Discrete Lotka-Volterra
Equation
の保存量
Conserved
Quantities of
Discrete Lotka-Volterra
Equation
広田良吾
辻本
諭
Ryogo
HIROTA, Satoshi
TSUJIMOTO
早稲田大学理工学部
School of
Science
and Engineering,
Waseda
University
1
はじめに
近年、計算機の発明とその発農により、離散系に対する研究が盛んになってきており、可
積分系の分野においても、
その代表的非線形微分方程式の離散化がなされてきた。
しかし、
離散系においては、連続系での議論をそのままの形では用いることができず、様々な概念
を再度構築する必要がある。
ここでは、離散系における保存量について、食物連鎖のモデル方程式である
Volterra
方
程式を例にとり、
その離散化から議論していく事にする。
2
Lotka-Volterra Equation
の差分化
ここでは、
隣接した
2M
種との相互作用を考慮した
Volterra
系である次の方程式につい
て考える
1)
。
$\frac{d}{dt}u_{n}=u_{n}(\sum_{j=1}^{M}u_{n-j}-\sum_{j=1}^{M}u_{n+j})$
,
(1)
本稿では、
この方程式を
‘Hungry Lotka-Volterra’(HLV)
方程式と呼ぶ事にする。
この
HLV
方程式は、通常の
Lotka-Volterra
方程式と同様に可積分系であることが知られており、従
属変数変換により、
$u_{n}=(\log\tau_{n}/\tau_{n+1})_{t}+1$
(2)
$=1+ \frac{\tau_{n}’}{\tau_{n}}-\frac{\tau_{n+1}’}{\tau_{n+1}}$(3)
$= \frac{\tau_{n+M+1^{\mathcal{T}}n-M}}{\tau_{n+1^{\mathcal{T}_{n}}}}$(4)
双線形方程式
$D_{t}\tau_{n+1}\cdot\tau_{n}+\tau_{n+M+1}\tau_{n-M}-\tau_{n+1}\tau_{n}=0$
(5)
に変換することができる。
(積分定数をゼロに選んだ)
$\sum_{j=1}^{M}u_{n-j}=M+\{\frac{\tau_{n-M}’}{\tau_{n-M}}-\frac{\tau_{n-M+1}’}{\tau_{n-M+1}}\}+\{\frac{\tau_{n-M+1}’}{\tau_{n-M+1}}-\frac{\tau_{n-M+2}’}{\tau_{n-M+2}}\}$ $+ \cdots+\{\frac{\tau_{n-2}’}{\tau_{n-2}}-\frac{\tau_{n-1}’}{\tau_{n-1}}\}+\{\frac{\tau_{n-1}’}{\tau_{n-1}}-\frac{\tau_{n}’}{\tau_{n}}\}$ $=M+ \{\frac{\tau_{n-M}’}{\tau_{n-M}}-\frac{\tau_{n}’}{T_{n}}\}$(6)
よって
$u_{n}( \sum_{j=1}^{M}u_{n-j}-\sum_{j=1}^{M}u_{n+j})=\frac{\tau_{n+M+1^{\mathcal{T}_{n}}-M}}{\tau_{n+\iota^{\mathcal{T}_{n}}}}(\frac{T_{n-M}’}{\tau_{n-M}}-\frac{\tau_{n}’}{\tau_{n}}-\frac{\tau_{n+1}’}{\tau_{n+1}}+\frac{\tau_{n+M+1}’}{\tau_{n+M+1}})$(7)
$\frac{d}{dt}u_{n}=\frac{(\tau_{n+M+1}\tau_{n-M})_{t}}{(\tau_{n+1}\tau_{n})}-\frac{(\tau_{n+1}\tau_{n})_{t}}{(\tau_{n+1}\tau_{n})^{2}}$(8)
双線形方程式
(5)
の差分化として、様々なものが考えられる。
その中で、
ここでは次の双
線形差分方程式を採用する。
$\delta\tau_{n+}^{t+\iota_{M+1}}\tau_{n-M}^{t}-(1+\delta)\tau_{n+1}^{t}\tau_{n}^{t+1}+\tau_{n+1}^{t+1}\tau_{n}^{t}=0$(9).
