-U
--,寄位列
五六强 三十二 小方六之加入一画爲二段正廉 加入寄位 爲正却以正廉加之士、斧111 乘爲四段正方H Ill--再寄
列小方自之得 數三之以減倍大方餘爲正方o d1四之與再
寄相消得開方式皿11平方翻法開之得大 亟散此數己下 三寸八分 毫七七五六强 大方于 無變己上 又變數據小方于極則變小方空故衹云數即爲 變大方以眞大方減之爲眞小方又爲方級商也 是又術中小方乘 數高故定爲眞也 定小方一尺而得變小方大方 帆 五寸 術曰立天元一爲大方01列小方三之加入lll下111上喔11 式 三分七分四 分二分六分九 分八分二分五
-箇爲正廉T寄位列小方卽爲正商-o以
負隅-相乘以減寄位餘
以正商相乘爲負 方1-0再寄 列小方自之得數111之內減倍大方餘亦爲負方11與再寄相消得歸除式i
-上實下法而一得大方
爲變小方于極 四尺 此數己上無 變己下有變 假如有方臺積加入111段高冪共五百四 十四寸六分九釐八毫只云上方與高和 一尺四寸三分又云下方與高和一尺四 寸九分問高得高術用11し
開之得高 以减只云數餘 題數得式Fi lFi
l-Ⅲ得上方,
却減又云數餘得 三十三 下方 皆適于共數也 五寸 九寸 ,, 下方七寸 高七寸 上方六寸 一尺三寸一寸.
依分術得式傍書商名高而如前盡實得變式 11高 變式 餘數 前一0一正一負一正 中一0一負一負一正 後一0正一正一正 加辭用舊數者加正各 段一 名級 段六上於中級數方 假必于商級 通後 相段-于正名與上上 定級起 於又 方視 於段--加廉名高乘上上辭級而中相段 段三 求以其變之高中乃 前數爲填則 上下方和多於高與段數相幷數
上方冪,
下方冪段上下方相乘,
高段數相
乘助四位相幷數多於上下方和高相乘 餘數與後 正異名, , 中者 而不反,,名
又 加辭 視前變式廉級 視方級正與中負異名故先於廉級 各111 約之力 正多而反口 于後正方 中數爲眞則 上方冪a -下方冪 上下方相乘 高段數相乘助四位相幷數少於上下方和高 相乘 視中變式廉級負與後正異名又視方級負與 負多而 反于前 前後, ,皆異名而旁通故 廉級 不用於方級,
,
後各 負方 三十四 後數爲眞則 上下方和少於高與段數相幷數 視後變式廉級正與前中, ,異名而旁通故 前ヰ負 於廉級正多而反于口-負 易數無變者 加辭也 前中各負廉力 變式爲空者方廉11級自盡而求之是變商-一件 言四號, ,肜�定11眞數而求兩極數故 ,, 中四 號皆於變式中遍乘于諸級且其乘數各無高下 定眞求極者皆無先後之論若級中無傍書之號 者以其數不能盡其級故定而爲眞雖然於變式 中得商者以變數求商于起術前故商中包其數 极以當 及段數 則臨開出之期旁通于諸級而自 有遍乘之理是以末必爲定眞也 一數 擬眞 先於廉級 幺 求之 設一次之虛術假得一數而後起術也 下方有 段數 上方有有擬
立天元一爲高。11加段數爲廉級三約正和1111以 -1 餘尹 爲寄約 三左正 約 隅上 正列 一下與高一寸也眞 廉并 者者 高 數數 乘方 背背 1 者者方之幷及以上 不極 用數之負下下數 分消三 數式負 1與 自段之相及段 之數爲乘上數 而得 平得方高 LIEll 數ー11寄左列幷-m al-不及求後式卽定 上下方爲三約負數下一眞盯, ,而於方級 段數 與寄左相消得式
下一
一"正超術 定下方六寸八分段數三而得盡極自上方 高七分 九分 六寸 術曰立天元一爲上方。1加入下方得內减段數餘爲高111段數相乘六之1〒加入
上方冪與下方冪及上下相乘數爲方級正商 lli 느寄左列幷上下方以ー-ll
|與寄左
1一高相乘三之爲負數」
--"相消得
開方式1-1平方開之得無商用負數或之
有負數者得數背者極數無之有變商者驗之 有負數者得數背者不用之應者皆用之也 三十五得上方,
,,爲變式f
方廉 11級 此數上下 皆有方級사
又變式爲無商者定眞三數據平方適盡方級法定上方一分下方一寸段數三而得,
,高.
