解答例＋引用題 文系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ

次の問いに答えよ。

英語の本と日本語の本が全部で 冊ある。その中から 冊取り出すとき英語 の本が 冊と日本語の本が 冊である確率が となる。このとき日本語の本 は何冊あるか答えよ。

2005 岡山大学（文系）前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ T をq＜T＜qとする。つの数列

^ `

^ `

T FRV

[ \ VLQT [Q [Q

Q Q Q _[\

\ Q

によって定める。次の問いに答えよ。

[ \を計算せよ。さらに一般項[Q \Qを求めよ。

Q≧ ならば[_Q \_QLQ L_{とはならないことを示せ。ただし L は虚}

数単位とする。

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３ 解答解説のページへ 関数_I[ [ D[E_{の極大値が極小値がとなるとき定数DEの値を求}

2005 岡山大学（文系）前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ つの単位ベクトルDとEのなす角をT とする。次の問いに答えよ。

次関数_{I[ [DE の[≧における最小値を求めよ。}

T がq≦T≦qの範囲を動くとき放物線\ I[の頂点が描く軌跡を求め よ。

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１ 問題のページへ

日本語の本が[冊英語の本が[冊とすると条件より

& &

&

[ u[

˜ [ [ [ u

[ [ [ _[[[

よって [ r となり[は整数より日本語の本は冊ある。

赤色の組から取り出すカードの数を D青色の組から取り出すカードの数を E

黄色の組から取り出すカードの数をFとおくと条件より

E F

D （≦D≦≦E≦≦F≦）………＊

さて≦D≦E≦Fの条件のもとでDEF を満たすD E Fの組の 個数は○を個並べてその間のか所につの｢しきり｣を入れる場合の数と して数えられるので& 通りとなる。

次にこの通りのなかでD≦E≦F≦を満たさない場合は

D E F

よって＊を満たす場合の数は 通りとなる。

［解 説］

2005 岡山大学（文系）前期日程 解答解説

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２ 問題のページへ

_[ [ FRV T FRVT FRVT

q

q

＜T＜ から q＜T＜qなので [ FRVTとなる。

\[ \ VLQ FRV FRV VLQ FRV VLQ T T T T T T

これより

FRV _Q Q [ T VLQ _Q Q

\ T と推測される。

以下この推測の正しいことを数学的帰納法で証明する。 L Q のとき 明らかに成立する。

LL Q Nのとき

FRV _N N [ T VLQ _N N

\ T と仮定する。

N N [ [ FRV FRV FRV

T T T

q

q

＜T_N＜ より [N _N

FRV T N N

N _[\

\ _N N N N N N VLQ FRV FRV VLQ FRV VLQ T T T T T T

よって Q Nのときも成立する。

LLLより

FRV _Q Q [ T VLQ _Q Q \ T

]Q [Q \QL

VLQ

FRV _QT L _QT とおくと

Q Q ]

VLQ FRV VLQ

FRV Q_QT L Q_QT Q_QT L Q_QT

L ] Q

Q より

FRV Q_QT ………①

VLQ Q_QT ………②

ここで

_QQ Q _Q QからQ≧ のとき Q_＞Q_{であることを数学的}

帰納法で証明する。

L Q のとき _{＞より成立する。} LL Q Oのとき O_＞O_{と仮定する。}

O _{O ＞ O O O ＞}

よって Q Oのときも成立する。

LLLよりQ≧のときQ_＞Q_となる。

すると

＞

＞ _QQ から q q

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より≦Q≦の場合について考える。 Q と

QQ との対応をまとめる

と右表のようになる。

そ こ で q＜T＜q か ら

①②を満たすT を求める。

L

QQ Q のとき

q

q

＜ T＜ から T qqT q

LL

QQ Q のとき

q

q

＜ T＜ から T qqT q

LLL

QQ Q のとき

q

q

＜ T＜ から①②を満たすT は存在しない。

LY

QQ Q のとき

q

q

＜ T＜ から①②を満たすT は存在しない。

Y

QQ Q のとき

q

q

＜ T＜ から T qT q

L∼Yより Q T q q q q

［解 説］

難問というわけではないのですが忍耐力を要する問題です。数学的帰納法も 回 も登場しています。

Q

Q

2005 岡山大学（文系）前期日程 解答解説

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３ 問題のページへ

E D[ [

[

I に対し Ic[ [ D[ [[D

c [

I の解は [ D

となり極値をもつことからDzである。

L D＞のとき

極大値が極小値がより

E

I ………①

_{D D E}

I ………②

①②より _{D D}

LL D＜のとき

極大値が極小値がより

_{D D E}

I ………③

E

I ………④

③④より _{D D}

LLLよりD E

［解 説］

次関数の増減を調べる微分の基本題です。

[ … … D …

[

Ic _{＋ − ＋}

[

I

[ … D … …

[

Ic _{＋ − ＋}

[

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４ 問題のページへ

条件より _{I[ [DE D [ [D˜E E [[FRVT}

_[FRV_TFRV_{T [FRVTVLQT}

L FRVT＜q＜T≦qのとき

FRVT＞

[ より[≧における最小値は _VLQT _{[ FRVTとなる。}

LL FRVT≧ q≦T≦qのとき

FRVT ≦

[ より[≧における最小値は[ となる。

放物線\ I[の頂点を[ \とおくと

T

FRV

[ _\ FRV_T

よって _{\ [となる。}

また q≦T ≦qより≦[≦となり求める軌 跡は放物線_{\ [ ≦[≦である。}

の放物線と[軸が囲む図形の面積を6とすると

³

[ G[

6

>

@

[ [

［解 説］

数Ⅱ数%の基本問題の組合せです。

2 [

\