ドジスン(キャロル)の数学関連の業績1

ドジ ス ン(キ ャロ ル)の 数 学 関 連 の業 績

ドジ ス ン(キ ャ ロ ル)の 数 学 関 連 の 業 績1

一 ドジ ス ンは い か な る数 学 者 だ っ た の か 一

笠井勝子 、細 井勉、 下笠徳 次

19世 紀 の イ ギ リ ス の 作 家 ル イ ス ・キ ャ ロ ル(LewisCarroll,1832.1 .27.

‑1898 .1.14.)は 、 実 名 を ド ジ ス ン(CharlesLutwidgeDodgson)と 言 い 、 オ ク ス フ ォ ー ド(Oxford)大 学 の 教 師 だ っ た 。 し か し、 オ ク ス フ ォ ー ド 大 学 の ホ ー ム ペ ー ジ で 著 名 な 卒 業 生 の 一 覧 表 を 見 る と 、 ドジ ス ン は 、 オ

ク ス フ ォ ー ド大 学 の 教 師 と し て で は な く 、 作 家(Author)と し て 掲 載 さ れ て い る 。 ま た 、 ル イ ス ・キ ャ ロ ル と い う 名 前 は 筆 名 と し て 括 弧 に 入 れ て あ る 。 ドジ ス ン の 本 業 に つ い て は 、 現 在 、 あ ま り 具 体 的 に は 知 られ て い な い よ う だ 。

じ つ は 学 部 時 代 か らStudentshipの 待 遇 を 得 た ド ジ ス ン は 、1856年 に は 、 新 学 寮 長 の 就 任 祝 い に 学 寮 内 修 士 の 扱 い を 受 け 、 翌1857年 に オ ク ス フ ォ ー ド 大 学 の ク ラ イ ス ト ・チ ャ ー チ ・ カ レ ッ ジ(ChristChurch College)でMathematicalLecturer(数 学 講 師2)の 身 分 を 与 え ら れ た Mathematicianで あ っ た 。 し か し 、 講 師 と し て ド ジ ス ンが 教 え て い た の は 先 端 的 な 数 学 で も 高 等 数 学 で も な か っ た3。 ま た 数 学 を 勉 強 す る こ と は 期 待 さ れ て い て も 、 研 究 す る こ と は 要 求 さ れ て い な か っ た 。 そ の よ う な 状 況 に あ っ た ドジ ス ン の 数 学 的 な 業 績 が ど の よ う で あ っ た か に つ い て 1本 研 究 は 平 成14年 度文 教 大 学 女 子 短 期 大 学 部 共 同研 究 費 の助 成 を受 け た 「ル イス ・キ ャ ロ ルの 日記 一 イ ン デ ク ス 作 成 」 の 成 果 に 関す る報 告 の一 部 で あ る 。

2時 代 や 国 の違 い が あ り、 今 の 日本 の 大 学 講 師 と 同等 の もの で は な い 。

3現 在 で言 う、 初 等 ・中等 教 育 の 数 学 に あ た る もの で あ る。 ユ ー ク リ ッ ドの幾 何 を 主 と して 、 と き に は 四 則 計 算 ま で 教 え た こ と も あ っ た よ うだ 。Arithmeticを 教 え た と い う 日記 の 記 述 が あ っ た りす る(4‑1/65、 他)が 、 このArithmeticは 単 に算 数(日 本 の 小 学 校 の教 科 の一 つ)と 訳 す べ き もの で は な い 。Arithmeticを 数 学 の専 門 書 で 算 術 と訳 す 場 合 が あ る が 、 そ の 場 合 の 算 術 は昔 の小 学 校 で 教 え て い た 教 科 と して の 算 術 で は な く、 専 門 的 に 定 義 さ れ た 、 一 群 の計 算 方 法 の こ とで あ る。 逆 に 、 日本 の小 学 校 の 算 数(あ る い は、 昔 の 算 術)と い う教 科 に 対 応 す る 英 語 は ない 。

ドジス ン(キ ャロ ル)の 数学 関連 の 業績

は、 研 究 ・調 査 が 必 要 と され る課 題 だ と考 え られ る の で あ る4。

さ て 、 本 稿 は 、 著 者 の 一 人5が 文 教 大 学 の研 究 費 を得 て 組 織 した ドジ ス ンの 日記 の イ ンデ ク ス 作 成 プ ロ ジ ェ ク トの 中 で 、 も う一 人 の 著 者6が

ドジ ス ンの 数 学 的 な仕 事 につ い て 検 討 した報 告 で あ る 。 結 果 と して 、 ド ジス ン とい う人 物 が どの よ うに 数 学 と 関 わ っ て い た か 、 分 か っ て きた か と思 う。

以 下 で は 最 初 に、Mathematicianと い う語 の 意 味 に つ い て述 べ 、 次 に 、 ドジ ス ンの 数 学 に 関係 し た仕 事 に つ い て の 分析 をお こ な う。 た だ し、 数 学 の 中 身 に つ い て は詳 述 し ない 。

Mathematicia皿 と数 学 者

Mathematicianと い う 語 は 英 和 辞 典 で は 、 数 学 者 、 と い う 訳 語 だ け を も つ が 、 こ れ は 正 確 で は な い 。 以 前 に 他 の 記 事 田 で 述 べ た こ と だ が 、 日 本 語 の 数 学 者 は 英 語 のMathematicianよ り は 狭 い 意 味 の 語 で あ る 。 英 語 のMathematicianは 、 数 学 が 好 き な 者 、 数 学 を 専 攻 し た 者 、 数 学 を 教 え て い る 者 、 数 学 を 研 究 し て い る 者 、 な ど を 含 む 輻 広 い 意 味 の 語7だ が 、 日 本 語 の 数 学 者 の 意 味 は そ れ ほ ど 広 く な く、 数 学 の 研 究 者 と い う意 味 で の み 使 わ れ る 。 し た が っ て 、 ドジ ス ン に つ い て 、 数 学 好 き あ る い は 数 学 教 師 と い う意 味 で のMathematicianな の か 、 そ れ と も、 数 学 の 研 究 も し て い たMathematicianな の か が 問 題 な の で あ る 。 つ ま り 、 日 本 語 の 数 学 者 に あ た る か ど う か で あ る 。 彼 は 、 数 学 関 連 の 執 筆 を し て い る 。 数 学 教 師 で も あ っ た 。 と い う こ と で 、 英 語 で 言 うMathematicianで あ る こ と は

4伝 記 作 家 は ドジ ス ンを 業 績 豊 か な数 学 の 研 究 者 と して い る の が 普 通 で あ る が、 そ う言 い切 る た め の 十 分 な 根 拠 を持 っ て い る と は 思 え な い 。 単 な る 数 学 教 材 を論 文 とみ な し て い る例 も あ る 。 ひ ど い場 合 に は 答 案 と い う意 味 のpaperを 論 文 だ と して い る例 もあ る よ う だ 。 そ こ に 、 数 学 者 に よ る評 価 が 必要 だ と考 え られ る の で あ る。

5笠 井。 6細 井。

7多 くの ヨー ロ ッパ の言 語 で もそ う な って い る よ うで あ る。 一68一

ドジス ン(キ ャロ ル)の 数学 関連 の業 績

間 違 い な い 。 しか し、 英 語 に よ る伝 記 の 中 でMathematicianと 書 い て あ る もの を、 短絡 的 に、 日本 語 の 数 学 者 と翻 訳 す る の は 間 違 い で あ る。 で は 、彼 は い か な るMathematicianで あ っ た の か 、 彼 の業 績 に つ い て の 検 討 が 必 要 で あ る。 筆 者 の 一 人8は 、 ドジ ス ン とか な りに共 通 の 興 味 範 囲9

を持 つ 大 学 人 と して 、 この こ と を一 度 評価 して お きた い と思 っ た。

結 論 を先 に 書 くと、 ドジ ス ンは 若 い と きか ら数 学 が 好 きで あ っ た 。 大 学 の 学 生 と して 数 学 にお い て優 秀 な 成 績 を残 して い た と言 わ れ'° 、 ま た 、 大 学 で 数 学 の指 導 を し11、初 等 ・中 等 教 育 レベ ル の 数 学 教 材 をい ろ い ろ と考 案 して い る。 さ らに 、 数 学 論 文 と して 立 派 に通 用 す る も の を 一 つ 執 筆 した 数 学 研 究 者 で あ り、 現代 に影 響 す る もの を も残 して い る。 す な わ ち 日本 語 の 意 味 で の 数 学 者 で もあ る こ と を確 認 した 。 しか し、 そ の 論 文 以 外 に は 学 術 論 文 は残 して い な い 、 とい う こ とで あ っ た'2。そ の 詳細 を 次 に述 べ る。