(5)
式に対応するよう書き直すと、
. . $\tau_{n}^{t}\ddagger^{1}1\tau_{n}^{t}-\tau_{n+1}^{t}\tau_{n}^{t+l}+\delta(\tau_{n+M+1}^{r+1}\tau_{n-M}^{t}-\tau_{n+1}^{t}\tau_{n}^{t+1})=0$.
$(10)\backslash$ここで、双線形差分方程式
(9) を通常の非線形差分方程式に戻すことを考える。再び、従
属変数変換
$u_{n}^{t} \equiv\frac{\tau_{n+M+1^{T_{n}^{t}}-M}^{t+1}}{\tau_{n+1^{\mathcal{T}_{n}^{t}}}^{t+1}}$.
(11)
$= \frac{1+\delta}{\delta}\frac{\tau_{n+1^{\mathcal{T}_{n}^{t+1}}}^{t}}{\tau_{n+}^{t+1_{1^{\mathcal{T}_{n}^{t}}}}}-\frac{1}{\delta}$(12)
$1+ \delta u_{n}^{t}=(1+\delta)\frac{\tau_{n+1^{\mathcal{T}_{n}^{\+1}}}^{t}}{\tau_{n+1^{\mathcal{T}_{n}^{t}}}^{l+1}}$(13)
$\prod_{i=1}^{M}(1+\delta u_{n-i}^{t})\frac{1}{1+\delta u_{n+i}^{t+1}}=$
$\frac{\tau_{n}^{t}\tau_{n-1}^{t+1}\tau_{n-1}^{t}\tau_{n-2}^{t+1}}{\tau_{n}^{l+1}\tau_{n-1}^{t}\tau_{n-1}^{t+1}\tau_{n-2}^{t}}$ $\frac{\tau_{n-M+1^{\mathcal{T}_{n-}^{t+1}}M}^{t}}{\tau_{n-M+1^{\mathcal{T}_{n}^{t}}-M}^{\iota+1}}\cross\frac{\tau_{n+2}^{t+2}\tau_{n+}^{t+1_{1}}\tau_{n+s^{\mathcal{T}_{n+2}^{t+1}}}^{\iota+2}}{\tau_{n+2}^{t+1}\tau_{n+1}^{t+2}\tau_{n+3}^{t+1}\tau_{n+2}^{\iota+2}}\cdots\frac{\tau_{n+M+1}^{t+2}\tau_{n+M}^{t+1}}{\tau_{n+M+1}^{l+1}\tau_{n+M}^{\+2}}$
$= \frac{\tau_{n}^{t}\tau_{n-M}^{t+1}}{\tau_{n}^{t+1_{\mathcal{T}_{n-M}^{t}}}}\cross\frac{\tau_{n+1}^{t+1}\tau_{n+M+1}^{t+2}}{\tau_{n+1}^{t+2}\tau_{n+M+1}^{l+1}}$
(14)
$\frac{u_{n}^{t+1}}{u_{n}^{t}}=\frac{\tau_{n+M+1^{\mathcal{T}_{n-}^{t+1}}M}^{t+2}}{\tau_{n+1^{\mathcal{T}_{n}^{t+1}}}^{t+2}}\cross\frac{\tau_{n+1^{\mathcal{T}_{n}^{t}}}^{t+1}}{\tau_{n+M+1}^{t+1}\tau_{n-M}^{t}}$(15)
により、
$\frac{u_{n}^{\iota+1}}{u_{n}^{t}}=\prod_{i=1}^{M}\frac{1+\delta u_{n-i}^{t}}{1+\delta u_{n+i}^{l+1}}$
,
(16)
を得る。
(16)
式の分母を払い、
\delta
の次数でそろえることにより、次式のように書き表される。
$u_{n}^{t+\delta}-u_{n}^{t}= \delta\sum_{i=1}^{M}$
(
$u_{n}^{t}u_{n-i}^{t}-u_{n}^{l+\delta}u$識
)+\delta 2.