自盡極數 九分 下方得內減段數11餘得高 六寸 七分 也 起術而求一數之極也 釐五毫九八微强多一尺五 寸六分六釐四毫。11微弱 術曰立天元一爲高。1以段數相乘三之得 -T加入上方冪與下方冪及上下方相乘數共得--I內減上下方和高相乘肜餘爲正方
H -H 以三約正隅 相乘四之爲正廉自乘三約數1評寄左列并高與段數共得內減上
下方和餘爲111約正廉--自之得數三之與爲錐 之廉 共六 1 於數 求下 數盡 爲 先 1111 T 數之 再1 廉高 數而 減冪 直 假眞 111 眞 數上一 以方數 以和冪 正高及 商 隅相上1列 上起得而二 上形干故 據 方爲極求變變 又方者眞下上 三乘下以上1 寸三 段三 寄左相消得開方式1丰Ⅲ平方開之得高 一 分三釐五, 一尺五寸六分六 毫八九微强 釐四毫o 11微弱 爲變式無 商極數 少商己上至多商而無變少
婁商己下多商己上皆有變ㄝ
易數有變而背者 再變盡者一級開盡一級自盡而求之先方級得 商而廉級爲空者據變數上方干極則 刂若據變上 m x方變下 方干極者變上下方相等而爲兩和同數故求眞 數則眞上下方亦等而背全形又據變高干極者 變上方盡而其形爲方 故只云數卽爲變高以眞高減之爲眞上方又 爲空是以各不能據之也 爲方級商於是先於廉級假得一數也 下方有 段數 上方有有擬
立天元一爲高01加段數以減上下方和 111十六餘爲11寄左列上方爲正商
以上
三約下三約正隅-相乘
,, 負廉囉 籠 倍之與寄左相消得式下 以之定二數段勳而直開方法依起術也 以商11次 段數 級自 下方 定下方1尺11寸段數三而得拽肚方上方,,上方上方
高 術曰立天元一爲上方又爲方級正商01以 負隅111相乘倍之爲負廉。T寄位列上方 加入段數共得數以減下方餘爲高ㄒ-以段 數相乘六之加入上方冪與下方冪及上下方 相乘數共得I S TT1內減上下方和高相乘
餘爲正方ll
Ill 再寄 列正商以正隅' 11相高 下己弱三式高位內與術七。 多下多-T相爲減上曰釐八 方定正三餘立 級三上111方數得。 眞廉約爲天下爲以方與 尺均於1鬣1下1上元方空減寸三 段正方 數負級故卽正寄爲 有而下爲寄廉方變相 而起與 得術寄相列1 有商高于開以 于變也左乘上加 者寸六極 寸十數變上-1再段looo寸七 又四減上方與寄數-o 云寸下方件二再相1 橫只方于少寄列乘寄 高云餘極釐--相幷六位 和橫得數五寸消上之 五高高上少毫七得下加列 寸相寸七多商。分開方入 問乘也商己八二方以寄方 方 消廉商爲數上與 變此-T相 分少 變無 七釐寸 如以 五七 前之約
與再寄相消得開方式-711平方開之
o 變己下有 數11以減下方餘得高! 又方級爲空而廉級得商者皆與前同 下方有 段數 上方有有擬
立天元一爲高。1加段數以減上下方和
餘爲11寄左列上方爲正商上以三約
,加廉級而| 11 11D之 段败 卽盡 廉-定眞 -11 定下方一尺 一寸 三十七 術曰立天元一爲上方。1自之加入下方冪 減段 高ㄒ 相乘 加入寄位爲方級正數-
T-o-再寄
列幷上下方以 高相乘111之爲負數 與再寄相消得開方式11平方開之得上方件:五七分八
三, 九寸11分七釐 少商己 上多商 己下無變少商己 下多無變少有變 下方 假如有 高一 數加入1帮 幣1 1橫1间 11 1縱 件四題 級 正 則又先 數 ,,異級少於於正下多數 正而 多下 如名 前視 多負 正1負1負1正1 正1正1負1負1實 正1正1正1正1而 段-高加加不旁四 高 辭級 以之乘高以減共數得縱件1皆適于 減和得橫 壔積也
一寸
四寸 六寸 11寸 ,三寸 四寸 111寸 11寸 四寸 四寸1寸
六寸 橫左 糹 變式 橫一横 帝一高餘數.