ドジス ン(キ ャロ ル)と 数 学

さ て 、 ドジ ス ンが 執 筆 した もの が ど の よ う に 数 学 と 関 係 して い る か 、 分析 を行 う。 主 た る 目的 は 、 日本 語 の 数 学 者 とい う観 点 か らの業 績 の 評 価 で あ る 。 そ れ と と もに 、 英 語 のMathematicianど い う観 点 か ら も業 績

につ い て評 価 を行 う。

ドジ ス ンの 数 学 上 の業 績 評 価 をす る の にあ た っ て は 、 綿 密 な 資 料 蒐 集 を した二 次 資料 が 利 用 で きた。 そ れ は

8細 井。

9ド ジス ン と共 通 して い る と思 うの は、 数 学 研 究 及 び教 育 、論 理研 究 及 び 教 育 、 計 算 法 に対 す る 興 味 、 遊 び の 数 学 へ の 関 心 、 数 学 教 育 法 の 研 究 、 日常 の 言 葉 へ の 関 心 、 言 語 へ の 関 心 、 等 々 で あ る 。

10た だ し、 数 学 を専 攻 して い た わ けで は な い。

11た だ し、 数 学 を専 攻 して い る学 生 に対 し てで は な い 。

12数 学 者 で あ った、 とい う こ と か ら、 そ の 他 の 数 学 的 な 著 述 も み な 数 学 的 な業 績 だ と考 え る の は 行 き過 ぎで あ る こ と に注 意 した い 。

ドジス ン(キ ャロ ル)の 数 学 関 連 の 業績

S.H.Williams,F.Madan,R.L.Green&D.Crutch TheLewisCarrollHandbook,DawsonArchonBooks 360頁 、1979年

で あ る13。 こ の ハ ン ドブ ッ ク は 、 ド ジ ス ン が 印 刷 し た も の は も ち ろ ん 、 校 正 刷 り し か 残 っ て い な い も の 、 原 稿(MS)し か 残 っ て い な い も の 、 他 の 文 献 で 参 照 さ れ て い る だ け の も の ま で リ ス ト ア ッ プ し て お り今 回 の 検 討 作 業 に は 十 分 な 資 料 で あ る と 考 え た 。 数 学 の 業 績 の 評 価 で は 常 に 、

印 刷 公 表 さ れ 、 不 特 定 多 数 の 数 学 者 が 自 由 に 読 め る も の だ け が 対 象 と さ れ る の で 、 必 要 な も の は す べ て ハ ン ドブ ッ ク に 含 ま れ て い る と 考 え られ る か ら で あ る14。

作 業 に あ た っ て は 、 ま ず 、 ハ ン ドブ ッ ク に 含 ま れ て い る 数 学 関 連 の 標 題 を す べ て 抽 出 し た 。 数 学 関 連 と い う こ と は 、 数 学 そ の も の を 扱 っ て い る も の だ け で な く、 数 学 的 な 記 述 を し た も の や 、Mathematicianだ か ら こ そ 書 い た と 思 わ れ る も の な ど を 含 め る こ と で あ る 。 抽 出 し た ぜ ん ぶ の 標 題 を 、 そ の ハ ン ド ブ ッ ク で の 番 号 と と も に 、 本 稿 の 最 後 に 「参 考 」 と

し て 示 す15。

ハ ン ドブ ッ ク に は429点 の 標 題 が 記 録 さ れ て い た が 、 数 学 関 連 と し て 抽 出 し た も の は121点 で 、 全 体 の28%程 度 で あ る 。

抽 出 し た も の に は 、 印 刷 し た も の も あ れ ば 、 原 稿 も あ り 、 校 正 刷 り も あ っ た 。 さ ら に は 、 形 態 的 に は 、1枚 だ け の も の も あ れ ば 、 立 派 な 本 も あ っ た 。 本 来 は 公 刊 論 文 だ け を 検 討 す れ ば よ い の だ が 、 ド ジ ス ン の Mathematicianと し て の 姿 を 見 る た め に 、 こ の よ う に 幅 広 く抽 出 し た 。

13最 初 の 版 は ウ ィ リア ム ズ とメ ィ ダ ン に よ り1931年 に完 成 され

、 そ の 後 、1962年 に グ リー ン に よ っ て 改 訂 ・増 補 が な され た。 そ して 、 さ らに 、1979年 に ク ラ ッ チ に よ る改 訂 が な され 、 現 在 の もの が 完 成 され た。

14数 学 史 の 研 究 と は違 い、 未 知 の 資 料 の存 在 を考 慮 す る 必 要 が ない 。 仮 に 、 今 後 、 新 資 料 が 発 見 さ れ て も、 広 く公 刊 され た も ので な い で あ ろ う か ら、 業 績 とは み な され な い はず で あ る 。 15番 号 に はa、b、 な どの 枝 番 号 の つ い た もの もあ る。 そ れ は ハ ン ドブ ック の 最 初 の版 の 番号 を変 更 しな い まま 、 後 で 標 題 を追 加 した た め で あ る。

ドジ ス ン(キ ャ ロル)の 数 学 関連 の業 績

以 下 に お い て 、 標 題 の前 に つ け て あ る 数 字 、 あ る い は 単 独 で 現 れ る数 字 は ハ ン ドブ ッ クで の 番 号 で あ る。 ハ ン ドブ ッ ク に は標 題 の も と に内 容 等 に つ い て の コ メ ン トが 簡 単 に 記 して あ り、 そ れ は十 分 に信 頼 で き る と 判 断 し た16。執 筆 者 名 は、 キ ャ ロ ル と記 して お い た 少 数 の もの 以 外 は ド ジ ス ンで あ る か 、 執 筆 者 名 が 明 記 され て い な い もの で あ る 。 標 題 を 示 し た もの の う ち 、 本稿 で 重 要 な もの はす べ て 読 ん だ が 、 そ れ 以 外 は ほ とん

ど見 て は い な い。

抜 き出 した もの を、 便 宜 上 、 1.数 学

2.論 理 学17 3.ゲ ー ム ・パ ズ ル 4.暗 号 ・暗 記 法 5.社 会 問 題

の 五 つ に 分類 して 検 討 した。数 学 者 の 業 績 の 検 討 と して は 、最 初 の 二 つ 、 数 学 と論 理 学 、 だ け が 重 要 で あ る。 一 方 、 残 りの 三 つ の 中 に は 数 学 の 資 料 と は 言 え な い もの もあ る が 、Mathematicianで な け れ ば 書 け な い だ ろ

う、 と い う判 断 か ら抽 出 した もの が あ る。

分類 別 ・年 度 別 の 執 筆 件 数 は 、 参 考 の リ ス トの後 に 、 表 と して 示 して あ る。

以 下 に、 そ の 分 類 に沿 っ て 、 業 績 を検 討 す る。 そ の 際 、 年 号 に つ い て は 下2桁 で 表 し、 ま た 日記 の 日付 は 「月 一 日」、 「/年 」 の よ うに 表 す こ と に す る 。

is参 考 の リス トの 中 の 内容 紹 介 は、 筆 者 自 身 に よ る もの もあ る が 、 筆 者 が 現 物 を 見 て い な い もの につ い て は ハ ン ドブ ッ クか らの 借 用 で あ る 。

17論 理 学 が 数 学 の 一 部 で あ る か に つ い て は

、 歴 史 的 に 、 議 論 が あ っ た 。19世 紀 以 前 に は 数 学 の 一 部 と 考 え られ て は い な か っ た。19世 紀 に 、 論 理 の 数 学 的 な取 り扱 い が な され る よ うに な り、 さ ら に は 、20世 紀 に 、 数 学 の 研 究 の た め に論 理 とい う もの を は っ き り させ る必 要 が 生 じ た りした 。 そ の 流 れ の 中 で 、 論 理 学 を数 学 の 一 部 と考 え る よ うに な っ て きた 。 ヨー ロ ッパ で そ の 考 え が 定 着 した の は20世 紀 の前 半 で、 日本 に そ の 考 えが 定 着 したの は20世 紀 の 後 半 で あ る 。

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1.数 学

リ ス トの 中 で 、 い わ ゆ る 高 等 数 学 の 研 究 論 文 と 見 な せ る も の は 、 52.CondensationofDeterminants