$\deltaarrow 0$
の極限で
HLV
方程式に一致している。
(16)
式が、
Hungry Lotka-Volterra
方程式の
差分化となっていることがわかる。
3
Discrete KP Equation
からの
Reduction
前節で採用された双線形差分方程式
(9)
の行列式解を導くことにより、
d-HLV
方程式
(16)
の可積分性を確かめる。そのため、
ここでは、
Casorati
行列式解などが知られている
,
discrete Kadomtsev-Petviashvili
(d-KP)
方程式
2)
$a(b-c)\tau(k-1, l, m;s)\tau(k, l-1, m-1;s)$
$+b(c-a)\tau(k, l-1, m;s)\tau(k-1,l, m-1;s)$
$+c(a-b)\tau(k, l, m-.
1;s)\tau(k-1, l-1, m;s)=0$
(17)
から
d-HLV
方程式を導出することにより、
d-HLV
方程式の双線形方程式の行列式解を与
える。
ここで
$a,$
$b,$$c$は、
それぞれ独立変数
$k,$
$l,$$m$
の差分間隔であり、
$s$は隠された独立変
数とする。
d-KP
方程式の独立変数である
$k,$
$l,$$m$
から独立変数
$t,$$1’,$
$n$への変換と、
Reduction
条件
を考える
$(\begin{array}{l}tl’n\end{array})=(\begin{array}{lll}0-1 0-1-l 00 0 l\end{array})(\begin{array}{l}klm\end{array})$(18)
$\tau(t, l’-1, n+M)\simeq\tau(t, l’, n)$
(19)
この時、
d-KP
方程式
(17)
は次のように変換される。
$a(b-c)\tau(t-1, l’, n;s)\tau(t, l’, n+1;s)$
$+b(c-a)\tau(t, l’, n;s)\tau(t-1, l’, n+1;s)$
$+c(a-b)\tau(t-1,l’, n-M;s)\tau(t, l’, n+M+1;s)=0$
(20)
ここで、独立変数
$t,$ $n$の差分間隔をそれぞれ
\delta ,
$\epsilon$とし、
つぎように定義するし、
$\delta\equiv\frac{a-b}{a}$(21)
$\epsilon\equiv\frac{c}{b-c}$(22)
書き直すと、
$\tau(t+1, l’,n+1)\tau(t, l’, n)$
$-(\delta\epsilon+1)\tau(t, l’, n+1)\tau(t+1, l’, n)$
$+\delta\epsilon\tau(t, l’, n-M)\tau(t+1,l’,n+M+1)=0$
(23)
任意パラメーターである差分間隔
\epsilon
を
1
と選ぶと
,
式
(23)
は
d-HLV
方程式の双線形方程式
(9)
にほかならない
.