三十八 箇三位相幷數多於橫高相乘 , 111 視第一變式下廉負數與第三正第四正各異 名視上廉級正與第11負異名22不及于方 於是旁通 皆傚此 于第三第 及各11約而用口辛負多 而反ha
ha 又於上廉級第11而反于加辭也 負上廉カ横冪,
高冪段縱
第11數爲眞則 橫多於高 111位相幷數少於橫高相乘! 視第11下廉級負與第111第四異名視上廉級 負與第一 正異名故先於下廉級如前鎖加辭又於上廉級,
,
ER
杆加辭也下與四 縱之於 也得上 廉 內廉寸四級 三多異 橫 下反故與高於 辭於第段三橫 於異第 一之課 二寸 偶數 箇縱 正六 級先第段三 與數書 二
高冪,
縱 第三數爲眞則 a-三位相并數少於橫高相乘, 橫少於高 橫冪 視第三下廉級正與第一 上廉級負與第四正異名故先於下廉級 于第一 第二口 負第一 1負各異名視 正多 而反 11加辭又於上廉級 第四正上廉力 辭也 第四數爲眞則 m -一-一位相幷數多於橫高相乘肜 橫少於高 橫冪 高冪 縱 視第四下廉級正又與第一第二異名視上廉 級正與第三負異名故如前於下廉級狂加辭 又於下廉級第三 多力而于
下 加辭也 易數無變者 三十九變式爲空者所變件數因過于題中之諸晶,
,
是眞 不能諸級! 般盡之雖然此式方級傍書偶相通于下廉相乘 數而言形三名故求三數極者無定1 u is 眞之數而不能起術是以極數無之イ 佾1H 1Ξ 數而有自盡之理故定一眞互盡11級而求兩數 乃横高相乘與縱相減餘乘半下廉則適 合于方級數是故或方與上廉盡則下廉 之極也 自爲空或上廉下廉 盡則方級自爲空也 定高四寸而得廉自盡極高11寯正橫11後課兩 方上廉下黃四從一尺 負各以11約之後m 數相等而以高卽爲橫是變式:
,,極數,
,
郗正負之等數置横 以高相乘三之得內减橫冪た
計與高,
餘 三級 上下皆 有餘數 六寸 六寸 卽爲縱也1橫1 1高 皆高起形變平 衹加左1 云眞列以 數縱 1縱1髙橫橫 消與以相1 得寄 始左高加負正橫能其二而極 而先 一定得爲 之級之一空上級者而于與相 極而 但後 下故各中廉而後 三 不依級後上 是級乘書 以數相自 變商 者 據數次難 之故而得變 | |只 數 之數是級廉 據方于 數及橫 也商各 負 -正數餘 爲級 又變式爲無商者方級爲空而後據 適盡方級 法求之雖然下111級相乘之傍書自相通于方級 乃上廉隅相乘四段與下廉自乘相減 之餘乘下廉則適合于四段方級數 故方級爲 空則諸級一般自盡而無餘數是以不能據之 易數有變而背者 至再變而盡者或方級得商而後上廉下廉兩級 自盡或方級先爲空上廉得商而後下廉級自盡 或方上廉-一級先爲空而後下廉級得商是皆據 于極定一眞而得三極但題中依欠一數之名 及求極數而無可定之物是以各不能據之, , 若强
定!