『行 列 式 の 縮 約 』、1866年

だ け だ っ た 。 こ れ は 現 在 の 日本 の 理 工 系 大 学 の 低 学 年 で 学 ぶ 行 列 式 の 計 算 方 法 に 関 す る も の で 、ProceedingsoftheRoyalSocietyと い う学 術 雑 誌 に 掲 載 さ れ た7頁 の 短 い 論 文 で あ る18。 こ のProceedingsがRoyalSociety の 例 会 の 報 告 書 と い う形 式 を と っ て い る た め に 、52は 短 い 論 文 に な っ た と 考 え ら れ る 。 ド ジ ス ン は 、 翌 年 、

57.ElementaryTreatiseonDeterminants

『行 列 式 入 門 』、1867年

と い う本 で 詳 細 を 発 表 し て い る 。52は ドジ ス ン が34歳19の と き の 仕 事 で あ っ た 。

日記 を 見 る と、 こ の 二 つ に 対 す る 記 述 は 、 他 と比 べ て た く さ ん あ る2°。 こ の2点 以 外 の 数 学2ユの 標 題 は36点 あ る が 、 い ず れ も 、 教 科 書 あ る い は 教 材 の よ う な も の で あ る 。 大 学 教 育 レ ベ ル の 教 材 も あ る が 、 多 く は 現 在 の 初 等 ・中 等 教 育 レ ベ ル の も の で あ る22。 ド ジ ス ン は 幾 何 の 教 育 法 に と く に 関 心 が あ っ た 。 ま た 、 計 算 技 法 に も 関 心 が あ っ た の で 、 そ の 種 の 仕 事 も い くつ か 見 ら れ る23。 上 の 行 列 式 の 論 文 は そ の 延 長 線 上 に あ る も の で あ る 。

数 学 の38点 の 書 き物(抽 出 し た 標 題 の31.4%)は 、 ほ ぼ 、 生 涯 に わ

18数 学 で は、 論 文 の 長 さ は 問題 と され な い 。1頁 の 論 文 で も 内容 が 良 け れ ば 、 良 い 論 文 と評 価 さ れ る 。

1930代 は

、 数 学 者 と し て一 番 仕 事 が で き る年 頃 だ と言 わ れ て い る 。

2052に つ い て は 日記 の10 ‑28/65,1‑16,2‑27,3‑25,5‑7,5‑12,5‑29/66に 、57に つ い て は 日記 の2‑

6,3‑15,4‑22,10‑19,11‑21,12‑12/67に 記 述 が あ っ た。

21現 在 で は論 理 学 は数 学 の一 部 とみ な され て い るが、 こ こで は 論 理 学 以 外 の 数 学 を言 う。

22ド ジ ス ンが 中 学 校 や 高 校 に 出 向 い て 教 え た り も した と い う状 況 も あ るが、 オ ク ス フ ォー ド大 学 で 学 生 の 実 力 に 見 合 っ た教 育 を した結 果 だ とい う状 況 も あ る。

23274

、 他 。

ドジス ン(キ ャロ ル)の 数学 関 連 の業 績

た っ て 、 平 均 し て 書 い て い る よ う で あ る 。 数 学 教 師 と し て 常 に 教 材 等 を 書 い て い た と い う こ と で あ る 。

数 学 教 育 に 関 連 し た 著 述 と して は 128.EuclidandhisModernRivals

『ユ ー ク リ ッ ド と 現 代 の ラ イ ヴ ァ ル 達 』、1879年

が あ る が 、 こ れ は ド ジ ス ン名 の 文 学 作 品 と も 言 う べ き も の で 、 脚 本 の 構 成 を 取 っ て い る 。 内 容 的 に は 幾 何 教 育 論 で あ る 。 幾 何 の 教 育 を ユ ー ク リ

ッ ドの 幾 何 の 本 に な ら っ て 行 う べ き だ と 主 張 し、 現 代 のRivalsと し て の 当 時 の 教 科 書 を 批 判 し て い る 。 ド ジ ス ン の 時 代 は 第 一 回 目 の 幾 何 教 育 の 転 換 期24で あ っ た 。 そ こ で ド ジ ソ ン は 保 守 派 と し て 戦 っ た と い う こ と の

よ う で あ る 。

ド ジ ス ン は 、 ま た 、 ユ ー ク リ ッ ド流 の 幾 何 の 教 科 書 を24、34、49、

64、90、92、102、156で 発 表 し て い る 。

2.論 理 学

論 理 学 に つ い て は 、 ド ジ ス ン の 日 記 の2‑17/58に 、 論 理 学 の 本 を 勉 強 し は じ め た と い う記 述 が あ る 。 そ れ か ら18年 後 の5‑25/76に な っ て 、 ブ ー ル25の や り方 に そ っ て 、 そ し て 追 加 を 入 れ て 、 論 理 学 に つ い て 書 き 始 め た と い う 記 述 が あ る 。 し か し 、 そ れ が 実 る の に は 時 間 が か か っ た よ う だ 。8年 後 の11‑20/84に 、 プ ー ル よ り も う ま く行 っ た と 書 い て い る が 、 本 当 に 芽 が 出 は じ め る の は さ ら に2年 後 の86年 の こ と で あ っ た 。

じ つ は 、19世 紀 の 中 頃 ま で 、 論 理 学 と 言 え ば 、 ア リ ス トテ レ ス26の 論 理 学 の こ と だ っ た 。 しか し、 そ の 論 理 学 は 、 本 質 的 に は 、 一 つ の 変 数 の

24第 二 回 目 の 転 換 期 は1960年 代 だ っ た

。 そ の と き 、 く た ば れ ユ ー ク リ ッ ド、 と い う ス ロ ー ガ ン の も と に ユ ー ク リ ッ ドの 幾 何 教 育 は 追 放 さ れ た 。

zsGeorgeBoole(1818 ‑1864)0 26英 語 流 に 書 く と

、Aristoteles(BC.384‑BC.322)。 ユ ー ク リ ッ ド よ り 少 し 前 の ギ リ シ ャ の 哲 学 者 。 論 理 学 の 体 系 を 作 っ た 。

ドジス ン(キ ャロ ル)の 数学 関 連 の業 績

述 語 の 上 の 論 理 で あ り、 た と え ば 、y=f(x)の よ うにxとyと い う二 つ の 変 数 に 関係 し た述 語 、X+y=Zの よ う にXとyとZと い う三 つ の 変 数 に関 係 した 述 語 、 な どの よ う な複 数 の 変 数 か ら な る 述 語 は扱 っ て い な か っ た。

そ れ は数 学 を 論 理 的 に展 開 す るの に あ た っ て 致 命 的 な欠 陥 だ っ た。19世 紀 に ア リス トテ レ ス の論 理 学 の 見 直 し と、 代 数 的 な手 法 の 導 入 が プ ー ル

な ど に よ っ て な さ れ、 そ の 流 れ の 中 で ドジ ス ン も仕 事 を して い た の で あ る27。

著 作 と し て は 、 ま ず 、

193.GameofLogic(first,PrivateEdition)

『論 理 の ゲ ー ム 』、103頁 、1886年 っ つ い て 、

196.GameofLogic(Second(Firstpublished)Edition)

『論 理 の ゲ ー ム 、 第 二 版 』、112頁 、1887年

と い う よ う に 、 論 理 を ゲ ー ム と捉 え る 試 み28を 出 版 し た 。 こ れ ら は 子 供 向 け の も の で 、 失 敗 作 だ とハ ン ド ブ ッ ク は 位 置 づ け て い る 。

子 供 向 け と し て は 失 敗 作 で あ っ た と し て も 、 次 の 作 品 の 萌 芽 を 含 ん で い る 重 要 な 作 品 だ っ た 。 つ ま り、 こ れ ら の 作 品 の 延 長 線 上 に あ る も の と し て 、 ド ジ ス ン は

270.SymbolicLogic,PartI(First,Second&ThirdEdition)

『記 号 論 理 、 第 一 部 』、224頁 、1896年

を キ ャ ロ ル の 筆 名 で 出 版 す る29。 同 年 に は 論 理 に つ い て た く さ ん 書 い て

27完 成 さ れ た の は20世 紀 の こ と で あ る。

28論 理 とい う もの は、相 手 に何 か を納 得 させ る手 続 き なの で 、 ゲ ー ムみ た い な も の で あ る。 つ ま り、 こ こ ま で分 か っ た か な、 じゃ あ こ れ は、 … とい う対 話 の 連 続 で あ る。 と い う こ とか ら、 ゲ ー ム とい う取 り扱 い は、 自然 な も の で あ る。

