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数学科
実験や操作を基にした教材開発と授業設計
～数学的な思考力・表現力が育つ数学的活動～ 池田 宏 北村 俊 本論の要旨 本校の生徒の現状を自己評価カード※１，学習記録カルテ※２，教科相談※３などを基に全 体的に捉えると，課題への取り組みが積極的で，学習意欲が高く，基礎的・基本的な知 識・技能を十分に身に付けているといえる。しかし，自分の考えをわかりやすく論理的 に記述したり，説明する力や知識・技能を活用しながら，根拠を明らかにし，筋道を立 てて課題 解決できる力を，一層，養う必要があるといえる。 新学習指導要領の 「数学的活動を一層充実させ，数学的な思考力・表現力を育て，学， ぶ意欲をさらに高めさせる授業設計と，合理的，論理的に考え，判断し，表現する力や グループ学習によって自分の考えを伝え合い，互いの知的なコミュニケーションによっ て，体系的に考える力が養える授業設計を実践している。 以上のような授業設計による実践を深めれば，数学のよさを実感しながら，理解を深 めさせ，事象を数理的に考察する能力と態度が養うことを目指した。 キーワード 数学的活動 ，数学のよさ，学習記録カルテ，少人数授業 ※１ 授業の最後に生徒が記入する自分自身の振り返りカード ※２ 小単元ごとに生徒一人ひとりの理解の深度状況を４観点別に文章評価したもの ※３ 教育相談を教科で取り入れた，生徒一人ひとりの数学に関する相談 １．研究主題によせて （１）はじめに 数学は，課題を解決するために，数多くの公式や 解き方を覚えて使いこなし，早く解くことが学習の 目的ではない。数学的活動(実験・操作)を通して， ああでもない，こうでもないと，自分で試行錯誤し ， ， たり グループ学習において自分の考えを伝え合い 互いの知的なコミュニケーションによって 「なぜ， だろうか」，「別の方法で課題を解決することはでき ないのだろうか」と思考し，根拠を明らかにしなが ら，筋道を立てて理解を深めることが目的である。 また，数学的活動を通して，基礎的・基本的な知識 ・技能を確実に身に付けさせ，数学的な思考力・言 葉や数・式・図・表・グラフなどの相互の関連を考 えながら表現する力を高めさせる。そして，数学的 に学ぶことの楽しさ，意義を実感させたり，実生活 や他教科において，活用する力を高めることが目的 である。 本研究では，生徒が数学的活動(実験・操作)を通 して思考し，理解を深め，数学的活動の楽しさや数 学のよさを実感できる「授業設計」を考えることと する。 （２）研究のねらい 新学習指導要領の目標に「数学的活動を通して」 と「表現する能力」が加えられた。このことからも 数学的活動がより一層重視されていることが分か る。その数学的活動を通して，数量や図形などにつ いて実感を伴って理解したり，思考力，判断力，表 現力等を高めるとともに，数学を学ぶことの楽しさ や意義を実感できるようにするためには，生徒が目 的意識をもって主体的に取り組む活動を意図的に仕 組むことが不可欠となる。 しかし，教師主導の知識の伝達を重視した授業や 技能の習熟に重点が置かれた授業を展開してしまう ， ， ， と 生徒にとっては 受け身の授業となってしまい 自ら思考したり，根拠を明らかにしながら理解を深 める場面が激減してしまう。 数学的な思考力・表現力が育つ数学的活動を充実 させるために，以下の点を重視した。 ① 教師と生徒，生徒どうしが考えを交流し共有 しながら，思考する場面を多く設定する。このよう な学習によって，生徒の考えをグループでわかりや すく記述させたり，説明させることで，ものごとの 本質を深く理解することにつながり，よりよい学習効果が得られるであろう。 ② 昨年度まで取り組んできた数学科の教科学習 ， ， について その内容や指導法を見直すとともに 新しい教材開発とその実践を試み，新学習指導 要領に適合した授業設計を確立する。 （３）研究仮説 知識・技能を活用しながら 「なぜだろうか 」と， 。 