數而求兩極數則一級必帶數故 至再變而自有一件之變商也 又再變爲無商者方一級開盡下111級帶數故定 上一級據開出法下法設一次之虚術求 一眞數 兩極數是故變數據縱于横極則變縱變橫各 等而爲方壔形然題中 辭巧而難得變數及商 于術前故先起得商之虚術累-一次而求極數也 若據變横變高兩于極者各無其數故以變 數求壔積則皆爲空是以各不能據之也縱有
横有
高有
立天元一爲方級負商齂ER
者-加
爲變橫又爲變縱11列負商以减眞高餘爲變高--以變橫相乘加變縱爲只云數
las 1寄左列眞横以眞高柤瞛| &ー1列 爲正 |& 爲衹云數| &消得始式得始11高縱1嶭蔕 1棈縱1461|橫冪減終乘以 各一式二得之以又四冪| lle ling 111高11橫 得四正之| la 1縱1蔕1,數商求 消高 數再左 消維 得 冪 段 再横 商以減變式正下廉 負高 商故
11又乘負商以
減正上廉餘|-|-列正隅乘負商
以減下廉一次 餘爲| N1又
皆爲餘數餘爲1次數 (Re 皆爲正 幣橫爲-
=-復乘負
縱橫 負商以減帶1 Ⅲ以之懵- T-I寄左列正隅上廉一次,
lis乘正聽Ta
乘負商以減
| eje 隅四丱 下廉二次數次數l
be之得4餘爲三次數
11自之與寄左|
lis lis-|以下級遍乘始式 |N 相消得終式l l-ijs 以減此式得一式 横巾橫 横巾橫 商巾高 -E 數餘爲一 ! 縱橫 四十一 縱一橫 |&-乘冪高四段橫冪 jar乘冪四段縱橫-
--+--箇各爲寄
ill- ll乘終式加之以一帮--高冪八段横高再一橫 始式減之得11式 段橫冪高八段横高冪-十二段縱橫高 八段橫冪三段縱高四段各爲相消數 --一左數橫再乘冪四 以始1st以-"又以此下級遍乘始式
式疊ju
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此憿-以減一式却以一式略
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横高 中式 高雁乘如前分寄 縱橫 橫冪高再 俨| |縱橫冪高一段縱橫高冪一段 此式得一式 le 式 縱高1段各爲 ー -寄左數縱橫冪 高冪一段橫冪高冪一段橫高再 乘冪一段縱冪一段各爲相消數 於是視前百二三四四三冪冪高八寄 二百十十乘乘一八六段消 又 左兩 相 縱橫冪高 橫1 1髙 段八高 高左高得11需卡橫高二一T,,-0横 冪橫縱式前高橫相箇十橫橫 也 四-冪百橫,,,,段冪四分 式 得 前 之 乘 後各傍書乘數最卑者術虚自縱求之
橫有
高有
立天元一爲縱。--以橫相乘没+o
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1一寄左横再乘冪, ,腰橫冪高相 篝六位下〒乘\横
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橫榘 恼-横 髯帮 橫 裔巾 位相并與寄左相消得後式 pos 以�ㄒㄡ兩實級遍省橫而後維乘分 高六乘冪横再乘冪四 高. . |情 ION 一4 ,一降一橫"八段高四乘冪横四乘冪四段 IAI =〒--高六乘冪横四段高五乘冪横 pag-m 冪八十五段高四乘冪横再乘 -T-1. 다! ill-冪一百五十四段高三乘冪横 | |-|幻 -ll--四乘冪 一 十二段高四乘冪橫 高--fel iel am ...-四十四段高三乘冪橫冪五百 再乘冪橫再乘冪 -111百六十段高冪橫三乘冪一 百二十五段高四乘冪二十四 帶一橫TF遍11三十四段高