つまり、双線形方程式のレベルで
d-KP
方程式から
d-HLV
方程式を
導出することができた。
次に、双線形方程式での変換を行列式解で実現することを考える。
d-KP
方程式の
Casorati
行列式解
3) は次の形をしている。
$\tau_{m}^{kl}=det|f_{i}(k, l, m, s+j-1)|_{1\leqq i,j\leq N}$
(24)
行列式の要素
$f$
は次のような関数になる。
$f= \sum_{p}C_{p}(1-ap)^{-k}(1-bp)^{-l}(1-cp)^{-m}\cdots p^{s}$
(25)
双線形方程式の時と同様に、独立変数変換
(18)
より、
関数
$f$
は
$f_{i}(t, l’, n;s)= \sum_{i=1}^{\infty}C_{i}(\frac{1-ap_{i}}{1-bp_{i}})^{t}(1-bp_{i})^{l’}(1-cp_{i})^{-n}\cdots p_{i}^{s}$
(26)
$=( \frac{a}{b})^{t}(\frac{b-c}{b})^{-n}\sum_{i=1}^{\infty}C_{i}(1-\delta\tilde{p}_{i})^{t}\tilde{p}_{i}^{-l’}(1+\epsilon\tilde{p}_{i}^{-1})^{-n}$
(27)
と、書き表される
$( \tilde{p}\equiv\frac{l}{l-bp})$。さらに、
Reduction
条件
(19)
より、
$f$
は、次のように制限さ
れる。
$f^{s}(t, l’, n;s)=( \frac{a}{b})^{t}(\frac{b-c}{b})^{-n}\sum_{j=1}^{1}C_{p(j)}(1-\delta\tilde{p}(j))^{t}\tilde{p}(j)^{-l’}(1+\epsilon\tilde{p}(j)^{-1})^{-n}$
(28)
ここで、任意定数であった
$\tilde{p}arrow$)
と
$\tilde{p}(j)(j=1,2, \cdots, M+1)$
の間には次の関係がある。
$p(i)(1+\epsilon p(i))^{M}=\tilde{p}(j)^{-1}(1+\epsilon\tilde{p}(j)^{-1})^{M}\sim-1.\sim-1$
(29)
以上より、
$f_{i}^{s}(t, l’-1, n+M)=( \frac{b-c}{b})^{-M}p_{i}(1)(1\sim+\epsilon\tilde{p}_{i}(1)^{-1})^{-M}f_{i}^{S}(t, l’, n)$
(30)
双線形方程式の行列解に対する Reduction
条件
(19)
が満たされた。
p\tilde (
のに対する条件式
(29)
をとくと、
$\tilde{p}(j)$のうち、次のとおり少なくとも
2
つは単純な形で表わせる。
$\tilde{p}(1)=-\sum_{i=0}^{M}\epsilon\overline{p}^{i}$(32)
$\tilde{p}(2)=-\sum_{i=0}^{M}\epsilon\overline{p}i$(33)
以上より、双線形差分方程式 (d-HLV 方程式)
に対し、
Casorati
行列式で表わされる解を陽
に与えることができた。
4
Lax-Pair
ここでは、
Discrete
Analogue of Generalized Toda
Equation (DAGTE)
$[Z_{1}\exp(D_{1})+Z_{2}\exp(D_{2})+Z_{3}\exp(D_{3})]f\cdot f=0$
.
(34)
のバックルンド変換をまず考える
4)
。この形式では、
d-KP
方程式あるいは、
d-HLV
方程式
の双線形方程式のバックルンド変換も自動的に得られる。最初に、恒等的に
$0$である
$P$
と
いう量を導入する。
$P\equiv\{[Z_{1}\exp(D_{1})+Z_{2}\exp(D_{2})+Z_{3}\exp(D_{3})]f^{\sim}\cdot\tilde{f}\}[\exp(D_{3})f\cdot f]$