思考し，考えを論理的にわかりやすく記述したり， 説明することで思考力・表現力が育ち，自分の考え を伝え合い，互いの知的なコミュニケーションが活 発化することで，体系的に考え，判断する力が養わ れるであろう。これが基となり，数学を学ぶことの 楽しさや意義が実感でき，数学のよさも実感できる であろう。 ２．授業事例 （１）対象・単元名・授業担当者・時期 第３学年，平方根，池田宏，５～６月頃 （２）単元設定の理由(題材観・生徒観・指導観) 平方根は生徒にとって，まったく新しい数の概念 。 ， ， ， ， である 小学校では 自然数 ０から小数 分数へ 中学校第１学年では，正の数・負の数へと数の概念 を拡張してきた。そして，四則計算ができるように 学習してきた。ここで，平方根を学ぶことで数の概 念が，有理数から無理数へと拡張される。 本単元では，４つの点を指導の重点とする。 ①平方根の意味を理解させる。 ②根号をふくむ数の大小関係を理解させる。 ③根号をふくむ式の計算や変形のしくみを理解 させる。 ， 数学的活動を通して 数学のよさを実感し， 数学的な思考力・表現 力が育ち，合理的，論 理的に考え，体系的に 考える力が養われる。 数 学 的 活 動 を 通 し ， ， ， ， て 言葉や図 式 表 グラフなどの関連を理 解し，自分の考えをわ かりやすく表現し，伝 え合う。 評価カード，学習記 録カルテ，教科相談な どにより，生徒の現状 を十分に把握した授業 設計の充実と実践。 ④身近に潜む根号を用いた数を探究させる。 身の回りにある数学的な事象の中から具体的な例 (面積が２㎝ である正方形の１辺の長さを求めなさ２ い。など)を多く取り上げ，有理数の範囲では正確 に表現することができない量の存在に気づかせ，根 号÷ の記号を用いることの意味や簡潔・明瞭に表 現できることを理解させたい。また，根号をふくむ 式の変形や四則演算の方法を明らかにするために， 既習の内容を基に考えさせたい。 授業設計においては，基礎的な知識・技能を習得 し，それらを活用して，自ら考え，判断し，表現す ることにより，さまざまな問題に積極的に対応し， 。 ， ， ， 解決する力を育むことを目標とする 言葉 数 式 図，表，グラフを活用して論理的に考え，根拠を明 らかにして，筋道を立てて説明し，伝え合う活動の ある授業設計を行う。スパイラルによる理解の広が りや深まりなど学習の進歩を感じながら，かつ，数 学的活動の楽しさや数学のよさを実感できる授業設 計を行う。 そして，授業設計，個人への机間支援の補助資料 として 「学習カルテ」を活用する。， （３）学習指導計画 第１次 平方根 (３時間) 第２次 平方根をふくむ式の計算 (５時間) 第３次 ２章のまとめ (２時間) 〔本時２／２〕 （４）評価規準 ①関心・意欲・態度 平方根という数の存在や今までに学習してきた四 則がどのようになるかに興味をもつことができる。 また，平方根の計算を工夫して行うことができる。 ②見方・考え方 平方根を求めることを，２乗することの逆の操作 とみることができる。平方根の乗法，除法の公式が 成り立つことや加法・減法の計算方法を，文字の計 算から類推して考察できる。 ③表現・処理 ・ある数の平方根を，根号を使って表すことがで きる。 ・根号の中の数が，ある数の２乗になっていると き，それを根号を使わずに表すことができる。 ・平方根の近似値を，電卓を使って求めることが できる。 ・平方根の近似値を工夫して求めることができ る。 ・平方根の大小を比較し，判断できる。
・ａ÷ｂ＝÷ｃ，÷ｃ＝ａ÷ｂという変形ができ る。 ・加減乗除のきまりを途中式で表現しながら計算 できる。 ・根号をふくむいろいろな式の計算ができる。 ④知識・理解 平方根の意味とその表し方，大小の比べ方が理解 できる。また，平方根の値を電卓を使って求めるこ とができる。 （５）学習過程(第１０時) （６）習得・活用・探究 ①習得しておくべき基礎的・基本的な知識，技能 〔知識 ・平方根の意味とその表し方を理解してい〕 る。 ・根号をふくむいろいろな式の計算ができ る。 ・平方根の考え方を利用して，２次方程式 が解ける。 〔技能 ・加減乗除のきまりを途中式で表現しなが〕 ら計算できる。 ・平方根の考え方，正方形の１辺という発 想で，身近なところに潜む根号を用いた 数を探すことができる。 ②知識や技能が活用された姿 ・平方根の考え方を途中式に表現しながら，平方 根の計算問題や２次方程式を解くことができ る。 ・身近に潜む根号を用いた数を探すために，平方 根の考え方を活用している。 ③特別支援の視点から ・その時，その場で，どのような行動をとってい るか。ありのままを理解するために，休み時間 の机間確認，授業中の机間支援から「学習カル テ」を作成し，生徒一人ひとりの支援計画を立 てる。そして，自己存在感を感じさせる(ほめ る，認める)授業，共感理解を深める(聴く)授 業，自己決定を与える(考えさせる)授業を設計 する。 ・本時のまとめとして「自己評価カード」を記入 させることによって，自分の到達度(理解度)を 振り返らせ，現状を自分で見つめられるように する。 ④本単元における「情報科」との関連 第３学年の学習内容に思考と創造「論理的に理解 しよう」という単元がある。本単元では，平方根の 意味とその表し方を考るとき，まず，思い込みや先 入観にとらわれることなく「平方根と２乗すること の相互関係」や「根号の用い方」を正しく筋道立て て，論理的に理解していくことを意識させる。 第１学年の学習内容に情報の活用「分析しよう」 「発表しよう」という単元がある。平方根をふくむ 計算問題を解決する場面において，答えが導けるよ うに計算の手順を選択し，途中式を考える必要があ る。このような数学的な表現を分析する力を育くむ ことで問題解決できる能力を高めることができる。 そして，２章のまとめでは「身近に潜む根号を用い た数」について，主体的に行動し，よりよく問題解 決し，発表することによって，分析する力(問題解 決能力)の向上や言語活動の充実を図る。 （７）生徒の自己評価カードより ①集中して，意欲的に学習に取り組むことができま したか。 できた … ８１．１％ 結構できた … １８．９％ ややできなかった … ０．０％ できなかった … ０．０％ ②意見交流で，考え方を共有できましたか。 できた … ８６．５％ 結構できた … １３．５％
ややできなかった … ０．０％ できなかった … ０．０％ ③今日の学習で，考え方や活用の方法が理解できま したか。 できた … ６４．９％ 結構できた … ３５．１％ ややできなかった … ０．０％ できなかった … ０．０％ ・グループの人の考え方を聞いていると「あっ，そ うか」と思えることがあった。 ・いろいろな見方をすることで，今までに学習して きたことが使えるんだ。 「 」「 」 ， ・ なぜだろう どうしてだろう と考えたときに 自分で気づくことができれば，さらに楽しくなろ うだろうな。 ・誰かに説明するには，筋道立てて伝えたほうが， 伝わりやすいとわかった。 ・身近なところに結構たくさん，平方根があること に気づけた。 ・考え方をグループで交流していると，新しい考え 方や発想が身につくので楽しかった。 ・ なぜか？」をはっきりさせて，わかりやすく書「 くことで，仲間に意見が伝わりやすくなった。 ・図や式をうまく使うことで，すっきりとしたまと めが書けた。 （８）授業分析 生徒の自己評価カードや学習カルテから判断し て，本時の目標「２次方程式の解を求めると，根号 を用いた数が解となることがある。２次方程式の利 用(応用問題)を考える前段階として，平方根の意味 とその必要性を再考し，身近なところに根号を用い た数が潜んでいることを理解する 」は，達成でき。 たと判断できる。また，グループ活動で，自分で考 えたことをノートに記入させ，意見交流させること で，論理的にわかりやすく人に伝える力がさらに養 われたり，自分だけでは，気づかなかったことが根 拠も含めて理解できている。 ， ， そして 身近に潜む根号を用いた数を探すために 平方根における基礎的・基本的な知識・技能を基に 考え方を導いており，知識や技能が活用された姿も うかがえた。 やはり，数学的活動を効果的に取り入れる授業設 計の研究を深める必要がある。 ３．