嵒 高乘冪 位冪橫三四百高乘四六三一于橫 幷段十乘冪高乘相冪冪冪 共高 三四五 數横 六十一.冪相段十乘乘段八乘干若 寄相高五百横乘高冪段四 左乘冪段二再四四再相高 ITU 冪冪 三四三 十二橫高乘段十乘乘五乘 高段 冪高 乘冪 術於 冪冪 乘高乘 求傍 橫业 ,1 n g-横1段高三乘冪横一百六十段高 目- IP-一冪横冪 一百五十八段高再乘 口11 冪一十二段高冪横二百八十
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一段高冪五十七段凡 一 十八位 Fi n --爲寄左數高六乘冪橫冪八段 高五乘冪橫再乘冪四十四段 刂PV EN 巾一1高四乘冪橫三乘冪三十二段 | |高三乘冪横四乘冪, 十二段 |高五乘冪横三十段高四乘冪 |横冪111百一十四段高三乘冪 | |横再乘冪二百七十八段高再 커 ( IAI 〒乘冪横111乘冪一百一, 十四段 酬| |高冪橫四乘冪四段高五乘冪 | |--一段高再乘冪橫冪四百三十 | |六段高冪横再乘冪八十二段 --高横111乘冪七十二段高三乘 m b111横冉| |冪五十四段高再乘冪横三百 三t段高橫再乘冪111十八段 ド1橫三乘冪一十六段高橫冪11 十八段横再乘冪二十四段高 式加于1式又ト
中級遍o ff 乘後式11 減之後一ド 遍省橫! 而得一 橫七十八段横冪九段高111十u . 六箇凡11 +11位爲相消數 高乘數最尊故以之定眞而起術自橫求之 四十三 定高 if得縱ヂ極植干3劇 術曰立天元一爲横再自乘高六乘冪相乘 高五乘冪横111乘冪相乘趴高四乘冪橫四乘冪相乘醫六乘冪橫相乘習五乘冪横冪
相乘 針高四乘冪橫再乘冪相乘+-皕旺高 111乘冪横111乘冪相乘が 計高再乘冪橫四乘 冪相乘111針高四乘冪橫相乘, ,計高三乘冪 横冪相乘幅明貶高再乘冪横再乘冪相乘 六十高冪橫111乘冪相乘+-皕肊高四 一百五 十四段 五百三 十四段 高三乘冪橫相乘十百六高冪横冪相乘H AT針高再乘冪1. 1計高冪横相乘, R E八高冪 tr a針一十八位相幷共得數寄左 高六乘冪 五十 泪兵二 五十 七段段八 銀開書數,,而爲不者理 乘六三八二再高冪段四冪四百高乘 三橫高 米前 麥定異舊減自相眞相術也 共眞課數,,交數乘中凡 一假所 視 翻二 法十 開二乘乘四五冪冪冪乘橫二三 得相四二段十高乘高乘橫乘高 五損與其及也依上上之施 斛之有得視其數下級先有 四 術左相冪橫橫橫高相四横四四 價 加數 横冪相乘趴高五乘冪横再乘冪相乘, , , i 泪兵 四乘冪横11一乘冪相乘!一計高一11乘冪横四乘 冪相乘11針高五乘冪橫相乘段十高四乘冪 横冪相乘 d e高三乘 V E計高再乘冪横三乘冪相乘+-昍d e高冪横 三百一 冪橫再乘冪相乘, 一百一 十四段 七十 八段 冪相乘 高五乘冪貶高再乘冪橫冪相 乘旧, ,貶高冪橫再乘冪相乘 高横111乘 冪相乘北叶高三乘冪, , 再乘冪橫相乘 三百三高横再乘冪相乘AS 計橫111乘冪-en
高横冪相乘!針横再乘冪