$-[\exp(D_{3})f^{\sim}\cdot f^{\sim}]\{[Z_{1}\exp(D_{1})+Z_{2}\exp(D_{2})+Z_{3}\exp(D_{3})]f\cdot f\}$
(35)
ここで
$f$
あるいは
$f$
は
(34)
式の相異なる解とする。
$P$
は交換公式
$[\exp(D_{1})f_{1}\cdot f_{2}][\exp(D_{3})f_{3}\cdot f_{4}]$
$=\exp[(D_{1}-D_{3})/2]\{\exp[(D_{1}+D_{3})/2]f_{1}\cdot f_{4}\}\cdot\{cxp[(D_{1}+D_{3})/2]f_{3}\cdot f_{2}\}$
(36)
により
$P\equiv 2Z_{1}\sinh[(D_{1}-D_{3})/2]\{[\exp(D_{1}+D_{3})/2]\tilde{f}\cdot f\}\cdot\{[\exp(D_{1}+D_{3})/2]f\cdot f^{\sim}\}$
$+2Z_{2}\sinh[(D_{2}-D_{3})/2]\{[\exp(D_{2}+D_{3})/2]\tilde{f}\cdot f\}\cdot\{[\exp(D_{2}+D_{3})/2]f\cdot f^{\sim}\}$
(37)
と変換される。
ここで
1
と
f
を関係づける連立方程式を得る。
$\{\alpha_{1}\exp[\frac{D_{1}+D_{3}}{2}]-\exp[-\frac{D_{1}+D_{3}}{2}]-\mu_{1}\exp[\frac{D_{1}+2D_{2}-D_{3}}{2}]\}\tilde{f}\cdot f=0$
(38-a)
$\{\alpha_{2}\exp[\frac{D_{2}+D_{3}}{2}]-\exp[-\frac{D_{2}+D_{3}}{2}]-\mu_{2}\exp[\frac{D_{2}+2D_{1}-D_{3}}{2}]\}\tilde{f}\cdot f=0$
(38-b)
$\alpha_{i}(i=1,2)$
は任意定数であり、
$\mu_{i}(i=1,2)$
は次の関係を満たす新たなパラメータとする。
そして、
(38) 式を
(37)
式に代入し、次の交換公式
$\exp(D_{a})\{\exp(D_{b})\tilde{f}\cdot f\}\cdot\{ex_{1)(D_{c})\tilde{f}\cdot f\}}$
$=\exp[(D_{b}-D_{c})/2]\{ex_{1)[(D_{b}}+D_{c})/2+D_{a}]f\cdot f\}\cdot\{\exp[(D_{b}+D_{c})/2-D_{a}]\tilde{f}\cdot f\}$
(40)
(
$D_{a},$ $D_{b},$ $D_{c}$は
$D_{1},$$D_{2},D_{3}$
の線形結合を意味する)
より、
$P=2(Z_{1}\mu 1+Z_{2}\mu_{2})\sinh[(D_{1}-D_{3})/2]$
$\cross\{\exp[(D_{1}+2D_{2}-D_{3})/2]\tilde{f}\cdot f\}\cdot\{\exp[(D_{1}+D_{3})/2]f^{\sim}\cdot f\}$
(41)
と変換される。
(41)
式は、
$P$
が\mbox{\boldmath$\mu$}1
$Z_{1}+\mu_{2}Z_{2}=0$
の時、
$0$になる事を示す。
(38)
式が
DAGTE
のバック
ルンド変換である。 また、
DAGTE
は
$D_{i}(i=1,2,3)$
の符合に関し、不変であることより、
(38)
式の瓦の符合は任意に選ぶことが可能である。
d-HLV
方程式の場合、
DAGTE
のパラメータを次のように選ぶ。
$D_{1}= \frac{D_{t}+(2M+1)D_{n}}{2}$
(42)
$D_{2}= \frac{-D_{t}+D_{n}}{2}$
(43)
$D_{3}= \frac{D_{t}+D_{n}}{2}$
(44)
$Z_{1}=\delta$
,
Z2=-(1+\delta )
、及び
$Z_{3}=1$
.