少人数授業の実践 （１）単元名・対象・授業担当者・時期 第２学年・三角形と四角形，定理の発見と証明・ 北村俊，田中龍行・１１月～２月 （２）少人数授業の必要性 本校の第２学年は，現在１クラスあたり３９人 。 ， もしくは４０人の学級編成である 各クラスには 公式などの定理を丸暗記し，それを活用すること で，あたかも全てが分かっているかのように考え てしまう生徒がいる。また一方で，基礎・基本の 内容からつまずいてしまい，苦手意識を強く持つ 生徒もいる。そういった中で，数と式領域や関数 領域では，まず，自分の考えについて何人かとコ ミュニケーションを図り，意見をまとめたうえで 発表するといった授業スタイルをとっていた。自 分の意見を説明したり人の意見を聞くなどをし て，物事の本質を力がつくと考えていたのだが， 授業を見ていただいた先生から次のようなアドバ イスを受けた 「いくらか自分の考えを持った生。 徒同士なら力がつくだろうが，そうでない生徒同 士になったときはどうだろうか 」。 学習指導要領にもある「数学的活動」の一つで もある「自分の考えを伝え合う」ことを取り入れ ようとしているのだが，一部の者だけがそうする のではなく，全員が自分の考えを持ち，一人一人 。 ， が意見を交流できる場面を作れないか そう考え 一人の教師が受け持つ人数を減らすことにより， グループ交流で出てくる意見を少しでも取り入 れ，授業展開に生かせることができるよう，少人 数に分けて授業をすることにした。 （３）少人数授業に向けてのクラス編成 教師側の人数の関係上，１クラスを２つに分け ることまでしかできない。また，自分の考えを持 ったうえで伝え合うことをさせるために，名簿の 前半と後半のような分け方ではなく，あえて希望 制ではあるが，習熟度別に分ける方法をとった。 それは，数学に対して苦手意識を持つ生徒が，交 流する場面において恥ずかしいのか，意見を控え る場面が４０人での一斉授業の中でよく見られた からである。 習熟度別のコースについては，本校において数 年前に行っていた少人数授業と同じように「深化 （スッキリ）コース」と「超越（ビックリ）コー ス」を用意し，生徒に希望を聞いた上で分けるこ とにした 「深化（スッキリ）コース」は，基礎。 的・基本的な内容を確実なものにすることで，様 々な課題解決に向けた考え方の定着を図るもので あり 「超越（ビックリ）コース」は，問題解決， に必要な基礎を固めながらも，一つの解法にとど
まらず，様々な方向からアプローチする力を身に つけるものである。 （４）生徒アンケートより 今年度行った図形領域での習熟度別少人数授業 について，実際に希望をとって分けてみると，ど のクラスにおいてもほぼ２０人ずつに分かれるこ ， 。 とになり どちらかに偏るということはなかった また，一昨年度にも同じ領域で習熟度別少人数授 業を行い，そのときも偏りは少なかったため，生 徒の質は違うものの，比較しながら検討をしてい く。 第２学年の図形領域に入る前に，この領域は苦手に 思うか，得意に思うかを聞いた。 質問 図形領域はどう思うか。苦手？，得意？ １苦手 ２ ３ ４ 得意５ 【資料１】平成１９年度アンケート 左：深化コース，右：超越コース 【資料２】平成２１年度アンケート 左：深化コース，右：超越コース この分野からはおそらく苦手にしている生徒が ， 。 多いであろう 証明することが中心となってくる この分野に入る前に，証明とは 「すじみち立て， て述べること」と定義され，その言葉に戸惑いが あったのか，深化コースを選ぶ生徒に，特に苦手 意識が多く見られた。 図形領域を終えて，この領域は苦手に思うか，得意 に思うか，と①と同様の質問をした。 【資料３】平成１９年度アンケート 苦手 得意 苦手 得意 苦手 得意 苦手 得意 左：深化コース，右：超越コース 【資料４】平成２１年度アンケート 左：深化コース，右：超越コース ①と②のアンケートの結果を比較すると，平成 １９年度ではどちらのコースにおいても，苦手と 思う生徒の割合に変化はあまりなかったが，得意 に思う生徒の割合が少し増えた。また，平成２１ 年度のアンケートを見ると，１９年度より顕著に 変化が起き，どちらのコースにおいても苦手と思 う生徒の割合が減少し，得意に思う生徒の割合が 増加した。 希望制少人数にして良かったですか。 定理の発見と証明の単元を終え，第２学年にお ける図形領域を終えたところで，次のようなアン ケートをとった。 質問 希望制少人数授業にして良かったですか。 １良くない ２ ３ ４ 良い５ 【資料５】平成１９年度アンケート 左：深化コース，右：超越コース 【資料６】平成２１年度アンケート 苦手 得意 苦手 得意 苦手 得意 苦手 得意 良く ない 良い 良く ない 良い
