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1
数 B
隣接３項間の漸化式の導き方
① 漸化式を変形させて,
の形にする。
② ( )とおいて の一般項を求める。
③ の一般項を求めて,
（ ）のときに成り立つか確認する。
a
n+2− a
n+1= m(a
n+1− a
n)
{b
n} {a
n}
x
例題
解
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
a1= 1, a2 = 3, an+2 = 3an+1−2an (n = 1, 2, 3,⋯)
an =a1+∑n−1
k=1
2k = 1 + 2(2n−1−1) 2−1 an+2−an+1 = 2(an+1−an)
漸化式を変形すると,
隣接３項間の漸化式
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これより, bn = an+1−an とすると,
bn+1 = 2bn
となり, 数列 {bn} は, 公比 の等比数列とわかる。2
また, 数列 {bn} の一般項は,
数列 {bn} の初項は, b1 = a2−a1 = 3−1 = 2
bn = 2⋅2n−1 = 2n
数列 {bn} は数列 {an} の階差数列であるから, のとき,
n ≧ 2
= 2n−1
この初項は, a1 = 2−1 = 1 なので, n = 1 のときにも成り立つ。
したがって, 一般項 an は, {an} = 2n−1