計高横相乘 脱橫冪勯高だ計11十11位相幷與寄左相消 得開方式四乘方翻法開之得横推前術得縱 四百三 十六段 七十 五十 十段 六段 八段 段 六箇 四十四 翳題第七 臨得式而或諸級或上下級爲空者難辯開除定乘 之眞又疑有術理之誤也凡常所施有題數偶正負 相均而自然盡者有依術中加減之先後而下級盡 者有術理拙而不識過相乘後從上級盡者是故先 依傍書術得式爲定乘眞數視其上下-一級各加減 相乘之號衆位而異名相交者皆依數有自盡 雖衆位悉同名者各無自盡之理也其餘諸 級者雖盡皆無定乘之減損故不及視之 之所用或易新數或用舊數各以其得式之乘數爲 乃單 位者 隨其題 本據兩 '級傍書之同異課所盡與有餘而後加正 負等差之辭于開出前定眞假增損之乘數也 假如有人出銀買米麥共一十五斛誤以米價買多 過定數長共梯 故之 故 是臨術中相消之期而廉級盡故難定開 之乘數也
11平方
盡又視實級單位而無自盡之理故於廉一級隨 得式之乘數課等差之數而加辭之 廉級刂 帶數貝 共 四十五 撞除之也 用舊數盡級則 共數與買麥相減有餘者廉級 乃分註于開除 與得答數之中 是用假乘 問也後 皆傚此 故加增乘之辭也 假如有梯只云長冪與小頭相乘數加入 大頭冪共六十四寸又云大小頭和八寸 復云斜長與小頭和七寸問小頭 大頭 三寸 ,,之乘數亦疑有術中 是實級盡故難定開出 誤而乘小頭之過也帶數是故云數級又以式書傍共ㄧㄡ 又 復 自盡又視廉級正負異而又有自盡之理故於實 二級各以四隨其式之乘數加辭之 約之 盡又云數添一箇得數與倍之復云數相等者廉 級盡故各撞除之若兩級一次盡者無商也 用舊數實級則 共數與又云數冪相減有餘者 實級帶數故平方開之又云數添一箇得數與倍 四十六 之復云數相等者廉級盡而無商也 是用假乘, ,故加增乘之11辭也 假如有楔積加入長冪共六十四寸只 云縱横和七寸又云長與橫和八寸復 隅兩級一次盡故難定開出 術中過乘横之疑也
負相等而自盡故如前隨乘數而於兩級, , 加辭之 六約之
級則
又云數冪與共數相等者共帶數目
實級盡復云數與一画相等者隅級盡故各平方 開之若兩級一次盡者撞除之也 則 又云數冪與共數相減有餘者實級 帶數故立方開之復云數與一画相等者隅級盡 級盡貝 故撞除之也,則
又云數冪與共數相等者實級盡故 級盡貝 四十七 撞除之復云數與一画相减有餘者隅級帶數故 立方開之也 又云數冪與共數相減有 一次盡 貝 餘者實級帶數復云數與一画相減有餘者隅級 帶數故各平方開之若兩級共帶數者立方開之 也 是用假乘 故加增乘之三辭也 假如有米四斛麥六斛共價金六兩銀二十四錢 米六斛麥九斛共價金九兩銀111十六錢衹云每 金一兩米不及麥七酙問每一兩米得每兩米術用題數得。。。諸級皆爲空而不
得答數是術理雖正因題數如此也 不及!後銀-後銀
晝
此式以平方爲乘數之眞然諸級各正負相等而 不拘 不及之號力 辭之各則
先米後銀相乘與先銀後米 相乘等者慣級盡先金後銀相乘與先銀後金相帶數目
四十八 乘等者廉級盡故各撞除之若兩級一次盡者無 商也 又實級則 先米後銀相乘與先銀後米相乘相 減有餘者實級帶數故平方開之先金後銀相乘 與先銀後金相乘等者廉級盡而無商也 是用假乘, ,故加增損乘之11辭也 復盡級則 先金後銀相乘與先銀後金相乘相 減有餘者廉級帶數故平方開之先米後銀相乘 與先銀後米相乘等者慣級盡而無商也 是又用假乘 故加增損乘之一-辭也 用舊數則諸級一次爲空故不用之故題 式題 米之就象得得 二如得數米數 絲有只Λ粟至從ー111t-得亦開 之中之間角數以數位是 