29SymbolicLogicは 記号 論 理 と訳 され る。象 徴 論 理 学 とか 記 号 的論 理 学 とか の 誤 訳 も見 か け る。

Logicは 、 上 に述 べ た よ うに 、 も と も と、 ア リ ス トテ レス の 論 理 学 を 意 味 し た。 そ れ を 命 題 の 形 や推 論 の形 だ け に着 目 し、 命 題 の 意 味 を考 え る こ と な しに 、 形 を 見 た だ け の 操 作 に した 論 理 が 、 記 号 論 理 、 形 式 論 理(FormalLogic)、 数学 的 論 理(MathematicalLogic、 数 理 論 理 と もい う)、 等 の よ うに 呼 ば れ て い る も の で あ る。 プ ー ル 、 そ の 他 の 努 力 に よ り、19世 紀 の 中 頃 か ら

一74一

ドジ ス ン(キ ャロル)の 数 学 関連 の 業績

い る の だ が 、 こ れ は 亡 く な る2年 前 の こ と で あ る 。

270も 、193と 同 様 に 、 論 理 の 展 開 を ゲ ー ム と し て 行 っ た も の で 、 高 校 等 で 実 際 に 教 え て み た も の で あ る3°。 し か し 、 内 容 は 論 理 の 教 科 書 そ の も の で あ る 。 ア リ ス トテ レ ス の 論 理 学 と20世 紀 に 開 花 す る 記 号 論 理 を つ な ぐ 感 じ の も の と 言 え る 。 具 体 例 に 優 れ て い る の が 特 徴 で あ る が 、 逆 に 、 そ の た め に 数 学 者 か ら は 無 視 さ れ た よ う で あ る 。

こ の 第 一 部(PartI)はElementary(初 級)と 称 す る も の で 、 続 い て 第 二 部(PartII)Advanced(中 級)、 第 三 部(PartIII)Transcendental

(上 級31)を 書 く予 定 だ と ド ジ ス ン は 宣 伝 文 を 書 い て い る 。 そ れ ら は 校 正 刷 り ま で 行 っ た が 、 ドジ ス ン の 生 命 が 尽 き て 、 未 刊 に 終 わ っ た32。

こ の270は 、 こ の 時 代 の 教 科 書 と し て は 失 敗 作 で も、 見 方 に よ っ て は 、 一 流 品 と考 え ら れ る。 具 体 例 は ド ジ ス ン な ら で は の も の ば か りで あ る 。 ゲ ー ム と い う 見 方 か ら 導 入 し た ダ イ ア グ ラ ム の 手 法 は 、 コ ン ピ ュ ー タ 時 代 に な っ て か ら 、 論 理 設 計 の た め の カ ル ノ ー(Karnaugh)図 や ク ワ ィ ン ・マ ク ラ ス キ(Quine‑McClusky)の 方 法 に 発 展 利 用 さ れ て い る33。 そ の こ と か ら 、 こ の270を 数 学 の 研 究 業 績 と 考 え る こ と も 許 さ れ る か も し れ な い 。 た だ 、 書 き 方 の 点 で 、 だ い ぶ 損 を し て い る よ う で あ る 。 つ ま り、

論 理 の 考 え 方 を ダ イ ア グ ラ ム で 表 す こ と に し た 、 と い う こ と だ け に 論 点 'を お い て 論 文 と し て 書 い て あ れ ば

、 論 理 学(数 学)の 業 績 と し て あ る 程 度 の 評 価 点 を 与 え る こ と が で き る で あ ろ う が 、 論 点 が そ の よ う に は 見 え

そ う い う取 り扱 い の 論理 が 考 え られ る よ う に な っ た。SymbolicLogicと い う言 葉 の 使用 に つ い て 、 ドジス ン はそ の 最 初 の 人 々の 一 人 で あ る。

30そ の こ とは 日記 に何 度 も記述 さ れ て い る(2 ‑15/94、 他)。

31Transcendentalと い う語 は

、 数 学 で は、 今 ま で の も の以 上 の もの 、 と い う意 味 で よ く使 わ れ て い る。 シ リー ズ と して は 上 級 に あ た る もの で あ る 。

321977年 に な っ て

、 探 し出 さ れ た 第 二 部 の 校 正 刷 りと 部 分 的 な原 稿 を も とに して 、 第 一 部 と 一緒 に公 刊 され て い る の だ が、 そ れ は ドジス ンの 知 らな い こ とで あ る

SymbolicLogic,Partl&II、1997年(キ ャ ロ ル名) 33ド ジス ンに 対 す る 参照 は な い よ うだ が

、 そ れ は コ ンピ ュ ー タ分 野 で の 悪 習 に よる もの で あ ろ う。

ドジ ス ン(キ ャロ ル)の 数 学 関 連 の業 績

て こ な い の で あ る34。

一 方、20世 紀 後 半 の 集 合 の 教 育 で オ イ ラ ー(Euler)図 や ヴ ェ ン (Venn)図 が 使 わ れ る が 、 ド ジ ス ン は ヴ ェ ン 図 よ り も 優 れ て い る も の を 考 案 し た と い う 自 負 を 持 っ て い た よ う で あ る35。

こ の 教 科 書 は 優 れ て は い る も の の 、 記 号 論 理 の 教 科 書 と し て は 、 や は り、 具 体 例 が 多 す ぎて 、 好 ま れ な か っ た よ う で あ る 。 ま た 、(童 話 作 家 の)キ ャ ロ ル の 作 品 と い う こ と か ら、 教 科 書 と し て 受 け 入 れ ら れ 難 か っ た よ う で 、 惜 し い こ と で あ る 。

ド ジ ス ン と 論 理 に つ い て は 、 も う 一 つ 、 小 編 だ が 、 述 べ て お く必 要 が あ る 。 そ れ は 、

263.WhattheTortoisesaidtoAchilles

『亀 が ア キ レ ス に 言 っ た こ と 』、1894年

で あ る 。 ア キ レ ス は 亀 に 追 い つ く こ と が で き な い 、 と い う ギ リ シ ャ の パ ラ ド ク ス36を 別 の 形 で 論 じ て い る 。 無 限 個 の 数 の 和 を 考 え る こ と に よ り、

ア キ レ ス と 亀 の パ ラ ド ク ス は 回 避 さ れ る37の だ が 、 ド ジ ス ン は 、 こ の 263で 、 数 の 演 算 操 作 を 無 限 回 続 け る こ と は 完 結 し得 て も38、 推 論 操 作

34論 文 は展 開 の仕 方 に よ って 評 価 が ま っ た く変 わ る こ とが あ る の で あ る。

35オ イ ラ ー 図 や ヴ ェ ン図 で は 三 つ ま で の 変 数 し か扱 え な い が 、 ドジ ス ン は扱 え る 変 数 の個 数 を 増 や す こ とに 執 心 した 。 そ の 結 果 が コ ン ピ ュ ー タ 時代 の 役 に立 っ た の で あ る 。 五 つ の変 数 まで2次 元 的 な 図 で表 せ る こ とをSymbolicLogicの 付 録 に示 して い る。

36ア キ レス と亀 が 競 争 を す る と仮 定 す る。 ア キ レス は 世 界 一 足 が 速 い の で 、 足 の 遅 い 亀 は ア キ レス よ り も前 の 地 点P。か ら 出 発 す る とす る 。 ア キ レ ス と亀 が 同 時 刻(T。)に 出 発 し た と す る 。 まず 、 ア キ レス は亀 が 当 初 い た 地 点P。 まで 進 まな け れ ば な らな い 。 ア キ レ ス が そ の地 点 に 到 達 し た時 点Tlで は、 つ ま りtl=Tl‑T。 の 問 に 、亀 は す こ し前 のP1に 進 ん で い る 。 そ こで 、 ア キ レ ス は またt、だ け の 時 間 をか け てP、に進 ま な け れ ば な ら な い。 と い う こ と で 、 永 久 に ア キ レス は 亀 に追 い つ くこ とが で きな い 、 とい うパ ラ ドク スで あ る。

37無 限個 の 数 の 和 に 関係 して 実 数 の 理 論 が 完 成 した の は19世 紀 半 ば な の で、 ドジ ス ン の若 い 時 代 の こ とで あ る 。 ア キ レス と亀 の 例 で は 、

t1‑←t2十゜ ° °

とい う無 限 個 の 数 の和 は 計 算 が で き て 、 有 限 の 値 とな る の で パ ラ ドク ス に な ら な い 、 と い う の が 、 無 限個 の数 の和 とい う 考 え 方 を 使 っ て の パ ラ ドク スの 回避 方 法 で あ る 。

38つ ま り

、 和 と して 有 限 値 が 得 られ る 。 た だ し、 無 限 個 の 数 の和 は い つ で も得 られ る わ け で は な く、 今 の 場 合 に は得 られ る とい うだ け で あ る。