(38)
式より、バックルンド変換が得られる。
$[ \alpha e\frac{D_{t}+(M+1)D_{n}}{2}-e\frac{- D_{t}-(M+1)D_{n}}{2}-e\frac{-D_{t}+(M+1)D_{n}}{2}]f_{n}^{\ell}\cdot g_{n}^{\ell}$
$=$
$0$$[ \lambda e^{r_{2^{L}}}D-(1+\delta)e^{-\lrcorner}\underline{D}_{2^{L}}-\delta e\frac{\langle 2M+1)D_{n}}{2}]f_{n}^{t}\cdot g_{n}^{t}$
$=$
$0$(45)
ただし、
$\alpha_{1}=\alpha,$$\alpha_{2}=\frac{\lambda}{1+\delta}$と任意定数を置き直してある。
D-
オペレーターを用いずに表わ
すと、
$f_{n+1}^{t}g_{n-M}^{\iota+1}+f_{n-M}^{t}g_{n+^{1}1}^{\+}=\alpha f_{n+1}^{\iota+1}g_{n-M}^{t}$(46)
$(1+\delta)f_{n-M}^{t}g_{n-M+1}^{t}+\delta f_{n+1}^{t}g_{n-2M}^{t}=\lambda f_{n-M+1}^{t}g_{n-M}^{t}$
このバックルンド変換と
$g_{n}^{t}=(1+\delta)^{-(n+M)+(M+1)(t-1)}f_{n}^{t}\psi_{n+M}^{t-1}$
(47)
より
Lax-Pair
が得られる。
$\{\begin{array}{l}\prod_{i=0}^{M}(1+\delta u_{n-i}^{1+1})\psi_{n}^{t+1}+\psi_{n+M+1}^{t+l}=\alpha\psi_{n}^{t}\delta u_{n}^{t}\prod_{i=1}^{M}(1+\delta u_{n-i}^{t})\psi_{n-M}^{i}+\psi_{n+1}^{t}=\lambda\psi_{n}^{t}\end{array}$
(48)
ここで従属変数の変換を再び書いておこう。
$u_{n}^{t}= \frac{f_{n-M}^{i}f_{n+M+1}^{\ell+I}}{f_{n}^{t}f_{n+1}^{t+1}}$
(49)
5
保存量
(48)
式は、行列で表すことが可能である
:
$A(t)\tilde{\psi}(t+1)$
$=$
$\alpha\tilde{\psi}(t)$(51-a)
$L(t)\tilde{\psi}(t)$
$=$
$\lambda\tilde{\psi}(t)$(51-b)
そして上の式の両立条件より、次の行列方程式が得られる。
$A(t)L(t+1)=L(t)A(t)$
.
(52)
d-HLV
方程式
(16)
の高次の保存量は次の関係式より容易に計算することができる。
$H_{m}(t)\equiv Tr(L^{m}(t))$
,
(53)
$H_{m}(t+1)\equiv Tr(L^{m}(t+1))$
$=TY(A^{-1}(t)L^{m}(t)A(t))$
$=T_{J}(L^{m}(t))$
$=H_{m}(t)$
,
for
$m=1,2,3,$
$\cdots$.
ここで、
$M=2,5$
周期的境界条件の場合を具体的に計算してみよう。
$A=($
$w^{t}0_{0}^{+1}w_{0}^{\iota_{1}+1}4w_{3^{+1}}^{t}0$ $w^{t+1}w_{0}^{t}w_{4}^{\iota+1}0^{+1}0$ $w^{t+1}w_{0^{+1}}^{t}w_{0}^{t+1}21001$ $w^{t}w_{0^{+1}}^{t}w_{1}^{t+1}001$ $w^{t}4^{+1t}w_{3}^{1}w_{2}^{t+1}0_{+1}00$)
(54)
$L=(\begin{array}{lllll}0 1 0 u_{3}^{t}w_{2}^{t}w_{1}^{t} 00 0 1 0 u_{4}^{t}w_{3}^{t}w_{2}^{t}u_{0}^{t}w_{4}^{t}w_{3}^{t} 0 0 1 00 u_{1}^{t}w_{0}^{t}w_{4}^{t} 0 0 11 0 u_{2}^{t}w_{1}^{t}w_{0}^{t} 0 0\end{array})$
(55)
ここで、
$w_{n}^{t}\equiv 1+\delta u_{n}^{t}$とする。対角和より、
$H_{1}=H_{2}=0$
$H_{3}=3 \sum_{i=0}^{4}u_{i}w_{i-1}w_{i-2}$
(56)
$H_{4}=4(u_{4}u_{3}u_{1}w_{2}+u_{4}u_{2}u_{1}w_{0}+u_{4}u_{2}u_{0}w_{3}$
(57)
$+u_{3}u_{2}u_{0}w_{1}+u_{3}u_{1}u_{0}w_{4})w_{4}w_{3}w_{2}w_{1}w_{0}$
(58)
$H_{\overline{o}}=5 \prod_{i=0}^{4}u_{i}w_{i}^{2}$