面徑得 每只六五對各悉原 雖有每 面云斛ト粟易失數 親尾 强ニ云斛兩末ㄅ 斛米而 六一 蚪斛用故之屬先技所得 六對之皆勞辭定而問答 升粟或量若之舊後數數 七六就題位數數整之乃悉 中也角斗六整其帶 徑 相故眞不 得所 弱只而所有 問云別爲高數位之,,眞 九有間收タ 以之 換數 整所 散題第八 題數帶不盡者每逢術中加減相乘之技諸數繁亂 亦尾位自有增損而雖得答數悉失其眞故視象形 本所具而易整者先定所間數之限大數本無多少 隨題旨致其技而後整屬辭之數固有不 盡而難整者不拘所問先定舊數之一位收棄其畸 零而後課强弱唯整其屬辭之數若諸數雖整繁多 者術式散漫而致乘除之勞若位太有高下者每相 乘昇降之定位輒難見故皆量題中所爲之等差或 以等數遍約諸數而卽用之或就近而別諸數也 假如有粟換米米-斛對粟六斛只云粟與換米 近而定之 相幷共五十三斛六墅ハ升七合弱問換米 四十九 除之得換米七七六蚪四三六 得換米術用仙 題數得式
IT是原數帶不盡而收尾數之畸
此象本米粟兩數各易整故隨所問而先定換 四十ー 八角力 就近數八斛以對黑相乘得有粟ATthi
換米,
得只云數,
,籵也
六斛 假如有三角只云中徑六寸九分11釐八 毫-一絲强問每面 得面術 開之得每面七九九五五釐九是 用題數l ek 亦中徑有尾位棄零數之弊故所 得式뱌。l
l得之面雖親于全數遂以不得整
1-1111-F 百二無數棄數整整源 IHI- 徑中 寡除十四數增得一不 而之二分之損寸六位拘 似得人配繁只爲寸定 其 技 不 同 多術得小只中 帶中大方云小 空相方面中平 位 得以 裁之 絹與皆乃 數二六六三 則中零以 多是問六 答强毫分數 術數 中位 釐二 不與收爲 盡弱之準 此形本面整則中徑有不盡中徑整則面有不 盡不能兩整故不拘所間唯以題數整者爲準 是故定舊數 得
一位巽畸零
九分二釐 八毫二絲酚:綫
爲强棄之得, ,爲弱卽中徑强己上與弱 己下互課數而增損只云數則雖答數有不盡 假如有裁絹二匹四分配一十三人六分111釐二 得總絹術用作4-除之得總絹 叶是雖答數位 無諸數之繁亂也 不失源 毫今有人三百五十二人一分六釐問總絹 題數得式 六十(--寡而似宜題數繁多故致術中
乘除之勞也 前中 視題中之所一言各無技皆常數後故兩數互減 以之與裁絹は 互減得等 數 遍約諸數得裁絹 配人H E,,一
今 二人11分 七十 糸五匹 四百二 十六人 1 1毫玉糸1111 有人一萬一千 五人,
假如有大中小平方各一共積一百二 十五兆寸衹云中方面不及大方面 -中方 億寸却多小方面1億寸問大方面得大方!
術用題 數得式 煩也 -開之得大方面八億是原數位太 高故術中相乘之定位輒難見且 數尾多帶空位之圈而爲畫式之 視所言之諸數雖其技不同及與却多者各直 KTF, 乃積者 一次乘不共數 題之中也式用云實假得約 旨故之 0000000111中平如十一只無 求別技 oosH斗 長方有五百 二三 之 衹寸 絲四 寸三四數 1約衹云兩數得不及!却多 共積得十五寸也 數 又一一次約 意幺 ノ 假如有箭筈積三纖11沙衹云左右長爲 111實平方開之得數加闊共三釐。四絲又 -中長多如闊三絲問左右中長及闊 | 得闊術用 題數得式000 HI nkl 帶空圈也8 開之得闊細是原數位卑而 相乘之定位易紛亦數首多 視題中之技各異者積者又次者只云諸數難 遍約之故別定左右長九寸中長七寸闊四寸