一76一

ドジス ン(キ ャロ ル)の 数学 関 連 の業 績

を 無 限 回 続 け る こ と は 完 結 し 得 な い こ と を 示 し て い る 。 こ れ は あ ま り注 目 さ れ な か っ た が 、20世 紀 の 後 半 に な っ て 哲 学 者 の 興 味 を 引 き 、 関 連 し た 議 論 が 盛 ん に お こ な わ れ る よ う に な っ た39。

論 理 学 関 連 の 標 題 は36点(抽 出 し た も の の29.8%)あ っ た4°。 こ れ は 、 数 学 の 標 題 の38点 に 匹 敵 す る 量 で あ る 。 そ の う ち 、57年 の1点 以 外 は 86年 以 後 の もの で あ り、 論 理 学 関 連 の 執 筆 は 晩 年 に 集 中 し て い る と 言 え よ う41。 も う す こ し長 生 き し て い た ら も っ と た く さ ん 書 い た だ ろ う と 思 え る こ と が 、 ド ジ ス ン 自 身 に よ る 宣 伝 文 に 表 さ れ て い る 。

IhaveaquantityofMS.inhandforPartsIIandIII,andhopeto beable‐shouldlive,andhealth,andopportunity,begrantedtome, topublishtheminthecourseofthenextfewyears.

3.パ ズ ル ・ゲ ー ム

パ ズ ル ・ゲ ー ム に つ い て は 、78年 以 前 は と び と び に4点 、78年 か ら は 数 が 増 え て 、 全 部 で31点(抽 出 した も の の25.6%)あ る 。

多 く の パ ズ ル ・ゲ ー ム は 教 育 の 補 助 教 材 と し て 考 え 出 さ れ た よ う で あ る 。 実 際 に 、 教 室 で 、 あ る い は 個 人 的 に 、 教 え た と い う 記 述 も 日 記 に 出

39哲 学 者 は

、 コ ン ピュ ー タ関 係 者 と は 違 い 、 ドジ ス ンを 参 照 して い る。 そ れ ば か りで は な く、

ア キ レス と亀 の 対 話 の形 式 で の議 論 を発 展 させ て い る。

40じ つ は、 も う一 つ 、 神 学 的 な議 論 を した 資料 が あ る。 そ れ は 、 269.EternalPunishment.『 永 遠 の 罰 』。10頁 程 度 。1895年 か?

で あ る。 筆 者 と して は現 物 を 見 て い な い の で 評 価 は で きな い が 、 伝 記 作 家 に よる と、 論 理 学 の 背 中律 に つ い て の 議 論 を した り して い て 、 論 理 学 の 教 科 書 の 著 者 ら し い面 が 見 られ る、 と い う こ と で あ る 。 新 約 聖 書 の 中 の こ のEternalは 、 ギ リ シ ャ 語 か ら の 誤 訳 で 、 本 当 は Unknownduration(不 明 の 期 間)を 表 す は ず だ 、 と ドジ ス ンは 述 べ て い る とい う。 背 中律 を 議 論 して い る とす る と 、(天 国 で の)永 遠 の 命 の 否 定 は 、 永 遠 で は な い 命 とい う こ とか ら、 罰 は 有 限 的 で な け れ ば な らな い 、 と い う 論 旨 か と推 察 さ れ る 。 ま た 、 永 遠 の 命 の 否 定 を 永 遠 の 罰 だ とす る と、 罰 を受 け る魂 も永 遠 に 生 き る こ と に な り、 論 理 的 に は 、 矛 盾 す る こ とに な ろ

う 。 現物 を 見 て い ない ので 、 単 な る 想 像 で あ る 。 ai57年 の も の は

、論 理 的 な 考 察 の 鋭 さ の片 鱗 を示 す 短 い エ ッセ ー で あ る。 そ れ は、

15.Wheredoesthedaybegin?『 日 は ど こ で始 ま る か 』。1857年 。

で あ る 。 こ れ は 、 日付 変 更 線 が 決 め ら れ る 前 の もの で 、 時 間 の 決 め 方 の 難 し さ を ユ ー モ ラス に描 写 して い る 。

ドジ ス ン(キ ャロル)の 数 学 関 連 の業 績

て き て い る42。 と く に 、 数 に 関 す る も の43は 教 材 用 と い う 感 じ が 強 い 。 代 表 的 な 書 き 物 は 、 キ ャ ロ ル 名 で 印 刷 し た

244.Syzygies .andLanrick(FirstEdition)

『シ ジ ジ ー ズ と ラ ン リ ッ ク 』、1893年 。

で あ る 。 シ ジ ジ ー ズ(Syzygies)は12‑12/79か ら 、 ラ ン リ ッ ク(Lanrick) は1‑24/79か ら 日 記 に 現 れ は じ め 、 教 え た 、 改 良 し た 、 と い う 記 述 が あ る 。 シ ジ ジ ー ズ は 語 を 操 作 す る ゲ ー ム で あ り 、 ラ ン リ ッ ク は チ ェ ス 盤 を 使 っ て 遊 ぶ ゲ ー ム で あ る 。

シ ジ ジ ー ズ の 具 体 例 を 、 考 案 し た 日 の 日記 か ら 採 録 し て お く。 与 え ら れ た 語 か ら 出 発 し て も う 一 つ の 与 え ら れ た 語 を 作 り 出 す ゲ ー ム だ が 、 各 操 作 に お い て 、 語 の 一 部(常 に 一 定 の 文 字 数 の 連 続 し た 部 分)を そ の ま ま に し て 、 他 の 部 分 を 自 由 に 変 更 す る 。 た だ し 、 途 中 で 使 う 語 も 実 在 す る 単 語 で な け れ ば な ら な い 。

一 つ の 例 は、ProvePRISMtobeODIOUS.(「 プ リ ズ ム は む か つ く」 と い う こ と を 証 明 せ よ 。)と い う 問 題(PRISMか らODIOUSを 作 れ 。)で 、 次 の 解 答 が 示 さ れ て い る 。(下 線 で 記 し た と こ ろ は 、 日 記 で は 上 に 点 を お い て あ る 。 ま た 、 説 明 は な い 。)

PRISMま ずPRISMと い う語 を 用 意 す る 。

血aticprismの5文 字 は そ の ま ま でaticを つ け る 。 dramaticmaticの5文 字 は そ の ま ま でdraを つ け る 。 melodramadramaの5文 字 は そ の ま ま でmeloを つ け る 。 melodiousmelodの5文 字 は そ の ま ま でiousを つ け る 。

ODIOUSmelを 除 い て 目指 す 語 を得 た 。 こ の 例 で は 常 に5文 字 は そ の ま ま に し て お く 。

も う 一一つ の 例 は 、SendMANonICE.(人 を 氷 の 上 に 送 れ 。MANか ら

42た と え ば

、2‑15/96。 と に か く、 た く さ ん の 記 述 が あ る 。(イ ン デ ク ス を 参 照) 43た と え ば、280a。

一78一

ドジス ン(キ ャ ロ ル)の 数 学 関連 の業 績

ICEを 作 れ 。)と い う 問 題 で あ る 。 解 答 は 次 の よ う に 示 さ れ て い る 。 MAN‐+permanent‑ientice‑一  ICE

こ の パ ズ ル は あ ま り成 功 し な か っ た と い う こ と で あ る 。

成 功 し た 例 は ダ ブ レ ッ ッ(Doublets)と い う ゲ ー ム で 、131以 下 、 い ろ い ろ な 印 刷 物 が あ る 。 こ れ は 、 長 さ の 同 じ二 つ の 語 を 用 意 し て 、 一 度 に1文 字 だ け 変 え て 行 き 、 一 つ の 語 か ら他 の 語 を 作 り あ げ る ゲ ー ム で あ る 。 こ の と き も 、 途 中 に 現 れ る 語 は 実 在 の 語 で な け れ ば な ら な い 。 ド ジ ス ン の 例 を 一 つ 示 す 。 次 の 例 はheadをtailに 変 え る も の で あ る 。

head→heal→teal→tell→tal1→tail

4.暗 号 ・暗 記 法

暗 号 に つ い て は 、62の 電 報 暗 号(Telegraph‑Cipher)、63の ア ル フ ァ ベ ッ ト暗 号(Alphabet‑Cipher)が 考 案 さ れ て い る 。 い ず れ も単 純 な も の だ っ た よ う だ 。

暗 記 法 は

207.MerrtoriaTechnics

『暗 記 法 』、1888年

に ま と め ら れ て い る 。 子 音 字 に 数 字 を 割 り 当 て 、 母 音 字 は 自 由 に 挿 入 し て よ い 。 語 あ る い は 文 に よ っ て 、 覚 え て お き た い 数 を 表 す と い う も の で あ る 。 子 音 字 と 数 の 割 り当 て は 次 の よ う に な っ て い る 。

1b,c2d,w3t,j4f,q 51,v6s,x7p,m8h,k gn,gOz,r

こ の よ う に 決 め て お い て 、 Columbussailedtheworldaround UntilAmericawasFOiTND.