左：深化コース，右：超越コース １９年度においても２１年度においても，習熟 度別少人数授業にして良かったと思う（４，５を 選択する）生徒が半数以上いることが分かった。 また，１９年度の深化コース以外では，その割合 が７５％近くであり，その良さを生徒が感じるこ とができたと考えられる。 希望制少人数にして，自分の成果を感じることがで きましたか。 質問 自分の成果を感じることが出来ましたか。 １感じない ２ ３ ４ 感じた５ 【資料７】平成１９年度アンケート 左：深化コース，右：超越コース 【資料８】平成２１年度アンケート 左：深化コース，右：超越コース １９年度の深化コースでは，成果を感じた生徒が ４割程度であったが，２１年度では半数近くが成果 を感じることができた。また，超越コースではその 成果を感じた生徒は半数以上にのぼった。 （５）授業の内容・様子 授業の内容は，どちらのコースにおいても定義 をしっかりとおさえ，定理の証明や，等しい辺， 角であることの証明など，教科書や問題集の内容 を教師の例を交えたり，生徒同士の意見交流の場 面を設けたものである。 良く ない 良い 良く ない 良い 感じ ない 感じ た 感じ ない 感じ た 感じ ない 感じ た 感じ ない 感じ た 自分の意見を出したり，それを聞いたりするこ とに恥ずかしさが無くなったこともあるのか，ど ちらのコースにおいても４０人での一斉授業より 意見交流が活発となった。また，分からない生徒 も少人数授業になってからは，分からないことを ， ， 周囲の生徒に伝え 生徒同士で教えてもらったり また 「ここはこうちゃうの？」というような意， 見があれば，お互いの意見をぶつけ，いろいろと 試行錯誤していた。 （６）まとめ 今回，少人数授業を行い，当初考えていた「数 学的活動」を自然と発生させることができた。ま た，知っている者が教えるだけではなく，一つの 意見に対して思うことを説明し，それに対して違 う視点から説明することもでき，お互いがものご との本質を深く理解することにつながったのでは ないかと考える。 生徒のアンケートからも，習熟度別少人数授業 が第２学年の図形領域において，必要性が確認さ れた。証明では，すじみち立てて述べることが必 要とされている。しかし，それまでに文章表現で ，「 」 何となく書けていても すじみち立てて述べる ことは難しいように思われる。その難しいことに 対して，質問したり，意見があったりする生徒は 多いだろう。２０人という少人数で授業を行うこ とにより，今までなかなか分からなくても相談で きなかった生徒が相談できるようになったり，授 業が終わった後でも，周りの目を気にすることな く質問等できるようになる。改めて少人数授業を いろいろな場面で展開したいと感じた。ただ，教 師の人数に限りがあるのも事実で，全ての領域に おいて，少人数授業を展開することは難しい。今 後も人員や物理的な条件が整っているときは継続 して少人数授業等，効果的な学習形態を取り入れ ていきたい。 ４．おわりに 生徒一人一人が数学的活動を通して，数学のよ さを実感しながら，理解を深め，また事象を数理 。 ， 的に考察する能力と態度が養ってほしい しかし それらが身につくのは，一朝一夕ではない。その 都度，数学的な思考力・表現力を育て，学ぶ意欲 をさらに高めさせる授業設計をし，自分の考えを 伝え合ったり，体系的に考える力が養える授業設 計をしなければならない。そのような授業をこれ からもいろいろなところで仕組んでいけるよう， 研究を続けたい。
