ラグランジュ微分と オイラー微分と
三者の関係を直感で理解する方法 移流項の
三重大学・大学院生物資源学研究科 共生環境学専攻
地球環境気候学研究室
教授 立花義裕
移流項とオイラー微分とラグランジュ微分の関係のイ メージ
7K
冷たい飲み物が ほしいな…
あと少し待てば もう少し冷たい物が
くる
…
0K 5K 10K 15K
さっきより５
K
冷たい 飲み物が来るはずだったのに
３ K
しか冷たくない！飲み物の温度
例えば 回転寿司のようなシステムで温度の違う飲み物が 速度ｕで流れてくるとする。
ｕ
流れてる間に 部屋の温度によって 飲み物が暖められていた。
ラグランジェ微分が効いている！
オイラー氏
δx δx δx δx
T
0x x T T δ
x
0x T
0T 2 δ
x
T0 Tx 2δ xx T T δ
0
下の図のような、それぞれが距離
δx
離れた空気塊を考える。中心の空気塊の温度は
T0
で、周りの空気塊の温度はテイラー展開で表されている。これらの空気塊は速度
U=δx/δt
で移動している。速度
U=δx/δt
今、太陽が出て、地面が温められ、付近の空気塊が暖められるとする。外部要因によって、
δt
の間暖められて、温度がδT
上がったとすると、この(
外部要因）ときの温度変化率は
DT/Dt
である。t=0
+0 +0 +0 +0
+0
t=δt
+δT
+δT +δT +δT +δT
このときの温度の 変化率は
DT/D
ｔこれが空気塊とともに動く視点で見た時の変化率、ラグランジェ微分であり、
DT/Dt=
外部要因で表される。t T Dt
DT
t δ
δ
lim δ
0
T
0x x T T δ
x
0x T
0T 2 δ
x
T0 Tx 2δ xx T T δ
0
次に、固定点から見たときの変化率、オイラー微分について考える。
まずは、太陽の出ていない時（外部要因がない→ラグランジェ微分＝０であるから、
空気塊自体の温度は変化しない）を考える。
U=δx/δt
であるから、δt
経つごとに空気塊はδx
移動することになる。U=δx/δt t=0 t=δ
ｔx x T T
T δ
0T
0T
T x U
T t x
t x x T T
T t
T
δ
δ
δ
δ
0 0
この時、固定点での温度の変化率は∂
T/∂t=
（外部要因=0)-U
･∇T
となる事がわかる。∂T/∂t
T
0x x T T δ
x
0x T
0T 2 δ
x
T0 Tx 2δ xx T T δ
0
次に、太陽が出た時（外部要因がある→
DT/D
ｔ≠0
）のオイラー微分について考える。t=0
で太陽が出て、暖まりはじめる。t=0
+0 +0 +0
+0 +0
t=δt
経つと、空気塊全体はδT
だけ温度が上昇し、さらにδx
移動する。t=δt
x x T T
T δ
T
0 T
0+δT
+δT +δT
+δT +δT
T Dt U
DT x
T t
x t
T
t
x x T T
T T
t T
δ
δ δ
δ
δ
δ δ
0 0
よって、外部要因があるときのオイラー微分は
∂T/∂t=DT/Dt(=
外部要因) － U
･∇T
であることがわかる。∂T=∂t
• 今回は移流の概念を理解するのにイメージしや すいように変数として温度 T を用いたが、温度 以外の場の変数（スカラー量でもベクトル量で も）全てについてラグランジュ微分とオイラー 微分、移流項の関係は成り立つ。
• 例えば流体の運動方程式であれば、変数に運動 量（速度ベクトル U ）を用いればよい。外部要 因として、気圧傾度力、重力、摩擦力があると すると、大気の運動方程式は次のようになる。
重力 粘性力 圧力傾度力
オイラー 移流項 ラグランジェ