と い う 文 を 覚 え れ ば 、 コ ロ ン ブ ス の ア メ リ カ 到 達 の 年 が 、 最 後 の 語 か ら

ドジ ス ン(キ ャ ロル)の 数 学 関 連 の業 績

FOUND 492

の よ う に覚 え られ る とい う も の で あ る 。 ア メ リ カ 到 達 の 年 は1492年 だ が 、 最 初 の1は 覚 え る まで も な い と した の で あ る。

ドジ ス ンは こ の 手 法 で い ろ い ろ な数 値 の た め の 暗 記 文 を提 供 して い る よ うで あ る 。

こ の 暗 記 法 が 最 初 に 日記 に 出 て くるの は 、12‑31/57で あ る。 ドジス ン は こ の手 法 が 自慢 で、 い ろ い ろ な と ころ で 教 え た 嘱よ うで あ る 。

暗 号 ・暗 記 法 に つ い て の 書 き物 は4点(抽 出 した も の の3.3%)だ け で あ る 。

5.社 会 問 題

社 会 問 題 と して 抽 出 した もの は、 ギ リ シ ャ語 講 座 の 給 料 問題 を数 学 的 に パ ロ デ ィ化 した65年 の40、41と 選 挙 法 に 関 す る74年 以 降 の10点 の 計 12点(抽 出 した も のの9.9%)で あ る。

選 挙 法 に 関 し て は比 例 代 表 制 の提 案 とそ の 改 善 が 重 要 な 貢 献 で あ る 。 い ろい ろ な計 算 を して い る。

結 語

上 に述 べ て きた よ う に、52だ け で も ドジス ン を数 学 者 、 数 学 の 研 究 者 で あ る と評 価 で き る。

ドジ ス ンのMathematicianと して の傾 向 は、 数 学 につ い て は 教 材 を 若 い 頃 か ら終 生 執 筆 し続 け たが 、 論 理 学 につ い て は 晩 年 に、 パ ズ ル ・ゲ ー ム につ い て は 中 年 に、 執 筆 が 集 中 して い た よ うで あ る。

い ろ い ろ と眺 め てみ て、 ドジ ス ン は時 代 に先 立 って い た よ う に 感 じる。

44日 記 に た く さ ん 記 述 さ れ て い る

。 た と え ば 、1‑19!97。

ドジス ン(キ ャロ ル)の 数学 関連 の業 績

暗 号 問 題 は 、 近 代 戦 争 と 関 係 し て 、20世 紀 に 発 達 し た 。 ま た 、 今 で も イ ン タ ー ネ ッ ト と 関 係 し て 発 達 し つ つ あ る 。 ド ジ ス ン は 約 百 年 早 す ぎ た よ う で あ る 。 論 理 学 に 関 し て も 、30年 か ら50年 は 早 す ぎ た よ う に 思 え る 。 分 類 別 の 執 筆 の 割 合 を ま と め て 示 す と 、

(1)数 学(2)論 理 学(3)パ ズ ル ・ゲ ー ム(4)暗 号 ・暗 記 法(5)社 会 問 題 31.4%29.8%25.6%3.3%9.9%

と な る 。

参 照 文 献

田 細 井 勉 、 「蝋 燭 は 吹 き 消 せ る の だ ろ う か?」 、MISCHMASCHNo.3, 1998,pp.204‑212.

[2]TsutomuHosoi,Carroll'sNonsenseExaminedMathematically, LewisCarrollStudiesNo.1,1999,pp.15‑28.

参 考

参 考 の た め にハ ン ドブ ッ クか ら抜 き出 した 数 学 的 な標 題 のす べ て を示 す 。 年 は、 印刷 物 につ い て は 印 刷 の 年 で 、 原 稿 につ い て は推 定 され た 執 筆 の 年 で あ る 。 ハ ン ドブ ック は45年 か ら始 め て 、 ドジ ス ンの 死 後 の 出 版 物 か ら、 さ ら に は そ の 後 の 編 纂 出版 物 まで 網 羅 して い るが 、 数 学 に 関 係 した もの は55年 か ら97年 まで だ った 。

一 般 的 に は 執 筆 の 時期 と印 刷 の 時 期 と にず れが あ り、 ドジス ン(キ ャ

ロ ル)の 場 合 も例 外 で は な い の だが 、 教 材 、 会 議 資 料 な どは 、 執 筆 して

す ぐに 印刷 して い る もの が 多 数 あ る よ う に見 受 け られ る。 執 筆 が 他 の 仕

事 や研 究 に 影 響 す る こ と もあ り得 よ うが 、 数 学 関 連 物 の 年 間 の 執 筆 の 数

量 が あ ま り多 くな い こ とか ら、 数 点 の例 外 を 除 い て 、 こ こ に あ げ て い る

もの の 執 筆 が 他 に影 響 した り、他 か ら影 響 を受 け て い た り して い る とは 、

ほ とん ど、 考 え られ な い よ うで あ る 。

ドジ ス ン(キ ャロ ル)の 数学 関連 の 業績

標 題 の前 に あ る番 号 はハ ン ドブ ッ ク に お け る番 号 で あ る。 そ の 後 の 括 弧 内 の 番 号 は 本 稿 での 分 類 番 号 で あ る。

55年

日 記 の5‑31に 、ThefifthbookofEuclidprovedalgebraically.を 書 い た と い う 記 述 が あ る が 、 印 刷 物 は 確 認 で き て い な い ら し い 。68年 に そ れ ら し い 印 刷 物 が あ る 。

57年

15.(2)Wheredoesthedaybegin?論 理 的 な エ ッ セ ー 。 日 記 の2‑23に はIllustratedLondonNewsに 投 稿 し た と の 記 述 が あ る 。1頁 。 58年

17.TheFifthBook(ゾ1伽oZ乞(孟 が 記 録 さ れ て い る が 、 ハ ン ドブ ッ ク は 別 人 の 作 と い う 結 論 を 出 し て い る 。

60年

19.(3)RulesforCourtCircular(FirstEdition).カ ー ドゲ ー ム 。 日記 の 1‑25/58に こ の ゲ ー ム を 考 案 し た と の 記 述 あ り。4頁 。

24.(1)Syllabus(fPlaneAlgebraicalGeometry.代 数 的 に 取 り扱 っ た 平 面 幾 何 。 詳 細 な 教 科 書 。170頁 。

25.(1)NotesontheFirstTwoBooks(ゾEz占o倣 孟 ユ ー ク リ ッ ドの 第1、2 巻 に 対 す る もの 。 教 材 。8頁 。

61年

27.(1)Formulae(ゾPZα πθTrigonometry.平 面 の 三 角 法 の 公 式 集 。 教 材 。20頁 。

28.(1)NotesontheFirstPartofAlgebra.代 数 の 最 初 の 部 分 に 対 す る も の 。 教 材 。16頁 。

一82一

ドジス ン(キ ャ ロル)の 数 学 関連 の 業績

62年

30.(3)Rulesfc)rCourtCircular(SecondEdition).カ ー ドゲ ー ム 。60 年 の も の の 改 良 版 。4頁 。

32.(1)Circulartomathematicalfriends.純 粋 数 学 の 題 目(subjects)の 表 。 教 材 。1頁 。

63年

33.(1)GeneralList(>fSubjects.学 の 題 目(subjects)の 表 。教 材 。16頁 。 34.(1)Enunciations(fEuclid,Booksland∬ ユ ー ク リ ッ ドの 第1、2

巻 の 命 題 等 の 表 現 方 法 の 工 夫 と み ら れ る 。 発 展 さ せ て92(73年) と な っ て い る ら し い 。 教 材 。16頁 。

64年

38.(1)(widetotheMathematicalStudent,純 粋 数 学 の 分 類 。26の 区 分 と500程 の 細 区 分 。 教 材 。32頁 。

65年

40.(5)NewMethod(ゾ 劭 αZ窃醐oπ 給 料 問 題 を π の 計 算 に な ぞ ら え た 議 論 。41の 最 後 に も 印 刷 さ れ て い る と の こ と 。4頁 。

41.(5)DynamicsofaParticle(First,Second,ThirdEdition).政 争 問 題 と給 料 問 題 の 議 論 。 ユ ー ク リ ッ ドの 公 理 や 定 義 の パ ロ デ ィ が 出 て く る も の で 、 数 学 者 な ら で は の 非 数 学 作 品 。28頁 。

66年

49.(1)5「ymbolsandAbbreviationsfc)rEuclid.ユ ー ク リ ッ ドの 中 の 記 号 等 に つ い て 。 日 記 の1‑25に 記 述 あ り。 詳 細 は 不 明 。 教 材 。 52.(1)CondensationofDeterminants.ProceedingsoftheRoyal

Society,No.84に 掲 載 。 行 列 式 の 縮 約 に つ い て の 論 文 。 唯 一 の 数 学 論 文 。 い わ ゆ る 高 等 数 学 の 範 疇 。57で 詳 細 な 取 り扱 い 。7頁 。 67年

57.(1)ElementaryTreatiseonDeterminants.行 列 式 入 門 。52を 詳 述 。

トジス ン(キ ャ ロル)の 数 学 関連 の 業 績

評 価 す る 上 で は52だ け で 十 分 。52と57と で2点 と い う 業 績 評 価 は し な い の が 普 通 。151頁 。

68年

62.(4)Telegraph‑Cipher.電 報 暗 号 。 日 記 の4‑22に 記 述 あ り 。 カ ー ド 1枚 。

63.(4)Alphabet‑Cipher.ア ル フ ァ ベ ッ ト 暗 号 。 カ ー ド1枚 。

64.(1)FifthBookofEuclid.ユ ー ク リ ッ ド の 第5巻 。 数 論 関 係 。102 (74年)も 同 様 の も の だ が 、 独 立 な も の と 考 え ら れ る と の こ と 。 日 記 の1‑16に 記 述 あ り 。 教 科 書 ま た は 教 材 。42頁 。

65.(1)‑AlgebraicalFormulae.代 数 の 公 式 集 。 教 材 。 日 記 の5‑21に 記 述 あ り 。4頁

70年

75.(3)PuzzlesfromWe)nderlarzd.パ ズ ル 。AuntJudy'sMagazineの 一 部 。4頁 。(BytheAuthorof̀Alice'sAdventuresinWonderland'。)

76.(1)AlgebraicalFormulaeandRules.代 数 の 公 式 集 。 教 材 。4頁 。 77.(1)ArithmeticalFormulaeandRules.計 算 に つ い て の 公 式 集 。 教

材 。4頁 。 72年

89.(1)Symbols&c.TobeusedinEuclid.ユ ー ク リ ッ ド の 中 の 記 号 等 。 詳 細 は 不 明 。 教 材 。

90.(1)PropositionsinEuclid.ユ ー ク リ ッ ド の 中 の 命 題 集 。 詳 細 は 不 明 。 教 材 。

73年

92.(1)EnuraciationsofEuclid.ユ ー ク リ ッ ド の 命 題 等 の 表 現 方 法 の 工 夫 と 見 ら れ る 。34(63年)の 発 展 ら し い と の こ と 。 日 記 の12‑26 に 記 述 あ り 。48頁 。 教 材 。

ド ジ ス ン(キ ャ ロ ル)の 数 学 関 連 の 業 績

74年

100.(5)SuggestionsastotakingVotes.選 挙 法 に つ い て 。113(76年) に 発 展 。8頁 。

101.(1)ExamplesinArithmetic.計 算 技 法 の 例 。 未 完 成 品 と の こ と 。 教 材 。32頁 。

102.(1)Euclid,BookV.ユ ー ク リ ッ ド の 第5巻 。 数 論 関 係 。 日 記 の3‑25 に 記 述 あ り 。 教 材 。72頁 。

75年

107.(1)Euclid,.Booksl,∬(First(private)Edition).ユ ー ク リ ッ ド の 第 1、2巻 。 平 面 幾 何 。 教 科 書 。156(82年)と し て 出 版 。112頁 。 108.(3)Alice'sPuzzleBook.パ ズ ル 。 詳 細 は 不 明 。 未 刊 。

76年

113.(5)MethodoftakingVotes.選 挙 法 に つ い て 。100(74年)1の 発 展 。 20頁 。

77年

119a.(1)Algebra.代 数 の 試.験 問 題 。1頁 。

120.(4)MemoriaTechnica.暗 記 法 。Greyの シ ス テ ム の 変 形 。207(88 年)に 発 展 。1頁 。

120c.(5)CircularaboutMethod(ガ7掀 伽gレb̀θ8.選 挙 法 。1頁 。 78年

124.(3)Word‑links(CyclostyleEdition).Doubletsに 発 展 す る 語 の ゲ ー ム の 最 初 の 版。4頁 。(キ ャ ロ ル 名)

125.(3)Word‑Links(FirstPrintedEdition).語 の ゲ ー ム 。124の 改 良 版 。 日 記 の3‑12に 記 述 あ り 。4頁 。(キ ャ ロ ル 名?)

79年

128.(1)EuclidandhisModernRivals(FirstEdition).ユ ー ク リ ッ ド 流 の 幾 何 の 展 開 方 法 を 擁 護 す る ド ラ マ 仕 立 て の 文 学 作 品 。332頁 。

ドジ ス ン(キ ャロ ル)の 数学 関連 の業 績

131.(3)NewPuzzle.語 の ゲ ー ム 。132のDoubletsの は じ ま り 。1頁 。 132.(3)Doublets.語 の ゲ ー ム 。1頁 。(キ ャ ロ ル 名)

133.(3)Doubletsalreadyset.語 の ゲ ー ム 。1頁 。

133a.(3)Doublets(FirstEdition).語 の ゲ ー ム 。40頁 。(キ ャ ロ ル 名) 134.(3)Doublets(AbridgedEdition).語 の ゲ ー ム 。8頁 。(キ ャ ロ ル 名) 135.(3)GameforTwo.Players.チ ェ ス 盤 を 使 っ た ゲ ー ム 。Lanrickの 初

期 の 形 。4頁 。

136.(1)TheEducationalTimes誌 の 中 。 PracticalHintsonTeaching.LongMultiplicationworkedwitha

singleline(fFigures.計 算 の 指 導 法 。2頁 。 80年

137.(3)Doublets(SecondEdition).語 の ゲ ー ム 。74頁 。(キ ャ ロ ル 名) 137a.(3)NewMethod(ゾ800γ 伽 ρ.語 の ゲ ー ムDoubletsに 関 す る も の 。

1頁 。

138.(3)Doublets(ThirdEdition).語 の ゲ ー ム 。86頁 。(キ ャ ロ ル 名) 139.(3)TheMonthlyPacket誌 の 中 。

ATangledTale.『 も つ れ っ 話 』 数 学 の 問 題 ま た は パ ズ ル 。 Lanrick:AGameforTwoPlayers.チ ェ ス 盤 を 使 っ た ゲ ー ム 81年

139.(3)TheMonthlyPacket言 志の 中 。

Mischmasch:AGameforTwo‑Players.語 の ゲ ー ム 。 Lanrick(SecondEdition).チ ェ ス 盤 を 使 っ た ゲ ー ム 。 Lanrick(ThirdEdition).チ ェ ス 盤 を 使 っ た ゲ ー ム 。 142.(3)Lanrick.チ ェ ス 盤 を 使 っ た ゲ ー ム 。4頁 。 144.(5)Purity(fElection.選 挙 法 。1頁 。 82年

139.(3)TheMonthlyPacket誌 の 中 。

ドジス ン(キ ャロ ル)の 数学 関連 の業 績

Mischmasch(Finalform).語 の ゲ ー ム 。 145.(3)TheSt.James'sGazette誌 の 中 。

LawnTennisTournaments.ト ー ナ メ ン トの 対 戦 の 組 み 合 わ せ 方 。 152a.(1)Circle‑Squaring.円 と 同 積 の 正 方 形 の 作 図 に つ い て 。4頁?

155.(3)Mischmasch.語 の ゲ ー ム 。4頁 。

156.(1)Euclid,Booksl,∬(FirstpublishedEdition).ユ ー ク リ ッ ド の 第 1、2巻 。 平 面 幾 何 。PrivateEditionは107(75年)。 教 科 書 。125 頁.

83年

157.(3)LawnTennisTournaments.ト ー ナ メ ン ト の 対 戦 の 組 み 合 わ せ 方 。12頁 。

84年

167.(5)ParliamentaryElections.選 挙 法 。1頁 。 168:(5)PrinciplesofParliamentaryRepresentation(FirstPrivate

Edition).選 挙 法 。56頁 。

169.(5)PrinciplesofParliamentaryRepresentation(FirstPublished Edition).選 挙 法 。?頁 。

85年

171.(5)ParliamentaryRepresentation(SecondEdition).選 挙 法 。?頁 。 172.(5)ParliamentaryRepresentation‑Supplement.選 挙 法 。8頁 。 173.(5)ParliamentaryRepresentation‑PostscripttoSupplement.

選 挙 法 。4頁 。

174.(1)SupplementtoEuclidandhisModernRivals.幾 何 教 育 の 展 開 法 関 連 。56頁 。

175.(1)Euclid‑andhisModernRivals(SecondEdition) .幾 何 教 育 の 展 開 法 。308頁 。

182.(3)TangledTale.『 も つ れ っ 話 』。 数 学 的 な 問 題 と パ ズ ル 。166頁 。

ドジ ス ン(キ ャロ ル)の 数学 関 連 の業 績

(キ ヤ ロ ル 名) 86年

188‑91。(2)PapersonLogic.論 理 の 話 題 。4つ あ る ら し い と の こ と 。 教 材 。2+?+?+4頁 。

193.(2)GameofLogic.(First,PrivateEdition).子 供 用 の ゲ ー ム と し て の 論 理 。 失 敗 作 ら し い と の こ と 。103頁 。(キ ャ ロ ル 名)

194a.(3)Mischmasch.語 の ゲ ー ム 。1頁 。(キ ャ ロ ル 名) 87年

196.(2)Game(fLogic(Second(Firstpublished)Edition).論 理 の ゲ ー ム 。 教 科 書 。112頁 。(キ ャ ロ ル 名)

198‑200.(2)PapersonLogic.論 理 の 話 題 。3つ あ る ら し い と の こ と 。 、 高 校 で の 講 義 等 の 教 材 ら し い 。?頁 。

201‑2.(2)QuestionsinLogic.論 理 の 話 題 。2つ あ る ら し い と の こ と 。 高 校 で の 講 義 等 の 教 材 ら し い 。?頁 。

202a.(2)SevenDiagrams.SymbolicLogic.ダ イ ヤ グ ラ ム 。270(96 年)用 と の こ と 。7頁 。

204a.(2)ExaminationReport.高 校 の 論 理 の 講 義 の 試 験 結 果 。?頁 。 88年

207.(4)MemoriaTechnica.『 暗 記 法 』。4頁 。

210.(1)CuriosaMathematica.Partl.幾 何 の 問 題 に つ い て 。80頁 。 89年

213a.(3)ArithmeticalCroquet.ゲ ー ム 。 日 記 の10‑24/72にNumerical Croquetと し て 記 述 あ り 。Arithmeticalと し て は 、3‑28/96に 記 述 あ り 。2頁 。

91年

228.(1)‑PostalProblem.郵 便 局 の 表 示 が 瞹 昧 で あ る こ と の 問 題 。4頁 。 229.(1)PostalProblem‑Supplement.郵 便 局 の 表 示 が 曖 昧 で あ る こ と

ドジス ン(キ ャ ロル)の 数学 関連 の業 績

の 問 題 の 追 加 。2頁 。

231.(3)Syzygies.語 の パ ズ ル 。4頁 。(キ ャ ロ ル 名) 92年

239‑42.(2)PapersonLogic.論 理 の 話 題 。4つ あ る ら し い と の こ と 。 高 校 の 教 材 か 。2+4+4+2頁 。

243.(2)ChallengetoLogicians.論 理 の 問 題 。1頁 。 93年

244.(3)SyzygiesandLanrick(FirstEdition).語 の パ ズ ル と チ ェ ス 盤 を 使 っ た ゲ ー ム 。40頁 。(キ ャ ロ ル 名)

245.(3)SyzygiesandLanrick(Second(private)Edition).語 の パ ズ ル と チ ェ ス 盤 を 使 っ た ゲ ー ム 。40頁?(キ ャ ロ ル 名)

246.(1)CuriosaMathematica,Part∬(FirstEdition).副 題 はPillow Problems。 『枕 頭 問 題 集 』。 ベ ッ ド で 何 も 使 わ な い で 考 え る べ き

数 学 の 問 題 集 。128頁 。

247.(1)CuriosaMathematica,Part∬.(SecondEdition).畠U題 はPillow Problems。 『枕 頭 問 題 集 』。 ベ ッ ドで 何 も 使 わ な い で 考 え る べ き 数

学 の 問 題 集 。128頁?

94年

253.(2)SymbolicLogic.Premisses.記 号 論 理 。 詳 細 不 明 。1頁 。 254‑5.(2)SymbolicLogic.Conclusions.記 号 論 理 。 詳 細 不 明 。1頁 。 256.(2)SymbolicLogic,QuestionsI.記 号 論 理 。 詳 細 不 明 。1頁 。 257.(2)SymbolicLogic,Questions∬ 記 号 論 理 。 詳 細 不 明 。1頁 。 258.(2)1)細 窃 θd1)oiratinLogic(A).キ ャ ロ ル とWilsonと の 議 論 。1頁 。 258a.(2)1)isputedPoint:ConcreteExample.キ ャ ロ ル とWilsonと の

議 論 。1頁 。

259.(2)DisputedPoirotinLogic(B).キ ャ ロ ル とwilsonと の 議 論 。4頁 。 260.(2)TheoreminLogic(C).論 理 の 定 理 。1頁 。

ドジス ン(キ ャ ロル)の 数 学 関連 の業 績

261。(2)LogicalParadox(D).パ ラ ド ク ス 。 日 記 の5‑4に 記 述 あ り 。4 頁 。(キ ャ ロ ル 名)

262.(2)LogicalPuzzle(E).論 理 パ ズ ル 。258と も 関 連 。4頁 。 263.(2)WhattheTortoisesaidtoAchilles.ア キ レ ス と 亀 の パ ラ ド ク ス

を 変 形 し た 独 創 的 な も の 。4頁 。 95年

264.(1)ThreeProblems,数 学 上 の 問 題 。32頁 。(キ ャ ロ ル 名)

265‑6.(2)LogicalNomenclature,Desiderata.論 理 的 な 問 題 点 の リ ス ト。1頁 。

96年

270.(2)SymbolicLogic,PartI(First,Second&ThirdEdition).記 号 論 理 の 教 科 書 。 大 作 。224頁 。(キ ャ ロ ル 名)

271.(2)SymbolicLogic(Pamphlet,CardandCounters).記 号 論 理 の 教 科 書 に 沿 っ て 学 ぶ と き の た め の 道 具 。(キ ャ ロ ル 名)

272‑9.(2)Z)iagrams.ダ イ ア グ ラ ム を 示 し た も の 。2変 数 用 、3変 数

用 、 … 。 各1頁?

279a.(2)SymbolicLogic,Part∬ 記 号 論 理 の 教 科 書 、 続 き 。 校 正 刷 り 。 280a.(2)Number‑Guessing.数 あ て パ ズ ル 。74年 に 考 え た も の の 改 良

版 と の こ と 。1頁 。 97年

270c.(2)SymbolicLogic,PartI(FourthEdition).記 号 論 理 の 教 科 書 。 224頁 。(キ ャ ロ ル 名)

282.(1)AMysteriousNumber.マ ジ ッ ク 数142857に つ い て 。1頁 。 284.(1)BriefMethodofL)ividing.9か11で の 割 り 算 の 簡 単 な や り 方 。

1頁 。

284a.(1)CuriosaMathematica,PartIII.数 学 の 問 題 集 。29頁 。

一90一

ドジス ン(キ ャ ロル)の 数学 関連 の 業績

分 類別 の執筆状況 の表

年 数学 論 理学 パ ズル

社 会問 題 計

1857 1 1

..

1859

1860 2 1 3

1861 2 2

1862 1 1 2

iss3 2 2

1864 1 1

1865 2 2

1866 2 2

1867 1 1

:・: 2 2 4

:・ ・

1870 2 1 3

1871

1872 2 2

1873 1 1

1874 2 1 3

1875 1 1 2

1876 1 1

1877 1 1 1 3

.. 2 2

1879 2 6 8

::! 5 5

.. 4 1 5

.. 2 3 5

.. 1 1

.. 3 3

.. 2 1 3 6

::・ 5 1 6

.. 8 8

... 1 1 2

.., 1 1

:・1

1891 2 1 3

iss2 5 5

1893 2 2 4

1894 1 11 11

1895 1 1 2

:・ ・ 1 4 5

1897 3 1 4

計